ТЕМА: Коливання і хвилі. Електромагнітні коливання і хвилі. Вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі.

Завдання скеровано на перевірку знання суті і розуміння закономірностей коливального процесу в коливальному контурі, а також уміння описувати цей процес відповідним рівнянням.

Коливання (зміна значень напруги) у коливальному контурі відбуваються за гармонічним законом (законом косинуса або синуса): \begin{gather*} u=U_{max}\cos\mathbf{\omega}t,\\[7pt] \text{або}\\[7pt] u=U_{max}\sin\mathbf{\omega}t, \end{gather*} де \(u\) – миттєве значення напруги, \(U_{max}\) – амплітудне значення напруги, \(\mathbf{\omega}\) – циклічна частота напруги, \(t\) – час.

В умові не задано амплітудне значення напруги, тож зосередимося на визначенні циклічної частоти \(\mathbf{\omega}:\) $$ \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}, $$ де \(T\) – період коливань.

Період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначають за формулою Томсона: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) – індуктивність котушки, \(C\) – електроємність конденсатора.

Отже, за цих умов єдиним рівнянням, що описує залежність напруги \(u\) в котушці від часу \(t,\) може бути рівняння $$ u=0,5\cos2000t. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння гармонічних коливань, а також уміння правильно їх описувати за допомогою графіків.

За умовою коливання є гармонічними, тож координата \(x\) тіла, що коливається, змінюється з часом \(t\) за законом косинуса (або синуса):

де \(A\) ‒ амплітуда коливань (найбільше зміщення тіла від положення рівноваги), \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань. Ці рівняння називають рівняннями гармонічних коливань.

Крива \(x(t),\) зображена на рисунку \(A,\) ‒ синусоїда; \(\mathbf{\varphi}_0=0\) (оскільки графік проходить через початок координат): $$ x=A\sin\mathbf{\omega}t. $$

Імпульс тіла \(\overrightarrow{p}\) ‒ це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси \(m\) тіла на швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху: $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. $$

Коли координата тіла змінюється за гармонічним законом (за законом косинуса або синуса), швидкість і прискорення руху тіла теж змінюються гармонічно. Швидкість руху тіла ‒ це похідна від зміщення тіла за часом:

Функція залежності модуля імпульсу тіла від часу матиме вигляд $$ p=mv=mA\mathbf{\omega}\cos\mathbf{\omega}t. $$

Графіком такої функції \(p(t)\) буде косинусоїда, тобто на рисунку Б це графік \(2.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Вільні механічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння видів механічних коливань, і вміння розпізнавати їх у конкретних прикладах.

Вільні коливання ‒ це коливання, які відбуваються під дією внутрішніх сил системи після того, як її було виведено з положення рівноваги. Щоб у коливальній системі виникли вільні коливання, необхідне виконання двох умов: 1) системі має бути передано надлишкову енергію; 2) тертя в системі має бути досить малим, інакше коливання швидко затухнуть або навіть не виникнуть. Оскільки під час вільних коливань система не отримує енергію ззовні, то вільні коливання ‒ це завжди згасні коливання.

З усіх наведених ситуацій прикладом вільних коливань є коливання гілочки, з якої щойно злетіла пташка ‒ пташка вивела гілочку із стану рівноваги, один раз штовхнувши її лапками (передала енергію), поступово ці коливання затухнуть унаслідок дії сил пружності і опору повітря.

Коливання занавіски біля прочиненого вікна під дією протягу й коливання буйка під дією хвиль можна вважати вимушеними: на занавіски діє зовнішня сила, що періодично змінюється, ‒ протяг, а буйок піднімається й опускається разом із хвилями на поверхні води. Такі коливання зазвичай незгасні, їхня частота дорівнює частоті зміни зовнішньої сили, що змушує тіло коливатися.

Коливання голки швацької машинки, що працює, ‒ це автоколивання. Ці коливання є незгасними й відбуваються внаслідок здатності системи самостійно регулювати надходження енергії від постійного джерела.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння сил електромагнітної природи.

Магнітне поле діє на провідник зі струмом із певною силою ‒ силою Ампера.

Оскільки електричний струм ‒ це напрямлений рух заряджених частинок, виникнення сили Ампера є результатом дії магнітного поля на окремі заряджені частинки, що рухаються в провіднику. Силу, з якою магнітне поле діє на одну рухому заряджену частинку, називають силою Лоренца. Тобто, на електрон, що влітає в магнітне поле, діятиме сила Лоренца.

Стала Фарадея ‒ фізична стала, заряд електронів кількістю речовини \(1\ \text{моль}\) (але не сила Фарадея).

Сила Кулона ‒ це сила взаємодії між нерухомими точковими зарядами.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Джоуля ‒ Ленца.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону, що визначає кількість теплоти, яка виділяється в провіднику зі струмом і яку він віддає довкіллю ‒ закону Джоуля ‒ Ленца.

Кількість теплоти \(Q,\) яка виділяється в провіднику зі струмом, прямо пропорційна квадрату сили струму \(I,\) опору \(R\) провідника й часу \(t\) проходження струму: $$ Q=I^2Rt. $$

Цією формулою описують закон Джоуля ‒ Ленца. Запишімо його до і після змін параметрів (за умовою \(I_1=I_2,\) \(R_2=2R_1,\) \(t_2=2t_1\)):

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Робота і потужність електричного струму.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння потужності струму й параметрів, від яких вона залежить.

Потужність струму \(P\) ‒ фізична величина, яка чисельно дорівнює роботі струму \(A\) за одиницю часу \(t:\) $$ P=\frac At. $$

Узявши до уваги, що $$ A=UIt, $$ маємо $$ P=UI, $$ де \(U\) ‒ напруга на ділянці кола, на якій визначають потужність струму; \(I\) ‒ сила струму в ділянці.

Фізична величина, що характеризує саме провідник (спіраль електричного нагрівника) ‒ це електричний опір. За допомогою закону Ома для ділянки кола покажемо, як залежить потужність від опору й, відповідно, від параметрів спіралі: \begin{gather*} I=\frac UR,\\[6pt] P=UI=U\cdot \frac UR=\frac{U^2}{R}. \end{gather*}

Опір провідника, який має незмінний поперечний переріз: $$ R=\mathbf{\rho}\frac lS, $$ де \(\mathbf{\rho}\) ‒ питомий опір речовини, з якої виготовлено провідник; \(l\) ‒ довжина провідника; \(S\) ‒ площа поперечного перерізу провідника: $$ P=\frac{U^2}{R}=\frac{U^2\cdot S}{\mathbf{\rho}l}. $$

За умовою напруга в мережі стала, залежністю електричного опору від температури можна знехтувати. Отже, потужність нагрівача буде обернено пропорційна до його довжини: $$ P\sim \frac 1l. $$

Визначімо відношення потужності нагрівача після вкорочення його вдвічі до початкової його потужності: $$ \frac{P_2}{P_1}=\frac{1}{l_2}:\frac{1}{l_1}=\frac{l_1}{l_2}=\frac{l_1}{\frac 12 l_1}=2. $$

Отже, потужність \(P_2\) нагрівника збільшилася вдвічі.

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон Кулона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону Кулона, а також вміння шукати рівнодійну сил.

Закон Кулона: сила \(F\) взаємодії двох нерухомих точкових зарядів \(q_1\) і \(q_2\) прямо пропорційна добутку модулів цих зарядів й обернено пропорційна квадрату відстані \(r\) між ними: $$ F=k\cdot \frac{|q_1|\cdot |q_2|}{r^2}, $$ де \(k\) ‒ коефіцієнт пропорційності.

Сили, з якими взаємодіють точкові заряди, називають силами Кулона. Сили Кулона напрямлені вздовж умовної прямої, яка з’єднує точкові заряди, що взаємодіють.

З боку кульки \(1\) на кульку \(2\) діятиме сила відштовхування \(\overrightarrow{F}_{12}\) (однойменні тіла відштовхуються).

З боку кульки \(3\) на кульку \(2\) діятиме сила притягання \(\overrightarrow{F}_{32}\) (різнойменні тіла притягуються).

Парні сили взаємодії до вже позначених сил не позначено на рисунку, щоб його не захаращувати, але зрозуміло, що кулька \(2\) теж діє з такими ж за модулями, але протилежними за напрямками відповідними силами на кульки \(1\) і \(3.\)

Відповідно до закону Кулона сила, що діє з боку кульки \(1\) буде тією самою за модулем, що й сила з боку кульки \(3,\) оскільки за умовою всі заряди однакові за модулем, а відповідно до рисунку відстані між зарядами \(1‒2\) і \(3‒2\) теж однакові: $$ F_{12}=F_{32}. $$

Тож рівнодійну $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_{12}+\overrightarrow{F}_{32} $$ графічно можна побудувати за правилом паралелограма (див. рисунок). Напрямок рівнодійної \(\overrightarrow{F}\) збігається з напрямком Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Електроємність плоского конденсатора.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння будови конденсатора, а також розуміння зв’язку його технічних характеристик.

Для зарядження конденсатора обидві його обкладки (пластини) з’єднують із полюсами джерела струму: на внутрішніх (унаслідок притягання різнойменних зарядів) поверхнях обкладок накопичуються рівні за модулем, але протилежні за знаком заряди.

За умовою конденсатор зарядили й від’єднали від джерела струму. Це означає, що незмінним залишиться накопичений заряд. Зарядом \(q\) конденсатора називають модуль заряду однієї з його обкладок: $$ q=UC, $$ де \(U\) ‒ напруга між обкладками, \(C\) ‒ електроємність плоского конденсатора.

Електроємність плоского конденсатора обчислюють за формулою $$ C=\frac{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{\varepsilon}_0S}{d}, $$ де \(\mathbf{\varepsilon}_0\) ‒ електрична стала; \(\mathbf{\varepsilon}\) ‒ діелектрична проникність діелектрика, яким заповнюють простір між обкладками конденсатора; \(S\) ‒ площа обкладки конденсатора; \(d\) ‒ відстань між обкладками.

Для однорідного електричного поля між обкладками плоского конденсатора зв’язок між напруженістю \(E\) цього поля і напругою \(U\) на обкладках конденсатора відображено формулою $$ U=Ed. $$

Запишімо тепер формулу для визначення заряду конденсатора:

звідки $$ E=\frac{q}{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{\varepsilon}_0S}. $$

З формули випливає, що напруженість електричного поля всередині конденсатора не залежить від відстані між обкладками (пластинами) конденсатора. А всі інші фізичні величини \((q,\ \mathbf{\varepsilon},\ S),\) які могли би вплинути на зміну напруженості, за умовою залишаються незмінними. Тому за початкової напруженості \(E_0\) в конденсаторі, яка встановилася згідно з умовою, після зміни відстані між обкладками (в умові завдання відстань збільшили вдвічі) напруженість не зміниться і становитиме \(E_0.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці.

Завдання скеровано на перевірку розуміння, за яких умов виконується робота в термодинаміці, від яких фізичних величин вона залежить, а також на вміння читати графіки та брати з них необхідні для розв’язування задачі числові дані.

Повна робота за цикл дорівнює сумі робіт, виконаних під час кожного процесу циклу:

Запишімо формулу для визначення роботи газу в термодинаміці: $$ A=p\Delta V=p(V_2-V_1). $$

З формули бачимо: якщо не буде зміни об’єму, то робота не буде виконана й дорівнюватиме нулю.

Проаналізуймо кожну ділянку графіка.

Ділянка графіка 1‒2: з рівняння Клапейрона

робимо висновок, що збільшуються всі три параметри газу ‒ й абсолютна температура \(T,\) і тиск \(p,\) й об’єм \(V\) (довільний процес). Відповідно до першого закону термодинаміки (\(Q=\Delta U+A\) ‒ кількість теплоти \(Q,\) передана системі, йде на зміну внутрішньої енергії системи \(\Delta U\) й на виконання системою роботи \(A\) проти зовнішніх сил) у нас недостатньо даних із графіка, щоб визначити роботу, яку виконає газ на цій ділянці.

Ділянка графіка 2‒3 – ізохорне охолодження: \(V=const,\) тиск \(p\) зменшується. Отже, відповідно до рівняння Клапейрона для ізохорного процесу, температура \(T\) теж знижуватиметься: $$ \frac pT=\mathrm{const}\Rightarrow \frac{p\downarrow}{T\downarrow}=\mathrm{const}. $$

Отже, під час цього процесу зміни об’єму не було \((\Delta V=0),\) отже, роботу газ не виконував: $$ A_{2-3}=0. $$

Ділянка графіка 3‒1 – ізобарне охолодження: \(p=const.\) Під час цього процесу об’єм \(V\) зменшується (див. рисунок). Відповідно до рівняння Клапейрона для ізобарного процесу температура \(T\) теж буде зменшуватися: $$ \frac VT=\mathrm{const}\Rightarrow \frac{V\downarrow}{T\downarrow}=\mathrm{const}. $$

У цьому процесі можна визначити роботу на ділянці 3‒1:

Значення роботи на цій ділянці від’ємне, оскільки об’єм газу зменшується.

Зважаючи на те, що на ділянці 1‒2 неможливо визначити роботу через нестачу даних, не можна визначити й повну роботу, скористаймося графічним способом розв’язання. Геометричний зміст роботи під час довільного процесу: робота газу чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції під графіком залежності \(p(V).\)

Згідно з її геометричним змістом робота газу в процесі 1–2 чисельно дорівнює площі прямокутної трапеції (добуток є половиною суми основ трапеції і її висоти), основи якої дорівнюють \(p_1\) і \(p_2,\) а висота ‒ \((V_2-V_1 ):\) $$ A_{1-2}=\frac{p_1+p_2}{2}\cdot (V_2-V_1). $$

Об’єм газу збільшується, тому ця робота додатна.

Робота газу в процесі 2–3 дорівнює нулю, оскільки цей процес ізохорний (див. пояснення вище).

Робота газу в процесі 3–1 \((V_3=V_2)\) чисельно дорівнює площі прямокутника зі сторонами \(p_1\) і \((V_2-V_1):\) $$ A_{3-1}=p_1\cdot (V_2-V_1). $$

Об’єм газу зменшується, тому ця робота від’ємна (див. розрахунок вище).

Отже, для визначення роботи за весь цикл потрібно від площі трапеції відняти площу прямокутника. Тобто, як видно з рисунка, робота за цикл чисельно дорівнює площі прямокутного трикутника \(1–2–3\) (половина добутку катетів): $$ A=\frac 12\cdot (p_2-p_1)\cdot (V_2-V_1). $$

Необхідні значення величин знайдімо з графіка:

Відповідь: A.