Коментар

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Принципи (постулати) теорії відносності Ейнштейна.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння наслідків постулатів спеціальної теорії відносності, зокрема того, який зв’язок між масою та енергією.

Будь-яке тіло (будь-яка частинка) масою \(m\) несе із собою запас енергії \(E.\)

Дійсно, навіть якщо швидкість руху тіла (частинки) зменшується до нуля \((v=0),\) то тіло все одно має енергію:

\begin{gather*} E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};\\[6pt] E=mc^2. \end{gather*}

За умовою газ унаслідок конвекції отримав ще кількість теплоти \(Q,\) а потім утратив унаслідок теплопровідності кількість теплоти \(0,2Q\) і виконав під час розширення роботу \(0,5Q\) (тобто теж втратив), то загалом ще отримав

$$ \Delta Q=Q-0,2Q-0,5Q=0,3Q. $$

Якщо тіло, навіть не рухаючись, має енергію \(E,\) то його маса $$ m=\frac{E}{c^2}. $$

Отримавши ще енергію \(\Delta Q\) внаслідок перебігу процесів, зазначених в умові завдання, тіло матиме енергію \((\Delta Q+E).\) Його масу можна обчислити так: \begin{gather*} \Delta Q+E=mc^2,\\[7pt] m=\frac{E}{c^2}+\frac{\Delta Q}{c^2},\\[6pt] m=\frac{E}{c^2}+\frac{0,3Q}{c^2}. \end{gather*}

Тобто маса тіла збільшилася на \(\frac{0,3Q}{c^2}.\)

Відповідь: B.

Коментар

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Ядерні реакції.

Завдання скеровано на перевірку вміння складати рівняння ядерних реакцій.

Ядерною реакцією називають взаємодію ядер або елементарних частинок із ядром, яка відбувається з утворенням частинок, відмінних від початкових.

Під час ядерних реакцій, як і під час будь-яких явищ, що відбуваються у Всесвіті, справджуються закони збереження: закон збереження електричного заряду, закон збереження імпульсу, закон збереження енергії-маси.

Запишімо рівняння ядерної реакції відповідно до умови завдання: $$ ^{198}_{\ \ 80}\mathrm{Hg}+^1_0n\rightarrow ^{198}_{\ \ 80}\mathrm{X}+^1_1p. $$

Порядковий номер елемента \(^{198}_{\ \ 80}\mathrm{X}\) у періодичній системі хімічних елементів відповідає кількості протонів у ядрі ‒ зарядовому або протонному числу: $$ \mathrm{Z}=79\ (\text{лівий підрядковий індекс}). $$

Відповідь: B.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки.

Завдання скеровано на перевірку розуміння руху тіла вздовж похилої площини під дією кількох сил.

Зобразімо схематично транспортер у вигляді похилої площини та брусок на ньому, що рухається вгору разом зі стрічкою транспортера зі швидкістю \(\overrightarrow{v}.\) Позначмо вектори сил 1–4.

Сила тяжіння \(m\overrightarrow{g}\ (1)\) із боку Землі завжди напрямлена вертикально вниз (до центра Землі). На рисунку вектор сили тяжіння розташований під тупим кутом до напрямку швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху бруска (Д).

Сила нормальної реакції \(\overrightarrow{N}\ (2)\) стрічки транспортера перпендикулярна до напрямку швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху бруска (Б).

Брусок, рухаючись угору разом зі стрічкою транспортера, не зісковзує вниз завдяки силі третя \(\overrightarrow{F}_\text{тертя}\ (3)\) з боку стрічки транспортера, напрямленій проти зісковзування, тобто вгору вздовж напрямку швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху бруска (А).

Сила опору \(\overrightarrow{F}_\text{опору}\ \text{повітря} (4)\) напрямлена протилежно до напрямку швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху бруска (Г).

Відповідь: 1Д, 2Б, 3А, 4Г.

Коментар

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Фотоефект й експериментально встановлені його закони. Рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

Завдання скеровано на перевірку знання, розуміння і застосування фізичних характеристик, рівняння Ейнштейна для фотоефекту, його законів.

1. Енергія \(E_\text{ф}\) фотона прямо пропорційна частоті \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) електромагнітного випромінювання, квантом якого і є цей фотон. У разі поглинання світла речовиною фотон передає всю енергію частинкам речовини: $$ E_\text{ф}=h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\ (h - \text{стала Планка}). $$

Якщо за умовою частоту світла, яке падає на поверхню металу, збільшили в \(1,5\) раза, то енергія фотона теж збільшиться в \(1,5\) раза (Б): $$ E_{\text{ф}1}=h\cdot 1,5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}=1,5E_\text{ф}. $$

2. Довжину \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) хвилі світла обчислюють за формулою:

Після збільшення частоти світла в \(1,5\) раза довжина хвилі зменшиться в 1,5 раза (А), тому що залежність між величинами обернена:

$$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_1=\frac{c}{1,5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}{1,5} $$

3. Робота виходу \(A_\text{вих}\) ‒ це фізична величина, що характеризує метал і дорівнює енергії, яку треба передати електрону для того, щоб він зміг подолати сили, які утримують його на поверхні металу. Для кожної речовини існує мінімальна частота \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_{min}\) світлової хвилі (червона межа фотоефекту), за якої починається фотоефект: $$ A_\text{вих}=h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_{min}. $$

Якщо ще збільшувати частоту світла, то збільшуватиметься не робота виходу (яка є конкретною для кожного металу), а максимальна початкова швидкість й кінетична енергія фотоелектронів.

Отже, робота виходу електрона з металу не зміниться (Д).

4. Запишімо рівняння Ейнштейна для фотоефекту за початкових умов (до зміни частоти): $$ h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_1=A_\text{вих}+E_{kmax1}, $$ де \(E_{kmax}=eU_\text{з}\).

Тоді рівняння для фотоефекту таке: $$ h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_1=A_\text{вих}+eU_\text{з1}, $$ де \(E_{kmax}\) ‒ максимальна кінетична енергія фотоелектрона, \(eU_\text{з}\) ‒ робота електростатичного поля (\(e\) ‒ модуль заряду електрона, \(U_\text{з}\) ‒ затримувальна (запірна) напруга, з досягненням якої навіть найшвидші електрони не дістануться анода, а отже, фотострум припиниться).

Запишімо рівняння Ейнштейна для фотоефекту, якщо частота світла збільшилася в \(1,5\) раза. Як показав дослід, затримувальна напруга (а отже, й початкова швидкість фотоелектронів) збільшиться внаслідок збільшення частоти світлової хвилі, яка падає на катод: $$ h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_2=A_\text{вих}+eU_\text{з2}. $$

Перевіримо аналітично:
1) чи дійсно затримувальна напруга збільшиться;
2) якщо так, то в скільки разів \(k:\)

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_2=1,5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_1,\\[7pt] U_\text{з2}=kU_\text{з1}. \end{gather*}

Поділимо рівняння одне на одне:

\begin{gather*} \frac{h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_2}{h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_1}=\frac{A_\text{вих}+eU_\text{з2}}{A_\text{вих}+eU_\text{з1}},\\[6pt] 1,5=\frac{A_\text{вих}+ekU_\text{з1}}{A_\text{вих}+eU_\text{з1}},\\[6pt] A_\text{вих}+ekU_\text{з1}=1,5A_\text{вих}+1,5eU_\text{з1},\\[6pt] ekU_\text{з1}-1,5eU_\text{з1}=1,5A_\text{вих}-A_\text{вих},\\[7pt] (k-1,5)eU_\text{з1}=0,5A_\text{вих},\\[6pt] k-1,5=\frac{0,5A_\text{вих}}{eU_\text{з1}},\\[6pt] k=1,5+\frac{0,5A_\text{вих}}{eU_\text{з1}}\gt 1,5. \end{gather*}

Отже, математично ми довели, що \(k\gt 1,5,\) тобто затримувальна напруга збільшиться більш ніж в \(1,5\) раза (Г).

Відповідь: 1Б, 2А, 3Д, 4Г.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Рух тіла під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбіновані завдання ‒ описати коливальний рух за допомогою другого закону Ньютона і закону збереження механічної енергії.

Спочатку скористаймося законом збереження механічної енергії. У момент проходження кулькою положення рівноваги модуль швидкості \(v\) руху кульки масою \(m\) буде максимальним, отже, і кінетична енергія кульки буде максимальною (див. рисунок): $$ E_{kmax}=\frac{mv^2}{2}. $$

А коли кулька підіймається на максимальну висоту \(h\) відносно положення рівноваги, то володіє максимальною потенціальною енергією (\(g\) ‒ прискорення вільного падіння):

\begin{gather*} E_{pmax}=mgh,\\[7pt] E_{kmax}=E_{pmax},\\[6pt] \frac{mv^2}{2}=mgh,\\[6pt] h=\frac{v^2}{2g}. \end{gather*}

Це формула для обчислення шуканої за умовою висоти. Але швидкість руху кульки невідома. Визначмо її, скориставшись другим законом Ньютона: $$ m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}. $$

Тобто на кульку діє сила тяжіння \(m\overrightarrow{g}\)  і сила натягу \(\overrightarrow{T}\) нитки.

Оскільки, гойдаючись на нитці, кулька рухається по дузі кола, то прискорення \(\overrightarrow{a}\) ‒ доцентрове, його модуль $$ a=\frac{v^2}{R}, $$ де \(R=l\) ‒ радіус обертання дорівнює довжині нитки.

Знайдемо проєкції векторів усіх величин другого закону Ньютона на вісь \(Ox\) і підставимо вираз для доцентрового прискорення:

\begin{gather*} ma=-mg+T,\\[6pt] m\frac{v^2}{l}=-mg+T. \end{gather*}

Виразимо звідси модуль швидкості руху \(v\) й обчислимо його:

Підставимо це значення швидкості руху кульки у формулу для обчислення максимальної висоти її підйому:

Відповідь: 0,25.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння застосувати закон Архімеда.

Скористаймося законом Архімеда. На тіло, занурене в рідину або газ, діє виштовхувальна сила \(F_A,\) яка дорівнює вазі (\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{рід}\) \(g\) ‒ добуток густини рідини або газу та прискорення вільного падіння) рідини або газу в об’ємі \(V_\text{зан}\) зануреної частини тіла: $$ F_A=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{рід}gV_\text{зан}. $$

Обчислимо значення сили Архімеда:

Відповідь: 20.

Коментар

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння першого закону термодинаміки стосовно ізобарного процесу.

У ході ізобарного процесу виконується робота \(A\) і змінюється внутрішня енергія \(\Delta U\) газу, тому рівняння першого закону термодинаміки має вигляд $$ Q=\Delta U+A. $$

Під час ізобарного процесу передана газу кількість теплоти \(Q\) витрачається і на збільшення внутрішньої енергії газу, і на виконання механічної роботи. Якщо газ ідеальний одноатомний, то робота газу $$ A=p\Delta V, $$ де \(p\) ‒ тиск, \(\Delta V\) ‒ зміна об’єму,
а зміна його внутрішньої енергії $$ \Delta U=\frac 32p\Delta V. $$

Кількість теплоти, передана газу, така:

Або $$ Q=\frac{5\ m}{2\ M}R\Delta T=\frac 52 \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}R\Delta T, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) ‒ кількість речовини, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(\Delta T\) ‒ зміна температури.

Виразімо з формули й обчислімо кількість речовини:

Відповідь: 6.

Коментар

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для ділянки кола.

Завдання скеровано на перевірку знання закону Ома для ділянки кола й параметрів, від яких залежить електричний опір.

Електричний опір \(R\) провідника визначають за формулою: $$ R=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\frac ls, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – питомий опір, \(l\) – довжина провідника, \(s\) – площа поперечного перерізу провідника.

Якщо не замінювати дріт, а брати лише його частину, то у формулі зміниться лише значення довжини дроту, а питомий опір і площа поперечного перерізу залишаться ті самі. Тобто опір провідника прямо пропорційний його довжині: $$ R\sim l. $$

Отже, можна скласти пропорцію. Якщо дріт довжиною \(1,2\ \text{м}\) має опір \(10\ \text{Ом},\) то ділянка цього дроту довжиною \(24\ \text{см}\) \((0,24\ \text{м})\) матиме опір \(R_x:\)

\begin{gather*} 1,2\ \text{м}-10\ \text{Ом}\\[7pt] 0,24\ \text{м}-R_x\ \text{Ом}. \end{gather*}

Обчислимо опір ділянки дроту довжиною \(0,24\ \text{м}:\) $$ R_x=\frac{0,24\ \text{м}\cdot 10\ \text{Ом}}{1,2\ \text{м}}=2\ \text{Ом}. $$

За законом Ома для ділянки кола можна визначити силу струму в дроті, якщо за умовою вольтметр показує напругу \(1\ \text{В}\) на ділянці дроту довжиною \(0,24\ \text{м}:\)

\begin{gather*} I=\frac{U}{R_x},\\[6pt] I=\frac{1\ \text{В}}{2\ \text{Ом}}=0,5\ \text{А}. \end{gather*}

Відповідь: 0,5.

Коментар

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати зображення в збиральній лінзі й уміння застосовувати формулу тонкої лінзи.

Побудуємо відповідно до умови завдання зображення, що дає збиральна лінза.

Побудувавши, отримуємо два рівні прямокутні трикутники – за катетом і гострим кутом: гострі кути рівні як вертикальні, катети рівні за умовою – предмет і його зображення однакового розміру.

Зваживши на це, запишімо формулу тонкої лінзи: $$ \frac 1F=\frac 1d+\frac 1f, $$ де \(F\) – фокусна відстань лінзи, \(d\) – відстань від предмета до лінзи, \(f\) – відстань від лінзи до зображення предмета.

З рівності трикутників випливає, що \(f=d,\) тоді $$ \frac 1F=\frac 1d+\frac 1f=\frac 1d+\frac 1d=\frac 2d. $$

Обчислімо фокусну відстань лінзи:

\begin{gather*} F=\frac d2,\\[6pt] F=\frac{40\ \text{см}}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 20.