Коментар

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Формула Томсона. Електромагнітні хвилі та швидкість поширення їх. Електродинаміка. Основи електростатики. З’єднання конденсаторів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу роботи коливального контуру.

Радіохвилі ‒ це електромагнітні хвилі, які поширюються зі швидкістю світла \(c.\)

Довжину хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) визначімо за формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}=cT, $$ де \(T\) ‒ період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі. Його можна визначити за формулою Томсона: $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки контуру, \(C\) ‒ електроємність конденсатора контуру.

Отже, довжину хвилі, на яку налаштовано радіоприймач, обчислімо за формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_1=c\cdot 2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC_1}. $$

Після приєднання паралельно до конденсатора ще одного, утричі більшої ємності, загальна електроємність $$ C_2=C_1+3C_1=4C_1, $$ бо за паралельного з’єднання конденсаторів їхні електроємності додають одну до одної.

Тепер радіоприймач буде налаштований на довжину хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_2:\) \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_2=c\cdot 2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{L4C_1}. \end{gather*}

Поділімо ліві і праві частини формул для довжин хвиль:

\begin{gather*} \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_1}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_2}=\frac{c2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC_1}}{c2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{L4C_1}}=\sqrt{\frac 14}=\frac 12,\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_2=2\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_1=2\cdot 4\ \text{м}=8\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: 8.

Коментар

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Закони відбивання світла. Побудова зображень, які дає плоске дзеркало.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів відбивання, правил побудови зображень, які дає плоске дзеркало.

Продовжмо спочатку відбитий промінь з точки \(K\) до точки торкання з горизонтом ‒ точка \(F.\) Утворився \(\Delta KOF.\) Нам треба визначити \(\angle KFO.\)

Визначімо кут, під яким промінь \(DK\) падає на дзеркало. Проведімо промінь \(BK\) паралельно до горизонту \(AF.\) Тоді \(\angle BKC=50^\circ,\) як пара до \(\angle AOC\) ‒ зовнішні односторонні кути двох паралельних прямих \(AO\) i \(BK\) і січної \(CO.\)

Оскільки за умовою промінь \(KD\) падає вертикально, тобто перпендикулярно до горизонту, то \(\angle BKD=90^\circ,\) отже \(\angle CKD=90^\circ-50^\circ=40^\circ.\)

Тепер можемо визначити кут падіння променя на дзеркало ‒ \(\angle DKE\) ‒ це кут між променем \(KD\) і добудованим перпендикуляром \(KE\) до дзеркала.

За законами відбивання кут відбивання променя дорівнюватиме куту падіння: $$ \angle EKF=\angle DKE=90^\circ-40^\circ=50^\circ. $$

Тепер розгляньмо \(\Delta KOF.\)

\(\angle FKO=90^\circ-50^\circ=40^\circ\) ‒ між відбитим променем \(KF\) і площиною дзеркала.

\(\angle KOF=180^\circ-50^\circ=130^\circ\) оскільки \(\angle AOF=180^\circ\) ‒ розгорнутий.

А оскільки сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ,\) то шуканий кут $$ \angle KFO=180^\circ-40^\circ-130^\circ=10^\circ. $$

Відповідь: 10.

Коментар

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Оптична сила лінзи. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння будови ока й уміння застосовувати формулу тонкої лінзи.

Відстанню найкращого зору називають найменшу відстань, на якій око бачить предмет практично не напружуючись. Для людини з нормальним зором відстань найкращого зору становить приблизно \(25\ \text{см}\ (d_0=25\ \text{см}).\) У такої людини фокус оптичної системи ока в ненапруженому стані розташований на сітківці, тобто паралельні промені, що потрапляють в око, після заломлення збираються на сітківці (див. рисунок).

В умові завдання йдеться про далекозору людину. У разі далекозорості фокус оптичної системи ока в ненапруженому стані розташований за сітківкою (див. рисунок) і зображення предметів на сітківці також є нечітким, розмитим. Відстань найкращого зору в цьому разі більша за \(25\ \text{см}\ (d=40\ \text{см}),\) тому, розглядаючи предмет, людина віддаляє його від очей. Далекозорість коригують носінням окулярів зі збиральними лінзами або збиральних контактних лінз.

Запишімо формулу тонкої лінзи для випадку, коли людина читає без окулярів: $$ D_\text{ока}=\frac 1d+\frac 1f, $$ де \(D_\text{ока}\) ‒ оптична сила лінзи ока (кришталика), \(d\) ‒ відстань від кришталика до предмета (до книжки), \(f\) ‒ відстань від кришталика до сітківки ока (до «екрана»).

Якщо окуляри дібрано правильно, людині буде зручно читати, тримаючи книжку на відстані \(d_0\) від очей ‒ на відстані найкращого зору. Окуляри ж дадуть уявне зображення тексту на відстані \(d\) від очей, і це зображення буде предметом для ока. Отже, запишімо формулу тонкої лінзи для системи лінз ‒ лінза ока й лінза окулярів: $$ D_\text{ока}+D_\text{окулярів}=\frac{1}{d_0}+\frac 1f, $$ де \(D_\text{окулярів}\) ‒ оптична сила лінзи окулярів, \(d_0\) ‒ відстань від кришталика до предмета (до книжки), \(f\) ‒ відстань від кришталика до сітківки ока (до «екрана») ‒ вона залишається тією самою, що й для випадку, коли людина читає без окулярів, оскільки ця відстань залежить від внутрішньої будови ока кожної людини.

Визначімо оптичну силу окулярів, розв’язавши систему рівнянь (від другого рівняння віднімемо перше):

Відповідь: 1,5.