ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Звукові хвилі. Ехолокація.

Завдання скеровано на оцінку розуміння принципів ехолокації і вміння розв’язувати відповідні розрахункові задачі.

Дано:
\(l=170\ \text{м}\)
\(c\ (\text{звуку})=340\ \text{м/с}\)
\(v\ (\text{кажана})=20\ \text{м/с}\)

1. Знайти:
\(t\ (\text{с})\ -\ ?\)

Звук – це механічна хвиля, що має частоту \(20\ –\ 20\ 000\ \text{Гц}\). Кажан, що випустив ультразвуковий сигнал, не має впливу на швидкість поширення цього сигналу в середовищі, тому можна визначити час, який знадобиться сигналу для того, щоби досягти перепони з визначення швидкості: \begin{gather*} c\ (\text{звуку})=\frac lt\rightarrow \\[6pt] t=\frac{l}{c\ (\text{звуку})}=\frac{170\ \text{м}}{340\ \text{м/с}}=0,5\ \text{с}. \end{gather*}

2. Знайти:
\(l'\ (\text{м})\ -\ ?\)

Нехай кажан отримає зворотний сигнал на відстані \(l'\) від перепони в момент часу \(t'\). Тоді за цей час звукова хвиля пройде відстань від кажана в початковій точці до перепони \(l\) і відстань від перепони до кажана \(l'\): $$ l_{\text{звуку}}=l+l'. $$

Кажан пройде відстань, що дорівнює різниці початкової і кінцевої відстані до перепони: $$ l_{\text{кажана}}=l-l'. $$

Кажан і звукова хвиля долають відповідні відстані за однаковий час, тому:

Відповідь: 1. 0,5. 2. 151.

ТЕМА: Теплота згоряння палива. Рівняння теплового балансу палива. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані з рівняннями теплового балансу.

1. Дано:
\(V=4\cdot 10^8\ \text{м}^3\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=1\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(q=40\ \text{МДж/кг}\)

1. Знайти:
\(Q\ (\text{Дж})\ -\ ?\)

Кількість теплоти, що виділяється під час згоряння палива, можна розрахувати за формулою: $$ Q=qm, $$ де \(q\) – питома теплота згорання палива, \(m\) – маса палива.

Маса палива пов’язана з його об’ємом \(V\) й густиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\): $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}V. $$

Тож можна розрахувати виділену кількість теплоти:

2. Дано:
\(m_{\text{пов}}=8\cdot 10^{13}\ \text{кг}\)
\(c_{\text{пов}}=1000\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\ \cdot\ ^\circ\mathrm{C}}\)
\(q=40\ \text{МДж/кг}\)

2. Знайти:
\(\triangle t\ (^\circ\mathrm{C})\ -\ ?\)

Для того, щоб оцінити, як зміниться температура тропосфери, потрібно записати рівняння теплового балансу $$ Q=cm\triangle t, $$ де \(Q\) – отримана (або віддана) кількість теплоти, \(c\) – питома теплоємність тіла, \(m\) – маса тіла. \(\triangle t\) – зміна температури тіла.

Якщо кількість теплоти \(Q=16\ \text{ПДж}\) повністю передається тропосфері, то саме ця \(Q\) є отриманою кількість теплоти в лівій частині рівняння теплового балансу. Тож можна розрахувати зміну температури:

Відповідь: 1. 16. 2. 0,2.

ТЕМА: Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Основи електростатики. Закон Кулона.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані із силою Кулона.

1. Дано:
\(T_1=1\ \text{мН}\)
\(T_2=1,5\ \text{мН}\)

1. Знайти:
\(F\ (\text{мН})\ -\ ?\)

Спочатку на кульку діяли лише сили натягу підвісу й сила тяжіння (рис. 1, а). Кулька перебуває у стані спокою, тому рівнодійна цих сил дорівнює 0: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_1}+m\overrightarrow{g}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: \begin{gather*} T_1-mg=0;\\[7pt] T_1=mg. \end{gather*}

Після того, як до першої кульки наблизили другу, окрім сили натягу підвісу й сили тяжіння на кульку діє сила Кулона (рис. 1, б). Але навіть у такому разі тіло перебуває у стані спокою, тобто рівнодійна цих сил дорівнює нулю: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_2}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\text{Кл}}}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: $$ T_2-mg-F_{\text{Кл}}=0. $$

Зважаючи на те, що \(T_1=mg\), можна розрахувати силу Кулона: $$ F_{\text{Кл}}=T_2-T_1=1\ \text{мН}-1\ \text{мН}=0,5\ \text{мН}. $$

Рис. 1. Схематичне зображення сил: а) для одної кульки, б) для двох кульок

2. Дано:
\(r_1=\frac{r_1}{2}\)

2. Знайти:
\(T_3\ (\text{мН})\ -\ ?\)

Силу Кулона визначають за формулою $$ F=k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}. $$

Тоді можна записати силу взаємодії до того, як кульки наблизили одну до одної: $$ F_{\text{Кл1}}=k\frac{|q_1||q_2|}{r^2_1}. $$

Ця сила взаємодії дорівнює \(0,5\ \text{мН}\), як було розраховано раніше.

Сила взаємодії після зближення дорівнюватиме

Як і до зближення, підвішена кулька перебуватиме у стані спокою, а рівнодійна всіх сил, що діють на неї, дорівнюватиме нулю: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_3}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\text{Кл2}}}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: $$ T_3-mg-F_{\text{Кл2}}=0. $$

Тож можна розрахувати силу натягу підвісу. Оскільки \(T_1=mg,\ F_{\text{Кл2}}=4F_{\text{Кл1}}\), то

Відповідь: 1. 0,5. 2. 3.

ТЕМА: Оптика. Закони заломлення світла.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на закони заломлення світла, зокрема з використанням явища повного внутрішнього відбивання.

Дано:
\(n=1,5\)
\(c=3\cdot 10^8\ \text{м/с}\)

1. Знайти:
\(v\ (\text{тис. км/с})\ -\ ?\)

Абсолютний показник заломлення \(n\) – це відношення швидкості c світла у вакуумі до швидкості \(v\) світла в середовищі: $$ n=\frac cv. $$

Тоді можна розрахувати швидкість поширення світла у склі:

2. Знайти:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\delta}\ -\ ?\)

Вираз закону заломлення світла на межі двох середовищ: $$ n_1\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=n_2\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta} $$ де \(n_1\) і \(n_2\) – коефіцієнти заломлення середовищ, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – кут падіння променю на межу середовищ, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут заломлення променю.

Промінь, що падає на призму, заломлюється двічі – на кожній поверхні призми.

Усі кути в законі заломлення відраховуються від перпендикуляр до поверхні. Оскільки падний промінь перпендикулярний до лівої поверхні призми, то кут між перпендикуляром і кутом падіння дорівнює \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}'=0^\circ\).

Оскільки \begin{gather*} n_{\text{пов}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}'=n_{\text{скла}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta},\\[7pt] \text{а}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}'=0^\circ,\ \text{то}\\[7pt] n_{\text{скла}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=0\rightarrow \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=0^\circ. \end{gather*}

Тож заломлений промінь також перпендикулярний до поверхні призми. На другій поверхні призми кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) – кут падіння променю. Його можна визначити з геометричних міркувань (рис. 1).

Рис. 1. Визначення кута \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\)

Зважаючи на те, що кути при основі призми дорівнюють \(60^\circ\), третій кут призми дорівнює \(180^\circ -60^\circ -60^\circ =60^\circ\). Трикутник, який промінь відсікає в призмі, прямокутний, один із його гострих кутів – це кут призми, що дорівнює \(60^\circ\). Тобто останній кут цього трикутника дорівнює \(30^\circ\).

Кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) відраховують від перпендикуляра, що на рисунку 1 зображений синім пунктиром. Тому

$$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=90^\circ - 30^\circ = 60^\circ. $$

Перед тим, як застосовувати закон заломлення світла вдруге, потрібно перевірити, чи не відбувається в цьому разі повне внутрішнє відбивання. Повне внутрішнє відбивання – це явище відбивання світла на межі двох середовищ. Воно відбувається для всіх кутів, більших за критичний кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0\), який визначають із умови $$ n\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0=1. $$

У цьому разі $$ \sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0=\frac{1}{n_{\text{скла}}}=\frac{1}{1,5}=\frac 23. $$

Це значення синуса не є табличним, тому визначити кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0\) точно без спеціальних таблиць неможливо. Але для кутів, менших за \(90^\circ\) (а у випадку заломлення світлових промені йдеться саме про такі кути) синус кута збільшується разом зі значенням кута, тобто: $$ \sin x\gt \sin y\rightarrow x\gt y. $$

Із таблиці можна дізнатися, що $$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Для порівняння \(\sqrt{3}/2\) і \(2/3\) їх потрібно звести до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{6};\\[6pt] \frac 23=\frac 46. \end{gather*}

Тепер залишається порівняти чисельники цих дробів.\(\sqrt{3}\) – ірраціональне число, тому його значення треба оцінити.

Якщо \(3\sqrt{3}\gt 4\), то \(\sqrt{3}\gt 4/3\), тобто \(\sqrt{3}\gt 1,(3)\). Для того, щоби перевірити це, потрібно вибрати число, що однозначно більше за \(1,(3)\), наприклад, \(1,5\). \begin{gather*} \sqrt{2,25}=1,5;\\[7pt] 1,5\gt 1,(3)\rightarrow \sqrt{2,25}\gt 1,(3). \end{gather*}

Відомо, що \(\sqrt{2,25}\lt\sqrt{3}\), тому $$ \sqrt{3}\gt\frac 43\rightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}\gt\frac 23\rightarrow 60^\circ\gt \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0. $$

Оскільки кут падіння променю на другу поверхню призми більший, ніж кут повного внутрішнього відбивання, то заломлення не відбудеться, і промінь відбиватиметься від другої поверхні призми (рис. 2).

Рис. 2. Повне внутрішнє відбивання променю світла

Кут падіння завжди дорівнює куту відбивання і в цьому разі становить \(60^\circ\). Тепер треба визначити кут, під яким відбитий промінь потрапляє на нижню поверхню призми. Для цього потрібно розглянути трикутник, який відбитий промінь відсікає у призмі (рис. 3). Кут, який відбитий промінь утворює з боковою поверхнею призми, дорівнює \(90^\circ – 60^\circ = 30^\circ\). Кут при основі призми відомий за умовою задачі – \(60^\circ\).

Рис. 3. Визначення кута падіння на нижню поверхню призми

Тоді кут, під яким відбитий промінь падає на нижню поверхню, дорівнює: \(180^\circ –30^\circ – 60^\circ = 90^\circ\). Промінь, що падає на поверхню розділу під прямим кутом, не заломлюється (як це було доведено на початку розв’язку), тому промінь вийде, не змінюючи свого напрямку.

Тому кут відхилення від початкового ходу \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\delta}\) можна визначити з геометричних міркувань (рис. 4).

Рис. 4. Визначення відхилення променю від початкового напрямку

На рисунку кут падіння на другу поверхню призми, рівний до нього кут відбивання від цієї поверхні й шуканий кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\delta}\) утворюють розгорнутий кут, тому $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\delta}=180^\circ -2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=180^\circ -2\cdot 60^\circ=60^\circ. $$

Відповідь: 1. 200. 2. 60.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати розрахункові задачі про рух тіла під дією кількох сил.

Дано:
\(m_1=2\ \text{кг}\)
\(m_2=3\ \text{кг}\)
\(m_3=5\ \text{кг}\)
\(T_{max}=10\ \text{Н}\)

Знайти:
\(F_{max}\ (\text{Н})\ -\ ?\)

У такій конструкції всі три бруски рухатимуться як єдине ціле з однаковим прискоренням і масою \(M\).

Рис. 1. Схематичне зображення дії сил на бруски як ціле

Для них можна записати 2 закон Ньютона:

Уздовж вертикальної осі бруски не рухаються, тому рівнодійна в цьому напрямку дорівнює 0. Спроєктувавши сили на цей напрямок, можна отримати вираз \begin{gather*} 0+N-F_{\text{тяж}}=0;\\[7pt] N=F_{\text{тяж}}. \end{gather*}

Спроєктувавши другий закон Ньютона на горизонтальний напрямок, можна дійти висновку, що $$ F_{max}+0+0=Ma_{max}. $$

Тож $$ F_{max}=(m_1+m_2+m_3)a_{max}. $$

Обмеження на максимальну силу, а отже й максимальне прискорення, створене міцністю ниток, якими зв’язано бруски.

Цю систему потрібно розглянути як два бруски масою \(m_3\) й \(m_1+m_2\) відповідно (рис. 2).

Рис. 2. Схематичне зображення сил, що діють на брусок 3

На брусок 3 діють усі зазначені вище сили й сила натягу нитки. Рухається цей брусок із тим самим прискоренням, яке використано в попередніх розрахунках. Тому можна записати рівнодійну сил, що діють на цей брусок:

Уздовж вертикальної осі брусок 3 не рухається, тому можна зробити той самий висновок, що й у попередніх розрахунках: $$ N_3=F_{3\ \text{тяж}}. $$

Проєкція другого закону Ньютона на горизонтальну вісь матиме вигляд: $$ F_{max}+0+0-T_{3\ \text{max}}=m_3a_{max}. $$

Зважаючи на те, що $$ F_{max}=(m_1+m_2+m_3)a_{max}, $$ можна зробити висновок:

Значення максимальної сили натягу відоме з умови \((10\ \text{Н})\), тому можна виразити максимальне прискорення і знайти максимальну силу:

Відповідь: 20

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати рівняння стану ідеального газу в розрахункових задачах.

Дано:
\(V=5,5\ \text{л}\)
\(p_1=100\ \text{кПа}\)
\(V_{\text{н}}=0,1\ \text{л}\)
\(N=11\)
\(T=const\)

Знайти:
\(p_2\ (\text{кПа})\ -\ ?\)

Якщо вважати повітря ідеальним газом, то тиск, температуру й об’єм повітря пов’язує рівняння стану ідеального газу \begin{gather*} pV=nRT=\frac mM RT, \end{gather*} де \(p\) – тиск, \(V\) – об’єм, \(n\) – кількість речовини, \(R\) – універсальна газова стала, \(T\) – температура, \(m\) – маса газу, \(M\) – молярна маса речовини.

Об’єм м’яча і його температура залишаються незмінними, але змінюються тиск і маса газу всередині: \begin{gather*} p_1V=\frac mM RT;\\[6pt] p_2V=\frac{m+\triangle m}{M}RT. \end{gather*}

Тоді можна визначити відношення кінцевого й початкового тисків: $$ \frac{p_2}{p_1}=\frac{m+\triangle m}{m}=1+\frac{\triangle m}{m}. $$

Масу й об’єм пов’язує густина \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) речовини: $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}V. $$

За 11 циклів накачування всередину потрапило \(NV_{\text{н}}\) літрів повітря, тому: $$ \triangle m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}NV_{\text{н}}. $$

Тоді

Відповідь: 120

ТЕМА: Маса. Густина. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на використання умови плавання тіл.

Дано:
\(d=40\ \text{мм}\)
\(h=30\ \text{мм}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{води}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)

Знайти:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{дерева}}\ \left(\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\right)\ -\ ?\)

За умовою плавання тіл тіло перебуватиме в рівновазі, якщо $$ F_{\text{тяж}}=F_{\text{Арх}}, $$ де \(F_{\text{тяж}}\) – сила тяжіння, \(F_{\text{Арх}}\) – сила Архімеда.

Силу тяжіння визначають за формулою $$ F_{\text{тяж}}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Масу й густину тіла пов’язує формула $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{т}}V, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{т}}\) – густина тіла, \(V\) – об’єм тіла.

Тому силу тяжіння можна записати як $$ F_{\text{тяж}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{т}}Vg, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{т}}\) – густина тіла, \(V\) – його об’єм, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Силу Архімеду визначають за формулою $$ F_{\text{Арх}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{р}}gV, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{р}}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла, що занурено у воду.

Об’єм дошки можна визначити з її геометричних розмірів: $$ V=dS, $$ де \(d\) – товщина дошки, \(S\) – площа поверхні дошки.

Дошка не повністю занурена під воду, а під час розрахунку сили Архімеда треба використовувати об’єм зануреної під воду частини. Цей об’єм можна розрахувати за формулою $$ V'=hS, $$ де \(h\) – висота дошки під водою, \(S\) – площа поверхні дошки.

Тоді умова плавання дошки матиме вигляд:

Відповідь: 750.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. ККД теплового двигуна.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на обчислення коефіцієнта корисної дії теплової машини.

Дано:
\(A = 40\ \text{МДж}\)
\(Q_{\text{х}}=A\)

Знайти:
\(\text{ККД}\ (\text{%})\ -\ ?\)

ККД теплового двигуна визначається за формулою $$ \text{ККД}=\frac{A}{Q_{\text{н}}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(A\) – корисна робота, виконана двигуном, \(Q_{\text{н}}\) – теплота, отримана від нагрівача.

Частина отриманої теплоти \(Q_{\text{н}}\) використовується на виконання роботи, а решта передається холодильнику. У цій задачі холодильником є середовище. Тоді можна обчислити отриману теплоту:

Після цього можна розрахувати ККД такого двигуна:

Відповідь: 50.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Поверхневий натяг.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням сили поверхневого натягу.

Дано:
\(r=5\ \text{см}\)
\(m=1,2\ \text{г}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\sigma}=70\ \text{мН/м}\)

Знайти:
\(F\ (\text{мН})\ -\ ?\)

На кільце на поверхні води діють сили поверхневого натягу, що утримують його на поверхні, і сила тяжіння. Силу тяжіння можна визначити за формулою $$ F_{\text{тяж}}=mg. $$

Окрім того, кільце обмежує на поверхні дві ділянки – усередині й зовні. Тому з обох боків на нього діятимуть сили поверхневого натягу.

Дріт, із якого зроблене кільце, – тонкий, тому можна вважати, що внутрішній радіус дорівнює зовнішньому радіусу кільця. Тож довжина кільця з боку зовнішньої і внутрішньої поверхні буде однаковою: $$ l=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r_{\text{зовн}}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r_{\text{вн}}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r. $$

Тоді сила, що необхідна для того, щоби підняти кільце з поверхні, має подолати силу тяжіння і сили поверхневого натягу із зовнішнього і внутрішнього боку:

Відповідь: 56.