Завдання за темою з фізики

Коментар

ТЕМА: Фізичні величини. Вимірювання фізичних величин.

Завдання скеровано на перевірку розуміння побудови шкали приладів і вміння визначати за показами шкали приладів певні фізичні величини, зокрема об’єм.

Поділка ‒ це відстань між рисками (горизонтальними позначками, лініями) на вимірювальній шкалі.

Кількість поділок, на яку заповнено рідиною мірний циліндр, дорівнює \(20.\) За умовою ціна поділки мірного циліндра – \(5\ \text{мл}.\) Отже, об’єм рідини в циліндрі становитиме:

$$ 5\ \text{мл}\cdot 20 = 100\ \text{мл}. $$

Відповідь: B.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння умови плавання тіл і закону Архімеда.

Прирівняймо сили, що діють на кубик: $$ F_\text{т}=F_\text{А}, $$ де \(F_\text{т}\) ‒ сила тяжіння, яка діє на все тіло й напрямлена вертикально вниз, \(F_\text{А}\) ‒ сила Архімеда, що діє лише на занурену частину тіла й напрямлена вертикально вгору.

Розпишімо ці сили: $$ mg=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Hg}gV_\text{зан}, $$ де \(m\) ‒ маса тіла (кубика), \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Hg}\) ‒ густина рідини (ртуті), у яку занурено тіло, \(V_\text{зан}\) ‒ об’єм зануреної частини тіла.

Маса тіла дорівнює добутку густини й об’єму тіла: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{т}Vg=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Hg}gV_\text{зан}. $$

Кубик лише на \(\frac 15\) свого об’єму занурений у ртуть, тому

Відповідно до таблиці, у якій наведено густини металів, кубик виготовлено з алюмінію \(\mathrm{Al},\) отже, правильна відповідь ‒ Б.

Відповідь: Б.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Умови плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов плавання тіл.

Розгляньмо два варіанти плавання бруска: у гасі й у воді. Силу тяжіння \(F_\text{тяж},\) що діє на брусок, урівноважує сила Архімеда \(F_А\) (за модулем).

Варіант перший – брусок плаває у гасі: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АГ},\\[7pt] mg=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}gV_\text{Гзан}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса бруска, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}\) ‒ густина гасу, \(V_\text{Гзан}\) ‒ об’єм зануреної в гас частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}, $$ де \(S\) ‒ площа основи (нижньої грані) бруска, \(h_\text{Г}\) ‒ глибина занурення бруска в гас.

Варіант другий – брусок плаває у воді: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АВ},\\[7pt] mg=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}gV_\text{Взан}, \end{gather*} де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}\) ‒ густина води, \(V_\text{Взан}\) ‒ об’єм зануреної у воду частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: \begin{gather*} m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}, \end{gather*} де \(h_\text{В}\) – глибина занурення бруска у воду.

Прирівняймо вирази для визначення маси \(m\) бруска: \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}. \end{gather*}

Визначмо й обчислімо шукану величину \(h_\text{В}\) ‒ глибину занурення бруска у воду: \begin{gather*} h_\text{В}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{Г}h_\text{Г}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{В}},\\[6pt] h_\text{В}=\frac{800\ \text{кг/м}^3\cdot 60\ \text{мм}}{1000\ \text{кг/м}^3}=48\ \text{мм}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення маси тіла й виштовхувальної сили.

1. На рисунку 1 зображено тіло в повітрі, підвішене до динамометра. Динамометр показує значення ваги тіла в повітрі \(P_\text{повітря}\) ‒ сили, із якою тіло діє на опору чи підвіс, у цій ситуації ‒ на пружину динамометра. Вага виникає внаслідок дії сили тяжіння. У повітрі вага тіла у спокої або прямолінійному рівномірному русі збігається за напрямком із силою тяжіння і дорівнює їй за значенням: $$ P_\text{повітря}=F_\text{тяж}=30\ \text{Н}. $$

З формули для визначення сили тяжіння визначмо масу \(m\) тіла: $$ F_\text{тяж}=mg, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Відповідно $$ m=\frac{F_\text{тяж}}{g}=\frac{30\ \text{Н}}{10\ \text{м/с}^2}=3\ \text{кг}. $$

Відповідь: 3.

2. На рисунку 2 динамометр показує вагу тіла в рідині: $$ P_\text{рідина}=20\ \text{Н}. $$

На тіло, занурене в рідину, діє виштовхувальна сила (сила Архімеда). У цій ситуації виштовхувальна сила дорівнюватиме різниці ваги тіла в повітрі й ваги тіла в рідині: \begin{gather*} F_\text{А}=P_\text{повітря}-P_\text{рідина}=30\ \text{Н}-20\ \text{Н}=10\ \text{Н}. \end{gather*}

Відповідь: 10.

Відповідь: 1. 3. 2. 10.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв᾽язувати задачі, коли на тіло діє кілька сил.

Позначмо сили, які діють на тіло, занурене в олію, а потім – у воду.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона в проєкціях на вертикальну вісь, напрямлену вниз: $$ \left\{ \begin{array}{l} F_\text{т}=F_{\text{пр}_\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}\\ F_\text{т}=F_{\text{пр}_\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}}, \end{array}\right. $$ де \(F_\text{т}\) ‒ сила тяжіння, що не залежить від рідини, у яку занурено тіло, \(F_{\text{пр}_\text{олія}}\) і \(F_{\text{пр}_\text{вода}}\) ‒ сили пружності, \(F_{\text{A}_\text{олія}}\) і \(F_{\text{A}_\text{вода}}\) ‒ сили Архімеда.

Усі тіла внаслідок гравітаційного притягання стискають або прогинають опору або розтягують підвіс. Силу, яка характеризує таку дію тіл, називають вагою і позначають \(\overrightarrow{P}.\) Отже, за третім законом Ньютона \(F_\text{пр}=P.\) $$ \left\{ \begin{array}{l} F_\text{т}=P_{\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}\\ F_\text{т}=P_{\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}}, \end{array}\right. $$

Прирівняємо праві частини цих формул: \begin{gather*} P_{\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}=P_{\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}},\\[7pt] P_{\text{олія}}-P_{\text{вода}}=F_{\text{A}_\text{вода}}-F_{\text{A}_\text{олія}},\\[7pt] \Delta P=F_{\text{A}_\text{вода}}-F_{\text{A}_\text{олія}}, \end{gather*} де \(\Delta P\) ‒ це та різниця у вазі, яку показав динамометр під час зважування у воді й олії.

Запишімо, чому дорівнює сила Архімеда у воді та олії: \begin{gather*} \Delta P=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{вода}gV_\text{т}-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{олія}gV_\text{т}, \end{gather*} де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{вода}\) і \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{олія}\) ‒ густини, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(V_\text{т}\) ‒ шуканий об᾽єм тіла.

Відповідь: B.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин та газів. Тиск. Закон Паскаля для рідин та газів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу роботи гідравлічного преса.

Гідравлічний прес ‒ це найпростіша гідравлічна машина, яку використовують для створення великих сил тиску (див. рисунок).

Якщо до поршня меншого циліндра прикласти силу \(\overrightarrow{F}_1,\) то ця сила чинитиме на поверхню рідини певний додатковий тиск \(p:\) $$ p=\frac{F_1}{S_1}, $$ де \(S_1\) ‒ площа меншого поршня.

За законом Паскаля цей тиск передаватиметься в усі точки рідини, якою заповнені сполучені циліндри. Тож рідина почне тиснути з певною силою \(\overrightarrow{F}_2\) на поршень більшого циліндра: $$ F_2=p\cdot S_2, $$ де \(S_2\) ‒ площа більшого поршня; \(p\) ‒ додатковий тиск.

Отже, сила, що діє з боку рідини на великий поршень, більша від сили, що діє на малий поршень, у стільки разів, у скільки разів площа великого поршня більша за площу малого: $$ \frac{F_2}{F_1}=\frac{S_2}{S_1}, $$ де \(\frac{F_2}{F_1}\) ‒ це виграш у силі.

Використанням гідравлічного преса забезпечено виграш у силі й, водночас, програш у відстані та, відповідно, швидкості. Час опускання меншого поршня такий самий, як і час піднімання більшого поршня. А відстань \(h_1,\) яку проходить менший поршень, більша за відстань \(h_2,\) яку долає більший поршень (див. рисунок). Тоді менший поршень мусить рухатися з більшою швидкістю \(v_1,\) щоб за той самий час подолати більшу відстань:

\begin{gather*} \frac{S_2}{S_1}=\frac{v_1}{v_2},\\[6pt] v_2=\frac{v_1\cdot S_1}{S_2},\\[6pt] v_2=\frac{0,4\ \text{м/с}\cdot 3\ \text{см}^2}{600\ \text{см}^2}=0,002\ \text{м/с}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Коментар

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон Кулона. Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбіновані задачі з різних розділів фізики.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат для початкового стану: \begin{gather*} m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{F}_\text{K},\\[6pt] Ox:\ \ \ 0=-T\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}+F_\text{K},\\[6pt] Oy:\ \ \ 0=-mg+T\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса кульки, \(\overrightarrow{a}\) ‒ прискорення руху кульки, \(\overrightarrow{g}\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\overrightarrow{T}\) ‒ сила натягу нитки, \(\overrightarrow{F}_\text{K}\) ‒ сила Кулона.

Дістаємо систему рівнянь: $$ \left\{ \begin{array}{l} T=\frac{F_\text{K}}{\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}\\ mg=T\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2} \end{array} \right. $$

Звідси \begin{gather*} mg=\frac{F_\text{K}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}{\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}=F_\text{K}\mathrm{ctg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}. \end{gather*}

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат, коли кульки занурили в гас: \begin{gather*} m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_\text{А}+\overrightarrow{T}_\text{г}+\overrightarrow{F}_\text{гК},\\[6pt] Ox:\ \ \ 0=-\overrightarrow{T}_\text{г}\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}+\frac{F_\text{K}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}},\\[6pt] Oy:\ \ \ 0=-mg+F_\text{А}+T_\text{г}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}, \end{gather*} де \(\overrightarrow{T}_\text{г}\) ‒ сила натягу нитки в гасі, \(\overrightarrow{F}_\text{гК}\) ‒ сила Кулона, що діє між кульками в гасі, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\) ‒ діелектрична проникність гасу, \(\overrightarrow{F}_\text{А}\) ‒ сила Архімеда.

Сила Кулона в гасі зміниться від того, що в іншого середовища інша діелектрична проникність. За умовою кут між нитками не змінився після занурення в гас. Тож відстань між кульками не змінилася. Але на кульки в гасі діє сила Архімеда. Узявши до уваги всі ці умови, дістаємо систему рівнянь: $$ \left\{ \begin{array}{l} T_\text{г}=\frac{F_\text{K}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\cdot \sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}\\ mg=F_\text{А}+T_\text{г}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2} \end{array} \right. $$

Звідси

$$ mg=F_\text{А}+\frac{F_\text{K}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}=F_\text{А}+\frac{F_\text{К}\mathrm{ctg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}. $$

Складімо систему з отриманих для обох ситуацій рівнянь і розв’яжімо її:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} mg=F_\text{K}\mathrm{ctg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}\\ mg=F_\text{А}+\frac{F_\text{K}\mathrm{ctg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}} \end{array} \right. \\[6pt] mg=F_\text{А}+\frac{F_\text{K}\mathrm{ctg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}=F_\text{А}+\frac{mg}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}V_\text{к}g=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{г}gV_\text{к}+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}V_\text{к}g}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}, \end{gather*}

де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}\) ‒ густина матеріалу кульок, \(V_\text{к}\) ‒ об’єм кульки, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{г}\) ‒ густина гасу.

Тобто \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{г}+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{г}}{1-\frac{1}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}}\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{к}=\frac{800\ \text{кг/м}^3}{1-\frac 12}=1600\ \text{кг/м}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1600.

Коментар

ТЕМА: Елементи механіки рідин і газів. Гідростатичний тиск.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати гідростатичний тиск.

Рівень рідини в трубці встановлюється так, що тиск у рідині на кожному рівні дорівнює тиску в рідині в широкій посудині.

Тиск у широкій посудині на кожному рівні можна визначити за формулою $$ p=p_\text{атм}+p_\text{гідр}, $$ де \(p_\text{гідр}\) – гідростатичний тиск, \(p_\text{атм}\) – атмосферний тиск.

Гідростатичний тиск – тиск нерухомого стовпчика рідини або газу.

Гідростатичний тиск визначають за формулою $$ p_\text{гідр}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Тиск повітря в трубці можна вважати однаковим у кожній точці, уключно із тиском на межі повітря – рідина. Тиск на цій межі можна визначити за формулою $$ p=p_\text{атм}+p_\text{гідр}=p_\text{атм}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}ga. $$

Відповідь: A.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Динаміка. Капілярні явища. Сила Архімеда. Сила пружності. Невагомість.

Завдання скеровано на перевірку розуміння природи фізичних явищ і сил.

1 Капілярні явища зумовлені тим, що рідини в тонких трубках мають велику площу контактування з твердою речовиною. Увігнутий або опуклий меніск утворюється залежно від того, чи змочує рідина поверхню чи не змочує. Унаслідок дії сил поверхневого натягу під деформованою поверхнею виникне надлишковий тиск (тиск Лапласа), який приведе до підняття або опускання стовпчика рідини.

2 Архімедова сила виникає завдяки тому, що в однорідних рідинах на різних рівнях установлюється різний гідростатичний тиск. Що більша глибина, то більший гідростатичний тиск. За законом Паскаля тиск у рідинах і газах поширюється однаково в усіх напрямках. Тоді на верхню поверхню тіла діє менший порівняно з нижньою його поверхнею тиск. Унаслідок такої різниці тисків утворюється сила, що завжди спрямована на виштовхування тіла з рідини – сила Архімеда.

3 Сила пружності – це сила, яка виникає під час деформації тіла й намагається повернути тіло в недеформований стан.

4 Невагомість – це стан тіла, у якому його вага дорівнює нулю. Для тіл на поверхні Землі або поруч із її поверхнею це свідчить про те, що на тіло діє лише сила тяжіння. У такому разі всі тіла рухаються з однаковим прискорення – прискоренням вільного падіння.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3А, 4В.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі про рух тіла під дією кількох сил.

Дано:
\(m=250\ \text{кг}\)
\(a=0,2\ \text{м/с}^2\)

Знайти:
\(m\ (\text{кг})\ -\ ?\)

На аеростат діють дві сили: сила тяжіння і сила Архімеда. Сила Архімеда не залежить від маси баласту, а силу тяжіння можна визначити за формулою $$ F_\text{тяж}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Тоді можна записати другий закон Ньютона для аеростата: $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_\text{тяж}}+\overrightarrow{F_\text{Арх}} $$

Сила тяжіння спрямована вниз, сила Архімеда – угору, до скидання балансу тіло аеростат опускається, тож прискорення також спрямоване вниз. Тоді векторне рівняння можна спроєктувати на вісь \(OY\): $$ -m_\text{до}a=-m_\text{до}g+F_\text{Арх}. $$

Після скидання баласту проєкція другого закону Ньютона матиме інший вигляд: $$ m_\text{після}a=-m_\text{після}g+F_\text{Арх}. $$

Тоді з рівняння для руху аеростата до скидання баласту можна виразити силу Архімеда: $$ F_\text{Арх}=m_\text{до}g-m_\text{до}a. $$

Тож:

\begin{gather*} m_\text{після}a=-m_\text{після}g+m_\text{до}g-m_\text{до}a;\\[7pt] m_\text{після}a+m_\text{після}g=m_\text{до}g-m_\text{до}a;\\[7pt] m_\text{після}(a+g)=m_\text{до}(g-a);\\[6pt] m_\text{після}=\frac{m_\text{до}(g-a)}{a+g};\\[6pt] m_\text{після}=250\ \text{кг}\ \frac{\left(9,8\ \text{м/с}^2-0,2\ \text{м/с}^2\right)}{\left(9,8\ \text{м/с}^2+0,2\ \text{м/с}^2\right)};\\[6pt] m_\text{після}=250\ \text{кг}\frac{9,6\ \text{м/с}^2}{10\ \text{м/с}^2};\\[6pt] m_\text{після}=250\ \text{кг}\cdot 0,96\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2};\\[6pt] m_\text{після}=240\ \text{кг}. \end{gather*}

Тоді маса скинутого баласту така:

\begin{gather*} m=m_\text{до}-m_\text{після};\\[7pt] m=250\ \text{кг}-240\ \text{кг};\\[7pt] m=10\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: 10.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умови плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов плавання тіл і вміння математично описати їх.

У завданні тричі змінюються умови плавання дерев’яного бруска. Опишімо кожен із випадків.

1. На брусок діє сила тяжіння, яку врівноважує сила Архімеда: \begin{gather*} Mg=\rho_\text{в}gV_\text{зануреної частини}=\rho_\text{в}g\cdot Sh_1,\\[7pt] M=\rho_\text{в}Sh_1,\ \ \ \ \ (1) \end{gather*} де \(M\) – маса бруска, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(S\) – площа основи бруска, \(h_1\) – глибина першого занурення бруска на \(10\ \text{см,}\) \(\rho_\text{в}\) – густина води.

2. Коли до бруска знизу прикріпили вантаж, то виштовхувальна сила діятиме і на занурену частину бруска, і на вантаж. Запишімо умову плавання бруска за цих умов: \begin{gather*} (M+m)g=\rho_\text{в}g\cdot Sh_2+\rho_\text{в}V_\text{вант},\\[7pt] Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант},\ \ \ \ \ (2) \end{gather*} де \(m\) – маса вантажу, \(h_2\) – глибина другого занурення бруска на \(14\ \text{см,}\) \(\rho_\text{вант}\) – густина матеріалу вантажу, \(V_\text{вант}\) – об’єм вантажу.

3. Розгляньмо третій випадок, коли вантаж поклали на брусок зверху. Запишімо умову плавання: \begin{gather*} (M+m)g=\rho_\text{в}g\cdot Sh_3,\\[7pt] Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_3,\ \ \ \ \ (3) \end{gather*} де \(h_3\) – глибина третього занурення бруска, яку треба обчислити.

Розв’яжімо систему трьох рівнянь: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} M=\rho_\text{в}Sh_1;\\ Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант};\\ Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_3. \end{array} \right. \end{gather*}

Віднімімо від рівняння (2) рівняння (3): \begin{gather*} 0=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант}-\rho_\text{в}gSh_3,\\[7pt] V_\text{вант}=Sh_3-Sh_2. \end{gather*}

Підставімо в рівняння (3) вираз замість \(M\) і замість \(V_\text{вант}:\) $$ \rho_\text{в}Sh_1+\rho_\text{вант}(Sh_3-Sh_2)=\rho_\text{в}Sh_3. $$

Розкриймо дужки й обчислімо \(h_3:\)

Відповідь: 15.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням закону Архімеда.

Дано:
\(m=50\ \text{кг}\)
\(V=0,02\ \text{м}^3\)
\(h=60\ \text{см}\)
\(p_{\text{води}}=10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)

Знайти:
\(A\ (\text{Дж})\ -\ ?\)

На камінь у воді діють дві сили – сила тяжіння, що притягує його до дна, і виштовхувальна сила Архімеда (рис. 1).

Пригадаймо, що силу тяжіння можна визначити за формулою \begin{gather*} \overrightarrow{F_{\text{т}}}=m\overrightarrow{g}, \end{gather*} де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Силу Архімеда можна визначити за формулою $$ \overrightarrow{F_{\text{A}}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{рідини}}\overrightarrow{g}V, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{рідини}}\) − густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла.

Тоді можна записати другий закон Ньютона для каменя: $$ m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_{\text{т}}}+\overrightarrow{F_{\text{A}}}. $$

Спроєктуймо сили на вісь \(y\):

Оскільки проєкція рівнодійної в цьому разі від’ємна, то сила тяжіння більша за виштовхувальну силу, що діє на камінь, тож камінь лежить у воді на дні.

Роботу сили можна визначити за формулою $$ A=Fs\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}, $$ де \(F\) – сила, що діє на тіло, \(s\) – переміщення тіла, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут між напрямками векторів сили й переміщення.

За умови, що кут між напрямком сили й переміщенням каменя дорівнює нулю, а переміщення тіла дорівнює висоті його підйому $$ A=Fh. $$

Робота, яку людина має виконати для піднімання тіла, – це робота проти рівнодійної сил, що діють на нього. Тому модуль піднімальної сили має дорівнювати модулю рівнодійної сил, що діють на камінь. Тоді роботу людини можна розрахувати за формулою:

\begin{gather*} A=|ma|h=300\ \text{Н}\ \cdot\ 60\ \text{см}=\\[7pt] =300\ \text{Н}\ \cdot\ 0,6\ \text{м}=180\ \text{Дж}. \end{gather*}

Відповідь: 180

Коментар

ТЕМА: Динаміка рідин і газів. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття потужності й динаміки потоку рідини в трубі.

Дано:
\(S_1=S_2\)
\(V_1=\frac{V_2}{2}\)

Знайти:
\(\frac{P_2}{P_1}\ -\ ?\)

Водний насос, що перекачує воду, виконує роботу над нею. Оскільки труба горизонтальна, то під час руху нею потенціальна енергія води не змінюється. Робота, виконана над водою в трубі, переходить у її кінетичну енергію. $$ A=\frac{mv^2}{2}, $$ де \(m\) – маса води, \(v\) – швидкість потоку.

Тоді потужність водяного насоса $$ P=\frac At=\frac{mv^2}{2t}. $$

Маса й об’єм пов’язані між собою формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=\frac mV, $$ де \(m\) – маса тіла, а \(V\) – його об’єм.

Маса води, що протікає крізь трубу, дорівнює добутку її густини на об’єм: $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}V. $$

За умовою кількість води, що протікає по трубі, і, відповідно, її маса мають збільшитися вдвічі \((m_2=2m_1)\). Густина води не змінюється, тож змінитися може лише об’єм, що протікає за час \(t\).

Об’єм води, що протікає крізь трубу за час \(t\) можна також виразити через переріз труби й швидкість потоку: $$ V=Svt. $$

Тоді потужність $$ P=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}Sv^3}{2t}. $$

Оскільки переріз труби не змінюється, то для збільшення об’єму води вдвічі має збільшитися вдвічі швидкість потоку: $$ v_2=2v_1. $$

Тоді відношення потужності до і після зміни таке:

\begin{gather*} \frac{P_2}{P_1}=\frac{\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}Sv^3_2}{2t}}{\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}Sv^3_1}{2t}}=\frac{v^3_2}{v^3_1}=\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^3=2^3=8. \end{gather*}

Відповідь: 8.

Коментар

ТЕМА: Гідростатичний тиск.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття гідростатичного тиску

У кожній із посудин, зображених на рисунку, рідина встановилася на однаковому рівні. Тиск на дно рідини складатиметься з атмосферного тиску, який буде однаковим для трьох посудин, що розташовані в тій самій кімнаті і тиску стовпчика рідини в посудині. Тиск нерухомого стовпчика рідини або газу називають гідростатичним.

Гідростатичний тиск \(p\) визначають за формулою $$ p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Оскільки висота стовпчика рідини в усіх посудинах однакова, то і їхній гідростатичний тиск також буде однаковим. А отже й загальний тиск на дно посудини буде однаковим.

Відповідь: A.

Коментар

ТЕМА: Вимірювальні пристрої.

Завдання скеровано на оцінювання знання вимірювальних пристроїв і розуміння фізичних величин, для вимірювання яких їх використовують.

1. Фізична величина, що дорівнює відношенню шляху до часу – це швидкість: $$ v=\frac St, $$ де \(S\) – шлях, \(t\) – час.

Прилад, що вимірює швидкість – це спідометр.

2. Фізична величина, що дорівнює добутку густини, прискорення вільного падіння і висоти стовпчика рідини – це гідростатичний тиск (тиск нерухомого стовпчика рідини): $$ p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Прилад, що вимірює тиск рідини чи газу – це манометр.

3. Фізична величина, що дорівнює відношенню густини водяної пари до густини насиченої пари за певної температури й виражена у відсотках – це відносна вологість: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{н}}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина водяної пари за певної температури, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{н}}\) – густина насиченої пари.

Прилад, що вимірює відносну вологість – це гігрометр.

4. Фізична величина, що дорівнює добутку маси на прискорення вільного падіння – це сила тяжіння: $$ F_{\text{тяж}}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Прилад, що вимірює силу – це динамометр.

Відповідь: 1В, 2А, 3Г, 4Б.

Коментар

ТЕМА: Сполучені посудини.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі зі сполученими посудинами.

У сполучених посудинах у кожній трубці рівень рідин установлюється так, що гідростатичний тиск стовпчика однакової рідини у них рівний.

Гідростатичний тиск \(p\) визначають за формулою $$ p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Якщо рідини в трубках однорідні, то тиск на однаковій висоті в усіх трубках буде однаковим. Але в лівій трубці посудини рівень олії вищий, ніж рівень води в правій трубці, адже олія має меншу густину. Щоби створити такий самий гідростатичний тиск, як і в правій трубці, висота стовпчика рідини має бути більшою.

Порівняймо точки, позначені на рисунку.

У точці В тиск дорівнює атмосферному \((p_a)\), а в точці А до атмосферного тиску додається тиск стовпчика гасу над рівнем цієї точки. Отже \(p_A\gt p_B\).

Точка С в правій трубці на тому ж рівні, що межа розділу двох рідин у лівій трубці, тому тиск у ній дорівнює тиску всього стовпчика олії. Висота всього стовпчика олії більша за висоту стовпчика над точкою А, тому \(p_C\gt p_A\).

Точка D перебуває найглибше з усіх точок у воді, тому тиск на неї найбільший.

Відповідь: A.

Коментар

ТЕМА: Динаміка рідин і газів. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття потужності та динаміки потоку рідини в трубі.

Дано:
\(V=0,2\ \text{м}^3\)
\(A=26\ \text{кДж}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{якір}}=7500\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{води}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(g=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)

Знайти:
\(l\ (\text{м})\ -\ ?\)

Роботу сили можна визначити за формулою $$ A=Fs\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}, $$ де \(F\) – сила, \(s\) – переміщення, спричинене силою, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – кут між напрямком сили й переміщення.

На якір у воді діє сила тяжіння, сила Архімеда й зовнішня сила, що піднімає якір (рис. 1).

 

Формула, якою описують другий закон термодинаміки, така: \begin{gather*} \overrightarrow{F_\text{рівн}}=\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F_T}+\overrightarrow{F_A}. \end{gather*}

 

Оскільки якір піднімають повільно, можна вважати, що прискорення дорівнює нулю, тоді в проєкції на вісь OY другий закон Ньютона можна записати так: \begin{gather*} 0=F-F_T+F_A;\\[7pt] F=F_T-F_A. \end{gather*}

Силу тяжіння визначають за формулою \begin{gather*} F_T=mg, \end{gather*} а силу Архімеда – за формулою $$ F_A=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{води}}gV. $$

Маса тіла, його густина й об’єм пов’язані формулою \begin{gather*} m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{якір}}V. \end{gather*}

Тож

Тоді, зважаючи на те, що напрямок сили та переміщення однакові,

\begin{gather*} A=Fl;\\[6pt] l=\frac AF=\frac{26\ \text{кДж}}{13000\ \text{Н}}=\frac{26000\ \text{Дж}}{13000\ \text{Н}}=2\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: 2.

Коментар

ТЕМА: Маса. Густина. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі про умови плавання тіл, розуміння понять густини й маси.

На шматочок льоду у воді діє виштовхувальна сила Архімеда. Тож об’єм, зафіксований до того, як лід розтанув, – це сума об’єму води й об’єму частини кубика льоду, що перебувала під водою.

Щоби шматочок льоду плавав, сила Архімеда, яка діє на його занурену частину, має дорівнювати силі тяжіння, що діє на нього: $$ F_{\text{Архімеда}}=F_{\text{тяжіння}};\ \ (1) $$

Силу тяжіння, що діє на шматочок льоду, можна розрахувати за формулою: \begin{gather*} F_{\text{тяжіння}}=mg;\ \ (2)\\[7pt] F_{\text{тяжіння}}=10\ \text{г}\cdot 10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}=10^{-2}\ \text{кг}\cdot 10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}=0,1\ \text{H}. \end{gather*}

Тоді можемо знайти об’єм води, витіснений цим шматком льоду, знаючи вираз для розрахунку сили Архімеда: $$ F_{\text{Архімеда}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gV,\ \ (3) $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(V\) – витіснений об’єм рідини.

Тоді можна виразити об’єм з (3): $$ V=\frac{F_{\text{Архімеда}}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}g}= \frac{0,1\ \text{H}}{1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}\cdot 10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}=10^{-5}\ \text{м}^3=0,01\ \text{л}=10\ \text{мл}\ \ (4). $$

Тож певний рівень води в мензурці, що встановився на позначці 50 мл, зумовлений водою об’ємом 40 мл і льодом об’ємом 10 мл (він перебуває під водою і витісняє рідину).

Після того, як лід розтане, до води об’ємом 40 мл буде додано об’єм води, що утвориться з кубика льоду після його розтавання. Цей об’єм можна обчислити, знаючи, що під час танення маса речовини не змінюється, тож маса льоду дорівнюватиме масі води, що утвориться.

Вираз для густини води: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=\frac{m}{V}.\ \ (5) $$

Тож, виразивши об’єм талої води з (5), дістанемо: $$ V=\frac{m}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}}=\frac{0,01\ \text{кг}}{1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}=10^{-5}\ \text{м}^3=0,01\ \text{л}=10\ \text{мл}.\ \ (6) $$

Тобто після танення льоду об’єм речовини в мензурці складається з об’єму води, що була там від початку (40 мл) і талої води об’ємом 10 мл, разом – 50 мл.

Відповідь: Б.

Коментар

ТЕМА: Гідростатичний тиск

Завдання скеровано на оцінювання розуміння понять атмосферного й гідростатичного тиску, уміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані з ними.

Дано:
\(N=101\)
\(g=10\ \text{м/с}^2\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=1,3\ \text{кг/м}^3\)
\(h_{1\ \text{поверху}}=3\ \text{м}\)

Знайти:
\(\triangle p\ -\ ?\)

Атмосферний тиск – це тиск повітря над рівнем, де його вимірюють. Тому тиск на першому поверсі буде більшим від тиску на 101-му поверсі саме на значення тиску стовпа повітря висотою 100 поверхів. Тиск нерухомого повітряного стовпа – це гідростатичний тиск. Його визначають за формулою: $$ p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh. $$

Тоді висота повітряного стовпа, утвореного 100 поверхами дорівнюватиме: $$ h=(N-1)\cdot h_{1\ \text{поверху}}=100\cdot 3\ \text{м}=300\ \text{м}. $$

І гідростатичний тиск цього повітряного стовпа: $$ \triangle p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh =1,3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot 10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot 300\ \text{м}=3900\ \text{Па}=3,9\ \text{кПа}. $$

Відповідь: 3,9.

Коментар

ТЕМА: Сполучені посудини.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння принципів роботи сполучених посудин.

У сполучених посудинах у кожній трубці однорідні рідини встановлюються на однаковому рівні, адже стовпчик рідини в кожній із посудин має створювати однаковий гідростатичний тиск.

Гідростатичний тиск p визначають за формулою \(p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh,\) де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини,
\(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Відповідь: Г.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Умова неперервності течії рідини.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на використання умови неперервності течії.

Дано:
\(v_{\text{ш}}=10\frac{\text{см}}{\text{с}}\)
\(d_{\text{ш}}=4d_{\text{в}}\)

Знайти:
\(v_{\text{в}}\left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)\ -\ ?\)

Незалежно від зміни форми труби течія всередині повинна залишатись неперервною, тобто кількість води, що проходить за секунду через переріз труби в будь-якому місці має залишатись однаковою. Тоді чим вужча труба, тим швидшою має бути течія на цій ділянці й навпаки. Тоді умову неперервності течії для труби, у якої є дві ділянки – широка й вузька, можна записати так: $$ v_{\text{ш}}s_{\text{ш}}=v_{\text{в}}s_{\text{в}}, $$ де \(v_{\text{ш}}\) і \(v_{\text{в}}\) – це швидкості течії в широкій і вузькій частині відповідно, а \(s_{\text{ш}}\) й \(s_{\text{в}}\) – площі перерізу широкої та вузької ділянки.

Площу перерізу циліндричної труби можна обчислити за такою формулою: $$ s=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^2}{4}. $$

Тоді \begin{gather*} v_{\text{ш}}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d_{\text{ш}}^2}{4}=v_{\text{в}}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d_{\text{в}}^2}{4};\\[6pt] v_{\text{в}}=v_{\text{ш}}\frac{d_{\text{ш}}^2}{d_{\text{в}}^2}=16\cdot 0,1\ \frac{\text{м}}{\text{с}}=1,6\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. \end{gather*}

Відповідь: 1,6.

Коментар

ТЕМА: Сполучені посудини.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття «гідростатичний тиск».

У сполучених посудинах у кожній трубці рівень рідин установлюється так, що гідростатичний тиск стовпчика рідини в них однаковий.

Гідростатичний тиск \((p)\) обчислюють за формулою \(p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho} gh\), де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Якщо рідини в трубках однорідні, то тиск на однаковій висоті в усіх трубках однаковий. За умовою завдання в лівій трубці посудини рівень гасу вищий за рівень води в правій трубці. Це відбувається тому, що густина гасу менша порівняно з водою, і щоби створити такий самий гідростатичний тиск, як і в стовпчика води в правій трубці, висота стовпчика гасу має бути більшою.

У точці B (див. рисунок) тиск дорівнює атмосферному \((p_a)\), а в точці A до атмосферного тиску додається тиск стовпчика гасу над рівнем цієї точки.

Тобто \(p_A\gt p_B\).

Оскільки точка C лежить на межі розділу двох рідин, то тиск стовпця гасу над нею дорівнює тиску стовпця води над точкою D на такій самій висоті, але в трубці із водою. Тож \(p_С=p_D\).

Точки E і F на однаковій висоті у воді, тому тиск у них однаковий, а \(p_E=p_F\).

Відповідь: B.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи динаміки рідин і газів. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття «густина» і вміння застосовувати закон Архімеда.

Густина речовини \((\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho})\) – це фізична величина, яка характеризує речовину й дорівнює відношенню маси суцільного тіла, виготовленого із цієї речовини, до об’єму цього тіла:

Для правильного розв’язання завдання потрібно пригадати умови плавання тіл:

Густину зубної пасти, укинутої в посудину з водою, обчислюють за формулою:

Відповідь: A.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили. Додавання сил.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення рівнодійної кількох сил.

На кульку, що піднімається вгору в повітрі, діють три сили: сила Архімеда, що виштовхує її з товщі повітря вгору, сила тяжіння, яка притягує кульку до землі, і сила опору повітря, що заважає руху кульки (рис. 1). Оскільки сила Архімеда більша за значенням від сили тяжіння, кулька рухатиметься вгору, а сила опору повітря буде напрямлена вниз.

Рис. 1. Сили, що діють на кульку

Рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) – це сила, яка здійснює на тіло таку саму дію, як декілька сил, що діють одночасно. Тоді: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_A+\overrightarrow{F}_{\text{опору}}+\overrightarrow{F}_{\text{тяж}}\ (1). $$ Для визначення рівнодійної потрібно спроєктувати всі сили, що діють на кульку, на одну вісь – вісь \(Oy\): \begin{gather*} F= F_A-F_{\text{опору}}-F_{\text{тяж}}=\\[7pt] =4Н-1Н-2Н=1Н (2). \end{gather*}

Відповідь: A.

Коментар

ТЕМА: Гідростатичний тиск.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття гідростатичного тиску й уміння застосовувати його під час розв’язування розрахункових задач.

Гідростатичний тиск \(p_{\text{гідростат}}\) – тиск нерухомого стовпчика рідини або газу. Його визначають за формулою \(p_{\text{гідростат}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh\), де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Якщо вважати, що тиск у повітряних кишенях запаяних трубок однаковий, то тиск у точці B дорівнює тиску в точці Вʹ, а тиск у точці С дорівнює тиску в точці Сʹ. Тиск однорідної рідини на однаковій висоті однаковий, тому можна визначити рівень у воді за межами трубок, який відповідає точкам В і С (рис. 1).

Тиск в точці А дорівнює атмосферному \((p_{\text{атм}})\), а в точці Вʹ і в точці Сʹ тиск дорівнює сумі атмосферного й гідростатичного тиску: $$ p = p_{\text{атм}}+p_{\text{гідростат}}. $$ Оскільки \(h_B\gt h_C,\) то \(p_{\text{гідростат B}}\gt p_{\text{гідростат C}},\) то \(p_B\gt p_C.\) Оскільки \(p_С\gt p_А,\) то \(p_B\gt p_C\gt p_А.\)

Рис. 1. Визначення гідростатичного тиску

 

Відповідь: A.

Коментар

ТЕМА: Маса. Густина. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на використання умови плавання тіл.

Дано:
\(d=40\ \text{мм}\)
\(h=30\ \text{мм}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{води}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)

Знайти:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{дерева}}\ \left(\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\right)\ -\ ?\)

За умовою плавання тіл тіло перебуватиме в рівновазі, якщо $$ F_{\text{тяж}}=F_{\text{Арх}}, $$ де \(F_{\text{тяж}}\) – сила тяжіння, \(F_{\text{Арх}}\) – сила Архімеда.

Силу тяжіння визначають за формулою $$ F_{\text{тяж}}=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Масу й густину тіла пов’язує формула $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{т}}V, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{т}}\) – густина тіла, \(V\) – об’єм тіла.

Тому силу тяжіння можна записати як $$ F_{\text{тяж}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{т}}Vg, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{т}}\) – густина тіла, \(V\) – його об’єм, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Силу Архімеду визначають за формулою $$ F_{\text{Арх}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{р}}gV, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{р}}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла, що занурено у воду.

Об’єм дошки можна визначити з її геометричних розмірів: $$ V=dS, $$ де \(d\) – товщина дошки, \(S\) – площа поверхні дошки.

Дошка не повністю занурена під воду, а під час розрахунку сили Архімеда треба використовувати об’єм зануреної під воду частини. Цей об’єм можна розрахувати за формулою $$ V'=hS, $$ де \(h\) – висота дошки під водою, \(S\) – площа поверхні дошки.

Тоді умова плавання дошки матиме вигляд:

Відповідь: 750.

Коментар

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Поверхневий натяг.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням сили поверхневого натягу.

Дано:
\(r=5\ \text{см}\)
\(m=1,2\ \text{г}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\sigma}=70\ \text{мН/м}\)

Знайти:
\(F\ (\text{мН})\ -\ ?\)

На кільце на поверхні води діють сили поверхневого натягу, що утримують його на поверхні, і сила тяжіння. Силу тяжіння можна визначити за формулою $$ F_{\text{тяж}}=mg. $$

Окрім того, кільце обмежує на поверхні дві ділянки – усередині й зовні. Тому з обох боків на нього діятимуть сили поверхневого натягу.

Дріт, із якого зроблене кільце, – тонкий, тому можна вважати, що внутрішній радіус дорівнює зовнішньому радіусу кільця. Тож довжина кільця з боку зовнішньої і внутрішньої поверхні буде однаковою: $$ l=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r_{\text{зовн}}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r_{\text{вн}}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r. $$

Тоді сила, що необхідна для того, щоби підняти кільце з поверхні, має подолати силу тяжіння і сили поверхневого натягу із зовнішнього і внутрішнього боку:

Відповідь: 56.

Коментар

ТЕМА: Елементи механіки рідин і газів. Гідростатичний тиск.

Завдання скеровано на розуміння понять тиску й сили тиску та вміння визначати гідростатичний тиск.

Якщо всю воду з ширшої посудини перелили у вужчу, то об’єм води не змінився, площа дна посудини зменшилася, а рівень води збільшився, як показано на рисунку 1.

Тиск на дно в обох посудинах є сумою гідростатичного тиску стовпчика води й атмосферного тиску. Гідростатичний тиск \(p\) визначають за формулою $$ p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Тиск на дно в першій (широкій) посудині дорівнює: $$ p_1=p_{h_1}+p_{\text{а}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{в}}h_1+p_{\text{а}}. $$ У другій (вузькій) посудині: $$ p_2=p_{h_2}+p_{\text{а}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{в}}h_2+p_{\text{а}}. $$

Вирази для тиску відрізняються лише висотою стовпчика, тож у посудині, де вона більша, тиск на дно також буде більшим.

Сила, що діє на дно обох посудин і створює тиск, – це вага рідини в посудині: $$ P=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Маса води після переливання не змінилася, посудини перебувають у стані спокою, а отже й вага не змінилася. Тож сила тиску під час такого переливання не зміниться.

Відповідь: Б.

Коментар

ТЕМА: Робота. Сила Архімеда.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі про силу Архімеда.

Дано:
\(H=4\ \text{м}\)
\(m=600\ \text{кг}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{бетону}}=2000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{води}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(g=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)

Знайти:
\(A_{min}\ (\text{кДж})\ -\ ?\)

Для того, щоби перевернути блок, достатньо його центр мас підняти на висоту, на якій він у вертикальному положенні. Оскільки блок циліндричний, то в обох положеннях він на половині висоти блока (рис. 1).

Оскільки поперечні розміри стовпа за умовою враховувати не потрібно, то можна вважати, що під час перевертання центр мас піднімають на половину всієї висоти \(H\).

Рівнодійну сил, що діють на блок, можна обчислити за формулою $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_{\text{тяж}}}+\overrightarrow{F_{\text{Арх}}}. $$

Сила тяжіння діє вертикально вниз, притягуючи блок до землі, а сила Архімеда виштовхує блок вертикально вгору, інші сили на блок не діють. Якщо вважати напрямок «вертикально вниз» додатним, \begin{gather*} F_x=0;\\[6pt] F_y=mg-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_{\text{води}}gV_{\text{блока}}. \end{gather*}

Маса тіла пов’язана з його густиною формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=\frac mV, $$ де \(m\) – маса тіла, \(V\) – його об’єм.

Тоді

Оскільки об’єму блока невідомий, із дужок можна винести його густину:

Тоді робота, необхідна для підняття центра мас бетонного блока на половину його висоти, дорівнює

Відповідь: 6.

Коментар

Механіка. Елементи динаміки рідин i газів. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття густини та вміння застосовувати закон Архімеда.

Силу Архімеда можна визначити за формулою $$ F_\text{Арх}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{рідини}gV, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{рідини}\) − густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла.

Силу тяжіння визначають за формулою $$ F=mg, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння.

Густина речовини \((\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho})\) – це фізична величина, яка характеризує речовину й дорівнює відношенню маси суцільного тіла, виготовленого із цієї речовини, до об’єму цього тіла: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=\frac mV, $$ де \(m\) – маса тіла, а \(V\) – об’єм тіла.

Тоді масу тіла можна виразити як $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}V. $$

Тоді силу тяжіння можна записати як: $$ F_\text{тяж}=mg=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{тіла}gV, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{тіла}\) – густина тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(V\) – об’єм тіла.

Вважатимемо, що на тіло в рідині діє лише сила тяжіння, що напрямлена вниз, і виштовхувальна сила Архімеда, напрямлена вгору. За другим законом Ньютона $$ \overrightarrow{F_\text{тяж}}+\overrightarrow{F_\text{Арх}}=m\overrightarrow{a}. $$

Тіло плаває в товщі рідини, а не спливає на поверхню чи тоне, тому прискорення \(a=0\). Відповідно $$ \overrightarrow{F_\text{тяж}}+\overrightarrow{F_\text{Арх}}=0. $$

Якщо спрямувати вісь x у напрямку прискорення вільного падіння, можна спроєктувати векторне рівняння:

\begin{gather*} F_\text{тяж}-F_\text{Арх}=0;\\[7pt] F_\text{тяж}=F_\text{Арх};\\[7pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{тіла}gV=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{рідини}gV\rightarrow \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{тіла}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{рідини}. \end{gather*}

Відповідь: Б.