ТЕМА: Робота. Потужність. ККД.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з обчислення роботи, потужності й коефіцієнта корисної дії (ККД).

Дано:
\(h=10\ \text{м}\)
\(P=400\ \text{Вт}\)
\(t=5\ \text{хв}\)
\(V=600\ \text{л}\)
\(\mathbf{\rho}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)

1. Знайти:
\(A\ (\text{кДж})\ -\ ?\)

Корисна робота – це робота, необхідна для виконання завдання. У цьому завданні це піднімання води об’ємом \(600\ \text{л}\) на висоту \(10\ \text{м}\). Роботу сили можна обчислити за формулою $$ A=Fs\cos\mathbf{\beta}, $$ де \(F\) – сила, що діє на тіло, \(s\) – переміщення тіла, \(\mathbf{\beta}\) – кут між напрямками векторів сили й переміщення.

Під час піднімання води насос працює проти сили тяжіння, тож найменша сила, яку можна прикласти для підйому води, дорівнює силі тяжіння, що діє на неї. Кут між напрямком дії сили, що піднімає воду, і переміщенням води дорівнює нулю. Тож \begin{gather*} A=F_\text{тяж}s;\\[7pt] F_\text{тяж}=mg;\\[7pt] A=mgh, \end{gather*} де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Маса води пов’язана з її об’ємом і густиною формулою \begin{gather*} m=\mathbf{\rho}V. \end{gather*}

Тоді

2. Знайти:
\(\text{ККД}\ (\text{%})\ -\ ?\)

ККД машини можна визначити за формулою $$ \text{ККД}=\frac{A_\text{кор}}{A_\text{пов}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(A_\text{пов}\) – повна робота.

Повну роботу можна обчислити, якщо врахувати енергію, яку споживає електричний насос. Її можна визначити за такою формулою: \begin{gather*} A_\text{пов}=Pt, \end{gather*} де \(t\) – час роботи двигуна, \(P\) – потужність двигуна.

Тоді

Відповідь: 1. 60. 2. 50.

ТЕМА: Оптика. Електромагнітні хвилі. Кванти світла.

Завдання скеровано на перевірку розуміння зв’язку між характеристиками квантів світла й електромагнітних хвиль.

Дано:
\(\mathbf{\lambda}=0,55\ \text{мкм}\)
\(E_\text{min}=2,16\cdot 10^{-17}\ \text{Дж}\)
\(q=1,6\cdot 10^{-19}\ \text{Кл}\)
\(h=6,6\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\cdot\text{с}\)
\(c=3\cdot 10^8\ \text{м/с}\)

1. Знайти:
\(E\ (\text{еВ})\ -\ ?\)

Енергію фотона можна обчислити за формулою: $$ E=h\mathbf{\nu}, $$ де \(E\) – енергія фотона, \(\mathbf{\nu}\) – частота випромінювання, \(h\) – стала Планка.

Частота пов’язана з довжиною хвилі формулою \begin{gather*} \mathbf{\nu}=\frac{c}{\mathbf{\lambda}}, \end{gather*} де \(c\) – швидкість світла, \(\mathbf{\lambda}\) – довжина хвилі, \(\mathbf{\nu}\) – частота хвилі.

Тоді \begin{gather*} E=h\mathbf{\nu};\\[6pt] E=\frac{hc}{\mathbf{\lambda}};\\[6pt] E=6,6\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\cdot \ \text{с}\ \frac{3\cdot 10^8\ \text{м/с}}{0,55\ \text{мкм}};\\[6pt] E=6,6\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\cdot \ \text{с}\ \frac{3\cdot 10^8\ \text{м/с}}{0,55\cdot 10^{-6}\ \text{м}};\\[6pt] E=36\cdot 10^{-20}\ \text{Дж}. \end{gather*}

Отриманий результат можна перевести в еВ за формулою

2. Знайти:
\(N\ -\ ?\)

Для того, щоб око сприймало світло, на цій довжині хвилі сумарна енергія всіх фотонів, що потрапляють на сітківку, має дорівнювати мінімальній енергії: $$ E_\text{min}=NE. $$

Тоді кількість фотонів можна обчислити за формулою \begin{gather*} N=\frac{E_\text{min}}{E};\\[6pt] N=\frac{2,16\cdot 10^{-17}\ \text{Дж}}{36\cdot 10^{-20}\ \text{Дж}};\\[6pt] N=0,06\cdot 10^3;\\[7pt] N=60. \end{gather*}

Відповідь: 1. 2,25. 2. 60.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі про рух тіла під дією кількох сил.

Дано:
\(m=250\ \text{кг}\)
\(a=0,2\ \text{м/с}^2\)

Знайти:
\(m\ (\text{кг})\ -\ ?\)

На аеростат діють дві сили: сила тяжіння і сила Архімеда. Сила Архімеда не залежить від маси баласту, а силу тяжіння можна визначити за формулою $$ F_\text{тяж}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Тоді можна записати другий закон Ньютона для аеростата: $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_\text{тяж}}+\overrightarrow{F_\text{Арх}} $$

Сила тяжіння спрямована вниз, сила Архімеда – угору, до скидання балансу тіло аеростат опускається, тож прискорення також спрямоване вниз. Тоді векторне рівняння можна спроєктувати на вісь \(OY\): $$ -m_\text{до}a=-m_\text{до}g+F_\text{Арх}. $$

Після скидання баласту проєкція другого закону Ньютона матиме інший вигляд: $$ m_\text{після}a=-m_\text{після}g+F_\text{Арх}. $$

Тоді з рівняння для руху аеростата до скидання баласту можна виразити силу Архімеда: $$ F_\text{Арх}=m_\text{до}g-m_\text{до}a. $$

Тож:

Тоді маса скинутого баласту така:

Відповідь: 10.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Відносна вологість.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі про відносну вологість повітря.

Дано:
\(V=0,5\ \text{м}^3\)
\(\Delta m=6\ \text{г}\)
\(\mathbf{\rho}_\text{н.п.}=20\ \frac{\text{г}}{\text{м}^3}\)

Знайти:
\(\mathbf{\varphi}_\text{до}\ (\text{%})\ -\ ?\)

Маса води в повітрі перестає змінюватися, коли рідина й пара досягають стану динамічної рівноваги – кількість випаруваної рідини дорівнює кількості сконденсованої пари. Тобто маса води в повітрі перестає змінюватися, коли пара стає насиченою.

Масу води в повітрі, якщо пара є насиченою, обчислюють за формулою \begin{gather*} m_\text{після}=\mathbf{\rho}_\text{н.п.}V;\\[6pt] m_\text{після}=20\frac{\text{г}}{\text{м}^3}\cdot 0,5\ \text{м}^3;\\[6pt] m_\text{після}=10\ \text{г}. \end{gather*}

Тоді масу водяної пари в повітрі до випаровування обчислюють за формулою

Тож відносну вологість до випаровування обчислюють за формулою $$ \mathbf{\varphi}=\frac{\mathbf{\rho}_\text{а}}{\mathbf{\rho}_\text{н.п.}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(\mathbf{\varphi}\) – відносна вологість повітря, \(\mathbf{\rho}_\text{н.п.}\) – густина насиченої пари, \(\mathbf{\rho}_\text{а}\) – густина водяної пари в повітрі. $$ \mathbf{\rho}_\text{а}=\frac{m_\text{до}}{V}=\frac{4\ \text{г}}{0,5\ \text{м}^3}=8\ \frac{\text{г}}{\text{м}^3}. $$

Тож

Відповідь: 40.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили. Тиск рідин та газів.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані з використанням сили тиску.

Дано:
\(h=50\ \text{см}\)
\(S=40\ \text{см}^2\)
\(p=6\ 500\ \text{Па}\)

Знайти:
\(A\ (\text{Дж})\ -\ ?\)

Роботу можна визначити за формулою $$ A=Fh\cos\mathbf{\beta}, $$ де \(F\) – сила, що діє на тіло, \(h\) – переміщення тіла, \(\mathbf{\beta}\) – кут між напрямками векторів сили й переміщення.

На поршень діє сила тиску газу, яку можна визначити за формулою $$ F=pS, $$ де \(p\) – тиск, \(S\) – площа поверхні, на яку відбувається тиск.

Напрямок дії сили тиску завжди перпендикулярний до поверхні, що обмежує газ, тому кут між переміщенням поршня і напрямком дії сили тиску дорівнює нулю. Тож \begin{gather*} A=Fh;\\[7pt] A=pSh;\\[7pt] A=6\ 500\ \text{Па}\cdot 40\ \text{см}^2\cdot 50\ \text{см};\\[7pt] A=6\ 500\ \text{Па}\cdot 0,004\ \text{м}^2\cdot 0,5\ \text{м};\\[7pt] A=13\ \text{Дж}. \end{gather*}

Відповідь: 13.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Конденсатори.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципів паралельного і послідовного з’єднання конденсаторів.

Дано:
\(C_1=4\ \text{мкФ}\)
\(C_2=C_3=6\ \text{мкФ}\)
\(U=120\ \text{В}\)

Знайти:
\(E\ (\text{мДж})\ -\ ?\)

Рис. 1. Умова завдання

Енергію конденсатора можна визначити за формулою \begin{gather*} E=\frac{CU^2}{2}, \end{gather*} де \(U\) – напруга на обкладинках конденсатора, а \(C\) – його ємність.

Для визначення енергії системи конденсаторів необхідно визначити її сумарну ємність. Конденсатори 2 та 3 з’єднані паралельно, а до них послідовно підключений конденсатор 1.

Ємність батареї конденсаторів, з’єднаних паралельно, визначають за формулою \begin{gather*} C_{2-3}=C_2+C_3;\\[7pt] C_{2-3}=6\ \text{мкФ}+6\ \text{мкФ};\\[7pt] C_{2-3}=12\ \text{мкФ}. \end{gather*}

Ємність батареї конденсаторів, з’єднаних послідовно, визначають за формулою

Тоді енергію батареї конденсаторів обчислюємо за формулою

\begin{gather*} E=\frac{CU^2}{2};\\[6pt] E=\frac{3\ \text{мкФ}\cdot (120\ \text{В})^2}{2};\\[6pt] E=\frac{3\cdot 10^{-6}\cdot 14\ 400}{2};\\[6pt] E=0,0216\ \text{Дж};\\[7pt] E=21,6\ \text{мДж}. \end{gather*}

Відповідь: 21,6.

ТЕМА: Закони електролізу.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони електролізу для розв’язування розрахункових задач.

Дано:
\(m_0=80,25\ \text{г}\)
\(m=80,73\ \text{г}\)
\(I=1\ \text{А}\)
\(t=25\ \text{хв}\)

Знайти:
\(k\ \left(\frac{\text{мг}}{Кл}\right)\ -\ ?\)

В електролітичній ванні на катодній пластині збирається речовина, що виділилася внаслідок електролізу.

За першим законом електролізу можна визначити масу міді, що виділилася: $$ \Delta m=kIt, $$ де \(m\) – маса речовини, \(I\) – сила струму, \(t\) – час, \(k\) – електрохімічний еквівалент речовини.

Тоді можна визначити електрохімічний еквівалент:

Відповідь: 0,32.

ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині. Перетворення енергії під час гармонічних коливань.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати комбіновані задачі, які передбачають обробку й аналіз результатів експерименту, зображених на рисунку, i використання законів збереження енергії в коливальному процесі.

Знайти:
\(V_\text{max}\ \left(\frac{\text{см}}{\text{с}}\right)\ -\ ?\)

З рисункa 1 можна визначити довжину гумки у двох крайніх положеннях коливання тягарця. У крайніх положеннях тягарець змінює напрямок руху на протилежний, а отже його швидкість \(V\) дорівнює нулю.

\begin{gather*} x_\text{мін}=16\ \text{см};\\[7pt] x_\text{макс}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Рис. 1. Крайні положення тягарця

За цими значеннями можна обчислити амплітуду коливань:

Знаючи амплітуду коливань, можна визначити положення рівноваги – таке положення, у якому опиниться гумка під вагою тягарця, коли коливання повністю припиняться:

Під час коливань у положенні рівноваги швидкість найбільша, отже саме цю швидкість потрібно визначити.

Під час коливань зберігається повна механічна енергія системи \(W\): $$ W=W_k+W_n=const, $$ де \(W_k\) – кінетична енергія, \(W_n\) – потенціальна енергія.

Кінетичну енергію можна визначити за формулою $$ W_k=\frac{mV^2}{2}, $$ де \(m\) – маса тіла.

Оскільки для гумової стрічки виконуваний закон Гука, можна обчислити потенціальну енергію за формулою, якою описують потенціальну енергію розтягнутої пружини: $$ W_n=\frac{k\Delta x^2}{2}, $$ де \(k\) – коефіцієнт жорсткості пружини, а \(\Delta x\) – розтяг пружини (гумової стрічки).

Хоча повна механічна енергія системи зберігається, але значення кінетичної і потенціальної енергії постійно змінюється під час коливань.

У крайніх положеннях швидкість тягарця дорівнює нулю, а отже і його кінетична енергія теж. А от відхилення від положення рівноваги в цих положеннях найбільше, тому потенціальна енергія максимальна.

У положенні рівноваги все навпаки. Швидкість тягарця максимальна, а відхилення дорівнює нулю, отже кінетична енергія приймає найбільше значення, а потенціальна перетворюється на нуль.

Зважаючи на закон збереження енергії і спостереження, описані вище, можна записати таку рівність:

Тоді можна виразити максимальну швидкість: $$ V_{max}=\sqrt{\frac{k\Delta x_{max}^2}{m}}=\sqrt{\frac km}\Delta x_{max}. $$

Відношення \(\frac km\) невідоме, але його можна визначити.

У стані спокою тягарець перебуватиме в положенні рівноваги. Тоді можна записати другий закон Ньютона: $$ mg=F_\text{пр}, $$ де \(F_\text{пр}\) – це сила пружності, що діє на тягарець з боку гумової стрічки. Її можна визначити за формулою $$ F_\text{пр}=k\Delta x_0, $$ де \(\Delta x_0\) – розтяг пружини під вагою тягарця:

\begin{gather*} \Delta x_0=x_\text{рівн}-x_0;\\[7pt] \Delta x_0=18\ \text{см}-13\ \text{см};\\[7pt] \Delta x_0=5\ \text{см}, \end{gather*} де \(x_0\) – це довжина пружини без тягарця.

Тоді \begin{gather*} mg=k\Delta x_0;\\[6pt] \frac km=\frac{g}{\Delta x_0}. \end{gather*}

Після цього можна підставити отримане відношення у вираз для максимальної швидкості:

Відповідь: 28.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Електрорушійна сила.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати графіки тригонометричних залежностей фізичних величин.

Рис. 1. Умова завдання

Знайти:
\(\text{ЕРС}\ (\text{мВ})\ -\ ?\)

Графік, зображений на рисунку 1, – це графік синусоїдальної залежності, тож електрорушійна сила (ЕРС) залежить від часу: $$ \mathbf{\varepsilon}=A\sin\mathbf{\omega}t, $$ де \(A\) – амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) – циклічна частота коливань, \(t\) – момент часу.

Циклічна частота пов’язана з періодом формулою $$ \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}. $$

За графіком можна також визначити амплітуду коливань, яка дорівнює максимальному відхиленню від положення рівноваги: $$ A=0,3\ \text{мВ}, $$ тож $$ \mathbf{\varepsilon}=0,3\sin\frac{2\mathbf{\pi}}{T}t. $$

Тоді можна обчислити ЕРС в момент часу \(t=\frac{T}{12}\):

Відповідь: 0,15.