Пояснення

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння гармонічних коливань і їхніх характеристик, а також вміння визначати їх.

Коливання, під час яких координата \(y\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), називають гармонічними коливаннями:

де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань.

Тоді рівняння гармонічних коливань маятника автомобіля матиме загальний вигляд: $$ y=y_\text{max}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega} t. $$

Робимо висновок, що іграшковий автомобіль рухається прямолінійно рівномірно вздовж осі \(Ox\) (див.  рисунок). Тоді для визначення проєкції швидкості \(v_x\) руху цього автомобіля скористаймося формулою $$ v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}, $$ де \(\Delta x\) ‒ відстань, яку пройде автомобіль за час \(\Delta t.\)

Період коливань \(T\) ‒ це час \(\Delta t,\) за який хвиля поширюється на відстань \(\Delta x,\) що називають довжиною цієї хвилі; або довжина хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) ‒ це відстань між двома найближчими точками, які коливаються синхронно.

З графіка візьмемо дві синхронні точки по осі \(Ox\) ‒ \(0\ \text{см}\) і \(20\ \text{см},\) тоді

Для математичного (нитяного) маятника період коливань \(T\) можна визначити за формулою $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac lg}, $$ де \(l\) ‒ довжина маятника, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Обчислімо швидкість руху автомобіля: $$ v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0\mathord{,}2\ \text{м}}{0\mathord{,}628\ \text{с}}\approx 0\mathord{,}32\ \text{м/с}. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}32.\)

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Закон електромагнітної індукції.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону електромагнітної індукції.

Скористаймося законом електромагнітної індукції: електрорушійна сила індукції \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_i\) дорівнює швидкості зміни магнітного потоку \(\frac{\Delta Ф}{\Delta t},\) який пронизує поверхню, обмежену контуром: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_i=\frac{\Delta Ф}{\Delta t}. $$

Знак мінус відображає правило Ленца: індукційний струм, який виникає в замкненому провідному контурі, має такий напрямок, що створений цим струмом магнітний потік перешкоджає зміні магнітного потоку, який спричинив появу індукційного струму.

Відповідно до рисунка, за \(30\ \text{мс}\) магнітний потік змінився від \(60\ \text{мВб}\) до \(180\ \text{мВб}.\) Обчислімо модуль електрорушійної сили, що індукується в контурі: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_i= \frac{(180-60)\cdot 10^{-3}\ \text{Вб}}{30\cdot 10^{-3}\ \text{с}}=4\ \text{В}. $$

Відповідь: \(4.\)

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для ділянки кола. Послідовне та паралельне з᾽єднання провідників.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння паралельного і послідовного з’єднання провідників, а також уміння застосовувати закон Ома для ділянки кола й формули, що описують ці з’єднання.

Визначмо напругу \(U_3\) на резисторі \(3\) за законом Ома для ділянки кола: \begin{gather*} U_3=I_3R_3,\\[7pt] U_3=20\cdot 10^{-3}\ \text{А}\cdot 30\ \text{Ом}=0\mathord{,}6\ \text{В}. \end{gather*}

Це і є напруга на клемах джерела струму, оскільки за паралельного з’єднання на обидві вітки електричного кола ‒ там, де резистори \(1, 2, 4,\) і на вітку, де резистор \(3,\) ‒ буде подано однакову напругу від джерела струму: \begin{gather*} U=U_3=U_{124}. \end{gather*}

Розгляньмо тепер з’єднання резисторів \(1, 2\) й \(4.\) Резистори \(1\) і \(2\) з’єднано між собою паралельно, а резистор \(4\) приєднано до них послідовно. Визначивши загальний опір цієї ділянки кола, зможемо обчислити силу струму, який проходить через цю вітку кола:

Це й буде сила струму \(I_4=I_{124},\) що проходитиме крізь резистор \(4,\) оскільки його послідовно з’єднано з резисторами \(1\) і \(2\) (сила струму \(I_{124}=0\mathord{,}01\ \text{А}\) між якими пропорційно поділиться).

Отже, знаючи з умови опір резистора \(4,\) і визначивши силу струму в ньому, можемо обчислити напругу на цьому резисторі:

\begin{gather*} U_4=I_4R_4,\\[7pt] U_4=0\mathord{,}01\ \text{А}\cdot 40\ \text{Ом}=0\mathord{,}4\ \text{В}. \end{gather*}

Відповідь: \(0\mathord{,}4.\)

Пояснення

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу. Ізопроцеси в газах. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння ізопроцесів і вміння визначати роботу газу.

Проаналізуймо кожен процес циклу.

Процес \(1\rightarrow 2\) ‒ це процес ізобарного нагрівання (тиск \(p=\mathrm{const},\) абсолютна температура ідеального газу підвищується \(T_2\gt T_1,\) відповідно об᾽єм збільшується \(V_2\gt V_1\)). Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона: $$ (p\Delta V)_{1-2}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}R(T_2-T_1), $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) ‒ кількість речовини, \(R\) ‒ універсальна газова стала.

Робота \(A_{1-2}\) газу внаслідок цього ізобарного розширення дорівнюватиме добутку тиску \(p\) й зміни об’єму \(\Delta V:\)

\begin{gather*} A_{1-2}=(p\Delta V)_{1-2},\\[7pt] \text{або}\ \ A_{1-2}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}R(T_2-T_1). \end{gather*}

Оскільки \(T_1=T,\) а \(T_2=3T\) (де \(T\) ‒ одиничний відрізок ‒ дивись рисунок), то:

Процес \(2\rightarrow 3\) ‒ це ізотермічний процес \((T=\mathrm{const}).\) Відповідно до рівняння Клапейрона \begin{gather*} p_2V_2=p_3V_3,\\[7pt] p_3\lt p_2\Rightarrow V_3\gt V_2. \end{gather*} Це процес ізотермічного розширення.

Процес \(3\rightarrow 4\) ‒ це процес ізобарного охолодження (тиск \(p=\mathrm{const},\) абсолютна температура ідеального газу спадає \(T_4\lt T_3,\) відповідно об’єм теж зменшується \(V_4\lt V_3\)). Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона: $$ (p\Delta V)_{3-4}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}R(T_4-T_3). $$

Робота \(A_{3-4}\) газу внаслідок цього ізобарного стиснення також дорівнюватиме добутку тиску \(p\) і зміни об’єму \(\Delta V:\)

\begin{gather*} A_{3-4}=-(p\Delta V)_{3-4},\\[7pt] \text{або}\ \ A_{3-4}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}R(T_4-T_3). \end{gather*}

Оскільки \(T_3=3T,\) а \(T_4=T\) (де \(T\) ‒ одиничний відрізок ‒ див. рисунок), то:

Робота \(A_{3-4}\) є від’ємною, оскільки

Процес \(4\rightarrow 1\) ‒ це ізотермічний процес \((T=\mathrm{const}).\) Відповідно до рівняння Клапейрона

\begin{gather*} p_4V_4=p_1V_1,\\[7pt] p_1\gt p_4\Rightarrow V_1\lt V_4. \end{gather*}

Це процес ізотермічного стиснення.

Обчислімо співвідношення абсолютних значень робіт \(A_{1-2}\) й \(A_{3-4}:\)

$$ \frac{A_{1-2}}{A_{3-4}}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}RT}{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}RT}=1. $$

Відповідь: \(1\).

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження імпульсу, реактивного руху.

Застосуємо закон збереження імпульсу до наведеного в завданні прикладу реактивного руху.

Реактивний рух ‒ це рух, що виникає внаслідок відділення з деякою швидкістю від тіла якоїсь його частини.

За умовою завдання відділятиметься ядро від школяра, хоча до цього і школяр, і ядро в нього в руках були в спокої.

Запишімо закон збереження імпульсу у векторній формі: $$ m_1\overrightarrow{v}_1+m_2\overrightarrow{v}_2=m_1\overrightarrow{v'}_1+m_2\overrightarrow{v'}_2, $$ де \(m_1\) і \(m_2\) ‒ маси школяра та ядра відповідно, \(\overrightarrow{v}_1\) і \(\overrightarrow{v}_2\) ‒ швидкості руху школяра та ядра відповідно до поштовху ядра, \(\overrightarrow{v'}_1\) і \(\overrightarrow{v'}_2\) ‒ швидкості руху школяра і ядра відповідно після поштовху ядра.

Тепер запишімо цей закон у проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox:\) $$ 0=-m_1v'_1+m_2v'_2\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

Визначмо швидкість школяра:

Відповідь: \(0\mathord{,}4.\)

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Період і частота.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння періоду обертання і його залежності від певних характеристик руху, а також застосування другого закону Ньютона для визначення його.

На супутник, що рухається коловою орбітою навколо планети, діє лише сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{т}\) ‒ сила, з якою Земля (або інше астрономічне тіло) притягує до себе тіла, що перебувають на її поверхні або поблизу неї.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона (\(\overrightarrow{F}\) ‒ рівнодійна сил, що діють на супутник):

\begin{gather*} \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_\text{т},\\[7pt] F=F_\text{т},\\[7pt] ma_\text{дц}=mg, \end{gather*}

де \(m\) ‒ маса тіла (супутника), \(a_\text{дц}\) ‒ доцентрове прискорення, оскільки рух супутника є рівномірним рухом по колу; \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Масу в рівнянні можна скоротити, а для доцентрового прискорення і прискорення вільного падіння запишімо відповідні формули: $$ a_\text{дц}=\frac{v^2}{R}, $$ (де \(v\) ‒ лінійна швидкість руху тіла по колу, \(R\) ‒ радіус кола). $$ g=G\frac{M}{R^2}, $$ (де \(G\) ‒ гравітаційна стала, \(M\) ‒ маса Землі або іншої планети, \(R\) ‒ радіус Землі або іншої планети).

Як отримуємо формулу для прискорення вільного падіння:

‒ за законом всесвітнього тяжіння $$ F_\text{т}=G\frac{mM}{(R+h)^2}=G\frac{mM}{R^2}, $$ (де \(h\) ‒ висота, на якій перебуває тіло над поверхнею Землі або іншої планети; якщо \(h\lt\lt R,\) то радіус планети і радіус колової орбіти можна прирівняти);

‒ за формулою для сили тяжіння \(F_\text{т}= mg.\)

Прирівняймо праві частини цих формул й отримаємо формулу для прискорення вільного падіння: \begin{gather*} G\frac{mM}{R^2}=mg,\\[6pt] g=G\frac{M}{R^2}. \end{gather*}

Повернімося до другого закону Ньютона:

\begin{gather*} ma_\text{дц}=mg,\\[7pt] a_\text{дц}=g,\\[6pt] \frac{v^2}{R}=G\frac{M}{R^2},\\[6pt] v^2=G\frac MR. \end{gather*}

Лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу визначаємо за періодом обертання і радіусом колової траєкторії. Для рівномірного руху швидкість визначмо як відношення шляху \(l\) до часу \(t:\) $$ v=\frac lt. $$

Дійсно, за час \(t\) одного оберту, тобто період \(T,\) тіло долає відстань \(l,\) що дорівнює довжині кола: $$ l=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R, $$ тоді $$ v=\frac lt=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{T}. $$

Отже,

\begin{gather*} v^2=G\frac MR,\\[6pt] \left(\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{T}\right)^2=G\frac MR,\\[6pt] \frac{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2R^2}{T^2}=G\frac MR. \end{gather*}

Звідси період обертання $$ T=\sqrt{\frac{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2R^3}{GM}}. $$

Визначмо співвідношення періодів обертання штучних супутників планет \(Z\) і Земля, зваживши на те, що за умовою $$ M_Z=2M_3 $$ (відношення мас планет), $$ d_Z=\frac 12 d_3 $$ (відношення діаметрів планет), отже, $$ R_Z=\frac 12R_3. $$

Отже, період обертання супутника навколо планети \(Z\) учетверо менший за період обертання супутника навколо Землі.

Відповідь: \(0\mathord{,}25.\)

Пояснення

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Абсолютний і відносний показники заломлення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння абсолютного показника заломлення середовища.

Фізичну величину, яка характеризує оптичну густину середовища й показує, у скільки разів швидкість поширення світла в середовищі \((v)\) менша, ніж його швидкість \((c)\) у вакуумі, називають абсолютним показником \(n\) заломлення середовища: $$ n=\frac cv. $$

Звідси можемо визначити швидкість поширення світла в середовищі \(v,\) а потім узявши до уваги зв’язок між довжиною хвилі, швидкістю її поширення і періодом (частотою), зможемо обчислити потрібні характеристики світлових хвиль, що поширюються в зазначених в умові завдання середовищах:

Формулу, що зв’язує довжину хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda},\) швидкість \(v\) її поширення і частоту \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu},\) називають формулою хвилі: $$ v=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}. $$

Обчислімо добутки довжини хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) й частоти \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu},\) щоб установити відповідність із середовищем:

Відповідь: 1В, 2Б, 3А, 4Г.

Пояснення

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівнянь гармонічних коливань.

Коливання, під час яких координата \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\chi}\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), називають гармонічними коливаннями:

де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань.

З умови відоме рівняння гармонічних коливань: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\chi}=0\mathord{,}4\cos\left(4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}t+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{3}\right). $$

1. Амплітуда. Множник перед функцією косинуса ‒ це і є амплітудне (максимальне) значення координати \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\chi}\) тіла ‒ \(0\mathord{,}4\ \text{м}\) (Г).

2. Початкова фаза. Це фаза коливань у момент початку відліку часу ‒ це доданок під знаком функції косинуса, який не помножено на час ‒ \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{3}\) (Б).

3. Період. Знаючи з рівняння циклічну частоту \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) коливань, що множиться на час у доданку під знаком функції косинуса, можна визначити період коливань \(T:\) \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{T},\\[6pt] T=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=\frac 12=0\mathord{,}5\ \text{c}\ \text{(А)}. \end{gather*}

4. Циклічна частота. Ми вже взяли з рівняння в умові значення циклічної частоти в попередньому пункті 3 ‒ це множник біля \(t\) ‒ \(4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\frac{1}{c}\) (Д).

Відповідь: 1Г, 2Б, 3А, 4Д.

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Магнітне поле, електромагнітна індукція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати теоретичні знання з електродинаміки для пояснення принципу дії відповідних технічних пристроїв.

1. Лампа розжарювання є прикладом прояву теплової дії струму (Д): унаслідок проходження електричного струму спіраль лампи дуже сильно нагрівається. Узагалі робота всіх електричних нагрівачів ґрунтується на тепловій дії струму: у таких пристроях енергія електричного струму перетворюється на внутрішню енергію нагрівача.

2. В основі принципу дії генератора змінного струму лежить явище електромагнітної індукції (В). Це явище полягає в тому, що внаслідок зміни магнітного потоку, який пронизує провідник, у провіднику виникає електричний струм. У генераторі змінного струму обертається котушка (ротор) у магнітному полі. Завдяки цьому відбувається зміна магнітного потоку, що пронизує котушку, і, як наслідок, виникає змінна електрорушійна сила (ЕРС) і змінний струм. Виникнення електрорушійної сили в провідному контурі, магнітний потік через який змінюється, ‒ це наслідок електромагнітної індукції, практично важливий для генерації електричного струму.

3. Посудину з високою стійкістю до впливів кислот, лугів і розчинників, у якій відбувається електроліз, називають електролітичною ванною (електролізером). Проходження електричного струму крізь розчин або розплав електроліту зумовлює хімічні реакції на поверхні поділу електрод ‒ розчин (розплав електроліту). Отже, хімічна дія струму (Г) проявляється під час його проходження крізь розчин електроліту, який міститься в електролітичній ванні.

4. Принцип дії компаса заснований на взаємодії магнітного поля постійних магнітів (А) компаса з горизонтальною складовою магнітного поля Землі. Обертова магнітна стрілка вільно повертається навколо осі, розташовуючись уздовж силових ліній магнітного поля. Тож стрілка завжди вказує одним кінцем у напрямку ліній магнітної індукції, що йдуть до Південного магнітного полюса (Північного географічного полюса).

Відповідь: 1Д, 2В, 3Г, 4А.