Механіка – Динаміка: рівнодійна та закони Ньютона

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання, розуміння і застосування другого закону Ньютона.

За другим законом Ньютона прискорення \(\overrightarrow{a},\) якого набуває тіло внаслідок дії сили \(\overrightarrow{F},\) прямо пропорційне цій силі та обернено пропорційне масі \(m\) тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}. $$

Оскільки на тіло діє кілька сил, то сила \(\overrightarrow{F}\) ‒ це рівнодійна сил, які діють на тіло, і вона дорівнює геометричній сумі всіх сил: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\overrightarrow{F}_3. $$

Знайдемо рівнодійну сил за допомогою додаткових побудов (див. рисунок). Побудуємо паралелограм спочатку на векторах \(\overrightarrow{F}_2\) i \(\overrightarrow{F}_3,\) їхньою сумою буде вектор \(\overrightarrow{F}_{23}.\) Далі побудуємо паралелограм на векторах \(\overrightarrow{F}_1\) і \(\overrightarrow{F}_{23}.\) Їхньою сумою, а отже, і рівнодійною всіх трьох сил є вектор \(\overrightarrow{F}.\) Якщо розглянути прямокутний трикутник, у який входить вектор \(\overrightarrow{F},\) то можна побачити, що трикутник є єгипетським, тобто його сторони пропорційні до чисел \(3 : 4 : 5.\) За модулем довжина вектора дорівнює \(5\) клітинок. За умовою сторона клітинки відповідає \(1\ \text{Н,}\) отже, рівнодійна сил, що діють на тіло, становить \(5\ \text{Н}.\)

Обчислимо тепер модуль прискорення, набутого тілом під дією цих сил:

Відповідь: 2,5.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Момент сили. Умови рівноваги тіла.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння умов рівноваги тіла на прикладі простого механізму ‒ важеля.

Якщо тіло може тільки обертатися (має нерухому вісь обертання), то за правилом моментів воно перебуває в рівновазі, якщо алгебраїчна сума моментів сил, що діють на тіло, дорівнює нулю: $$ M_1+M_2+\cdots+M_n=0. $$

Момент сили \(M\) ‒ це фізична величина, яка дорівнює добутку модуля сили \(F,\) яка діє на тіло, на плече \(d\) цієї сили: $$ M=F\cdot d. $$

Плече \(d\) сили \(F\) ‒ це найменша відстань від осі обертання тіла до лінії, уздовж якої діє сила \(\overrightarrow{F}.\) Якщо сила обертає тіло проти ходу годинникової стрілки ‒ момент такої сили вважають додатним. Якщо сила обертає (або намагається обертати) тіло за ходом годинникової стрілки, то момент такої сили вважають від’ємним.

Запишімо правило моментів відповідно до умови завдання, урахувавши знаки моментів сил. Для цього спочатку позначмо на рисунку сили і плечі цих сил.

Сили \(\overrightarrow{F}_1\) і \(\overrightarrow{F}_2\) ‒ це сили тяжіння, що відповідно діють на важки масою \(100\ \text{г}\) кожен і на вантаж \(3.\) Бачимо з рисунка, що важіль поділений на одиничні відрізки, кожен із яких нехай дорівнює \(x.\) Тоді плече \(d_1=4x,\) а плече \(d_2=x.\) Звідси $$ 2mg\cdot 4x=Mg\cdot x, $$ де \(m\) ‒ маса одного важка \(100\ \text{г},\) \(M\) ‒ маса вантажу \(3,\) яку треба обчислити, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння; \begin{gather*} 8m=M,\\[7pt] M=8\cdot 0,1\ \text{кг}=0,8\ \text{кг}. \end{gather*} Отже, маса вантажу \(3\) дорівнює \(0,8\ \text{кг}.\)

Відповідь: 0,8.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Поверхневий натяг.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбіновані задачі пов'язані з поверхневим натягом та законами Ньютона.

Дано:
\(l=8\ \text{см}\)
\(m=0,48\ \text{г}\)
\(F=12\ \text{мН}\)
\(g=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)

Знайти:
\(\mathbf{\sigma} \left(\frac{\text{мН}}{\text{м}}\right)\ -\ ?\)

Для розв’язання задачі необхідно розуміти, які сили заважають підняти тонку дротинку з поверхні.

Зокрема на дротинку діє сила тяжіння, що притискає її до поверхні рідини: $$F_\text{тяж}=mg.$$

Крім того дротик виділяє на поверхні рідини дві області – праворуч та ліворуч від себе. Тому з обох боків на нього діятимуть сили поверхневого натягу.

Силу поверхневого натягу можна розрахувати за формулою $$F_\text{пов}=\mathbf{\sigma} l.$$

Тоді сила, що необхідна для того, щоб підняти кільце з поверхні має подолати силу тяжіння і сили поверхневого натягу праворуч і ліворуч від дротика:

\begin{gather*} F=F_\text{тяж}+F_\text{пов лів}+F_\text{пов прав}=\\[7pt] =F_\text{тяж}+2F_\text{пов}=mg+2\mathbf{\sigma} l. \end{gather*}

Тож тепер можна виразити поверхневий натяг із формули:

Відповідь: 45.

ТЕМА: Енергія. Робота. Потужність. Сила.

Завдання скеровано на перевірку розуміння понять енергії, потужності, сили й прискорення.

Потужність \(P\) – це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи.

Енергія \(E\) – це фізична величина, яка характеризує здатність тіла виконати роботу.

Сила \(F\) – це векторна фізична величина, що є мірою взаємодії тіл, у результаті якої тіло набуває прискорення або деформується.

Прискорення \(a\) – це векторна фізична величина, яка характеризує зміну швидкості руху тіла.

Відповідь: 1В, 2Д, 3Б, 4А.

ТЕМА: Елементи теорії відносності. Принципи (постулати) теорії відносності Ейнштейна.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння постулатів спеціальної теорії відносності.

Швидкість світла є однаковою в усіх інерціальних системах відліку незалежно від того, із якою швидкістю рухається джерело. Тож попри те, що ракета з прожектором рухається зі швидкістю \(\frac 45c\), швидкість світла, яку зафіксують на Землі, все одно дорівнюватиме \(c\).

Відповідь: Г.

Механіка. Елементи динаміки рідин i газів. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття густини та вміння застосовувати закон Архімеда.

Силу Архімеда можна визначити за формулою $$ F_\text{Арх}=\mathbf{\rho}_\text{рідини}gV, $$ де \(\mathbf{\rho}_\text{рідини}\) − густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла.

Силу тяжіння визначають за формулою $$ F=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Густина речовини \((\mathbf{\rho})\) – це фізична величина, яка характеризує речовину й дорівнює відношенню маси суцільного тіла, виготовленого із цієї речовини, до об’єму цього тіла: $$ \mathbf{\rho}=\frac mV, $$ де \(m\) – маса тіла, а \(V\) – об’єм тіла.

Тоді масу тіла можна виразити як $$ m=\mathbf{\rho}V. $$

Тоді силу тяжіння можна записати як: $$ F_\text{тяж}=mg=\mathbf{\rho}_\text{тіла}gV, $$ де \(\mathbf{\rho}_\text{тіла}\) – густина тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла.

Вважатимемо, що на тіло в рідині діє лише сила тяжіння, що напрямлена вниз, і виштовхувальна сила Архімеда, напрямлена вгору. За другим законом Ньютона $$ \overrightarrow{F_\text{тяж}}+\overrightarrow{F_\text{Арх}}=m\overrightarrow{a}. $$

Тіло плаває в товщі рідини, а не спливає на поверхню чи тоне, тому прискорення \(a=0\). Відповідно $$ \overrightarrow{F_\text{тяж}}+\overrightarrow{F_\text{Арх}}=0. $$

Якщо спрямувати вісь x у напрямку прискорення вільного падіння, можна спроєктувати векторне рівняння:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Робота. Сила Архімеда.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі про силу Архімеда.

Дано:
\(H=4\ \text{м}\)
\(m=600\ \text{кг}\)
\(\mathbf{\rho}_{\text{бетону}}=2000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(\mathbf{\rho}_{\text{води}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(g=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)

Знайти:
\(A_{min}\ (\text{кДж})\ -\ ?\)

Для того, щоби перевернути блок, достатньо його центр мас підняти на висоту, на якій він у вертикальному положенні. Оскільки блок циліндричний, то в обох положеннях він на половині висоти блока (рис. 1).

Рис. 1. Положення центра мас у вертикальному й горизонтальному положенні

Оскільки поперечні розміри стовпа за умовою враховувати не потрібно, то можна вважати, що під час перевертання центр мас піднімають на половину всієї висоти \(H\).

Рівнодійну сил, що діють на блок, можна обчислити за формулою $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_{\text{тяж}}}+\overrightarrow{F_{\text{Арх}}}. $$

Сила тяжіння діє вертикально вниз, притягуючи блок до землі, а сила Архімеда виштовхує блок вертикально вгору, інші сили на блок не діють. Якщо вважати напрямок «вертикально вниз» додатним, \begin{gather*} F_x=0;\\[6pt] F_y=mg-\mathbf{\rho}_{\text{води}}gV_{\text{блока}}. \end{gather*}

Маса тіла пов’язана з його густиною формулою $$ \mathbf{\rho}=\frac mV, $$ де \(m\) – маса тіла, \(V\) – його об’єм.

Тоді

Оскільки об’єму блока невідомий, із дужок можна винести його густину:

Тоді робота, необхідна для підняття центра мас бетонного блока на половину його висоти, дорівнює

Відповідь: 6.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закони Ньютона. Закон всесвітнього тяжіння.

Завдання скеровано на перевірку розуміння законів Ньютона й закону всесвітнього тяжіння і їхнього застосування для описування реальних ситуацій.

Закони, про які йдеться в цьому завданні:

• перший закон Ньютона – існують такі системи відліку, відносно яких тіло зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, якщо на нього не діють жодні сили або якщо ці сили скомпенсовані;
• другий закон Ньютона – прискорення, якого набуває тіло внаслідок дії сили, прямо пропорційне цій силі й обернено пропорційне масі тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}; $$
• третій закон Ньютона – тіла взаємодіють із силами, що мають одну природу, напрямлені вздовж однієї прямої, рівні за модулем і протилежні за напрямком: $$ \overrightarrow{F_1}=-\overrightarrow{F_2}; $$
• закон всесвітнього тяжіння – будь-які два тіла притягуються одне до одного із силою, яка прямо пропорційна добутку мас цих тіл й обернено пропорційна квадрату відстані між ними: $$ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. $$

А зменшення маси автомобіля, що привело до його прискорення, є прикладом другого закону Ньютона

Б нагрівання гальмівних колодок під час гальмування пов’язане зі зміною їхньої внутрішньої енергії внаслідок роботи сил тертя, отже цей приклад не пов’язаний із наведеними законами

В кинутий угору камінь притягається до Землі за законом всесвітнього тяжіння

Г якщо сила тертя компенсує силу тяжіння, то всі сили, що діють на дощову краплю під час її падіння, скомпенсовані. Тому те, що вона рухається рівномірно й прямолінійно – це приклад для першого закону Ньютона

Д сила удару, який комар завдав лобовому склу, і сила удару, яке скло завдало комарові, рівні за третім законом Ньютона

Відповідь: 1Г, 2А, 3Д, 4В.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Поверхневий натяг.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням сили поверхневого натягу.

Дано:
\(r=5\ \text{см}\)
\(m=1,2\ \text{г}\)
\(\mathbf{\sigma}=70\ \text{мН/м}\)

Знайти:
\(F\ (\text{мН})\ -\ ?\)

На кільце на поверхні води діють сили поверхневого натягу, що утримують його на поверхні, і сила тяжіння. Силу тяжіння можна визначити за формулою $$ F_{\text{тяж}}=mg. $$

Окрім того, кільце обмежує на поверхні дві ділянки – усередині й зовні. Тому з обох боків на нього діятимуть сили поверхневого натягу.

Дріт, із якого зроблене кільце, – тонкий, тому можна вважати, що внутрішній радіус дорівнює зовнішньому радіусу кільця. Тож довжина кільця з боку зовнішньої і внутрішньої поверхні буде однаковою: $$ l=2\mathbf{\pi}r_{\text{зовн}}=2\mathbf{\pi}r_{\text{вн}}=2\mathbf{\pi}r. $$

Тоді сила, що необхідна для того, щоби підняти кільце з поверхні, має подолати силу тяжіння і сили поверхневого натягу із зовнішнього і внутрішнього боку:

Відповідь: 56.

ТЕМА: Маса. Густина. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на використання умови плавання тіл.

Дано:
\(d=40\ \text{мм}\)
\(h=30\ \text{мм}\)
\(\mathbf{\rho}_{\text{води}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)

Знайти:
\(\mathbf{\rho}_{\text{дерева}}\ \left(\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\right)\ -\ ?\)

За умовою плавання тіл тіло перебуватиме в рівновазі, якщо $$ F_{\text{тяж}}=F_{\text{Арх}}, $$ де \(F_{\text{тяж}}\) – сила тяжіння, \(F_{\text{Арх}}\) – сила Архімеда.

Силу тяжіння визначають за формулою $$ F_{\text{тяж}}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Масу й густину тіла пов’язує формула $$ m=\mathbf{\rho}_{\text{т}}V, $$ де \(\mathbf{\rho}_{\text{т}}\) – густина тіла, \(V\) – об’єм тіла.

Тому силу тяжіння можна записати як $$ F_{\text{тяж}}=\mathbf{\rho}_{\text{т}}Vg, $$ де \(\mathbf{\rho}_{\text{т}}\) – густина тіла, \(V\) – його об’єм, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Силу Архімеду визначають за формулою $$ F_{\text{Арх}}=\mathbf{\rho}_{\text{р}}gV, $$ де \(\mathbf{\rho}_{\text{р}}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла, що занурено у воду.

Об’єм дошки можна визначити з її геометричних розмірів: $$ V=dS, $$ де \(d\) – товщина дошки, \(S\) – площа поверхні дошки.

Дошка не повністю занурена під воду, а під час розрахунку сили Архімеда треба використовувати об’єм зануреної під воду частини. Цей об’єм можна розрахувати за формулою $$ V'=hS, $$ де \(h\) – висота дошки під водою, \(S\) – площа поверхні дошки.

Тоді умова плавання дошки матиме вигляд:

Відповідь: 750.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати розрахункові задачі про рух тіла під дією кількох сил.

Дано:
\(m_1=2\ \text{кг}\)
\(m_2=3\ \text{кг}\)
\(m_3=5\ \text{кг}\)
\(T_{max}=10\ \text{Н}\)

Знайти:
\(F_{max}\ (\text{Н})\ -\ ?\)

У такій конструкції всі три бруски рухатимуться як єдине ціле з однаковим прискоренням і масою \(M\).

Рис. 1. Схематичне зображення дії сил на бруски як ціле

Для них можна записати 2 закон Ньютона:

Уздовж вертикальної осі бруски не рухаються, тому рівнодійна в цьому напрямку дорівнює 0. Спроєктувавши сили на цей напрямок, можна отримати вираз \begin{gather*} 0+N-F_{\text{тяж}}=0;\\[7pt] N=F_{\text{тяж}}. \end{gather*}

Спроєктувавши другий закон Ньютона на горизонтальний напрямок, можна дійти висновку, що $$ F_{max}+0+0=Ma_{max}. $$

Тож $$ F_{max}=(m_1+m_2+m_3)a_{max}. $$

Обмеження на максимальну силу, а отже й максимальне прискорення, створене міцністю ниток, якими зв’язано бруски.

Цю систему потрібно розглянути як два бруски масою \(m_3\) й \(m_1+m_2\) відповідно (рис. 2).

Рис. 2. Схематичне зображення сил, що діють на брусок 3

На брусок 3 діють усі зазначені вище сили й сила натягу нитки. Рухається цей брусок із тим самим прискоренням, яке використано в попередніх розрахунках. Тому можна записати рівнодійну сил, що діють на цей брусок:

Уздовж вертикальної осі брусок 3 не рухається, тому можна зробити той самий висновок, що й у попередніх розрахунках: $$ N_3=F_{3\ \text{тяж}}. $$

Проєкція другого закону Ньютона на горизонтальну вісь матиме вигляд: $$ F_{max}+0+0-T_{3\ \text{max}}=m_3a_{max}. $$

Зважаючи на те, що $$ F_{max}=(m_1+m_2+m_3)a_{max}, $$ можна зробити висновок:

Значення максимальної сили натягу відоме з умови \((10\ \text{Н})\), тому можна виразити максимальне прискорення і знайти максимальну силу:

Відповідь: 20

ТЕМА: Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Основи електростатики. Закон Кулона.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані із силою Кулона.

1. Дано:
\(T_1=1\ \text{мН}\)
\(T_2=1,5\ \text{мН}\)

1. Знайти:
\(F\ (\text{мН})\ -\ ?\)

Спочатку на кульку діяли лише сили натягу підвісу й сила тяжіння (рис. 1, а). Кулька перебуває у стані спокою, тому рівнодійна цих сил дорівнює 0: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_1}+m\overrightarrow{g}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: \begin{gather*} T_1-mg=0;\\[7pt] T_1=mg. \end{gather*}

Після того, як до першої кульки наблизили другу, окрім сили натягу підвісу й сили тяжіння на кульку діє сила Кулона (рис. 1, б). Але навіть у такому разі тіло перебуває у стані спокою, тобто рівнодійна цих сил дорівнює нулю: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_2}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\text{Кл}}}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: $$ T_2-mg-F_{\text{Кл}}=0. $$

Зважаючи на те, що \(T_1=mg\), можна розрахувати силу Кулона: $$ F_{\text{Кл}}=T_2-T_1=1\ \text{мН}-1\ \text{мН}=0,5\ \text{мН}. $$

Рис. 1. Схематичне зображення сил: а) для одної кульки, б) для двох кульок

2. Дано:
\(r_1=\frac{r_1}{2}\)

2. Знайти:
\(T_3\ (\text{мН})\ -\ ?\)

Силу Кулона визначають за формулою $$ F=k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}. $$

Тоді можна записати силу взаємодії до того, як кульки наблизили одну до одної: $$ F_{\text{Кл1}}=k\frac{|q_1||q_2|}{r^2_1}. $$

Ця сила взаємодії дорівнює \(0,5\ \text{мН}\), як було розраховано раніше.

Сила взаємодії після зближення дорівнюватиме

Як і до зближення, підвішена кулька перебуватиме у стані спокою, а рівнодійна всіх сил, що діють на неї, дорівнюватиме нулю: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_3}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\text{Кл2}}}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: $$ T_3-mg-F_{\text{Кл2}}=0. $$

Тож можна розрахувати силу натягу підвісу. Оскільки \(T_1=mg,\ F_{\text{Кл2}}=4F_{\text{Кл1}}\), то

Відповідь: 1. 0,5. 2. 3.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення роботи сил.

Якщо тіло зісковзує по площині рівномірно, то його прискорення \(\overline{a}\) дорівнює нулю. Тоді за другим законом Ньютона $$ \overline{F}=m\overline{a}=0, $$ де \(\overline{F}\) – рівнодійна, \(m\) – маса тіла, \(\overline{a}\) – прискорення тіла.

Рівнодійна сил, які діють на тіло, що рухається по похилій площині (рис. 1), дорівнює векторній сумі всіх цих сил: $$ \overline{F}=\overline{F_{\text{тяж}}} +\overline{F_{\text{тер}}}+\overline{N}=0. $$

Рис. 1. Схематичне зображення сил, що діють на тіло на похилій площині

Це рівняння можна спроєктувати на осі \(OX\) і \(OY\) відповідно. Напрямок осей вибрано як на рисунку 1: \begin{gather*} F_x=-F_{\text{тяж}}\sin\mathbf{\alpha}+F_{\text{тер}}=0;\\[7pt] F_y=-F_{\text{тяж}}\cos\mathbf{\alpha}+N=0, \end{gather*} де \(\mathbf{\alpha}\) – кут нахилу похилої площини.

Тож \begin{gather*} F_{\text{тяж}}\sin\mathbf{\alpha}=F_{\text{тер}};\\[7pt] F_{\text{тяж}}\cos\mathbf{\alpha}=N. \end{gather*}

Силу тертя визначають за формулою $$ F_{\text{тер}}=\mathbf{\mu}N. $$

Тож \begin{gather*} F_{\text{тяж}}\sin\mathbf{\alpha}=\mathbf{\mu}N=\mathbf{\mu}F_{\text{тяж}}\cos\mathbf{\alpha};\\[7pt] \sin\mathbf{\alpha}=\mathbf{\mu}\cos\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Роботу сили можна обчислити за формулою $$ A=Fs\cos\mathbf{\beta}, $$ де \(F\) – сила, що діє на тіло, \(s\) – переміщення тіла, \(\mathbf{\beta}\) – кут між напрямками векторів сили й переміщення.

Тоді можна записати роботу сили тяжіння і сили тертя. Кут \(\mathbf{\beta}\) між напрямком сили тяжіння і переміщення \(s\) дорівнює \(\mathbf{\beta}=90-\mathbf{\alpha}\), тож можна скористатися тригонометричними формулами зведення: \begin{gather*} A_{\text{тяж}}=F_{\text{тяж}}s\cos\mathbf{\beta}=F_{\text{тяж}}s\cos(90-\mathbf{\alpha})=\\[7pt] =F_{\text{тяж}}s\sin(\mathbf{\alpha}). \end{gather*}

Кут між напрямком сили тертя і переміщенням \(\mathbf{\beta}=180^\circ\), тож \begin{gather*} A_{\text{тер}}=F_{\text{тер}}s\cos\mathbf{\beta}=-F_{\text{тер}}s=\\[7pt] =-F_{\text{тяж}}\sin\mathbf{\alpha}s. \end{gather*}

Оскільки модуль сили тяжіння і переміщення додатні, а \(\mathbf{\alpha}\) – це кут, менший за \(90^\circ\), синус якого більший за нуль, можна зробити висновок: $$ A_{\text{тяж}}=-A_{\text{тер}}\gt 0. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основа динаміки. Додавання сил.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття рівнодійної.

Якщо рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює нулю, то тіло перебуває у стані спокою. Тіло у стані спокою має постійну швидкість.

Адже за другим законом Ньютона $$ \overline{F}=m\overline{a}, $$ де \(\overline{F}\) – рівнодійна, \(m\) – маса тіла, \(\overline{a}\) – прискорення тіла.

Якщо тіло не рухається, можна вважати, що його швидкість постійна й дорівнює 0 м/с.

У варіанті відповіді А віз залишається на своєму місці, а в Б вода у склянці нерухома, тож їхні швидкості дорівнюють нулю. А отже й рівнодійна сил, що діють на них, – теж.

У варіанті відповіді В парашутист рухається рівномірно вниз, тобто його швидкість постійна, а отже й рівнодійна, що діє на нього, дорівнює нулю.

У варіанті відповіді Г літак щойно відірвався від злітно-посадкової смуги. Тобто він лише почав набирати швидкість і рухався із прискоренням. Тож рівнодійна сил, що діють на нього, не дорівнює нулю.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Вага.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на рух тіла під дією кількох сил.

Знайти:
\(\mathbf{\mu}-?\)

Розв’язання цієї задачі доцільно розпочати зі створення схеми дії сил на брусок, який тягнуть по рейці (рис. 1). На нього діють сила тяжіння \(m\overrightarrow{g}\) (перпендикуляно до поверхні землі вниз), сила реакції опори \(\overrightarrow{N}\) (перпендикулярно до поверхні рейки вгору), сила тертя \(\overrightarrow{F}_{\text{тертя}}\) (по всій поверхні контакту поверхні бруска в напрямку, протилежному до напрямку руху) і сила \(\overrightarrow{F},\) із якою брусок тягнуть по рейці (у напрямку руху).

Рис. 1. Схема дії сил на брусок, що тягнуть по горизонтальній рейці

Другий закон Ньютона для бруска, що тягнуть по рейці, можна описати формулою $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_{\text{тертя}}+\overrightarrow{F}. $$

Оскільки брусок тягнуть рівномірно, то прискорення \(\overrightarrow{a}=0.\) Тоді $$ \overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_{\text{тертя}}+\overrightarrow{F}=0. $$

Затим потрібно спроєктувати рівняння на осі \(OX\) й \(OY,\) скориставшись рисунком 1:

проєкція на вісь \(OX:\ 0+0-F_{\text{тертя}}+F=0;\)

проєкція на вісь \(OY:\ N-mg+0+0=0.\)

Тобто для осі \(OX \ F_{\text{тертя}}=F,\) для осі \(OY\ N=mg.\)

Величина сили тертя залежить від коефіцієнта тертя: $$ \overrightarrow{F}_{\text{тертя}}=-\mathbf{\mu}\overrightarrow{N}, $$ де знак «мінус» показує, що сила тертя діє проти напрямку руху.

Тож $$ F=\mathbf{\mu}N=\mathbf{\mu}mg,\ \mathbf{\mu}=\frac{F}{mg}. $$

При цьому силу \(F\) можна визначити за показами динамометра, зображеного на рисунку, де брусок тягнуть горизонтально: $$ F=0,9\ \text{H}. $$

Оскільки для тіла в стані спокою можна обчислити вагу \(\overrightarrow{P},\) то значення \(mg\) можна визначити за показанням динамометра під час зважування бруска: $$ \overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g},\ \ mg=3,6\ \text{H}. $$

Тоді $$ \mathbf{\mu}=\frac{F}{mg}=\frac{0,9\ \text{H}}{3,6\ \text{H}}=0,25. $$

Відповідь: 0,25.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили. Додавання сил.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення рівнодійної кількох сил.

На кульку, що піднімається вгору в повітрі, діють три сили: сила Архімеда, що виштовхує її з товщі повітря вгору, сила тяжіння, яка притягує кульку до землі, і сила опору повітря, що заважає руху кульки (рис. 1). Оскільки сила Архімеда більша за значенням від сили тяжіння, кулька рухатиметься вгору, а сила опору повітря буде напрямлена вниз.

Рис. 1. Сили, що діють на кульку

Рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) – це сила, яка здійснює на тіло таку саму дію, як декілька сил, що діють одночасно. Тоді: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_A+\overrightarrow{F}_{\text{опору}}+\overrightarrow{F}_{\text{тяж}}\ (1). $$ Для визначення рівнодійної потрібно спроєктувати всі сили, що діють на кульку, на одну вісь – вісь \(Oy\): \begin{gather*} F= F_A-F_{\text{опору}}-F_{\text{тяж}}=\\[7pt] =4Н-1Н-2Н=1Н (2). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основа динаміки. Додавання сил.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на визначення рівнодійної кількох сил.

Дано:
\(F_1=3\ \text{H}\)
\(F_2=4\ \text{H}\)
\(\mathbf{\alpha}=90^\circ\)

Знайти:
\(F_{\text{рівнодійна}}-?\)

За умовою задачі схема дії сил на матеріальну точку така:

Для правильного розв’язання задачі потрібно визначити модуль рівнодійної сили, використавши теорему Піфагора й правило додавання векторів: $$ F_{\text{рівнодійна}}=\sqrt{F_1^2+F_2^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \text{H}. $$

Відповідь: 5.

ТЕМА: Вимірювальні пристрої.

Завдання скеровано на оцінювання вміння добирати вимірювальні прилади для проведення експериментів.

A. Оскільки період – це час, за який тіло робить одне повне коливання, то для його вимірювання використовують секундомір.

Б. Для визначення електрорушійної сили (ЕРС) і внутрішнього опору джерела потрібно скористатися законом Ома для повного кола. ЕРС в цьому разі є еквівалентом напруги в законі Ома для ділянки кола, тому її також вимірюють вольтметром.

В. Для визначення фокусної відстані й оптичної сили лінзи потрібно виміряти відстань від предмета до лінзи й від лінзи до зображення. Для цього використовують лінійку.

Г. Для визначення коефіцієнта корисної дії (ККД) похилої площини необхідно обчислити корисну роботу, яку розраховують як зміну потенціальної енергії початкового й кінцевого стану й витрачену роботу, що робчислюють за формулою \(A = Fl\), де \(F\) – сила, прикладена до вантажу, а \(l\) – довжина похилої площини. Силу \(F\) у цьому досліді вимірюють динамометром.

Д. Для вивчення теплового балансу під час змішування води різної температури потрібно зафіксувати початкові й кінцеву температури. Для цього використовують термометр.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3А, 4Д.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови й види рівноваги.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття «рівновага».

Рівновага тіла – це збереження стану руху або стану спокою тіла з плином часу.

Тобто швидкості поступального й обертального рухів тіла в рівновазі залишаються незмінними.

Стан стійкої рівноваги – це стан, у якому за малих відхилень від положення рівноваги тіло довільно повертається в початкове положення.

Лише на рисунку Б зображено початкове положення кульки, у яке вона повертатиметься за будь-яких малих відхилень.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили. Додавання сил.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на рух тіл під дією кількох сил.

Дано:
\(S=10\ \text{см}^2\)
\(p_{\text{а}}=100\ \text{кПа}\)
\(p=60\ \text{кПа}\)

Знайти:
\(\overrightarrow{F}_{\text{тертя}}(\text{Н})\ -\ ?\)

Корок у пляшці – нерухомий, тому можна зробити висновок, що рівнодійна сил, які діють на нього, дорівнює нулю. Оскільки масу корка не враховують, то дією сили тяжіння можна знехтувати. Тоді на корок діють лише сила атмосферного тиску \(\overrightarrow{F}_{p\ \text{атм}}\), сила тиску повітря зсередини пляшки \(\overrightarrow{F}_p\) і сила тертя між поверхнею корка й пляшки \(\overrightarrow{F}_{\text{тертя}}\) (рис. 1).

Рис. 1. Схематичне зображення сил, що діють на корок

Силу тиску можна знайти за формулою: $$ \overrightarrow{F}=pS, $$ де \(p\) – тиск, \(S\) – площа поверхні, на яку відбувається тиск.

У випадку корка, який можна вважати циліндром, площею для розрахунку обох сил тиску можна вважати площу його основи. Сила тертя діє вздовж усієї площі контакту корка з пляшкою і протидіє його руху. Оскільки атмосферний тиск більший за тиск усередині пляшки, то й сила атмосферного тиску більша, а сила тертя діятиме в тому самому напрямку, що й сила тиску повітря в пляшці.

Тепер можна спроєктувати всі сили, що діють на корок, на одну пряму й записати другий закон Ньютона для корка:

Відповідь: 40.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закони Ньютона. Сила тертя.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння впливу сили тертя в задачах на основі побутових прикладів.

Під час перетягування каната виграє той, хто може перетягнути стрічку посередині на свій бік. Чим більшою є сила тертя між учасником і підлогою, тим більшу силу треба прикласти, щоби зсунути його з місця. Тому для здобуття перемоги тягнути канат із більшою силою ніж опонент не достатньо, якщо сила тертя з боку підлоги в нього більша.

Сила тертя з боку каната важлива, але вона не визначає переможця, адже за дуже великої сили тертя між канатом й учасником він почне рухатися разом із канатом.

Маса учасників впливає лише на те, наскільки сила тяжіння діятиме на них. Притягування Землі може піти як на користь, так і на шкоду залежно від того в який бік нахилене тіло учасника.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Система відліку. Швидкість.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння понять швидкості світла й системи відліку.

Значення швидкості світла є сталим для будь-якої системи відліку незалежно від швидкості її руху.

Тому не залежно від того, яке тіло відліку вибрано (Земля, станція чи ракета), значення швидкості світла буде однаковим – 300 000 км/с.

Відповідь: A.

ТЕМА: Вимірювальні пристрої.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння фізичних принципів роботи вимірювальних пристроїв.

Термометр – це прилад для вимірювання температури. Він працює завдяки тому, що деякі речовини за сталого тиску суттєво змінюють свій об’єм за зміни температури (ртуть чи спирт розширюються за збільшення температури і звужуються за її зменшення).

Психрометр – це прилад для вимірювання відносної вологості. Принцип його роботи такий: у корпусі приладу є два термометри. Кінець одного з них зазвичай обгорнутий вологою тканиною. Вода з тканини завжди випаровується, і швидкість випаровування залежить від вологості повітря навколо. Відповідно, для вимірювання відносної вологості фіксують покази сухого й вологого термометрів і за допомогою спеціальних таблиць виконують необхідні розрахунки.

Барометр – це прилад для вимірювання атмосферного тиску. У завданні зображено безводний барометр (анероїд). На рисунку 1 зображено конструкцію такого приладу. Усередині анероїда є камера з гофрованою поверхнею (1), із якої відкачано повітря. За високого атмосферного тиску кришка коробки сильно опускається, а за низького – піднімається. До кришки за допомогою пружини кріпиться стрілка (2). Тому, коли кришка камери піднімається чи опускається, пружина деформується, і стрілка починає рухатись по шкалі (3).

Рис. 1. Конструкція барометра-анероїда

Динамометр – це прилад для вимірювання сили. Зазвичай динамометр складається із пружини і шкали. Коли на кінець пружини діє сила, то за законом Гука пружина розтягується: $$ F=kx. $$

Тому, якщо відомий коефіцієнт жорсткості k пружини, то за значенням її видовження x можна визначити й силу, що його спричиняє.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Вага.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі про рух тіла під дією кількох сил.

Сила, із якою тіло діє на опору чи підвіс – це вага \(\overrightarrow{P}\). Оскільки камінь лежить на гірському схилі й перебуває у стані спокою, то його вага дорівнює силі тяжіння, що діє на нього: $$ \overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}, $$ де \(m\) – маса тіла, \(\overrightarrow{g}\) – прискорення вільного падіння.

Сила тяжіння завжди діє в напрямку до центра Землі, тобто перпендикулярно до її поверхні. Тому, попри те, що тіло лежить на схилі під кутом до поверхі Землі, сила, із якою воно діятиме на опору, буде напрямлена вертикально вниз (рис. 1).

Рис. 1. Схема дії сил на тіло, що лежить на похилій поверхні

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Перший закон Ньютона. Механічна робота. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати комбіновані розрахункові задачі на закони Ньютона й механічну роботу, потужність.

Дано:
\(m=3\ \text{т}=3\ 000\ \text{кг}\)
\(V=72\ \text{км/год}=20\ \text{м/с}\)
\(\mathbf{\mu}=0,06\)
\(g=10\ \text{м/с}^2\)
\(S=1\ \text{км}=10^3\ \text{м}\)

1. Знайти:
\(P(\text{кВт})\ -\ ?\)

Спочатку треба записати перший закон Ньютона: $$ \overrightarrow{F}_{\text{тертя}}+N+\overrightarrow{F}_{\text{тяги}}+m\overrightarrow{g}=0. $$

Після цього перейти до проєкцій:
за віссю \(Ox:\ -F_{\text{тертя}}+F_{\text{тяги}}=0\)
\(F_{\text{тяги}}=F_{\text{тертя}}\mathbf{\mu}N\)
за віссю \(Oy:\ N=mg\), тому \(F_{\text{тяги}}=\mathbf{\mu}mg\).

Потужність

2. Знайти:
\(A(\text{МДж})\ -\ ?\)

Робота

Відповідь: 1. 36. 2. 1,8.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання законів кінематики й законів динаміки Ньютона, а також уміння розв'язувати комбіновані задачі, використовуючи поняття і закономірності з кількох розділів механіки.

Ураховуючи загальний вид рівняння руху $$ x=x_0+V_{0x}t-\frac{a_xt^2}{2} $$ і розташуванням коефіцієнтів у рівнянні руху в умові, можна визначити, що $$ \frac{a_x}{2}=4, $$ тоді $$ a=a_x=8\ \text{м/с}^2. $$

За II законом Ньютона $$ R=ma= 800\ \text{кг} \cdot 8\ \text{м/с}^2=6\ 400\ \text{Н}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Одиниці фізичних величин.

Завдання скеровано на перевірку вміння записувати одиниці фізичних величин через основні одиниці СІ.

1 Тесла (магнітна індукція)

Варто вибрати формулу, з якої можна виразити магнітну індукцію через величини, одиниці яких входять в СІ, або можуть бути легко вираженi через них. Для магнітної індукції можна використати вираз для сили Ампера: $$ F_A=BIl\rightarrow B=\frac{F_A}{Il}, $$ де \(I\) – сила струму в провіднику (А), \(l\) – довжина провідника (м).

Тоді можна записати рівність (1), використовуючи одиниці фізичних величин:

2 Генрі (індуктивність): $$ W=\frac12 LI^2\rightarrow L=\frac{2W}{I^2}, $$ де \(W\) – енергія магнітного поля котушки (Дж), \(I\) – сила струму (А). $$ L=\frac{2W}{I^2}\rightarrow 1\ \text{Гн}=\frac{\text{Дж}}{\text{А}^2}= \frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{с}^2}\cdot\frac{1}{\text{А}^2}. $$

3 Ньютон (сила): $$ F=mg, $$ де \(m\) – маса (кг), \(g\) – прискорення вільного падіння \(\left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right)\): $$ F=mg\rightarrow 1\ \text{Н}=\text{кг}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}^2}. $$

4 Джоуль (робота): $$ A=Fs\cos\mathbf{\alpha}, $$ де \(F\) – сила (Н), \(s\) – переміщення (м), \(\mathbf{\alpha}\) – кут між напрямком переміщення і сили: $$ A=Fs\cos\mathbf{\alpha}\rightarrow 1\ \text{Дж}=\text{Н}\cdot\text{м}=\text{м}\cdot \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2}. $$

Відповідь: 1В, 2А, 3Д, 4Б.

ТЕМА: Вимірювальні пристрої.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння фізичних принципів роботи вимірювальних пристроїв.

Термометр – це прилад для вимірювання температури. Він працює завдяки тому, що деякі речовини за сталого тиску суттєво змінюють свій об’єм за зміни температури (ртуть чи спирт розширюються за підвищення температури та звужуються за її зниження).

Динамометр – це прилад для вимірювання сили. Зазвичай складники динамометра – пружина та шкала. Коли на кінець пружини діє сила, то, за законом Гука, пружина розтягується.

Барометр – це прилад для вимірювання атмосферного тиску. У завданні зображено безводний барометр (анероїд), усередині якого є вакуумна камера з гофрованою поверхнею. За високого атмосферного тиску кришка коробки сильно опускається, а за низького – піднімається. До кришки за допомогою пружини прикріплена стрілка. Тому, коли кришка камери піднімається чи опускається, пружина деформується і стрілка починає рухатися по шкалі.

Електрометр – це прилад для виявлення та вимірювання заряду. Його складники – металева куля, стержень і стрілки. Під дією електричного поля в стержні, стрілці й кулі відбувається перерозподіл зарядів. Оскільки вони з’єднані, то заряджаються однаково. Однойменно заряджені стрілка та стержень відштовхуються, тому рухома стрілка відхиляється.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Додавання сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення рівнодійної кількох сил.

За другим законом Ньютона рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, пов’язана з його прискоренням формулою $$ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}. $$

Тож напрямок прискорення збігається з напрямком рівнодійної всіх сил.

Рівнодійну всіх зображених на рисунку сил можна визначити за методом паралелограма (методом графічного додавання векторів). Додавання трьох сил можна виконати покроково: спочатку додати сили \(\overrightarrow{F_2}\) та \(\overrightarrow{F_3}\) (рис. 1, а), а потім результат цієї дії додати до сили \(\overrightarrow{F_1}\) (рис. 1, б)

Рис. 1. Графічний спосіб визначення рівнодійної

Рівнодійна (позначена зеленим кольором на рис. 1, б), а отже й прискорення тіла спрямовані вниз.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий і третій закон Ньютона.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням другого і третього законів Ньютона.

Дано:
\(m=2\cdot 10^6\ \text{кг}\)
\(F_1=500\ \text{кН}\)
\(F_2=600\ \text{кН}\)

Знайти:
\(a\ -\ ?\)

Якщо поїзд рухався рівномірно по горизонтальній поверхні, то його прискорення в першому випадку дорівнювало нулю. Отже й рівнодійна всіх сил, що діють на цей потяг, також дорівнювала нулю: $$ F_{\text{рівн}\ 0}=ma_0=0. $$

Отже в початковому стані сила, що тягне вагони, дорівнювала силам, що протидіють рухові потяга (силі тертя, силі опору повітря, тощо).

Коли тягова сила збільшилась, то рівнодійна всіх сил, що діяли на потяг перестала дорівнювати 0 – сили, що тягнуть вагони перевищали сили, що протидіють їх руху. $$ F_{\text{рівн}}=F_{\text{тяг}}-F_{\text{оп}}=ma. $$

Зважаючи на те, що в першому випадку тягові сили дорівнювали силам опору, можна обчислити рівнодійну після прискорення:

Тому можна обчислити прискорення:

Відповідь: 0,05.

ТЕМА: Вимірювальні пристрої.

Завдання скеровано на оцінювання знання вимірювальних пристроїв і розуміння фізичних величин, для вимірювання яких їх використовують.

1. Фізична величина, що дорівнює відношенню шляху до часу – це швидкість: $$ v=\frac St, $$ де \(S\) – шлях, \(t\) – час.

Прилад, що вимірює швидкість – це спідометр.

2. Фізична величина, що дорівнює добутку густини, прискорення вільного падіння і висоти стовпчика рідини – це гідростатичний тиск (тиск нерухомого стовпчика рідини): $$ p=\mathbf{\rho}gh, $$ де \(\mathbf{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Прилад, що вимірює тиск рідини чи газу – це манометр.

3. Фізична величина, що дорівнює відношенню густини водяної пари до густини насиченої пари за певної температури й виражена у відсотках – це відносна вологість: $$ \mathbf{\varphi}=\frac{\mathbf{\rho}}{\mathbf{\rho}_{\text{н}}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(\mathbf{\rho}\) – густина водяної пари за певної температури, \(\mathbf{\rho}_{\text{н}}\) – густина насиченої пари.

Прилад, що вимірює відносну вологість – це гігрометр.

4. Фізична величина, що дорівнює добутку маси на прискорення вільного падіння – це сила тяжіння: $$ F_{\text{тяж}}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Прилад, що вимірює силу – це динамометр.

Відповідь: 1В, 2А, 3Г, 4Б.

ТЕМА: Вимірювальні пристрої.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння фізичних принципів роботи вимірювальних пристроїв.

Термометр – це прилад для вимірювання температури. Він працює завдяки тому, що деякі речовини за сталого тиску суттєво змінюють свій об’єм за зміни температури (ртуть чи спирт розширюються за збільшення температури і звужуються за її зменшення).

Психрометр – це прилад для вимірювання відносної вологості. Принцип його роботи такий: у корпусі приладу є два термометри. Кінець одного з них зазвичай обгорнутий у вологу тканину. Вода з тканини завжди випаровується, і швидкість випаровування залежить від того, яка вологість повітря навколо. Для вимірювання відносної вологості фіксують покази сухого й вологого термометрів і за допомогою спеціальних таблиць виконують необхідні розрахунки.

Барометр – це прилад для вимірювання атмосферного тиску. У завданні зображено безводний барометр (анероїд), усередині якого є вакуумна камера з гофрованою поверхнею. За високого атмосферного тиску кришка коробки сильно опускається, а за низького – піднімається. До кришки за допомогою пружини прикріплено стрілку. Тому, коли кришка камери піднімається чи опускається, пружина деформується, а стрілка починає рухатися по шкалі.

Динамометр – це прилад для вимірювання сили. Зазвичай динамометр складається із пружини і шкали. Коли на кінець пружини діє сила, то за законом Гука пружина розтягується: $$ F=kx. $$

Тому, якщо відомий коефіцієнт жорсткості пружини, то за значенням її видовження можна визначити й силу, що його зумовлює.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закони Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з динаміки з аналізом світлин експерименту.

За рисунком 1 легко визначити, що на лівій нитці блоку підчеплено п’ять тягарців із масою \(m\), а на правій – три. Тобто можемо вважати, що на правій нитці підчеплений тягарець із масою \(5m\), а на правій нитці – тягарець із масою \(3m\).

Рис. 1. Сили, що діють на тягарці

1. Знайти:
\(a\ -\ ?\)

Рис. 2. Сили, що діють на систему

Нерухомий блок – простий механізм, він не забезпечує виграшу ні в силі, ні у відстані, а лише змінює напрямок прикладання сили.

Оскільки сили \(T_5\) і \(T_3\) – це сили натягу тієї самої нитки на її різних кінцях, вони рівні за модулем і протилежні за напрямком. Обидва вантажі рухаються з однаковим прискоренням.

Запис другого закону Ньютона для тягарців із масою 5m і 3m відповідно:

Спроєктуймо рівняння на вертикальну вісь, спрямовану вниз. Для цього треба пригадати, що лівий вантаж рухається вниз, а правий – угору. Їхні прискорення мають такі самі напрямки:

Тож

Силу тяжіння можна розрахувати за формулою: $$ F_{T}=mg. $$ Тож

2. Знайти:
\(T\ -\ ?\)

Маса одного тягарця дорівнює \(100\ \text{г}\ (0,1\ \text{кг})\).

З рівняння для другого закону Ньютона для вантажу масою \(5m\) можна виразити силу натягу \(T\) нитки:

Відповідь: 1. 2,5. 2. 3,75.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рух. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку розуміння зв’язку між силою, прискоренням і швидкістю руху тіла.

За другим законом Ньютона рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, пов’язана з його прискоренням формулою $$ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}. $$

Тож напрямок прискорення збігається з напрямком дії сили.

1. Якщо сила весь час перпендикулярна до швидкості, то й прискорення перпендикулярне до неї. Прискорення, що перпендикулярне до швидкості, не змінює її модуля, але змінює її напрямок. Це відповідає рівномірному руху за криволінійною траєкторією, наприклад, руху по колу.

2. Якщо сила зберігає напрямок і величину незмінною, то й прискорення залишається незмінним. Оскільки напрямок швидкості відносно прискорення з умови невідомий, то визначити, збільшуватиметься чи зменшуватиметься модуль швидкості, неможливо. Тож це відповідає руху з постійним прискоренням.

3. Якщо напрямок сили, а отже й прискорення, збігається з напрямком швидкості, то модуль швидкості збільшується.

4. Якщо напрямок сили й прискорення протилежні до напрямку швидкості, то модуль швидкості зменшується.

Відповідь: 1В, 2Д, 3А, 4Г.

ТЕМА Механіка. Основи динаміки. Закони Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття інерціальної системи відліку та її складників.

Тіло відліку – це тіло, із яким в інерціальній системі відліку пов’язана система координат. Інерціальну систему відліку можна поєднати з тілом, що рухається без прискорення. В умові завдання єдиним тілом, яке рухається без прискорення, є шайба, що без тертя ковзає по льоду.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умови плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов плавання тіл і вміння математично описати їх.

У завданні тричі змінюються умови плавання дерев’яного бруска. Опишімо кожен із випадків.

1. На брусок діє сила тяжіння, яку врівноважує сила Архімеда: \begin{gather*} Mg=\rho_\text{в}gV_\text{зануреної частини}=\rho_\text{в}g\cdot Sh_1,\\[7pt] M=\rho_\text{в}Sh_1,\ \ \ \ \ (1) \end{gather*} де \(M\) – маса бруска, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(S\) – площа основи бруска, \(h_1\) – глибина першого занурення бруска на \(10\ \text{см,}\) \(\rho_\text{в}\) – густина води.

2. Коли до бруска знизу прикріпили вантаж, то виштовхувальна сила діятиме і на занурену частину бруска, і на вантаж. Запишімо умову плавання бруска за цих умов: \begin{gather*} (M+m)g=\rho_\text{в}g\cdot Sh_2+\rho_\text{в}V_\text{вант},\\[7pt] Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант},\ \ \ \ \ (2) \end{gather*} де \(m\) – маса вантажу, \(h_2\) – глибина другого занурення бруска на \(14\ \text{см,}\) \(\rho_\text{вант}\) – густина матеріалу вантажу, \(V_\text{вант}\) – об’єм вантажу.

3. Розгляньмо третій випадок, коли вантаж поклали на брусок зверху. Запишімо умову плавання: \begin{gather*} (M+m)g=\rho_\text{в}g\cdot Sh_3,\\[7pt] Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_3,\ \ \ \ \ (3) \end{gather*} де \(h_3\) – глибина третього занурення бруска, яку треба обчислити.

Розв’яжімо систему трьох рівнянь: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} M=\rho_\text{в}Sh_1;\\ Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант};\\ Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_3. \end{array} \right. \end{gather*}

Віднімімо від рівняння (2) рівняння (3): \begin{gather*} 0=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант}-\rho_\text{в}gSh_3,\\[7pt] V_\text{вант}=Sh_3-Sh_2. \end{gather*}

Підставімо в рівняння (3) вираз замість \(M\) і замість \(V_\text{вант}:\) $$ \rho_\text{в}Sh_1+\rho_\text{вант}(Sh_3-Sh_2)=\rho_\text{в}Sh_3. $$

Розкриймо дужки й обчислімо \(h_3:\)

Відповідь: 15.

ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині. Перетворення енергії під час гармонічних коливань.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати комбіновані задачі, які передбачають обробку й аналіз результатів експерименту, зображених на рисунку, i використання законів збереження енергії в коливальному процесі.

Знайти:
\(V_\text{max}\ \left(\frac{\text{см}}{\text{с}}\right)\ -\ ?\)

З рисункa 1 можна визначити довжину гумки у двох крайніх положеннях коливання тягарця. У крайніх положеннях тягарець змінює напрямок руху на протилежний, а отже його швидкість \(V\) дорівнює нулю.

\begin{gather*} x_\text{мін}=16\ \text{см};\\[7pt] x_\text{макс}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Рис. 1. Крайні положення тягарця

За цими значеннями можна обчислити амплітуду коливань:

Знаючи амплітуду коливань, можна визначити положення рівноваги – таке положення, у якому опиниться гумка під вагою тягарця, коли коливання повністю припиняться:

Під час коливань у положенні рівноваги швидкість найбільша, отже саме цю швидкість потрібно визначити.

Під час коливань зберігається повна механічна енергія системи \(W\): $$ W=W_k+W_n=const, $$ де \(W_k\) – кінетична енергія, \(W_n\) – потенціальна енергія.

Кінетичну енергію можна визначити за формулою $$ W_k=\frac{mV^2}{2}, $$ де \(m\) – маса тіла.

Оскільки для гумової стрічки виконуваний закон Гука, можна обчислити потенціальну енергію за формулою, якою описують потенціальну енергію розтягнутої пружини: $$ W_n=\frac{k\Delta x^2}{2}, $$ де \(k\) – коефіцієнт жорсткості пружини, а \(\Delta x\) – розтяг пружини (гумової стрічки).

Хоча повна механічна енергія системи зберігається, але значення кінетичної і потенціальної енергії постійно змінюється під час коливань.

У крайніх положеннях швидкість тягарця дорівнює нулю, а отже і його кінетична енергія теж. А от відхилення від положення рівноваги в цих положеннях найбільше, тому потенціальна енергія максимальна.

У положенні рівноваги все навпаки. Швидкість тягарця максимальна, а відхилення дорівнює нулю, отже кінетична енергія приймає найбільше значення, а потенціальна перетворюється на нуль.

Зважаючи на закон збереження енергії і спостереження, описані вище, можна записати таку рівність:

Тоді можна виразити максимальну швидкість: $$ V_{max}=\sqrt{\frac{k\Delta x_{max}^2}{m}}=\sqrt{\frac km}\Delta x_{max}. $$

Відношення \(\frac km\) невідоме, але його можна визначити.

У стані спокою тягарець перебуватиме в положенні рівноваги. Тоді можна записати другий закон Ньютона: $$ mg=F_\text{пр}, $$ де \(F_\text{пр}\) – це сила пружності, що діє на тягарець з боку гумової стрічки. Її можна визначити за формулою $$ F_\text{пр}=k\Delta x_0, $$ де \(\Delta x_0\) – розтяг пружини під вагою тягарця:

\begin{gather*} \Delta x_0=x_\text{рівн}-x_0;\\[7pt] \Delta x_0=18\ \text{см}-13\ \text{см};\\[7pt] \Delta x_0=5\ \text{см}, \end{gather*} де \(x_0\) – це довжина пружини без тягарця.

Тоді \begin{gather*} mg=k\Delta x_0;\\[6pt] \frac km=\frac{g}{\Delta x_0}. \end{gather*}

Після цього можна підставити отримане відношення у вираз для максимальної швидкості:

Відповідь: 28.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі про рух тіла під дією кількох сил.

Дано:
\(m=250\ \text{кг}\)
\(a=0,2\ \text{м/с}^2\)

Знайти:
\(m\ (\text{кг})\ -\ ?\)

На аеростат діють дві сили: сила тяжіння і сила Архімеда. Сила Архімеда не залежить від маси баласту, а силу тяжіння можна визначити за формулою $$ F_\text{тяж}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Тоді можна записати другий закон Ньютона для аеростата: $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_\text{тяж}}+\overrightarrow{F_\text{Арх}} $$

Сила тяжіння спрямована вниз, сила Архімеда – угору, до скидання балансу тіло аеростат опускається, тож прискорення також спрямоване вниз. Тоді векторне рівняння можна спроєктувати на вісь \(OY\): $$ -m_\text{до}a=-m_\text{до}g+F_\text{Арх}. $$

Після скидання баласту проєкція другого закону Ньютона матиме інший вигляд: $$ m_\text{після}a=-m_\text{після}g+F_\text{Арх}. $$

Тоді з рівняння для руху аеростата до скидання баласту можна виразити силу Архімеда: $$ F_\text{Арх}=m_\text{до}g-m_\text{до}a. $$

Тож:

Тоді маса скинутого баласту така:

Відповідь: 10.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон збереження механічної енергії під час розв’язування задач про рух тіла під дією кількох сил.

Якщо тілу надати певної швидкості, то воно матиме кінетичну енергію \(E_\mathrm{k}.\) Цієї енергії повинно вистачити, щоб тіло змогло піднятися вздовж похилої площини (кінетична енергія перейде в потенціальну енергію \(E_\mathrm{p}\)), долаючи під час цього силу тертя ковзання. Запишімо закон збереження механічної енергії для руху: $$ E_\mathrm{k}-A=E_\mathrm{p}, $$ де \(A\) ‒ робота сили тертя ковзання, яка є від’ємною, тому що напрямок сили тертя ковзання протилежний до напрямку руху тіла. Робота сили тертя ковзання дорівнює добутку модуля сили тертя ковзання \(F_\text{тер ковз}\) і модуля переміщення \(l\) (де \(l\) ‒ довжина дошки): $$ A=F_\text{тер ковз}\cdot l=\mathbf{\mu}N\cdot l=\mathbf{\mu}mg\cos\mathbf{\alpha}\cdot l, $$ де \(\mathbf{\mu}\) ‒ коефіцієнт тертя, \(N\) ‒ модуль сили нормальної реакції опори, \(m\) ‒ маса тіла, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут нахилу похилої площини (під час руху похилою площиною сила нормальної реакції опори дорівнює проєкції сили тяжіння на вісь \(Oy\)). Щоб унаочнити умову завдання і дібрати спосіб розв’язання, скористаймося схематичним рисунком.

Отже,

Відповідь: 6.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати напрямок рівнодійної сил і напрямок швидкості руху тіл під час різних видів руху.

Розгляньмо приклад A. Коли автобус гальмує, то рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на автобус, буде напрямлена протилежно до напрямку руху, тобто до напрямку швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху автобуса (див. рисунок). Отже, ситуації А відповідає опис 1 рівнодійної сил.

Коли футбольний м’яч, спрямований воротарем на іншу половину футбольного поля, піднімається, то рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на м’яч, напрямлена вертикально вниз, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху м’яча ‒ по дотичній до траєкторії руху м’яча вгору, тож кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) – тупий. Отже, жоден опис 1–4 не відповідає прикладу Б.

Напрямок рівнодійної \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на снаряд, який рухається всередині ствола гармати під час пострілу, збігається з напрямком швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху снаряда. Отже, прикладу B відповідає опис 2 рівнодійної сил.

Коли електрон улітає в магнітне поле під певним кутом до ліній магнітної індукції, то траєкторією його руху є гвинтова лінія. Рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) сил, що діють на електрон, буде напрямлена до центру витків гвинтової лінії, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху електрона ‒ по дотичній до траєкторії руху, тому кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) прямий. Отже, Прикладу Г відповідає опис 3 рівнодійної сил.

У прикладі з падінням камінця, кинутого під кутом до горизонту, рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на камінець, напрямлена вертикально вниз, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху камінця ‒ по дотичній до його траєкторії руху вниз. Тобто кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) гострий. Прикладу Д відповідає опис 4 рівнодійної сил.

Відповідь: 1А, 2В, 3Г, 4Д.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати другий закон Ньютона.

Другий закон Ньютона: прискорення \(\overrightarrow{a},\) якого набуває тіло внаслідок дії сили \(\overrightarrow{F},\) прямо пропорційне цій силі та обернено пропорційне масі \(m\) тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}. $$

Виразімо з формули шукану величину масу й запишімо її у проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox,\) уздовж якої рухається тіло: $$ m=\frac Fa. $$

Визначмо прискорення як відношення зміни швидкості руху тіла до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася (теж у проєкціях на вісь \(Ox\)): $$ a=\frac{v-v_0}{t}, $$ де \(v_0\) ‒ початкова швидкість руху тіла в момент початку відліку часу, \(v\) ‒ швидкість руху тіла через деякий інтервал часу \(t.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Система відліку.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття «система відліку» і розуміння відносності механічного руху.

Механічний рух ‒ зміна із часом положення тіла (або частин тіла) у просторі відносно інших тіл. Доки не вибрано систему відліку, неможливо стверджувати, рухається тіло чи перебуває в стані спокою.

Якщо людина підніматиметься по ескалатору зі швидкістю \(2,5\ \text{м/с,}\) то, за законом додавання швидкостей, вона рухатиметься відносно Землі з подвійною швидкістю \(5\ \text{м/с.}\)

Якщо людина стоятиме на ескалаторі, то відносно Землі вона рухатиметься з тією самою швидкістю, що й ескалатор, тобто \(2,5\ \text{м/с.}\)

Якщо ж людина спускатиметься по ескалатору з такою самою швидкістю, із якою він піднімається, то відносно ескалатора людина рухатиметься зі швидкістю \(2,5\ \text{м/с,}\) а відносно системи відліку, пов’язаної із Землею, людина не змінюватиме своє положення із часом, тобто перебуватиме в стані спокою.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна і його максимальне значення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу дії теплових двигунів і вміння визначати різними способами коефіцієнт корисної дії та фізичні величини, які на нього впливають.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) \(\mathbf{\eta}\) ‒ фізична величина, якою характеризують економічність теплового двигуна. Він дорівнює відношенню корисної роботи \(A,\) виконуваної двигуном за цикл, до кількості теплоти \(Q,\) одержуваної від нагрівника: $$ \mathbf{\eta}=\frac AQ. $$

Корисна робота двигуна полягає в подоланні сили опору руху візка \(F:\) $$ A=F\cdot s=F\cdot vt, $$ де \(s\) ‒ шлях, який долає візок, за час \(t,\ v\) ‒ швидкість руху візка.

Також коефіцієнт корисної дії такого двигуна можна визначити за формулою $$ \mathbf{\eta}=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}}, $$ де \(T_\text{Н}\) ‒ температура нагрівника; \(T_\text{Х}\) ‒ температура холодильника.

Прирівняймо ці два вирази для обчислення коефіцієнта корисної дії: \begin{gather*} \frac AQ=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}},\\[6pt] \frac{F\cdot vt}{Q}=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}}. \end{gather*}

Виразімо звідси модуль швидкості руху візка й обчислімо його:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сила тертя.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати сили тертя і рівнодійну сил, прикладених до тіл.

Щоб натягнути нитку, якою зв’язано бруски, треба зрушити з місця другий брусок, подолати максимальну силу тертя спокою, протилежно напрямлену до прикладеної горизонтальної сили \(\overrightarrow{F}.\) Обчислімо максимальну силу тертя спокою, яка діє на другий брусок:

Обчислімо силу натягу нитки \(T:\) \begin{gather*} T=F-F_{2\mathrm{max}\ \text{тер. спокою}}=8\ \text{Н}-6\ \text{Н}=2\ \text{Н}. \end{gather*}

Перевірімо, чи рухатиметься за таких умов перший брусок і, відповідно, уся система тіл. Для цього обчислімо максимальну силу тертя спокою, яка мала б діяти на перший брусок, якби він зрушив із місця:

Нитку натягнуто із силою \(2\ \text{Н},\) тож перший брусок залишиться на місці. Для того, щоб зрушити обидва зв’язані бруски, треба було б прикласти силу, що дорівнює сумі максимальних сил тертя спокою обох брусків, тобто \(11\ \text{Н}.\)

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення маси тіла й виштовхувальної сили.

1. На рисунку 1 зображено тіло в повітрі, підвішене до динамометра. Динамометр показує значення ваги тіла в повітрі \(P_\text{повітря}\) ‒ сили, із якою тіло діє на опору чи підвіс, у цій ситуації ‒ на пружину динамометра. Вага виникає внаслідок дії сили тяжіння. У повітрі вага тіла у спокої або прямолінійному рівномірному русі збігається за напрямком із силою тяжіння і дорівнює їй за значенням: $$ P_\text{повітря}=F_\text{тяж}=30\ \text{Н}. $$

З формули для визначення сили тяжіння визначмо масу \(m\) тіла: $$ F_\text{тяж}=mg, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Відповідно $$ m=\frac{F_\text{тяж}}{g}=\frac{30\ \text{Н}}{10\ \text{м/с}^2}=3\ \text{кг}. $$

Відповідь: 3.

2. На рисунку 2 динамометр показує вагу тіла в рідині: $$ P_\text{рідина}=20\ \text{Н}. $$

На тіло, занурене в рідину, діє виштовхувальна сила (сила Архімеда). У цій ситуації виштовхувальна сила дорівнюватиме різниці ваги тіла в повітрі й ваги тіла в рідині: \begin{gather*} F_\text{А}=P_\text{повітря}-P_\text{рідина}=30\ \text{Н}-20\ \text{Н}=10\ \text{Н}. \end{gather*}

Відповідь: 10.

Відповідь: 1. 3. 2. 10.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Інерціальні системи відліку.

Завдання скеровано на перевірку розуміння руху тіла за інерцією і вміння читати графіки.

Тіло, на яке не діють інші тіла й поля, називають ізольованим (вільним), а рух ізольованого тіла – рухом за інерцією. У реальності практично неможливо створити умови, коли на тіло нічого не діє, тому рухом за інерцією називають рівномірний прямолінійний рух за відсутності або скомпенсованості дії на тіло інших тіл і полів.

Єдиний графік, який відповідає прямолінійному рівномірному руху ‒ це графік залежності координати \(x\) від часу \(t\) на рисунку A (із часом координата тіла зменшується, оскільки тіло рухається вздовж осі \(Ox,\) але в протилежному напрямку).

На рисунку Б зображено графік залежності прискорення \(a\) від часу \(t.\) Прискорення із часом зростає, отже, це рух із прискоренням, яке рівномірно зростає, а не прямолінійний рівноприскорений рух.

На рисунках В і Г зображено графіки прямолінійного рівноприскореного руху: графік залежності швидкості \(v\) від часу \(t\) і графік залежності координати \(x\) від часу \(t.\) Швидкість рівномірно зростає із часом, а не є сталою, як для рівномірного руху. Графіком залежності координати від часу є вітка параболи, тобто це квадратична, а не пряма залежність величин \(x\) від \(t\) як під час рівномірного руху.

Отже, правильна відповідь ‒ графік на рисунку А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови рівноваги тіла.

Завдання скеровано на перевірку розуміння шарнірного з’єднання стержнів і скомпенсованості сил, уміння позначати сили, що діють, шукати їхні проєкції.

За умовою стержні невагомі, один на одного не діють.

У точці \(C\) підвішено тіло, на яке діє сила тяжіння. У стержні \(AC\) виникає деформація розтягу, а у стержні \(BC\) ‒ деформація стиску. Сили пружності \(\overrightarrow{F}_{AC}\ \text{i}\ \overrightarrow{F}_{BC}\) будуть направлені, як на рисунку:

Побудуймо рівнодійну цих сил пружності. Вона буде компенсувати дію сили тяжіння.

За другим законом Ньютона

Спроєктуймо вектори сил на вісь \(Ox\) і \(Oy.\)

Визначімо з прямокутного трикутника \(ABC\) тригонометричні функції:

Розв’яжімо систему рівнянь:

1) З другого рівняння системи визначімо силу пружності в стержні \(AC:\)

Відповідь: 15.

2) Підставімо в перше рівняння системи значення сили пружності \(F_{AC}\) й обчислімо силу пружності в стержні \(BC:\) \begin{gather*} F_{BC}=\frac{0,8F_{AC}}{0,6}=\frac{0,8\cdot 15\ \text{Н}}{0,6}=20\ \text{Н}. \end{gather*}

Відповідь: 20.

Відповідь: 1. 15. 2. 20.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку другого закону Ньютона.

Відповідно до другого закону Ньютона тіло масою \(m\) внаслідок дії сили набуває прискорення, модуль якого обчислімо за формулою:

Отже, під дією сили тіло буде рухатися рівноприскорено, із прискоренням \(2\ \text{м/с}^2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на рух тіла під дією кількох сил.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат

де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(\overrightarrow{a}\) – прискорення, з яким зісковзує тіло з похилої площини, \(\overrightarrow{F}_\text{Т}\) – сила тяжіння, \(\overrightarrow{N}\) – сила нормальної реакції опори, \(\overrightarrow{F}_\text{тер}\) – сила тертя ковзання, \(\mathbf{\mu}\) – коефіцієнт тертя ковзання.

Виразімо силу нормальної реакції опори з рівняння (2) і підставимо в рівняння (1):

Обидві частини отриманого рівняння скоротімо на масу \(m\) тіла: $$ a=g\sin\mathbf{\alpha}-\mathbf{\mu}g\cos\mathbf{\alpha}. $$

Виразімо й обчислімо коефіцієнт тертя ковзання: $$ \mathbf{\mu}=\frac{g\sin\mathbf{\alpha}-a}{g\cos\mathbf{\alpha}}. $$

За умовою $$ \mathbf{\alpha}=\arcsin\mathbf{\alpha}. $$

Відповідно

Відповідь: 0,5.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дії простого механізму ‒ нерухомого блоку, і вміння аналітично описувати рух зв’язаних тіл за допомогою другого закону динаміки Ньютона.

Схематично зобразімо на рисунку сили тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{т1}\) і \(\overrightarrow{F}_\text{т2}\) й сили натягу нитки \(\overrightarrow{T},\) що діють на кожний зі шматків жерсті масами \(m_1\) і \(m_2,\) а також напрямки прискорень \(\overrightarrow{a}_1\) і \(\overrightarrow{a}_2\) й вибраний напрямок осі координат \(Oy.\)

Запишімо для обох предметів другий закон динаміки Ньютона у векторному вигляді:

Запишімо систему рівнянь у проєкціях на вісь \(Oy:\) $$ \left\{ \begin{array}{l} m_1a_1=-F_\text{т1}+T\\ -m_2a_2=-F_\text{т2}+T \end{array} \right. $$

Пояснімо, чому за модулем $$ a_1=a_2=a $$ й сила натягу нитки за модулем однакова.

Відповідно до умови кінематичного зв’язку, що випливає з нерозтяжності нитки, за будь-який інтервал часу ліва ділянка нитки подовжується саме на стільки, на скільки скорочується права. Таким чином, переміщення обох шматків жерсті весь час однакові за модулем. Звідси випливає, що в шматків однакові й модулі швидкостей, і модулі прискорень, тому $$ a_1=a_2=a. $$

Якщо масами нитки та блока, а також тертям в осі блока можна знехтувати (а це можна зробити, тому що в умові завдання даних про це немає), то сила натягу нитки \(\overrightarrow{T}\) в усіх її перерізах однакова. Отже, нитка діє на обидва тягарці з однаковою силою \(\overrightarrow{T},\) напрямленою вгору (див. рисунок).

Узявши до уваги попередні пояснення

і віднявши від першого рівняння системи друге, дістанемо: \begin{gather*} m_1a_1+m_2a_2=-m_1g+m_2g,\\[6pt] a=\frac{g(m_2-m_1)}{m_2+m_1}. \end{gather*}

В умові є інформація про матеріал і розміри шматків жерсті, тож виразімо їхні маси через густину \(\mathbf{\rho}\) й об’єм \(V:\)

Шматки жерсті виготовлено з однакового матеріалу, тому $$ \mathbf{\rho}_1=\mathbf{\rho}_2=\mathbf{\rho}. $$

Товщина \(h\) шматків однакова, а сторона \(a\) квадратного шматка жерсті вдвічі більша за сторону іншого:

Отже,

Підставимо отримані вирази для мас у формулу для прискорення:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону збереження механічної енергії, уміння описати аналітично рух тіла під дією кількох сил.

Перед початком руху тіло масою \(m\) було на висоті \(h,\) тобто мало певний запас пасивної механічної енергії ‒ потенціальної \(E_p:\) $$ E_p=mgh, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Отже,

Ковзаючи по похилій площині довжиною \(s,\) тіло втрачає частину енергії на виконання роботи \(A\) сили тертя ковзання \(F_\text{тер}.\) Частина потенціальної енергії переходить у внутрішню енергію тіла і похилої площини: $$ A=F_\text{тер}s\cos\mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут між вектором сили й вектором переміщення.

Сила тертя ковзання напрямлена проти руху тіла, а переміщається воно вздовж похилої площини, то ж зазначений кут становитиме \(180^\circ.\) Оскільки $$ \cos180^\circ=-1, $$ робота сили тертя ковзання від’ємна. Визначімо її модуль.

Схематично зобразимо на похилій площині й позначимо всі сили, що діють на тіло. Сила тяжіння \(m\overrightarrow{g}\) з боку Землі завжди напрямлена вертикально вниз, сила нормальної реакції \(\overrightarrow{N}\) перпендикулярна до похилої площини, сила тертя ковзання \(\overrightarrow{F}_\text{тер}\) діє проти руху тіла вздовж похилої площини.

Запишімо другий закон Ньютона у векторній формі: $$ m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F}_\text{тер}. $$

Сила тертя ковзання \(F_\text{тер}\) дорівнює добутку коефіцієнта тертя ковзання \(\mathbf{\mu}\) і сили \(N\) нормальної реакції опори: $$ F_\text{тер}=\mathbf{\mu}N. $$

Для того, щоб визначити \(N,\) запишімо другий закон Ньютона в проєкціях на вісь \(Oy:\) \begin{gather*} 0=-mg\cos\mathbf{\alpha}+N,\\[7pt] N=mg\cos\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Отже, $$ F_\text{тер}=\mathbf{\mu}N=\mathbf{\mu}mg\cos\mathbf{\alpha}. $$

Виразимо модуль переміщення тіла (довжину похилої площини) через дані в умові завдання: $$ s=\frac{h}{\sin\mathbf{\alpha}}. $$

Отже, остаточна формула для визначення роботи сили тертя ковзання набуває такого вигляду:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку уміння визначати потужність.

Потужність \(P\) (або \(N\)) ‒ це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи й дорівнює відношенню роботи \(A\) до інтервалу часу \(t,\) за який цю роботу виконано: $$ P=\frac At. $$

Робота рівнодійної всіх сил, які діють на тіло, дорівнює зміні кінетичної енергії \(\Delta E_k\) тіла ‒ це теорема про кінетичну енергію: $$ A=E_k-E_{k0}=\Delta E_k. $$

У результаті дії сил опору автомобіль зупиниться, тобто через час \(t\) його кінцева швидкість дорівнюватиме нулю: $$ v_\text{к}=0. $$

Тобто \(E_k=0,\) а теорема про кінетичну енергію зводиться до рівності $$ A=E_{k0}=\frac{mv^2_0}{2}, $$ де \(m\) ‒ маса автомобіля, \(v_0\) ‒ швидкість його руху на початку проміжку часу \(20\ \text{с}:\)

За умовою завдання автомобіль змінює швидкість, сповільнюється. Тому середня потужність двигуна ‒ це середнє арифметичне потужностей у певні моменти часу (так би мовити миттєвих потужностей), що дорівнюють добутку модуля сили тяги двигуна на модуль його миттєвої швидкості.

Оскільки всю енергію двигуна буде витрачено на подолання сил опору, то середня потужність двигуна дорівнюватиме середній потужності сил опору.

Отже, визначмо середню потужність сил опору:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Система відліку.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття системи відліку й відносності механічного руху.

Механічний рух ‒ зміна із часом положення тіла (або частин тіла) в просторі відносно інших тіл. Доки не вибрано систему відліку, неможливо стверджувати, рухається тіло чи перебуває в стані спокою.

Якщо людина підійматиметься ескалатором зі швидкістю \(2,5\ \text{м/с},\) то за законом додавання швидкостей відносно Землі вона рухатиметься з подвійною швидкістю \(5\ \text{м/с}.\)

Якщо людина стоятиме нерухомо на ескалаторі, то відносно Землі вона рухатиметься з тією самою швидкістю, що й ескалатор, тобто \(2,5\ \text{м/с}.\)

Якщо ж людина спускатиметься ескалатором із такою ж швидкістю, з якою він підійматиметься, то відносно ескалатора людина рухатиметься зі швидкістю \(2,5\ \text{м/с},\) а відносно системи відліку, пов’язаної із Землею, людина не змінюватиме свого положення із часом, тобто перебуватиме в стані спокою.

Відповідь: A.

Тема: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку розуміння другого закону Ньютона й уміння читати кінематичні рівняння.

Відповідно до другого закону Ньютона тіло масою \(m\) унаслідок дії сили набуває прискорення \(a,\) модуль якого обчислімо за формулою $$ a=\frac Fm, $$ де \(F\) ‒ це модуль рівнодійної всіх сил, що діють на тіло.

Для того щоб визначити модуль рівнодійної всіх сил, які діють на автомобіль, треба масу помножити на модуль прискорення: $$ F=ma. $$

Маса відома з умови. А прискорення визначімо з рівняння руху автомобіля, що наведене в умові.

Запишімо рівняння руху автомобіля в загальному вигляді: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x\) ‒ кінцева координата тіла, \(x_0\) ‒ початкова координата тіла, \(v_0\) ‒ модуль початкової швидкості руху тіла, \(a\) ‒ модуль прискорення руху тіла, \(t\) ‒ час руху тіла.

Значення прискорення ‒ це множник біля \(\frac{t^2}{2}:\) $$ x=1+3t+2t^2=1+3t+\frac{4t^2}{2}, $$ отже, прискорення \(a=4\ \text{м/с}^2.\)

Обчислімо модуль рівнодійної: $$ F=800\ \text{кг}\cdot 4\ \text{м/с}^2=3200\ \text{Н}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння повітроплавання тіл, уміння описувати його за допомогою формул.

Позначмо всі сили, що діють на систему тіл у повітрі: повітряна куля з гелієм ‒ вантаж. Це сила тяжіння \(m_\text{в}\overrightarrow{g},\) що діє на вантаж, сила тяжіння \((m_\text{об}+m_\text{He})\overrightarrow{g},\) що діє на повітряну кулю (оболонка плюс гелій), виштовхувальна сила (сила Архімеда) \(\overrightarrow{F}_A,\) що діє з боку повітря на цю систему тіл (див. рисунок).

За другим законом Ньютона векторна сума всіх сил дорівнюватиме нулю, оскільки в умові зазначено, що система не рухається: $$ m_\text{в}\overrightarrow{g}+(m_\text{об}+m_\text{He})\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_A=0. $$

Запишімо це рівняння в проєкціях: $$ (m_\text{в}+m_\text{об}+m_\text{He})g=F_A. $$

Розпишімо силу Архімеда: $$ F_A=\mathbf{\rho}_\text{пов}gV, $$ де \(\mathbf{\rho}_\text{пов}\) ‒ густина повітря, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(V\) ‒ об’єм системи куля ‒ вантаж. В умові зазначено, що об’єм вантажу малий, тож ним можна знехтувати. Оболонка кулі є тонкою, тобто нехтуємо її товщиною, яка не впливатиме на шуканий об’єм. Також в умові відмічено, що газонепроникна оболонка кулі не чинить опору зміні об’єму кулі, тобто тиск \(p\) повітря ззовні кулі дорівнюватиме тиску, який чинить зсередини гелій. Отже, оскільки куля має неправильну форму, і ми не зможемо обчислити її об’єм, визначімо об’єм гелію \(V_\text{He}\) з рівняння стану ідеального газу ‒ рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона (ідеальність гелію і повітря теж зазначено в умові): $$ pV_\text{He}=\frac{m_\text{He}}{M_\text{He}}RT, $$ де \(m_\text{He}\) ‒ маса гелію, \(M_\text{He}\) ‒ молярна маса гелію, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(T\) ‒ абсолютна температура.

Тобто $$ V_\text{He}=\frac{m_\text{He}\cdot RT}{p\cdot M_\text{He}}. $$

Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона для повітря: $$ pV_\text{пов}=\frac{m_\text{пов}}{M_\text{пов}}RT. $$

Звідси визначімо густину повітря: $$ \frac{pM_\text{пов}}{RT}=\frac{m_\text{пов}}{V_\text{пов}}=\mathbf{\rho}_\text{пов}. $$

Підставімо вирази для густини повітря і для об’єму гелію у формулу виштовхувальної сили:

Повернімося до запису другого закону Ньютона в проєкціях і визначімо шукану величину ‒ масу гелію:

Відповідь: 100.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку розуміння того, які сили діють на тіло, уміння описати стан тіла за допомогою другого закону Ньютона.

Зображена система зв’язаних брусків не рухатиметься, якщо сили натягу нитки на обох її кінцях, створені кожним бруском, однакові.

Зобразімо на рисунку сили, що діють уздовж поверхонь похилих площин і які впливатимуть на стан системи брусків. Це проєкції сил тяжіння \((m_1\overrightarrow{g}\ \text{i}\ m_2\overrightarrow{g})\) і сил натягу нитки (\(\overrightarrow{T}_1=\overrightarrow{T}_2=\overrightarrow{T},\) оскільки бруски з’єднано спільною ниткою). Проєкції сил, перпендикулярних до поверхонь похилих площин (сили нормальної реакції опори \(\overrightarrow{N}_1\ \text{i}\ \overrightarrow{N}_2\) і вага \(\overrightarrow{P}_1\ \text{i}\ \overrightarrow{P}_2\)), скомпенсовані й на рух системи тіл не впливають.

Запишімо другий закон Ньютона для обох брусків у проєкціях на осі вздовж поверхонь похилих площин:

Прирівняймо вирази для сили натягу нитки й визначімо співвідношення мас:

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Додавання сил. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівнодійної сил, прикладених до тіла, і вміння її знаходити за допомогою геометричної побудови.

Здебільшого (як в умові) на тіло діють кілька сил. Якщо тіло можна вважати матеріальною точкою, то всі ці сили можна замінити однією ‒ рівнодійною. Рівнодійна дорівнює геометричній сумі сил, які діють на тіло: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\overrightarrow{F}_3. $$

Суму двох векторів визначають за правилом паралелограма або за правилом трикутника.

Візьмімо, наприклад, пару векторів \(\overrightarrow{F}_1\) і \(\overrightarrow{F}_3\) й добудуємо на них паралелограм, як на рисунку:

Діагональ, яка виходить із точки, у якій збігаються початки вибраних векторів, буде їхньою рівнодійною \(\overrightarrow{F}_{13}.\)

З рисунка зрозуміло, що вектор сили \(\overrightarrow{F}_2\) і вектор \(\overrightarrow{F}_{13}\) лежать на одній прямій і напрямлені в різні боки. До того ж вони однакової довжини, тобто рівні за модулем. Отже, ці сили компенсують одна одну. Тобто їхня рівнодійна дорівнює нулю: $$ F=F_2-F_{13}=0\ \text{Н}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівнянь гармонічних коливань.

Коливання, під час яких координата \(\mathbf{\chi}\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), називають гармонічними коливаннями:

де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань.

Коли координата тіла змінюється за гармонічним законом (за законом косинуса або синуса), швидкість і прискорення руху тіла теж змінюються гармонічно: перша похідна координати тіла за часом \(\mathbf{\chi}'(t)\) ‒ це рівняння швидкості руху тіла, а друга похідна координати тіла по часу \(\mathbf{\chi}''(t)\) ‒ це рівняння прискорення руху тіла.

В умові завдання маємо гармонічне рівняння прискорення руху тіла. Підставивши в це рівняння значення часу \(t=\frac 56\ \text{с},\) зможемо визначити прискорення руху тіла в цей момент часу:

Проєкцію сили на вісь \(Ox,\) що діє на тіло масою \(m,\) можна тепер визначити за другим законом Ньютона:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття рівнодійної сил, а також вміння графічно пов’язати динаміку й кінематику процесу.

Сформулюймо другий закон Ньютона: прискорення \(\overrightarrow{a},\) якого набуває тіло внаслідок дії сили \(\overrightarrow{F},\) прямо пропорційне цій силі й обернено пропорційне масі \(m\) тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}. $$

Здебільшого на тіло діють кілька сил. Якщо тіло можна вважати матеріальною точкою, то всі ці сили можна замінити однією – рівнодійною. Рівнодійна дорівнює геометричній сумі сил, які діють на тіло: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n, $$ тому другий закон Ньютона зазвичай записують так: \begin{gather*} \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n}{m},\\[6pt] \text{aбо}\\[7pt] \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n=m\overrightarrow{a}. \end{gather*}

Якщо сили, що діють на тіло, скомпенсовано, тобто рівнодійна дорівнює нулю $$ \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n=0, $$ тіло не змінюватиме швидкості свого руху ані за значенням, ані за напрямком: $$ \overrightarrow{a}=0, $$ отже, рухатиметься рівномірно прямолінійно або перебуватиме в спокої.

Графіком проєкції швидкості \(v_x\) у разі прямолінійного рівномірного руху є відрізок прямої, паралельної осі часу \(t,\) адже швидкість руху не змінюється із часом. Отже, у завданні цій умові відповідає ділянка графіка \(BC.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Поверхневий натяг рідин. Сила поверхневого натягу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дії сили поверхневого натягу і вміння застосовувати другий закон Ньютона у відповідній ситуації.

Зобразимо на рисунку всі сили, що діють на дротинку: вертикально вниз ‒ сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{тяж}\) і сили поверхневого натягу \(\overrightarrow{F}_\text{пов}\) з обох боків дротинки як на рисунку; вертикально вгору ‒ прикладена зовнішня сила \(\overrightarrow{F}_\text{зовн}.\)

Щоб можна було відірвати дротинку від поверхні рідини, зовнішня сила, напрямлена вгору, повинна дорівнювати сумі сил, що напрямлені вертикально вниз: $$ F_\text{зовн}=F_\text{тяж}+2F_\text{пов}. $$

Запишімо вирази для зазначених сил і визначімо шукану величину ‒ поверхневий натяг рідини \(\mathbf{\sigma}:\)

де \(m\) ‒ маса дротинки, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(l\) ‒ довжина дротинки.

Відповідь: 45.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Інерціальні системи відліку.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття інерціальних систем відліку, а також фізичних величин у цих системах.

Інерціальною системою відліку називають систему відліку, відносно якої спостерігають явище інерції.

Інерцією називають явище збереження тілом стану спокою або рівномірного прямолінійного руху за умови, що на нього не діють інші тіла й поля або їхні дії скомпенсовані.

Систему відліку утворюють тіло відліку, пов’язана з ним система координат і прилад для відліку часу.

Швидкість руху досліджуваного тіла, його переміщення і напрямок руху залежатимуть від того, що буде вибрано за тіло відліку, з якою сталою швидкістю воно рухатиметься, як будуть зорієнтовані осі координат. Наприклад, якщо розглядати рух автомобіля в потоці відносно інших машин, то його швидкість може дорівнювати нулю, а відносно дерева на тротуарі автомобіль рухатиметься з певною швидкістю. Або якщо змінимо напрямок осі на протилежний, то напрямок руху автомобіля відносно до напрямку осі теж зміниться на зворотний.

Натомість прискорення залишиться незмінною величиною в будь-якій інерціальній системі відліку. Зміна швидкості руху тіла буде однаковою відносно систем відліку, що зберігають стан спокою або рухаються з певною сталою швидкістю.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння повітроплавання тіл, уміння описувати його за допомогою формул.

Позначмо всі сили, що діють на систему тіл у повітрі: повітряна куля з газом ‒ вантаж. Це сила тяжіння \(m_\text{в1}\overrightarrow{g},\) що діє на вантаж, сила тяжіння \(m_\text{r1}\overrightarrow{g},\) що діє на повітряну кулю (лише на газ, за умовою вагою оболонки можна знехтувати), виштовхувальна сила (сила Архімеда) \(\overrightarrow{F}_\text{A},\) що діє з боку повітря на цю систему тіл (див. рисунок).

За другим законом Ньютона векторна сума всіх сил дорівнюватиме нулю, оскільки в умові не зазначено, що повітряна куля разом з вантажем піднімається вгору, отже, зупинимося на крайньому випадку, коли система не рухається ‒ куля просто утримує вантаж на певній висоті: $$ m_\text{в1}\overrightarrow{g}+m_\text{r1}\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_\text{A}=0. $$

Запишімо це рівняння в проєкціях: $$ (m_\text{в1}+m_\text{r1})g=F_\text{A}. $$

Розпишімо силу Архімеда: $$ F_\text{A}=\mathbf{\rho}_\text{пов}gV, $$ де \(\mathbf{\rho}_\text{пов}\) ‒ густина повітря, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(V\) ‒ вважатимемо, що це об’єм повітря в кулі (за умовою вагою оболонки кулі можна знехтувати). Об’єм вантажу об’єктивно малий у порівнянні з розмірами повітряної кулі, тож ним можна знехтувати.

Підставімо вираз для виштовхувальної сили в рівняння другого закону Ньютона:
‒ до нагрівання газу в кулі: $$ (m_\text{в1}+m_\text{r1})g=\mathbf{\rho}_\text{пов}gV, $$ ‒ після нагрівання газу в кулі: $$ (m_\text{в2}+m_\text{r2})g=\mathbf{\rho}_\text{пов}gV, $$

Урахуємо співвідношення густин повітря і газу:
‒ до нагрівання: $$ \mathbf{\rho}_\text{r1}=\frac 16\mathbf{\rho}_\text{пов}, $$ відповідно $$ m_\text{r1}=\mathbf{\rho}_\text{r1}\cdot V=\frac 16\mathbf{\rho}_\text{пов}\cdot V, $$ ‒ після нагрівання: $$ \mathbf{\rho}_\text{r2}=\frac{1}{12}\mathbf{\rho}_\text{пов}, $$ відповідно $$ m_\text{r2}=\mathbf{\rho}_\text{r2}\cdot V=\frac{1}{12}\mathbf{\rho}_\text{пов}\cdot V. $$ \begin{gather*} m_\text{в1}+\frac 16\mathbf{\rho}_\text{пов}\cdot V=\mathbf{\rho}_\text{пов}V,\\[6pt] m_\text{в2}+\frac{1}{12}\mathbf{\rho}_\text{пов}\cdot V=\mathbf{\rho}_\text{пов}V. \end{gather*}

Визначимо відношення мас вантажу після і до нагрівання:

Отже, після нагрівання газу, яким заповнена повітряна куля, допустима маса вантажу, який зможе підняти куля, збільшиться в \(1,1\ \text{раза}.\)

Відповідь: 1,1.