ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Робота і потужність електричного струму.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння потужності струму й параметрів, від яких вона залежить.

Потужність струму \(P\) ‒ фізична величина, яка чисельно дорівнює роботі струму \(A\) за одиницю часу \(t:\) $$ P=\frac At. $$

Узявши до уваги, що $$ A=UIt, $$ маємо $$ P=UI, $$ де \(U\) ‒ напруга на ділянці кола, на якій визначають потужність струму; \(I\) ‒ сила струму в ділянці.

Фізична величина, що характеризує саме провідник (спіраль електричного нагрівника) ‒ це електричний опір. За допомогою закону Ома для ділянки кола покажемо, як залежить потужність від опору й, відповідно, від параметрів спіралі: \begin{gather*} I=\frac UR,\\[6pt] P=UI=U\cdot \frac UR=\frac{U^2}{R}. \end{gather*}

Опір провідника, який має незмінний поперечний переріз: $$ R=\mathbf{\rho}\frac lS, $$ де \(\mathbf{\rho}\) ‒ питомий опір речовини, з якої виготовлено провідник; \(l\) ‒ довжина провідника; \(S\) ‒ площа поперечного перерізу провідника: $$ P=\frac{U^2}{R}=\frac{U^2\cdot S}{\mathbf{\rho}l}. $$

За умовою напруга в мережі стала, залежністю електричного опору від температури можна знехтувати. Отже, потужність нагрівача буде обернено пропорційна до його довжини: $$ P\sim \frac 1l. $$

Визначімо відношення потужності нагрівача після вкорочення його вдвічі до початкової його потужності: $$ \frac{P_2}{P_1}=\frac{1}{l_2}:\frac{1}{l_1}=\frac{l_1}{l_2}=\frac{l_1}{\frac 12 l_1}=2. $$

Отже, потужність \(P_2\) нагрівника збільшилася вдвічі.

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон Кулона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону Кулона, а також вміння шукати рівнодійну сил.

Закон Кулона: сила \(F\) взаємодії двох нерухомих точкових зарядів \(q_1\) і \(q_2\) прямо пропорційна добутку модулів цих зарядів й обернено пропорційна квадрату відстані \(r\) між ними: $$ F=k\cdot \frac{|q_1|\cdot |q_2|}{r^2}, $$ де \(k\) ‒ коефіцієнт пропорційності.

Сили, з якими взаємодіють точкові заряди, називають силами Кулона. Сили Кулона напрямлені вздовж умовної прямої, яка з’єднує точкові заряди, що взаємодіють.

З боку кульки \(1\) на кульку \(2\) діятиме сила відштовхування \(\overrightarrow{F}_{12}\) (однойменні тіла відштовхуються).

З боку кульки \(3\) на кульку \(2\) діятиме сила притягання \(\overrightarrow{F}_{32}\) (різнойменні тіла притягуються).

Парні сили взаємодії до вже позначених сил не позначено на рисунку, щоб його не захаращувати, але зрозуміло, що кулька \(2\) теж діє з такими ж за модулями, але протилежними за напрямками відповідними силами на кульки \(1\) і \(3.\)

Відповідно до закону Кулона сила, що діє з боку кульки \(1\) буде тією самою за модулем, що й сила з боку кульки \(3,\) оскільки за умовою всі заряди однакові за модулем, а відповідно до рисунку відстані між зарядами \(1‒2\) і \(3‒2\) теж однакові: $$ F_{12}=F_{32}. $$

Тож рівнодійну $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_{12}+\overrightarrow{F}_{32} $$ графічно можна побудувати за правилом паралелограма (див. рисунок). Напрямок рівнодійної \(\overrightarrow{F}\) збігається з напрямком Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Електроємність плоского конденсатора.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння будови конденсатора, а також розуміння зв’язку його технічних характеристик.

Для зарядження конденсатора обидві його обкладки (пластини) з’єднують із полюсами джерела струму: на внутрішніх (унаслідок притягання різнойменних зарядів) поверхнях обкладок накопичуються рівні за модулем, але протилежні за знаком заряди.

За умовою конденсатор зарядили й від’єднали від джерела струму. Це означає, що незмінним залишиться накопичений заряд. Зарядом \(q\) конденсатора називають модуль заряду однієї з його обкладок: $$ q=UC, $$ де \(U\) ‒ напруга між обкладками, \(C\) ‒ електроємність плоского конденсатора.

Електроємність плоского конденсатора обчислюють за формулою $$ C=\frac{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{\varepsilon}_0S}{d}, $$ де \(\mathbf{\varepsilon}_0\) ‒ електрична стала; \(\mathbf{\varepsilon}\) ‒ діелектрична проникність діелектрика, яким заповнюють простір між обкладками конденсатора; \(S\) ‒ площа обкладки конденсатора; \(d\) ‒ відстань між обкладками.

Для однорідного електричного поля між обкладками плоского конденсатора зв’язок між напруженістю \(E\) цього поля і напругою \(U\) на обкладках конденсатора відображено формулою $$ U=Ed. $$

Запишімо тепер формулу для визначення заряду конденсатора:

звідки $$ E=\frac{q}{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{\varepsilon}_0S}. $$

З формули випливає, що напруженість електричного поля всередині конденсатора не залежить від відстані між обкладками (пластинами) конденсатора. А всі інші фізичні величини \((q,\ \mathbf{\varepsilon},\ S),\) які могли би вплинути на зміну напруженості, за умовою залишаються незмінними. Тому за початкової напруженості \(E_0\) в конденсаторі, яка встановилася згідно з умовою, після зміни відстані між обкладками (в умові завдання відстань збільшили вдвічі) напруженість не зміниться і становитиме \(E_0.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці.

Завдання скеровано на перевірку розуміння, за яких умов виконується робота в термодинаміці, від яких фізичних величин вона залежить, а також на вміння читати графіки та брати з них необхідні для розв’язування задачі числові дані.

Повна робота за цикл дорівнює сумі робіт, виконаних під час кожного процесу циклу:

Запишімо формулу для визначення роботи газу в термодинаміці: $$ A=p\Delta V=p(V_2-V_1). $$

З формули бачимо: якщо не буде зміни об’єму, то робота не буде виконана й дорівнюватиме нулю.

Проаналізуймо кожну ділянку графіка.

Ділянка графіка 1‒2: з рівняння Клапейрона

робимо висновок, що збільшуються всі три параметри газу ‒ й абсолютна температура \(T,\) і тиск \(p,\) й об’єм \(V\) (довільний процес). Відповідно до першого закону термодинаміки (\(Q=\Delta U+A\) ‒ кількість теплоти \(Q,\) передана системі, йде на зміну внутрішньої енергії системи \(\Delta U\) й на виконання системою роботи \(A\) проти зовнішніх сил) у нас недостатньо даних із графіка, щоб визначити роботу, яку виконає газ на цій ділянці.

Ділянка графіка 2‒3 – ізохорне охолодження: \(V=const,\) тиск \(p\) зменшується. Отже, відповідно до рівняння Клапейрона для ізохорного процесу, температура \(T\) теж знижуватиметься: $$ \frac pT=\mathrm{const}\Rightarrow \frac{p\downarrow}{T\downarrow}=\mathrm{const}. $$

Отже, під час цього процесу зміни об’єму не було \((\Delta V=0),\) отже, роботу газ не виконував: $$ A_{2-3}=0. $$

Ділянка графіка 3‒1 – ізобарне охолодження: \(p=const.\) Під час цього процесу об’єм \(V\) зменшується (див. рисунок). Відповідно до рівняння Клапейрона для ізобарного процесу температура \(T\) теж буде зменшуватися: $$ \frac VT=\mathrm{const}\Rightarrow \frac{V\downarrow}{T\downarrow}=\mathrm{const}. $$

У цьому процесі можна визначити роботу на ділянці 3‒1:

Значення роботи на цій ділянці від’ємне, оскільки об’єм газу зменшується.

Зважаючи на те, що на ділянці 1‒2 неможливо визначити роботу через нестачу даних, не можна визначити й повну роботу, скористаймося графічним способом розв’язання. Геометричний зміст роботи під час довільного процесу: робота газу чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції під графіком залежності \(p(V).\)

Згідно з її геометричним змістом робота газу в процесі 1–2 чисельно дорівнює площі прямокутної трапеції (добуток є половиною суми основ трапеції і її висоти), основи якої дорівнюють \(p_1\) і \(p_2,\) а висота ‒ \((V_2-V_1 ):\) $$ A_{1-2}=\frac{p_1+p_2}{2}\cdot (V_2-V_1). $$

Об’єм газу збільшується, тому ця робота додатна.

Робота газу в процесі 2–3 дорівнює нулю, оскільки цей процес ізохорний (див. пояснення вище).

Робота газу в процесі 3–1 \((V_3=V_2)\) чисельно дорівнює площі прямокутника зі сторонами \(p_1\) і \((V_2-V_1):\) $$ A_{3-1}=p_1\cdot (V_2-V_1). $$

Об’єм газу зменшується, тому ця робота від’ємна (див. розрахунок вище).

Отже, для визначення роботи за весь цикл потрібно від площі трапеції відняти площу прямокутника. Тобто, як видно з рисунка, робота за цикл чисельно дорівнює площі прямокутного трикутника \(1–2–3\) (половина добутку катетів): $$ A=\frac 12\cdot (p_2-p_1)\cdot (V_2-V_1). $$

Необхідні значення величин знайдімо з графіка:

Відповідь: A.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Температура та її вимірювання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття теплової рівноваги.

Досліди показують: коли більш нагріте тіло контактує з менш нагрітим, то більш нагріте тіло завжди охолоджується, а менш нагріте ‒ нагрівається. До того ж можуть змінюватися й інші властивості тіл: вони стають більшими або меншими за розмірами, можуть перейти в інший агрегатний стан, почати краще чи гірше проводити електричний струм, можуть почати випромінювати світло іншого кольору тощо. Натомість однаково нагріті тіла, контактуючи одне з одним, не змінюють своїх властивостей, і тоді кажуть, що ці тіла перебувають у стані теплової рівноваги.

Отже, стан теплової рівноваги ‒ це такий стан макроскопічної системи, коли всі макроскопічні параметри системи залишаються незмінними як завгодно довго.

Відповідь: Б.

Тема: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу. Концентрація молекул газу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття концентрації молекул газу й уміння аналізувати різні практичні ситуації, пов’язані з концентрацією газу.

Концентрація \(n\) молекул газу ‒ це фізична величина, яка дорівнює кількості \(N\) молекул в одиниці об’єму \(V\) газу: $$ n=\frac NV. $$

Отже, якщо не змінюватимуться кількість молекул й об’єм, у якому ці молекули містяться, то концентрація залишиться тією самою. Проаналізуймо наведені ситуації.

Коли людина набирає повітря в легені, то об’єм легень збільшується, і кількість молекул повітря також збільшується. Тобто концентрація молекул у цьому разі змінюватиметься.

Об’єм пробитої шини, можливо, і не буде зменшуватися, а кількість молекул повітря, яке заповнювало шину, зменшуватиметься. Тому концентрація молекул у цій ситуації змінюватиметься.

Насиченою називають пару, яка перебуває в стані динамічної рівноваги зі своєю рідиною. Динамічна рівновага встановлюється між процесами конденсації і випаровування ‒ кількість молекул, які повертаються в рідину, дорівнюватиме кількості молекул, які за той самий час залишають рідину. Це можливо в закритій посудині, тобто об’єм пари між поверхнею рідини й кришкою посудини, залишатиметься сталим. Концентрація молекул насиченої пари ‒ найбільша можлива концентрація молекул пари за даної температури. Якщо ж насичену пару охолоджувати, то кількість молекул, що вилітатимуть з поверхні рідини, зменшуватиметься, а значить, концентрація вже ненасиченої пари теж стане меншою.

Говорячи про закритий балон, розуміємо, що об’єм, який займає кисень, залишається незмінним. Оскільки балон не відкривають, то кількість молекул кисню в ньому теж не змінюється, а отже, концентрація молекул не може змінитися. У результаті остигання кисню зменшиться швидкість руху молекул і, відповідно, тиск кисню в балоні.

Відповідь: Г.

Тема: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплової машини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття коефіцієнта корисної дії.

З одного боку коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) теплової машини − фізична величина, яка характеризує економічність теплової машини й дорівнює відношенню роботи \(A,\) що виконує машина за цикл (корисної роботи), до кількості теплоти \(Q,\) одержуваної від нагрівача: $$ \mathbf{\eta}=\frac AQ\cdot 100\ \text{%}. $$

З іншого боку коефіцієнт корисної дії ідеальної теплової машини $$ \mathbf{\eta}=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(T_\text{Н}\) − температура нагрівача; \(T_\text{Х}\) − температура холодильника.

Прирівняймо ці два вирази для коефіцієнта корисної дії: \begin{gather*} \frac AQ\cdot 100\ \text{%}=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}}\cdot 100\ \text{%},\\[6pt] \frac AQ=1-\frac{T_\text{Х}}{T_\text{Н}}. \end{gather*}

Визначімо із цієї рівності температуру нагрівника: $$ T_\text{Н}=\frac{T_\text{Х}}{1-\frac AQ}. $$

Візьмемо до уваги, що \(A\) ‒ це корисна робота, яка дорівнюватиме різниці кількості теплоти, отриманої від нагрівника, і кількості теплоти, яка була передана холодильнику:

Тепер можна обчислити температуру нагрівача:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття механічної роботи.

Механічна робота (робота сили) \(A\) ‒ це фізична величина, якою характеризують зміну механічного стану тіла. Механічна робота дорівнює добутку модуля сили \(F,\) модуля переміщення \(s\) і косинуса кута \(\mathbf{\alpha}\) між вектором сили й вектором переміщення: $$ A=Fs\cos\mathbf{\alpha}. $$

Сила тяжіння діє на літак і напрямлена вертикально вниз. Але переміщення літака по вертикалі немає. За умовою літак рухається горизонтально. Отже, кут між вектором сили тяжіння і вектором переміщення дорівнює \(90^\circ.\) Косинус кута \(90^\circ\) дорівнює нулю (див. рисунок). Відповідно робота сили тяжіння дорівнюватиме нулю, сила тяжіння не виконує роботу.

Відповідь: Б.

Тема: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку розуміння другого закону Ньютона й уміння читати кінематичні рівняння.

Відповідно до другого закону Ньютона тіло масою \(m\) унаслідок дії сили набуває прискорення \(a,\) модуль якого обчислімо за формулою $$ a=\frac Fm, $$ де \(F\) ‒ це модуль рівнодійної всіх сил, що діють на тіло.

Для того щоб визначити модуль рівнодійної всіх сил, які діють на автомобіль, треба масу помножити на модуль прискорення: $$ F=ma. $$

Маса відома з умови. А прискорення визначімо з рівняння руху автомобіля, що наведене в умові.

Запишімо рівняння руху автомобіля в загальному вигляді: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x\) ‒ кінцева координата тіла, \(x_0\) ‒ початкова координата тіла, \(v_0\) ‒ модуль початкової швидкості руху тіла, \(a\) ‒ модуль прискорення руху тіла, \(t\) ‒ час руху тіла.

Значення прискорення ‒ це множник біля \(\frac{t^2}{2}:\) $$ x=1+3t+2t^2=1+3t+\frac{4t^2}{2}, $$ отже, прискорення \(a=4\ \text{м/с}^2.\)

Обчислімо модуль рівнодійної: $$ F=800\ \text{кг}\cdot 4\ \text{м/с}^2=3200\ \text{Н}. $$

Відповідь: Б.