Пояснення

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Період піврозпаду.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону періоду піврозпаду.Основний закон радіоактивного розпаду: $$ N=N_0\cdot 2^{-\frac tT}, $$ де \(N\) ‒ кількість ядер радіонукліда, що залишились у зразку через час \(t;\) \(N_0\) ‒ початкова кількість ядер; \(T\) ‒ період піврозпаду; \(t\) ‒ час розпаду.

Кількість \(N\) молекул речовини дорівнює: $$ N=\frac mM\cdot N_A, $$ де \(m\) ‒ маса молекул, \(M\) ‒ молярна маса речовини, \(N_А\) ‒ стала Авогадро.

Підставмо цей вираз у формулу для періоду піврозпаду: \begin{gather*} \frac mM\cdot N_A=\frac{m_0}{M}\cdot N_A\cdot 2^{-\frac tT},\\[6pt] m=m_0\cdot 2^{-\frac tT}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса молекул, що не розпалися; \(N_0\) ‒ початкова маса зразку.

Визначмо шукану величину \(t:\)

\begin{gather*} 200\ \text{мг}=800\ \text{мг}\cdot 2^{-\frac{t}{10\mathord{,}5\ \text{років}}},\\[6pt] \frac{200}{800}=2^{-\frac{t}{10\mathord{,}5\ \text{років}}},\\[6pt] \frac 14=2^{-\frac{t}{10\mathord{,}5\ \text{років}}},\\[6pt] 2^{-2}=2^{-\frac{t}{10\mathord{,}5\ \text{років}}},\\[6pt] -2=-\frac{t}{10\mathord{,}5\ \text{років}},\\[6pt] t=2\cdot 10\mathord{,}5=21. \end{gather*}

Відповідь: \(21.\)

Пояснення

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Зв’язок між довжиною хвилі, швидкістю її поширення та періодом (частотою).

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння зв᾽язку між довжиною хвилі, швидкістю її поширення та періодом (частотою).

Відстань \(l,\) яку пройде звук, створений камертоном, можна визначити за формулою для прямолінійного рівномірного руху, знаючи час \(t\) і швидкість \(v_\text{зв}\) поширення звуку у повітрі: $$ l=v_\text{зв}\cdot t. $$

Довжину ж хвилі можна визначити за формулою хвилі ‒ це формула взаємозв’язку довжини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda},\) частоти ν та швидкості поширення хвилі:

\begin{gather*} v_\text{зв}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=\frac{v_\text{зв}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}. \end{gather*}

Якщо поділимо відстань, яку пройде звук, на довжину хвилі, то дізнаємося, скільки довжин хвиль укладеться на цій відстані:

Відповідь: \(2040.\)

Пояснення

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Перетворення енергії в коливальному контурі.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння перетворення енергії в коливальному контурі.

У той момент, коли конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля дорівнюватиме нулю \(W_\text{ел}=0,\) сила струму сягне максимального значення \(I_\text{max},\) а повна енергія контуру становитиме:

За законом збереження енергії для ідеального коливального контуру максимальна енергія електричного поля дорівнює максимальній енергії магнітного поля: $$ W_\text{ел max}=W_\text{маг max}=45\ \text{мДж}. $$

Відповідь: \(45.\)

Пояснення

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Внутрішня енергія та способи її зміни.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння, що таке внутрішня енергія газу і які параметри впливають на її зміну.

Запишемо формулу для визначення внутрішньої енергії \(U\) для одноатомного ідеального газу: $$ U=\frac 32\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}Rt, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) ‒ кількість речовини, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(T\) ‒ абсолютна температура газу.

Зміна внутрішньої енергії дорівнюватиме: \begin{gather*} \Delta U=U_2-U_1=\frac 32\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}RT_2-\frac 32\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}RT_1. \end{gather*}

Використавши рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона, матимемо: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}RT=pV, $$ де \(p\) ‒ тиск газу, \(V\) ‒ об’єм газу.

Тоді за незмінного об’єму \((V_1=V_2=V)\) матимемо: \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}RT_1=p_1V,\\[7pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}RT_2=p_2V. \end{gather*}

Підставмо ці вирази у формули для визначення зміни внутрішньої енергії:

Отже, зміна внутрішньої енергії дорівнюватиме добутку зміни тиску і об’єму.

Обчислімо шукану величину:

Відповідь: \(4\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження імпульсу і руху під дією сили тяжіння.

У горизонтальному напрямку на систему осколків зовнішні сили не діють, хоча вертикально на них діє сила тяжіння (тобто система незамкнена). Отже, горизонтальна складова імпульсу не повинна змінюватися. Тому в горизонтальному напрямку виконуватиметься закон збереження імпульсу: $$ \overrightarrow{p}_\text{до розриву}=\overrightarrow{p}_\text{після розриву} $$

Запишемо проєкцію на вісь \(Ox:\)

\begin{gather*} (m_1+m_2)\cdot 0=m_1u_1-m_2u_2,\\[6pt] u_1=\frac{m_2u_2}{m_1}. \end{gather*}

Відстань \(l_1,\) яку пролетить більший осколок від точки пострілу до зіткнення з землею, дорівнюватиме: $$ l_1=u_1t_\text{п}, $$ де \(t_\text{п}\) ‒ час падіння (до речі пригадаємо, що під час руху під дією сили тяжіння час падіння дорівнює часу підйому \(t_\text{п}=t_\text{під}\)).

Визначмо час падіння, скориставшись тим, що з умови можна знайти час підйому. У верхній точці снаряд спочатку зупинився, а потім вже розірвався.

Запишімо рівняння для швидкості \(v\) руху снаряду спочатку у векторній формі, а потім у проєкції на вісь \(Oy:\) \begin{gather*} \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}_0+\overrightarrow{a}t,\\[7pt] 0=v_0-gt_\text{під}, \end{gather*} де \(v_0\) ‒ початкова швидкість снаряду, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Отже, $$ t_\text{п}=t_\text{під}=\frac{v_0}{g}. $$

Підставмо вирази для швидкості і часу у формулу для відстані, яку пролетить перший (більший) осколок (\(m_1=5m, m_2=m\) ‒ відповідно до умови): $$ l_1=u_1t_\text{п}=\frac{m_2u_2}{m_1}\cdot \frac{v_0}{g}. $$

Виконаймо обчислення: $$ l_1=\frac{m\cdot 20\ \text{м/с}\cdot 40\ \text{м/с}}{5m\cdot 10\ \text{м/с}^2}=16\ \text{м}. $$

Відповідь: \(16\).