ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дії магнітного поля на рухому заряджену частинку.

Силу, з якою магнітне поле діє на рухому заряджену частинку, називають силою Лоренца.

Сила Лоренца завжди перпендикулярна до швидкості руху частинки, тому вона не виконує роботу і не змінює кінетичну енергію частинки, ‒ під дією сили Лоренца заряджена частинка рухається рівномірно. Проте траєкторія руху частинки буде різною ‒ залежно від того, під яким кутом частинка влетіла в магнітне поле і чи є магнітне поле однорідним.

За умовою протон влітає в магнітне поле перпендикулярно до ліній магнітної індукції. У цьому разі $$ \mathbf{\alpha}=90^\circ(\overrightarrow{v}\ \perp\ \overrightarrow{B}). $$

Протон рухатиметься рівномірно по колу перпендикулярно до ліній магнітної індукції \(\overrightarrow{B},\) а сила Лоренца \(\overrightarrow{F}_\text{Л}\) надає йому доцентрового прискорення \(\overrightarrow{a}_\text{дц}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Ампера. Електродвигун.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння принципу дії електроприладів.

Силу, з якою магнітне поле діє на провідник зі струмом називають силою Ампера.

На плоский замкнений контур зі струмом, розташований в однорідному магнітному полі, сили Ампера створюють обертальний момент. Обертання рамки зі струмом у магнітному полі використовують в електричних двигунах ‒ пристроях, у яких електрична енергія перетворюється на механічну.

На рисунку зображено модель електричного двигуна.

Реостат ‒ це пристрій зі змінним опором, призначений для регулювання сили струму в електричному колі. Змінюючи довжину провідника в реостаті, можна змінити його опір.

Лампа розжарювання ‒ це тип лампи, у якій світло випромінюється внаслідок нагрівання нитки розжарювання електричним струмом до високої температури.

Електрочайник ‒ це побутовий електричний прилад, призначений для швидкого нагрівання і кип’ятіння води за допомогою електричного нагрівального елемента (спіралі або диска), який розміщено всередині корпусу (теплова дія струму).

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Вимушені механічні коливання. Явище резонансу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння видів механічних коливань і їхніх характеристик.

Коливання ‒ це зміни стану системи біля певної точки рівноваги, які точно або приблизно повторюються із часом. За характером взаємодії з навколишніми тілами й полями розрізняють вільні коливання, вимушені коливання, автоколивання.

Вільні коливання ‒ це коливання, які відбуваються під дією внутрішніх сил системи й виникають після того, як систему виведено зі стану рівноваги. Амплітуда цих коливань із часом зменшується, і через певний інтервал часу, якщо немає надходжень енергії від зовнішнього джерела, коливання припиняються. Такі коливання називають згасними (затухаючими).

Вимушені коливання ‒ це коливання, які відбуваються в системі тільки під дією зовнішнього періодичного впливу. Під час вимушених коливань може виникнути явище резонансу ‒ різке збільшення амплітуди коливань у разі, якщо частота зовнішнього періодичного впливу збігається з власною частотою коливань системи. Амплітуда вимушених коливань визначається інтенсивністю зовнішнього періодичного впливу і з часом не змінюється. Такі коливання називають незгасними (незатухаючими).

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Явище самоіндукції.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння явища самоіндукції.

Відразу після замкнення кола сила струму \(I\) в колі збільшується. Усередині котушки виникає змінне магнітне поле, магнітна індукція \(\overrightarrow{B}\) якого теж збільшується. Змінне магнітне поле створює вихрове електричне поле \(\overrightarrow{E},\) яке в цьому разі протидіятиме струму в котушці (правило Ленца).

Саме тому сила струму в колі котушки (а отже, і в лампі \(2\)) зростатиме не відразу, а поступово. Зрозуміло, що в провідниках, які підводять струм до лампи \(1,\) також виникає вихрове електричне поле, але створена ним ЕРС є незначною.

Явище виникнення вихрового електричного поля в провіднику, у якому тече змінний електричний струм, називають самоіндукцією.

Електрорушійну силу індукції, що створюється в провіднику внаслідок зміни його власного магнітного поля, називають електрорушійною силою самоіндукції.

Отже, під час замикання ключа \(K\) лампа \(2\) загоряється пізніше, ніж лампа \(1,\) тому що в котушці виникає електрорушійна сила самоіндукції, що перешкоджає зростанню струму в ній.

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння побудови зображень предмета в тонкій збиральній лінзі, а також вміння визначати потрібні величини за допомогою формули тонкої лінзи.

Для визначення відстані між лінзою та зображенням предмета скористаймося формулою тонкої лінзи: $$ \frac 1F=\frac 1d+\frac 1f, $$ де \(F\) ‒ фокусна відстань, \(d\) ‒ відстань від предмета до лінзи, \(f\) ‒ відстань від лінзи до зображення предмета.

Фізичну величину, яка характеризує лінзу та є оберненою до фокусної відстані \(F\) лінзи, називають оптичною силою лінзи \(D\) (для збиральної лінзи оптична сила додатна): $$ \frac 1F=D. $$

Запишімо формулу тонкої лінзи в такому вигляді: $$ D=\frac 1d+\frac 1f. $$

За умовою предмет розташовано в подвійному фокусі лінзи, оскільки \begin{gather*} F=\frac 1D=\frac{1}{2\ \text{дптр}}=0\mathord{,}5\ \text{м},\\[6pt] \text{а}\ d=1\ \text{м}=2F, \end{gather*} то зображення предмета буде дійсним, за розмірами дорівнюватиме предмету, перевернуте.

Оскільки зображення предмета дійсне, то відстань \(f\) (від лінзи до зображення) треба брати зі знаком \(+.\)

Визначмо відстань \(f\) між лінзою і зображенням предмета: \begin{gather*} D=\frac 1d+\frac 1f,\\[6pt] 2\ \text{дптр}=\frac{1}{1\ \text{м}}+\frac 1f,\\[6pt] \frac 1f=(2-1)\frac{1}{\text{м}},\\[6pt] f=1\ \text{м}. \end{gather*}

Отже, зображення отримаємо теж в подвійному фокусі лінзи, то $$ f=1\ \text{м}=2F. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівнянь гармонічних коливань.

Коливання, під час яких координата \(\mathbf{\chi}\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), називають гармонічними коливаннями:

де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань.

Коли координата тіла змінюється за гармонічним законом (за законом косинуса або синуса), швидкість і прискорення руху тіла теж змінюються гармонічно: перша похідна координати тіла за часом \(\mathbf{\chi}'(t)\) ‒ це рівняння швидкості руху тіла, а друга похідна координати тіла по часу \(\mathbf{\chi}''(t)\) ‒ це рівняння прискорення руху тіла.

В умові завдання маємо гармонічне рівняння прискорення руху тіла. Підставивши в це рівняння значення часу \(t=\frac 56\ \text{с},\) зможемо визначити прискорення руху тіла в цей момент часу:

Проєкцію сили на вісь \(Ox,\) що діє на тіло масою \(m,\) можна тепер визначити за другим законом Ньютона:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Релятивістський закон додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння коли і як треба застосовувати формули релятивістської і класичної механіки.

Рух тіл зі швидкостями, порівнюваними зі швидкістю світла, розглядають у розділі фізики «Релятивістська механіка» й описують спеціальними формулами.

В умові завдання треба визначити вираз, за яким можна обчислити відстань між електронами через певний час. Тут достатньо скористатися формулою класичної механіки для обчислення відстані під час прямолінійного рівномірного руху: $$ l=vt. $$

Електрони рухаються в протилежних напрямках. Один із них відносно ядра за час \(t\) пролетить відстань: $$ l_1=v_1t=0\mathord{,}8c\cdot t. $$

Другий електрон за час \(t\) пролетить відносно ядра ту саму відстань, однак у протилежному напрямку: $$ l_2=v_2t=0\mathord{,}8c\cdot t. $$

Загальна відстань між ними через час \(t\) становитиме: $$ l=l_1+l_2=0\mathord{,}8ct+0\mathord{,}8ct=1\mathord{,}6ct. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Альфа-, бета- і гамма-випромінювання.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування правил альфа- і бета-розпадів.

Запишімо реакцію розпаду ядра атома Торію \(^{230}_{\ \ 90}\mathrm{Th},\) зваживши, що відбулося чотири \(\mathbf{\alpha}\text{-розпади}\) й один \(\mathbf{\beta}\text{-розпад}\): $$ ^{230}_{\ \ 90}\mathrm{Th}\rightarrow\ ^A_Z\mathrm{X}+4\cdot\ ^4_2\mathrm{He}+1\cdot ^{\ \ \ 0}_{-1}e, $$ де \(^A_Z\mathrm{X}\) ‒ ізотоп шуканого елемента, \(^4_2\mathrm{He}\) ‒ \(\mathbf{\alpha}\text{-частинка},\) \(^{\ \ \ 0}_{-1}e\) ‒ \(\mathbf{\beta}\text{-частинка}.\)

Під час ядерних реакцій, як і під час будь-яких явищ, що відбуваються у Всесвіті, справджуються закони збереження: закон збереження електричного заряду, закон збереження імпульсу, закон збереження енергії-маси.

Пригадаймо також правила зміщення для \(\mathbf{\alpha}-\) і \(\mathbf{\beta}\text{-розпадів}.\)

Під час \(\mathbf{\alpha}\text{-розпаду}\) (випромінення ядра атома Гелію \(^4_2\mathrm{He}\)) кількість нуклонів у ядрі зменшується на \(4,\) протонів ‒ на \(2,\) тому утворюється ядро елемента \(\mathrm{X}_2,\) порядковий номер якого на \(2\) одиниці менший від порядкового номера ядра елемента \(\mathrm{X}_1,\) що розпадається: $$ ^A_Z\mathrm{X}_1\rightarrow\ ^4_2\mathrm{He}+\ ^{A-4}_{Z-2}\mathrm{X}_2. $$

Під час \(\mathbf{\beta}\text{-розпаду}\) (випромінення електрона \(_{-1}^{\ \ \ 0}e\)) кількість нуклонів у ядрі не змінюється, водночас кількість протонів збільшується на \(1,\) тому утворюється ядро елемента \(\mathrm{X}_2,\) порядковий номер якого на одиницю більший за порядковий номер вихідного елемента \(\mathrm{X}_1:\) $$ ^A_Z\mathrm{X}_1\rightarrow\ ^{\ \ \ 0}_{-1}e+\ ^{\ \ \ \ \ A}_{Z+1}\mathrm{X}_2. $$

Тепер відповідно до закону збереження електричного заряду й закону збереження енергії-маси, а також правил зміщення визначімо \(\mathrm{A}\) ‒ нуклонне (масове) й \(\mathrm{Z}\) ‒ протонне (зарядове) числа ізотопа елемента \(\mathrm{X}:\)

Отже, унаслідок такого розпаду ізотопа Торію утворився ізотоп Бісмуту \(^{214}_{\ \ 83}\mathrm{Bi}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Фотоефект й експериментально встановлені його закони.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичних величин, що описують фотоефект.

Фотоефектом називають явище взаємодії світла з речовиною, яке супроводжується випромінюванням (емісією) електронів.

Для кожної речовини існує максимальна довжина світлової хвилі $$ \mathbf{\lambda}_\text{max}=\mathbf{\lambda}_\text{черв} $$ (червона межа фотоефекту), за якої починається фотоефект. Опромінення речовини світловими хвилями, які мають більшу довжину, фотоефекту не викликає.

Максимальна довжина світлової хвилі (мінімальна частота) відповідає мінімальній енергії фотона: якщо $$ h\mathbf{\nu}\lt A_\text{вих}, $$ то електрони не вилітатимуть із речовини. Умова $$ h\mathbf{\nu}_\text{min}=\frac{hc}{\mathbf{\lambda}_\text{max}}=A_\text{вих} $$ визначає червону межу фотоефекту. Це значення найчастіше лежить у червоній частині видимого спектру.

Термін «червона межа» увів А. Столєтов, який усебічно дослідив фотоефект наприкінці XIX ст. Третій закон Столєтова стверджує, що для кожної речовини є деяка мінімальна частота фотонів, нижче якої фотоефект зникає.

Саме червоною межею фотоефекту визначено використання червоного освітлення під час друкування фотографій у першій половині XX ст. і раніше. Червона межа фотоефекту матеріалів того часу лежала в жовтій області видимого світла.

Тому фотопластинки проявляли за червоного освітлення. Згодом почали використовувати матеріали з меншою роботою виходу, червона межа фотоефекту для них перемістилася в інфрачервону область, і проявляли їх у повній темряві.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поступального й обертального руху; а також уміння визначати суму векторів за правилом паралелограма й формулою діагоналі.

Розгляньмо рух кожної точки колеса машини одночасно як рівномірний поступальний рух і рівномірний обертальний рух відносно центра колеса з лінійною швидкістю \(\overrightarrow{v}_\text{об}.\)

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{пост}\) поступального руху збігається з напрямком руху машини \(\overrightarrow{v},\) тому для всіх точок колеса цей напрямок однаковий (на рисунку його позначено векторами зеленого кольору). Для кожної точки колеса поступальна швидкість дорівнює швидкості руху самої машини: $$ \overrightarrow{v}_\text{пост}=\overrightarrow{v}. $$

Поступальна швидкість завжди напрямлена горизонтально вправо, як зображено на рисунку.

А вектор лінійної швидкості обертального руху \(\overrightarrow{v}_\text{об}\) напрямлений по дотичній, побудованій у кожній точці колеса (на рисунку його позначено векторами червоного кольору).

Скористаймося законом додавання швидкостей для визначення швидкості будь-якої точки колеса відносно Землі: $$ \overrightarrow{v}_\text{точки}=\overrightarrow{v}_\text{пост}+\overrightarrow{v}_\text{об} $$

За умовою колесо машини рухається без проковзування, тож швидкість точки \(A,\) що стикається з дорогою, дорівнюватиме нулю: $$ v_A=0\ (\text{відповідь 1}) $$

Отже, швидкість поступального руху дорівнює лінійній швидкості обертального руху за модулем. Дійсно, для точки A швидкості руху \(\overrightarrow{v}_\text{пост}\) і \(\overrightarrow{v}_\text{об}\) лежать на одній прямій, напрямлені в протилежні боки й рівні за модулем, тож сума цих векторів дорівнює нулю. Тобто можемо записати, що $$ v_\text{пост}=v_\text{об}=v, $$ як ми довели на початку розв’язання. Тоді $$ \overrightarrow{v}_\text{точки}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}. $$

Точка Б: як видно з рисунка, вектори швидкостей розміщені під прямим кутом. На цих векторах можна добудувати квадрат, тобто скористатися правилом паралелограма. І тоді діагональ квадрата це сума векторів за цим правилом. Скористаймося теоремою Піфагора:

Точка Г: вектори лежать на одній прямій і напрямлені в один бік:

Для точок В й Д скористаймося і правилом паралелограма, і формулою визначення довжини діагоналі \(d\) паралелограма:

$$ d=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\mathbf{\alpha}} $$ (\(a\) та \(b\) ‒ сторони паралелограма; \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут між сторонами \(a\) та \(b\) паралелограма).

(кут між векторами визначмо з рисунка за побудовою; \(\cos⁡(90^\circ-\mathbf{\alpha})=\sin\mathbf{\alpha}\) ‒ за формулами зведення).

Підставімо відповідно до умови значення кута й визначмо швидкість точки В:

Точка Д:

Відповідь: 1А, 2Д, 3Б, 4В.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Магнітне поле, електромагнітна індукція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати теоретичні знання з електродинаміки для пояснення принципу дії відповідних технічних пристроїв.

1. Лампа розжарювання є прикладом прояву теплової дії струму (Д): унаслідок проходження електричного струму спіраль лампи дуже сильно нагрівається. Узагалі робота всіх електричних нагрівачів ґрунтується на тепловій дії струму: у таких пристроях енергія електричного струму перетворюється на внутрішню енергію нагрівача.

2. В основі принципу дії генератора змінного струму лежить явище електромагнітної індукції (В). Це явище полягає в тому, що внаслідок зміни магнітного потоку, який пронизує провідник, у провіднику виникає електричний струм. У генераторі змінного струму обертається котушка (ротор) у магнітному полі. Завдяки цьому відбувається зміна магнітного потоку, що пронизує котушку, і, як наслідок, виникає змінна електрорушійна сила (ЕРС) і змінний струм. Виникнення електрорушійної сили в провідному контурі, магнітний потік через який змінюється, ‒ це наслідок електромагнітної індукції, практично важливий для генерації електричного струму.

3. Посудину з високою стійкістю до впливів кислот, лугів і розчинників, у якій відбувається електроліз, називають електролітичною ванною (електролізером). Проходження електричного струму крізь розчин або розплав електроліту зумовлює хімічні реакції на поверхні поділу електрод ‒ розчин (розплав електроліту). Отже, хімічна дія струму (Г) проявляється під час його проходження крізь розчин електроліту, який міститься в електролітичній ванні.

4. Принцип дії компаса заснований на взаємодії магнітного поля постійних магнітів (А) компаса з горизонтальною складовою магнітного поля Землі. Обертова магнітна стрілка вільно повертається навколо осі, розташовуючись уздовж силових ліній магнітного поля. Тож стрілка завжди вказує одним кінцем у напрямку ліній магнітної індукції, що йдуть до Південного магнітного полюса (Північного географічного полюса).

Відповідь: 1Д, 2В, 3Г, 4А.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівнянь гармонічних коливань.

Коливання, під час яких координата \(\mathbf{\chi}\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), називають гармонічними коливаннями:

де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань.

З умови відоме рівняння гармонічних коливань: $$ \mathbf{\chi}=0\mathord{,}4\cos\left(4\mathbf{\pi}t+\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right). $$

1. Амплітуда. Множник перед функцією косинуса ‒ це і є амплітудне (максимальне) значення координати \(\mathbf{\chi}\) тіла ‒ \(0\mathord{,}4\ \text{м}\) (Г).

2. Початкова фаза. Це фаза коливань у момент початку відліку часу ‒ це доданок під знаком функції косинуса, який не помножено на час ‒ \(\frac{\mathbf{\pi}}{3}\) (Б).

3. Період. Знаючи з рівняння циклічну частоту \(\mathbf{\omega}\) коливань, що множиться на час у доданку під знаком функції косинуса, можна визначити період коливань \(T:\) \begin{gather*} \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T},\\[6pt] T=\frac{2\mathbf{\pi}}{\mathbf{\omega}}=\frac{2\mathbf{\pi}}{4\mathbf{\pi}}=\frac 12=0\mathord{,}5\ \text{c}\ \text{(А)}. \end{gather*}

4. Циклічна частота. Ми вже взяли з рівняння в умові значення циклічної частоти в попередньому пункті 3 ‒ це множник біля \(t\) ‒ \(4\mathbf{\pi}\frac{1}{c}\) (Д).

Відповідь: 1Г, 2Б, 3А, 4Д.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Абсолютний і відносний показники заломлення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння абсолютного показника заломлення середовища.

Фізичну величину, яка характеризує оптичну густину середовища й показує, у скільки разів швидкість поширення світла в середовищі \((v)\) менша, ніж його швидкість \((c)\) у вакуумі, називають абсолютним показником \(n\) заломлення середовища: $$ n=\frac cv. $$

Звідси можемо визначити швидкість поширення світла в середовищі \(v,\) а потім узявши до уваги зв’язок між довжиною хвилі, швидкістю її поширення і періодом (частотою), зможемо обчислити потрібні характеристики світлових хвиль, що поширюються в зазначених в умові завдання середовищах:

Формулу, що зв’язує довжину хвилі \(\mathbf{\lambda},\) швидкість \(v\) її поширення і частоту \(\mathbf{\nu},\) називають формулою хвилі: $$ v=\mathbf{\lambda}\mathbf{\nu}. $$

Обчислімо добутки довжини хвилі \(\mathbf{\lambda}\) й частоти \(\mathbf{\nu},\) щоб установити відповідність із середовищем:

Відповідь: 1В, 2Б, 3А, 4Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Період і частота.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння періоду обертання і його залежності від певних характеристик руху, а також застосування другого закону Ньютона для визначення його.

На супутник, що рухається коловою орбітою навколо планети, діє лише сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{т}\) ‒ сила, з якою Земля (або інше астрономічне тіло) притягує до себе тіла, що перебувають на її поверхні або поблизу неї.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона (\(\overrightarrow{F}\) ‒ рівнодійна сил, що діють на супутник):

де \(m\) ‒ маса тіла (супутника), \(a_\text{дц}\) ‒ доцентрове прискорення, оскільки рух супутника є рівномірним рухом по колу; \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Масу в рівнянні можна скоротити, а для доцентрового прискорення і прискорення вільного падіння запишімо відповідні формули: $$ a_\text{дц}=\frac{v^2}{R}, $$ (де \(v\) ‒ лінійна швидкість руху тіла по колу, \(R\) ‒ радіус кола). $$ g=G\frac{M}{R^2}, $$ (де \(G\) ‒ гравітаційна стала, \(M\) ‒ маса Землі або іншої планети, \(R\) ‒ радіус Землі або іншої планети).

Як отримуємо формулу для прискорення вільного падіння:

‒ за законом всесвітнього тяжіння $$ F_\text{т}=G\frac{mM}{(R+h)^2}=G\frac{mM}{R^2}, $$ (де \(h\) ‒ висота, на якій перебуває тіло над поверхнею Землі або іншої планети; якщо \(h\lt\lt R,\) то радіус планети і радіус колової орбіти можна прирівняти);

‒ за формулою для сили тяжіння \(F_\text{т}= mg.\)

Прирівняймо праві частини цих формул й отримаємо формулу для прискорення вільного падіння: \begin{gather*} G\frac{mM}{R^2}=mg,\\[6pt] g=G\frac{M}{R^2}. \end{gather*}

Повернімося до другого закону Ньютона:

Лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу визначаємо за періодом обертання і радіусом колової траєкторії. Для рівномірного руху швидкість визначмо як відношення шляху \(l\) до часу \(t:\) $$ v=\frac <. $$

Дійсно, за час \(t\) одного оберту, тобто період \(T,\) тіло долає відстань \(l,\) що дорівнює довжині кола: $$ l=2\mathbf{\pi}R, $$ тоді $$ v=\frac <=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}. $$

Отже,

Звідси період обертання $$ T=\sqrt{\frac{4\mathbf{\pi}^2R^3}{GM}}. $$

Визначмо співвідношення періодів обертання штучних супутників планет \(Z\) і Земля, зваживши на те, що за умовою $$ M_Z=2M_3 $$ (відношення мас планет), $$ d_Z=\frac 12 d_3 $$ (відношення діаметрів планет), отже, $$ R_Z=\frac 12R_3. $$

Отже, період обертання супутника навколо планети \(Z\) учетверо менший за період обертання супутника навколо Землі.

Відповідь: \(0\mathord{,}25.\)