Механіка – Кінематика: рух по колу

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи. Рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати напрямок швидкості руху тіла й напрямок прискорення тіл під час різних видів руху.

1. Яблуко в безвітряну погоду падатиме вертикально, тож і напрямок швидкості \(\overrightarrow{v}\) його руху теж буде напрямлений вертикально вниз (див. рисунок).

Падіння тіл у безповітряному просторі, тобто падіння лише під дією сили тяжіння, називають вільним падінням. У разі вільного падіння всі тіла падають на Землю з однаковим прискоренням ‒ прискоренням вільного падіння \(\overrightarrow{g}.\) Вектор прискорення вільного падіння завжди напрямлений вертикально вниз.

Отже, кут між напрямком швидкості руху яблука й напрямком прискорення становитиме нуль, тобто прискорення напрямлене в напрямку швидкості руху ‒ варіант відповіді В.

2. Коли футбольний м’яч піднімається, спрямований під кутом до горизонту (див. рисунок), то швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху м’яча буде напрямлена по дотичній до траєкторії руху вгору ‒ до параболи. А прискорення \(\overrightarrow{g}\) вільного падіння під час руху м’яча по параболі буде напрямлене завжди вертикально вниз.

Отже, кут між векторами \(\overrightarrow{v}\) і \(\overrightarrow{g}\) буде тупий ‒ варіант відповіді Б.

3. Коли автомобіль гальмує, рухаючись прямолінійно, то напрямок прискорення \(\overrightarrow{a}\) буде протилежним до напрямку руху, тобто до напрямку швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху автомобіля (див. рисунок) ‒ варіант відповіді А.

4. Штучний супутник рухається навколо Землі по коловій орбіті. Швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху в кожній точці кола напрямлена по дотичній до кола. А доцентрове прискорення \(\overrightarrow{a}_\text{д}\) спрямоване до центра кола (див. рисунок).

Отже, у цьому разі доцентрове прискорення буде напрямлене під прямим кутом до напрямку швидкості руху ‒ варіант відповіді Д.

Відповідь: 1В, 2Б, 3А, 4Д.

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дії магнітного поля на рухому заряджену частинку.

На рухому заряджену частинку в магнітному полі діє сила Лоренца \(F_\text{Л}:\) $$ F_\text{Л}=|q|Bv\sin\mathbf{\alpha} $$ де \(|q|\) ‒ модуль заряду частинки, \(B\) ‒ магнітна індукція, \(v\) ‒ швидкість руху частинки, \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут між напрямком руху частинки й напрямком магнітної індукції магнітного поля.

За умовою частинка рухається перпендикулярно до ліній магнітної індукції.

У цьому разі \(\mathbf{\alpha}=90^\circ\)  \((\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{B}),\) тому \(F_\text{Л}=|q|Bv,\) адже \(\sin\mathbf{\alpha}=1.\) Частинка масою \(m\) рухається рівномірно по колу радіуса \(R\) перпендикулярно до ліній магнітної індукції, а сила Лоренца надає частинці доцентрового прискорення \(\overrightarrow{a}_\text{дц}.\)

За другим законом Ньютона: \begin{gather*} F_\text{Л}=ma_\text{дц},\\[6pt] |q|Bv=m\frac{v^2}{R},\\[6pt] v=\frac{|q|BR}{m}. \end{gather*}

Ми виразили з рівняння швидкість, тому що кінетична енергія \(E_k\) залежить від неї: $$ E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac m2\cdot \left(\frac{|q|BR}{m}\right)^2. $$

За умовою після проходження частинки крізь фольгу радіус треку зменшився вдвічі, тож формула для швидкості матиме вигляд: $$ v_1=\frac{|q|BR}{2m}, $$ а кінетична енергія \(E_{k1}\) після зміни радіуса дорівнюватиме:

Тоді можемо визначити, яку частину кінетичної енергії втратила частинка під час проходження крізь фольгу:

тобто частинка втратила три чверті кінетичної енергії.

Відповідь: 0,75.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поступального й обертального руху; а також уміння визначати суму векторів за правилом паралелограма й формулою діагоналі.

Розгляньмо рух кожної точки колеса машини одночасно як рівномірний поступальний рух і рівномірний обертальний рух відносно центра колеса з лінійною швидкістю \(\overrightarrow{v}_\text{об}.\)

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{пост}\) поступального руху збігається з напрямком руху машини \(\overrightarrow{v},\) тому для всіх точок колеса цей напрямок однаковий (на рисунку його позначено векторами зеленого кольору). Для кожної точки колеса поступальна швидкість дорівнює швидкості руху самої машини: $$ \overrightarrow{v}_\text{пост}=\overrightarrow{v}. $$

Поступальна швидкість завжди напрямлена горизонтально вправо, як зображено на рисунку.

А вектор лінійної швидкості обертального руху \(\overrightarrow{v}_\text{об}\) напрямлений по дотичній, побудованій у кожній точці колеса (на рисунку його позначено векторами червоного кольору).

Скористаймося законом додавання швидкостей для визначення швидкості будь-якої точки колеса відносно Землі: $$ \overrightarrow{v}_\text{точки}=\overrightarrow{v}_\text{пост}+\overrightarrow{v}_\text{об} $$

За умовою колесо машини рухається без проковзування, тож швидкість точки \(A,\) що стикається з дорогою, дорівнюватиме нулю: $$ v_A=0\ (\text{відповідь 1}) $$

Отже, швидкість поступального руху дорівнює лінійній швидкості обертального руху за модулем. Дійсно, для точки A швидкості руху \(\overrightarrow{v}_\text{пост}\) і \(\overrightarrow{v}_\text{об}\) лежать на одній прямій, напрямлені в протилежні боки й рівні за модулем, тож сума цих векторів дорівнює нулю. Тобто можемо записати, що $$ v_\text{пост}=v_\text{об}=v, $$ як ми довели на початку розв’язання. Тоді $$ \overrightarrow{v}_\text{точки}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}. $$

Точка Б: як видно з рисунка, вектори швидкостей розміщені під прямим кутом. На цих векторах можна добудувати квадрат, тобто скористатися правилом паралелограма. І тоді діагональ квадрата це сума векторів за цим правилом. Скористаймося теоремою Піфагора:

Точка Г: вектори лежать на одній прямій і напрямлені в один бік:

Для точок В й Д скористаймося і правилом паралелограма, і формулою визначення довжини діагоналі \(d\) паралелограма:

$$ d=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\mathbf{\alpha}} $$ (\(a\) та \(b\) ‒ сторони паралелограма; \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут між сторонами \(a\) та \(b\) паралелограма).

(кут між векторами визначмо з рисунка за побудовою; \(\cos⁡(90^\circ-\mathbf{\alpha})=\sin\mathbf{\alpha}\) ‒ за формулами зведення).

Підставімо відповідно до умови значення кута й визначмо швидкість точки В:

Точка Д:

Відповідь: 1А, 2Д, 3Б, 4В.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Період і частота.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння періоду обертання і його залежності від певних характеристик руху, а також застосування другого закону Ньютона для визначення його.

На супутник, що рухається коловою орбітою навколо планети, діє лише сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{т}\) ‒ сила, з якою Земля (або інше астрономічне тіло) притягує до себе тіла, що перебувають на її поверхні або поблизу неї.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона (\(\overrightarrow{F}\) ‒ рівнодійна сил, що діють на супутник):

де \(m\) ‒ маса тіла (супутника), \(a_\text{дц}\) ‒ доцентрове прискорення, оскільки рух супутника є рівномірним рухом по колу; \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Масу в рівнянні можна скоротити, а для доцентрового прискорення і прискорення вільного падіння запишімо відповідні формули: $$ a_\text{дц}=\frac{v^2}{R}, $$ (де \(v\) ‒ лінійна швидкість руху тіла по колу, \(R\) ‒ радіус кола). $$ g=G\frac{M}{R^2}, $$ (де \(G\) ‒ гравітаційна стала, \(M\) ‒ маса Землі або іншої планети, \(R\) ‒ радіус Землі або іншої планети).

Як отримуємо формулу для прискорення вільного падіння:

‒ за законом всесвітнього тяжіння $$ F_\text{т}=G\frac{mM}{(R+h)^2}=G\frac{mM}{R^2}, $$ (де \(h\) ‒ висота, на якій перебуває тіло над поверхнею Землі або іншої планети; якщо \(h\lt\lt R,\) то радіус планети і радіус колової орбіти можна прирівняти);

‒ за формулою для сили тяжіння \(F_\text{т}= mg.\)

Прирівняймо праві частини цих формул й отримаємо формулу для прискорення вільного падіння: \begin{gather*} G\frac{mM}{R^2}=mg,\\[6pt] g=G\frac{M}{R^2}. \end{gather*}

Повернімося до другого закону Ньютона:

Лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу визначаємо за періодом обертання і радіусом колової траєкторії. Для рівномірного руху швидкість визначмо як відношення шляху \(l\) до часу \(t:\) $$ v=\frac <. $$

Дійсно, за час \(t\) одного оберту, тобто період \(T,\) тіло долає відстань \(l,\) що дорівнює довжині кола: $$ l=2\mathbf{\pi}R, $$ тоді $$ v=\frac <=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}. $$

Отже,

Звідси період обертання $$ T=\sqrt{\frac{4\mathbf{\pi}^2R^3}{GM}}. $$

Визначмо співвідношення періодів обертання штучних супутників планет \(Z\) і Земля, зваживши на те, що за умовою $$ M_Z=2M_3 $$ (відношення мас планет), $$ d_Z=\frac 12 d_3 $$ (відношення діаметрів планет), отже, $$ R_Z=\frac 12R_3. $$

Отже, період обертання супутника навколо планети \(Z\) учетверо менший за період обертання супутника навколо Землі.

Відповідь: \(0\mathord{,}25.\)

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Доцентрове прискорення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівномірного руху матеріальної точки по колу і доцентрового прискорення.

Рівномірний рух тіла по колу ‒ це такий криволінійний рух, за якого траєкторією руху тіла є коло, а лінійна швидкість руху не змінюється із часом.

У разі рівномірного руху тіла по колу вектор прискорення напрямлений до центра кола ‒ саме тому прискорення рівномірного руху тіла по колу називають доцентровим прискоренням \(\overrightarrow{a}_\text{дц};\) модуль доцентрового прискорення обчислюють за формулою \begin{gather*} a_\text{дц}=\frac{v^2}{R}, \end{gather*} де \(v\) ‒ лінійна швидкість; \(R\) ‒ радіус кола.

Переведімо значення швидкості в систему SI: $$ 18\frac{\text{км}}{\text{год}}=18\cdot\frac{1000\ \text{м}}{3600\ \text{с}}=5\frac{\text{м}}{\text{с}}. $$

Обчислимо шукану величину ‒ доцентрове прискорення: $$ a_\text{дц}=\frac{(5\ \text{м/с})^2}{10\ \text{м}}=2,5\ \text{м/с}^2. $$

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Доцентрове прискорення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння, від яких фізичних величин і як залежить доцентрове прискорення.

У разі рівномірного руху тіла по колу вектор прискорення напрямлений до центра кола ‒ саме тому прискорення рівномірного руху тіла по колу називають доцентровим прискоренням \(\overrightarrow{a}_\text{дц}.\) Модуль доцентрового прискорення обчислюють за формулою $$ a_\text{дц}=\frac{v^2}{r}, $$ де \(v\) ‒ лінійна швидкість руху тіла; \(r\) ‒ радіус кола.

Позначмо на рисунку центри \(O_1\) і \(O_2\) кожної з двох дуг і радіуси кіл \(CO_1\) і \(AO_2=BO_2:\)

Запишімо формули для доцентрового прискорення в кожній точці: \begin{gather*} a_\mathrm{C}=\frac{v^2}{CO_1},\\[6pt] a_\mathrm{A}=\frac{v^2}{AO_2},\\[6pt] a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{BO_2}. \end{gather*}

За умовою модуль швидкості тіла не змінюється. А за побудовою бачимо, що $$ AO_2=BO_2\gt CO_1. $$

Оскільки прискорення обернено пропорційне до радіуса кола $$ a_\text{дц}\sim \frac 1r, $$ то співвідношення між доцентровими прискореннями таке: $$ a_\mathrm{A}=a_\mathrm{B}\lt a_\mathrm{C}. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичних величин, що описують рух тіла по колу, і вміння їх визначати.

1. Модуль переміщення \(s\) дорівнюватиме довжині відрізка, що з’єднує початкову точку \(1\) з кінцевою точкою \(2.\) З рисунка бачимо, що відрізок \(1-2\) дорівнює довжині двох радіусів \(R\) кола: $$ s=2R - \text{вираз}\ \textbf{Г}. $$

2. Шлях \(l\) – це довжина траєкторії руху тіла, у цьому разі – довжина півкола: $$ l=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2}=\mathbf{\pi}R - \text{вираз}\ \textbf{В}. $$

3. Швидкість руху \(v\) тіла по колу обчислімо за формулою $$ v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}, $$ де \(T\) – період обертання. Оскільки тіло пройшло лише половину шляху (півкола), то за умовою завдання час руху тіла дорівнює \begin{gather*} t=\frac T2,\\[6pt] T=2t,\\[6pt] v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2t}=\frac{\mathbf{\pi}R}{t} - \text{вираз}\ \textbf{Б}. \end{gather*}

4. Кутову швидкість визначмо з формули, яка пов’язує кутову і лінійну швидкості: \begin{gather*} v=\mathbf{\omega}R,\\[6pt] \mathbf{\omega}=\frac vR=\frac{\mathbf{\pi}R}{t\cdot R}=\frac{\mathbf{\pi}}{t} - \text{вираз}\ \textbf{А}. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2В, 3Б, 4А.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття «переміщення».

Переміщення – це векторна величина, яку графічно зображують як напрямлений відрізок прямої, що з’єднує початкове і кінцеве положення матеріальної точки.

Земля за рік робить повний оберт навколо Сонця – проходить повне коло. Тобто за пів року Земля пройде половину кола (рис. 1).

Рис. 1. Рух Землі навколо Сонця: 1 – початкове положення Землі; 2 – кінцеве положення Землі (через пів року); \(R\) – радіус орбіти

Якщо з’єднати початкове положення Землі (точка 1) із кінцевим (точка 2), де вона опиниться через пів року, то відрізок 1–2 буде діаметром орбіти, якою рухається планета. Радіус орбіти за умовою дорівнює \(1\) а. о., тому діаметр орбіти, а отже й переміщення Землі, становить \(2\) а. о.

Інші варіанти відповіді можна отримати, якщо сплутати переміщення зі шляхом й обчислювати не довжину відрізка, яким з’єднані початкове і кінцеве положення тіла, а визначати довжину траєкторії руху тіла. Також до неправильної відповіді може призвести нерозуміння закономірностей руху Землі навколо Сонця.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичних характеристик рівномірного руху по колу – доцентрового прискорення, лінійної швидкості, кутової швидкості.

1. Запишімо формулу для визначення доцентрового прискорення \(a_\text{дц}:\) $$ a_\text{дц}=\mathbf{\omega}^2r, $$ де \(\mathbf{\omega}\) – кутова швидкість, \(r\) – радіус кола.

За умовою кутова швидкість для всіх точок стала й однакова, а модуль доцентрового прискорення прямо пропорційний радіусу кола. Отже, модуль доцентрового прискорення \(a_1\) буде найменшим для точок диска, що перебувають на найменшій відстані від центра диска – це точки на внутрішньому отворі диска діаметром \(d_1=1,5\ \text{см}.\) Тоді найбільшим буде модуль доцентрового прискорення \(a_3\) для точок на зовнішньому краю диска – це коло діаметром \(d_3=12\ \text{см}:\) \begin{gather*} a_1=\mathbf{\omega}^2r_1=\mathbf{\omega}^2\cdot \frac{d_1}{2},\\[6pt] a_3=\mathbf{\omega}^2r_3=\mathbf{\omega}^2\cdot \frac{d_3}{2}. \end{gather*}

Визначімо відношення максимального і мінімального модулів доцентрових прискорень: \begin{gather*} \frac{a_3}{a_1}=\frac{\mathbf{\omega}^2\cdot d_3\cdot 2}{2\mathbf{\omega}^2\cdot d_1}=\frac{d_3}{d_1},\\[6pt] \frac{a_3}{a_1}=\frac{12\ \text{см}}{1,5\ \text{см}}=8. \end{gather*}

Відповідь: 8.

2. Формула для визначення лінійної швидкості ϑ рівномірного руху тіла по колу: \begin{gather*} v=\mathbf{\omega}R. \end{gather*}

За умовою кутова швидкість для всіх точок стала й однакова, а лінійна швидкість прямо пропорційна радіусу кола. Отже, найбільшою буде лінійна швидкість \(v_3\) зовнішнього краю диска \(R_3=6\ \text{см},\) а найменшою \(v_2\) – внутрішнього краю області диска, на якому вже можна записувати / зчитувати інформацію – \(R_2=2\ \text{см:}\) \begin{gather*} v_3=\mathbf{\omega}R_3,\\[7pt] v_2=\mathbf{\omega}R_2. \end{gather*}

Визначімо, у скільки разів максимальна швидкість записування / зчитування інформації більша за мінімальну: \begin{gather*} \frac{v_3}{v_2}=\frac{\mathbf{\omega}R_3}{\mathbf{\omega}R_2}=\frac{R_3}{R_2},\\[6pt] \frac{v_3}{v_2}=\frac{6\ \text{см}}{2\ \text{см}}=3. \end{gather*}

Відповідь: 3.

Відповідь: 1. 8. 2. 3.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичних величин, що описують рух тіла по колу, і вміння їх визначати.

1. Модуль переміщення \(s\) дорівнюватиме довжині відрізка, що з’єднує початкову точку \(C\) з кінцевою точкою \(D.\) З рисунка бачимо, що відрізок \(CD\) дорівнює довжині двох радіусів \(R\) кола: $$ s=CD=2R\ -\ \text{вираз}\ \textbf{Г}. $$

2. Шлях \(l\) – це довжина траєкторії руху тіла, у цьому разі – довжина півкола: $$ l=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2}=\mathbf{\pi}R\ -\ \text{вираз}\ \textbf{B}. $$

3. Швидкість руху \(v\) тіла по колу обчислімо за формулою $$ v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}, $$ де \(T\) – період обертання. Оскільки тіло пройшло лише половину шляху (півкола), то за умовою завдання час руху тіла дорівнює \begin{gather*} t=\frac T2,\\[6pt] T=2t,\\[6pt] v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2t}=\frac{\mathbf{\pi}R}{t}\ -\ \text{вираз}\ \textbf{Б}. \end{gather*}

4. Кутову швидкість визначмо з формули, яка зв’язує кутову швидкість і швидкість: \begin{gather*} v=\mathbf{\omega}R,\\[6pt] \mathbf{\omega}=\frac vR=\frac{\mathbf{\pi}R}{t\cdot R}=\frac{\mathbf{\pi}}{t}\ -\ \text{вираз}\ \textbf{A}. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2В, 3Б, 4А.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик рівномірного руху по колу.

За періодом \(T\) обертання та радіусом \(R\) колової траєкторії легко визначити лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу. Дійсно, за час \(t\) одного оберту \((t=T)\) тіло долає відстань, що дорівнює довжині кола \(l\): $$ l=2\mathbf{\pi}R. $$

Оскільки \(v=\frac <,\) маємо: $$ v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}. $$

Запишімо відповідні формули для визначення лінійних швидкостей стрілок годинника:

За умовою хвилинна стрілка вдвічі довша за годинну. Оскільки йдеться про рух кінців цих стрілок, то довжини стрілок – це радіуси обертання кінців стрілок – хвилинної \(R_\text{хв}\) і годинної \(R_\text{год}:\) $$ R_\text{хв}=2R_\text{год}. $$

Тоді період обертання хвилинної стрілки становитиме \(1\) годину: $$ T_\text{хв}=60\ \text{хв}=1\ \text{год}. $$

А період обертання годинної стрілки – \(12\) годин: $$ T_\text{год}=12\ \text{год}. $$

Запишімо відношення лінійних швидкостей стрілок годинника і обчислімо його:

Отже, лінійна швидкість хвилинної стрілки \(v_\text{хв}\) більша за лінійну швидкість годинної стрілки \(v_\text{год}\) у \(24\) рази.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закон всесвітнього тяжіння. Сила тяжіння. Рух штучних супутників. Перша космічна швидкість.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і застосування закону всесвітнього тяжіння, а також розуміння руху штучних супутників.

1. Для того, щоб об’єкт рухався біля планети коловою орбітою, йому необхідно надати швидкість, яку називають першою космічною швидкістю.

Візьмемо до уваги, що саме сила тяжіння \(F_\text{тяж}\) надає тілу масою \(m\) доцентрового прискорення \(a_\text{доц}\) (див. рисунок).

За другим законом Ньютона \(F_\text{тяж}=ma_\text{доц,}\) де за законом всесвітнього тяжіння $$ F_\text{тяж}=G\frac{mM}{(R + h)^2}, $$ отже, $$ a_\text{доц}=\frac{GM}{(R + h)^2} $$ (\(G\) ‒ гравітаційна стала, \(M\) ‒ маса планети, \(R\) ‒ радіус планети, \(h\) ‒ висота над поверхнею планети). Позначмо буквою \(r\) відстань від центра планети до супутника \((R+h)\) і запишімо формули для визначення доцентрового прискорення обох супутників: \begin{gather*} a_{1\text{доц}}=\frac{GM}{r^2_1},\\[6pt] a_{2\text{доц}}=\frac{GM}{r^2_2}. \end{gather*}

Обчислімо, у скільки разів прискорення руху першого супутника більше за прискорення руху другого супутника, урахувавши співвідношення їхніх радіусів: $$ \frac{a_{1\text{доц}}}{a_{2\text{доц}}}=\frac{GM}{r_1^2}:\frac{GM}{r^2_2}=\frac{GM\cdot 16r^2_1}{r^2_1\cdot GM}=16. $$

Отже, \(a_\text{1доц}\gt a_\text{2доц}\) у \(16\) разів.
Відповідь: 16.

2. Формули для обчислення перших космічних швидкостей руху супутників виведемо з формул для їхніх доцентрових прискорень: \begin{gather*} a_\text{1доц}=\frac{v^2_1}{r_1}\Rightarrow v^2_1=a_\text{1доц}\cdot r_1,\\[6pt] a_\text{2доц}=\frac{v^2_2}{r_2}\Rightarrow v^2_2=a_\text{2доц}\cdot r_2. \end{gather*}

Обчислімо, у скільки разів швидкість \(v_1\) руху першого супутника більша за швидкість \(v_2\) руху другого супутника:

Отже, \(v_1\gt v_2\) у \(2\) рази.
Відповідь: 2.

Відповідь: 1. 16. 2. 2.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття «переміщення».

Переміщення – це векторна величина, яку графічно зображують як напрямлений відрізок прямої, що з’єднує початкове і кінцеве положення матеріальної точки.

Земля за рік робить повний оберт навколо Сонця – проходить повне коло. Відповідно за пів року Земля пройде половину кола \(рис. 1\).

Рис. 1. Рух Землі навколо Сонця: 1 – початкове положення Землі; 2 ‑ кінцеве положення Землі (через пів року); \(R\) – радіус орбіти

Якщо з’єднати початкове положення Землі \(точка 1\) із кінцевим \(точка 2\), де вона опиниться через пів року, то відрізок 1–2 буде діаметром орбіти, якою рухається планета. Оскільки радіус орбіти за умовою дорівнює \(1\ \text{а. о.},\) то діаметр орбіти, а отже й переміщення Землі, становить \(2\ \text{а. о.}\)

Інші варіанти відповіді можна отримати, якщо сплутати переміщення зі шляхом й обчислювати не довжину відрізка, яким з’єднані початкове і кінцеве положення тіла, а визначати довжину траєкторії руху тіла. Також до неправильної відповіді може призвести нерозуміння закономірностей руху Землі навколо Сонця.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Кінематика. Основи кінематики. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття переміщення.

Переміщення \((\overrightarrow{s})\) – це векторна величина, яку графічно подають у вигляді напрямленого відрізка прямої, що з’єднує початкове й кінцеве положення матеріальної точки.

Літак, який рухається вздовж меридіану від полюса до екватора, має траєкторію, що є чвертю великого кола Землі \(рис. 1\). Велике коло – це коло на поверхні Землі, центр якого збігається із центром Землі. Його радіус дорівнює радіусу Землі \(R\).

Рис. 1. Схема руху літака вздовж меридіана

Переміщення літака за цих умов – це хорда великого кола Землі. Її довжину можна дістати з теореми Піфагора: $$ S=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рух. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на оцінювання вміння визначати напрямок прискорення і швидкості в різних процесах.

А Снаряд, випущений гарматою чи будь-яким іншим способом, рухатиметься під дією сили тяжіння після вистрілу. У такому разі прискорення, що діє на тіло, – це прискорення вільного падіння, що завжди напрямлене до центра Землі. Тобто якщо поверхня горизонтальна, то прискорення вільного падіння спрямоване перпендикулярно до поверхні. Тіло в такому разі рухається по параболі. Схематичне зображення руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, тобто руху снаряду, зображено на рисунку 1. Стрілкою червоного кольору позначено прискорення тіла, зеленого – напрямок швидкості тіла (напрямок руху). Кут між цими напрямками гострий.

Рис. 1. Схематичне зображення руху снаряду перед падінням

Б Кінець годинникової стрілки рівномірно рухається по колу. За визначенням рівномірний рух тіла по колу – це такий криволінійний рух, за якого траєкторією руху тіла є коло, а лінійна швидкість руху не змінюється із часом.

Під час руху по колу швидкість тіла постійно напрямлена по дотичній до кола. Це значить, що напрямок швидкості руху тіла постійно змінюється, але оскільки рух рівномірний, то модуль швидкості має залишатися постійним. Це можливо лише якщо прискорення напрямлене перпендикулярно до швидкості тіла. На рисунку 2 схематично зображено рух кінця годинної стрілки (позначеного синім кругом на рисунку). Тож кут між напрямком руху тіла й прискоренням у цьому разі завжди прямий.

Рис. 2. Схематичне зображення руху кінця годинникової стрілки

В Під час руху снаряда в каналі ствола гармати його швидкість збільшується. Тобто прискорення співнапрямлене зі швидкістю тіла.

Г Після вимикання двигуна катера його швидкість починає зменшуватися. Тобто прискорення протилежно напрямлене до швидкості тіла.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3В, 4А.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Електродинаміка. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати комплексні розрахункові задачі на використання принципів рівномірного руху по колу.

У камері Вільсона частинки рухаються по дугах – елементах кола, отже камера перебуває в магнітному полі \(рис. 1\).

Рис. 1. Треки заряджених частинок у камері Вільсона

Під час руху по колу швидкість руху частинки буде спрямована по дотичній до кола, а прискорення – до центра.

Доцентрове прискорення можна обчислити з виразу: $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}, $$ де \(v\) – швидкість частинка, а \(R\) – радіус треку.

За другим законом Ньютона рівнодійна дорівнює добутку маси тіла на прискорення, набуте під час взаємодії, тобто $$ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}. $$

Єдиною силою, що діє на частинки в площині напрямку руху, є сила Лоренца: $$ \overrightarrow{F_{\text{Лоренца}}}=Bvq\sin\mathbf{\alpha}, $$ де \(B\) – магнітна індукція поля, \(q\) – заряд частинки, \(v\) – швидкість частинки, \(\mathbf{\alpha}\) – кут між вектором магнітної індукції і напрямком руху частинки.

Зважаючи на те, що частинки рухаються в полі по колу, то \(\mathbf{\alpha}=90^\circ\), а \(\sin\mathbf{\alpha}=1\), як це зображено на рисунку 2.

Рис. 2. Схема руху позитивно зарядженої частинки по колу

Тоді для випадку, описаного в задачі, можна записати: \begin{gather*} \overrightarrow{F_{\text{Лоренца}}}=m\overrightarrow{a_{\text{доц}}},\\[6pt] Bvq=m\frac{v^2}{R}. \end{gather*}

Вираз для кінетичної енергії тіла: $$ E_k=\frac{mv^2}{2}, $$ де \(m\) – маса тіла, а \(v\) – швидкість його руху.

Тож можна виразити швидкість руху частинки з другого закону Ньютона для випадків до і після проходження крізь фольгу й обчислити кінетичні енергії для обох випадків: \begin{gather*} v_{\text{до}}=\frac{BR_{\text{до}}q}{m},\\[6pt] v_{\text{після}}=\frac{BR_{\text{після}}q}{m}. \end{gather*}

Співвідношення радіусів треків до і після проходження крізь фольгу таке: \begin{gather*} R_{\text{до}}=2R_{\text{після}},\\[6pt] v_{\text{після}}=\frac{BR_{\text{після}}q}{m},\\[6pt] v_{\text{до}}=\frac{2BR_{\text{після}}q}{m}. \end{gather*}

А кінетичні енергії матимуть вигляд:

Можна обчислити різницю кінетичних енергій до i після проходження крізь фольгу:

Тоді, знайшовши відношення цієї різниці до початкової кінетичної енергії, можна визначити, на скільки зменшилася кінетична енергія: $$ \frac{\triangle E_k}{E_{k\ \text{до}}}=\frac{3E_{k\ \text{після}}}{4E_{k\ \text{після}}}=0,75. $$

Ця різниця становитиме 75 %.

Відповідь: 75.

Пояснення

ТЕМА: Основи кінематики. Ріномірний рух по колу. Доцентрове прискорення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти різні види руху за його параметрами й розв'язувати розрахункові задачі на рівномірний рух по колу.

Модуль доцентрового прискорення \(a\), що визначають за формулою \(a=\frac{v^2}{R}\), залежить від радіуса \(R\) криволінійної траєкторії обернено пропорційно за незмінного модуля швидкості \(v\). Оскільки радіуси в точках А, В і С співвідносяться як \(R_{\mathrm{А}}=R_{\mathrm{B}}\gt R_{\mathrm{C}}\) (див. рисунок), то \(a_{\mathrm{А}}=a_{\mathrm{B}}\lt a_{\mathrm{C}}\).

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Ріномірний рух по колу. Період і частота. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати розрахункові задачі, застосовуючи функціональні залежності між основними фізичними величинами, на рівномірний рух по колу.

1. \(|\overline{S}|=2R\) – відстань від початку руху точки 1 до кінця точки 2. Отже, 1 – Г.

2. \(|\overline{l}|=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2}\) – формула довжини половини кола.
\(|\overline{l}|=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2}=\mathbf{\pi}R\). Отже, 2 – B.

3. \(|\overline{V}|=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}\), за умовою період \(T=2t\), тому
\(|\overline{V}|=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2t}=\frac{\mathbf{\pi}R}{t}\). Отже, 3 – Б.

4. \(w=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}=\frac{2\mathbf{\pi}}{2t}=\frac{\mathbf{\pi}}{t}\). Отже, 4 – A.

Відповідь: 1Г, 2B, 3Б, 4A.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння фізичних понять, що стосуються рівномірного руху по колу, зокрема доцентрового прискорення.

Під час рівномірного руху по колу лінійна швидкість не змінюється. Проте лінійна швидкість – це скалярна величина, яку розраховують як середню шляхову швидкість криволінійного руху. Тобто твердження «лінійна швидкість не змінюється» означає, що модуль вектора швидкості під час рівномірного руху по колу залишається незмінним, натомість напрямок швидкості постійно змінюється, щоби підтримувати траєкторію руху (коло).

Вектор швидкості в кожен момент напрямлений по дотичній до кола, тож має змінювати свій напрямок під дією певного прискорення (адже дотична в кожній точці кола відрізнятиметься від дотичної в іншій точці).

Це прискорення може бути напрямлене лише перпендикулярно до вектора швидкості, адже в будь-якому іншому разі воно змінюватиме не лише напрямок, а й модуль вектора.

Рис. 1. Напрямок прискорення і швидкості під час руху по колу

Тож вектор прискорення під час рівномірного руху по колу завжди напрямлений до центра кола, а тому змушений змінювати свій напрямок щоразу, коли його змінює вектор швидкості. Доцентрове прискорення має постійний модуль, який можна обчислити за формулою $$ a=\frac{v^2}{r}, $$ де \(v\) – лінійна швидкість руху, \(r\) – радіус кола.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичних засад рівномірного руху по колу й уміння розв’язувати розрахункові задачі на основні фізичні величини, пов’язані з рівномірним рухом по колу (доцентрове прискорення, лінійна швидкість).

Пригадаймо, що за визначенням рівномірний рух тіла по колу – це такий криволінійний рух, за якого траєкторією руху тіла є коло, а лінійна швидкість руху не змінюється із часом.

Для правильного розв’язання задачі потрібно вибрати дві точки твердого тіла, що обертається навколо осі \(O\), і простежити за їхнім рухом (рис. 1).

Рис. 1. Точки А і В твердого тіла

Нехай точка \(A\) лежить на відстані \(r\) від осі \(O\), а точка \(B\) на відстані \(R\) так, що \(R \gt r\). За один період обертання \(T\) всі точки повернуться у свої початкові положення. Шлях кожної точки – це коло, тож можна його обчислити як довжину цього кола: \begin{gather*} l_A=2\mathbf{\pi}r;\\[7pt] l_B=2\mathbf{\pi}r. \end{gather*}

Після цього можна обчислити лінійну швидкість кожної точки: \begin{gather*} v_A=\frac{2\mathbf{\pi}r}{T};\\[6pt] v_B=\frac{2\mathbf{\pi}r}{T}. \end{gather*}

Отже: $$ v_A \lt v_B. $$

Кутову швидкість \(\mathbf{\omega}\) точки можна обчислити за формулою: $$ \mathbf{\omega}= \frac{\mathbf{\varphi}}{t}. $$

Оскільки за період \(T\) всі точки повертаються в своє положення, то вони роблять повний (\(2\mathbf{\pi}\) радіан) оберт. А кутова швидкість для обох точок дорівнює $$ \mathbf{\omega}_{A}=\mathbf{\omega}_{B}=\frac{\mathbf{\varphi}}{t}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}. $$

Те саме можна зробити і для будь-якої іншої пари точок твердого тіла, отже кутова швидкість буде однаковою для всіх його точок.

Доцентрове прискорення для всіх точок напрямлене до центра, тому його напрямок відрізняється для точок у різних частинах тіла, як зображено на рисунку 1.

Модуль доцентрового прискорення можна обчислити за формулою: $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}. $$

Потім потрібно порівняти модулі доцентрового прискорення для точок A і B: \begin{gather*} a_{\text{доц A}}=\frac{v_A^2}{r}=\left(\frac{2\mathbf{\pi}r}{T}\right)^2 \frac 1r=r\left(\frac{2\mathbf{\pi}}{T}\right)^2;\\[6pt] a_{\text{доц B}}=\frac{v_B^2}{R}=\left(\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}\right)^2 \frac 1R=R\left(\frac{2\mathbf{\pi}}{T}\right)^2;\\[6pt] a_{\text{доц B}} \gt a_{\text{доц A}}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Електродинаміка. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати комплексні розрахункові задачі на використання принципів рівномірного руху по колу.

Дано:
\(v_{\mathbf{\alpha}}=v_p=v\)
\(m_{\mathbf{\alpha}}=4m_p\)

1. Знайти:
\(\frac{r_{\mathbf{\alpha}}}{r_p}\ -\ ?\)

Під час руху по колу швидкість руху частинки буде спрямована по дотичній до кола, а прискорення – до центра.

Доцентрове прискорення можна обчислити з виразу $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}, $$ де \(v\) – швидкість частинки, а \(R\) – радіус кола, уздовж якого відбувається рух.

За другим законом Ньютона рівнодійна дорівнює добутку маси тіла на прискорення, набуте під час взаємодії, тобто $$ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}. $$

Єдиною силою, що діє на частинки в площині напрямку руху, є сила Лоренца: $$ \overrightarrow{F_{\text{Лоренца}}}=Bvq\sin\mathbf{\alpha}, $$ де \(B\) – магнітна індукція поля, \(q\) – заряд частинки, \(v\) – швидкість частинки,
\(\mathbf{\alpha}\) – кут між вектором магнітної індукції і напрямком руху частинки.

З огляду на те, що частинки рухаються в полі по колу, \(\mathbf{\alpha}=90^{\circ}\), а \(\sin\mathbf{\alpha}=1\) \(рис. 1\).

Рис. 1. Схема руху позитивно зарядженої частинки по колу

Тоді можна записати: $$ \overrightarrow{F_{\text{Лоренца}}}=m\overrightarrow{a_{\text{доц}}}. $$

Оскільки складники \(\mathbf{\alpha}\)-частинки – 2 протони й 2 нейтрони, то її заряд удвічі більший за заряд протона: $$ q_{\mathbf{\alpha}}=2q_p. $$

Запис другого закону Ньютона для обох частинок такий: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} Bv_pq_p=m_p\frac{v_p^2}{r_p};\\ Bv_{\mathbf{\alpha}}q_{\mathbf{\alpha}}=m_{\mathbf{\alpha}}\frac{v_{\mathbf{\alpha}}^2}{r_{\mathbf{\alpha}}}. \end{array} \right. \end{gather*}

Після цього потрібно записати вирази для радіусів кола, уздовж якого здійснюється рух, для обох частинок: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} r_p=m_p\frac{v_p^2}{Bv_pq_p};\\ r_{\mathbf{\alpha}}=m_{\mathbf{\alpha}}\frac{v_{\mathbf{\alpha}}^2}{Bv_{\mathbf{\alpha}}q_{\mathbf{\alpha}}}. \end{array} \right. \end{gather*}

Далі потрібно підставити всі відомі співвідношення між фізичними величинами, що відповідають протону й \(\mathbf{\alpha}\)-частинці: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} r_p=m_p\frac{v^2}{Bvq_p};\\ r_{\mathbf{\alpha}}=4m_p\frac{v^2}{2Bvq_p}=2m_p\frac{v^2}{Bvq_p}=2r_p. \end{array} \right. \end{gather*}

Тому $$ \frac{r_{\mathbf{\alpha}}}{r_p}=2. $$

Відповідь: 2.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Матеріальна точка. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння понять шляху й переміщення, відмінності між ними.

Матеріальна точка – це фізична модель тіла, розмірами якого в умовах задачі можна знехтувати.

Переміщення \(\overrightarrow{s}\) – це векторна величина. Її зображують як напрямлений відрізок прямої, що з’єднує початкове й кінцеве положення матеріальної точки.

Період обертання \(T\) – фізична величина, що дорівнює інтервалу часу, за який тіло здійснює один оберт.

За один період матеріальна точка зробить один повний оберт, і початкове положення руху збігатиметься із кінцевим положенням. Тоді модуль переміщення дорівнюватиме 0.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Період і частота.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на зв’язок основних фізичних величин, що описують рівномірний рух по колу, зокрема кутової швидкості.

Дано:
\(\mathbf{\omega}=1,57\ \frac{\text{рад}}{\text{с}}\)
\(R=20\ \text{м}\)

1. Знайти:
\(T\ (\text{с})\ -\ ?\)

Знаючи зв’язок між циклічною частотою і періодом, можна знайти період обертання: \begin{gather*} \mathbf{\omega}=\frac{\mathbf{\pi}}{T};\\[6pt] T=\frac{2\mathbf{\pi}}{\mathbf{\omega}}=\frac{2\cdot 3,14}{1,57\ \frac{\text{рад}}{\text{с}}}=4\ \text{с}. \end{gather*}

2. Знайти::
\(l\ (\text{м})\ -\ ?\)

Період – це проміжок часу, за який тіло робить повний оберт.

Тоді за один період тіло пройде шлях, що дорівнює довжині кола, яке воно описує: $$ l=C=2\mathbf{\pi}R=2\cdot 3,14\cdot 20\ \text{м}=125,6\ \text{м}. $$

Відповідь: 1. 4. 2. 125,6.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на оцінку розуміння фізичних понять, що стосуються рівномірного руху по колу.

Переміщення – це векторна величина, яку графічно подають у вигляді напрямленого відрізка прямої, який з’єднує початкове й кінцеве положення матеріальної точки.

Шлях – це фізична величина, що чисельно дорівнює довжині траєкторії руху матеріальної точки за певний інтервал часу.

Швидкість – це векторна фізична величина, яка дорівнює відношенню переміщення \(s\) до інтервалу часу \(t\), за який це переміщення відбулося: $$ \overline{v}=\frac{\overline{s}}{t}. $$

Кутова швидкість – це фізична величина, яка чисельно дорівнює куту повороту \(\mathbf{\varphi}\) радіуса за час \(t\): $$ \mathbf{\omega}=\frac{\mathbf{\varphi}}{t}. $$

Під час переміщення з точки 1 у точку 2 тіло пройшло півкола, тобто \(180^\circ\) чи \(\mathbf{\pi}\ \text{рад}\). У такому разі модуль переміщення, тобто відстань між початковою і кінцевою точкою, дорівнює \(2R\).

Шлях у цьому випадку – це довжина дуги, яку пройшло тіло. Її можна розрахувати за формулою: $$ l=2\mathbf{\pi}R\cdot\frac {\mathbf{\varphi}}{2\mathbf{\pi}}=2\mathbf{\pi}R\cdot\frac{\mathbf{\pi}}{2\mathbf{\pi}}=\mathbf{\pi}R. $$

Модуль швидкості можна розрахувати, якщо модуль переміщення \(s\) поділити на \(t\): $$ v=\frac st=\frac{\mathbf{\pi}R}{t}. $$

Кутову швидкість можна розрахувати за формулою $$ \mathbf{\omega}=\frac{\mathbf{\varphi}}{t}=\frac{\mathbf{\pi}}{t}. $$

Відповідь: 1Г, 2В, 3Б, 4А.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Електродинаміка. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати комплексні розрахункові задачі на використання принципів рівномірного руху по колу.

Дано:
\(v_{\mathrm{Be}}=v_p=v\)

Знайти:
\(\frac{r_{\mathrm{Be}}}{r_p}\ -\ ?\)

У рівняннях ядерних реакцій поруч із символом елемента лівим верхнім індексом позначають кількість нуклонів у ядрі (сумарна кількість протонів і нейтронів), а лівим підрядковим – кількість протонів. Тож у цього нукліда Берилію 9 нуклонів, 4 з яких – протони. Маса нейтрона приблизно дорівнює масі протона, тому маса нукліда Берилію у 9 разів більша, ніж маса протона: $$ m_{\mathrm{Be}}=9m_p. $$

Під час руху по колу швидкість руху частинки буде спрямована по дотичній до кола, а прискорення – до центру.

Доцентрове прискорення можна знайти з виразу $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}, $$ де \(v\) – швидкість частинка, а \(R\) – радіус кола, уздовж якого відбувається рух.

За другим законом Ньютона рівнодійна дорівнює добутку маси тіла на прискорення, набуте під час взаємодії, тобто $$ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}. $$

Єдиною силою, що діє на частинки в площині напрямку руху, є сила Лоренца: $$ \overrightarrow{F_{\text{Лоренца}}}=Bvq\sin\mathbf{\alpha}, $$ де \(B\) – магнітна індукція поля, \(q\) – заряд частинки, \(v\) – швидкість частинки, \(\mathbf{\alpha}\) – кут між вектором магнітної індукції і напрямком руху частинки.

Зважаючи на те, що частинки рухаються в полі по колу, то \(\mathbf{\alpha}=90^\circ\), а \(\sin\mathbf{\alpha}=1\) (рис. 1).

Рис. 1. Схема руху позитивно зарядженої частинки по колу

Тоді можна записати, що $$ \overrightarrow{F_{\text{Лоренца}}}=m\overrightarrow{a_{\text{доц}}}. $$

Оскільки в нукліда Берилію є чотири позитивно заряджені протони й п’ять нейтральних нейтронів, його заряд у чотири рази більший, ніж заряд протона: $$ q_{\mathrm{Be}}=4q_p. $$

Записи другого закону Ньютона для обох частинок такі: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} Bv_pq_p=m_p=\frac{v^2_p}{r_p};\\ Bv_{\mathrm{Be}}q_{\mathrm{Be}}=m_{\mathrm{Be}}\frac{v_{\mathrm{Be}}^2}{r_{\mathrm{Be}}}. \end{array} \right. \end{gather*}

Після цього потрібно виразити радіуси кола, уздовж якого здійснюється рух, для обох частинок: $$ \left\{ \begin{array}{l} r_p=m_p\frac{v^2_p}{Bv_pq_p};\\ r_{\mathrm{Be}}=m_{\mathrm{Be}}\frac{v_{\mathrm{Be}}^2}{Bv_{\mathrm{Be}}q_{\mathrm{Be}}}. \end{array} \right. $$

Далі треба підставити всі відомі співвідношення між фізичними величинами, що відповідають протону й α-частинці:

Тобто $$ \frac{r_{\mathrm{Be}}}{r_p}=2,25. $$

Відповідь: 2,25.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття лінійної швидкості обертання і вміння визначати характеристики складного руху.

Велосипед складено з різних частин, чий рух принципово відрізняється: рами, яка під час прямолінійного руху всього велосипеда також рухається поступально, і коліс та педалей, які, крім поступального руху разом з усім велосипедом, здійснюють обертальний.

Позначмо швидкість прямолінійного руху велосипеда як \(v\). Тоді кожна його частина, що рухається поступально, матиме таку саму швидкість. Тому швидкість у точці \(A\) також дорівнюватиме \(v\).

Якщо колесо рухається без проковзування, то лінійна швидкість під час руху по колу будь-якої його точки на зовнішній поверхні має дорівнювати швидкості поступального руху його центра. Тому для точок, зображених на рис. 1 \(V_O = V_K\).

Рис. 1. Лінійна швидкість \(V_O\) обертального руху точки на колі та швидкість \(V_K\) поступального руху центра кола (коло обертається проти годинникової стрілки)

Тоді швидкість руху для будь-якої точки на поверхні кола можна визначити як суму швидкості поступального руху його центра й проєкції на вісь х його лінійної швидкості руху по колу: $$ V=V_{K_x}+V_O $$

Така рівність дійсна для всіх точок зовнішньої поверхні колеса. Тож проекції лінійної швидкості обертального руху за модулем найбільші в найнижчій (Г) і найвищій (Б) точці колеса. У найвищій точці лінійна швидкість обертального руху співнапрямлена зі швидкістю поступального руху всього колеса, а в найнижчій точці – напрямлена протилежно до неї.

Рис. 2. Напрямок лінійної швидкості обертального руху для точок Б й Г

Тоді загальна швидкість у точці Г дорівнює нулю: $$ V_O-V_{Г}=V_O-V_O=0. $$

А в точці Б: $$ V_O-V_{Б}=V_O+V_O=2V_O. $$ Одна найвища точка колеса матиме найбільшу швидкість, будь-яка інша його точка матиме меншу швидкість.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Сила тяжіння. Рівномірний рух по колу. Кінетична енергія.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комплексні задачі про рівномірний рух по колу.

Дано:
\(F_{\text{тяж}}=4\ \text{кН}\)
\(R=10000\ \text{км}\)

Знайти:
\(E_{\text{кін}}\ (\text{ГДж})\ -\ ?\)

Кінетичну енергію тіла можна обчислити за формулою \begin{gather*} E_k=\frac{mv^2}{2}, \end{gather*} де \(m\) – маса тіла, а \(v\) – швидкість його руху.

Під час руху супутника навколо Землі його швидкість спрямована по дотичній до кола, а прискорення – до центру.

Доцентрове прискорення можна обчислити з виразу $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}, $$ де \(v\) – швидкість супутника, а \(R\) – радіус обертання.

За другим законом Ньютона рівнодійна дорівнює добутку маси тіла на прискорення, набуте під час взаємодії: $$ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}. $$

Єдиною силою, що діє на частинки в площині напрямку руху є сила тяжіння Землі: $$ \overrightarrow{F_{\text{тяж}}}=m\overrightarrow{g}. $$

Тобто $$ mg=m\frac{v^2}{R}. $$

Із цього рівняння можна виразити добуток маси й квадрату швидкості та підставити його у формулу для кінетичної енергії:

Відповідь: 20

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати доцентрове прискорення на криволінійній траєкторії.

Криволінійна траєкторія утворена елементами двох кіл із різними радіусами (рис. 1).

Рис. 1. Радіуси криволінійної траєкторії

Точки А і В лежать на більшому колі, а точка С – на меншому, тож \(R_C\lt R_B=R_A\).

Доцентрове прискорення можна обчислити з виразу: $$ a_\text{доц}=\frac{v^2}{R}, $$ де \(v\) – швидкість руху тіла, а \(R\) – радіус обертання.

Оскільки модуль лінійної швидкості не змінюється, то можна записати прискорення в кожній із точок: \begin{gather*} a_C=\frac{v^2}{R_C};\\[6pt] a_B=\frac{v^2}{R_B}=\frac{v^2}{R_A}=a_A. \end{gather*}

Оскільки \(R_C\lt R_B=R_A\), то \(a_C\gt a_B=a_A\).

Цей вираз можна записати в іншому вигляді: $$ a_A=a_B\lt a_C. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Період і частота.

Завдання скеровано на перевірку розуміння рівномірного руху по колу та його характеристик.

Період \(Т=6\ \text{с}\) – це означає, що тіло, стартувавши з точки \(A,\) зробило один повний оберт і знов опинилося в точці \(A.\) Переміщення в цьому разі дорівнює нулю: переміщення – це напрямлений відрізок прямої, який з’єднує початкове і кінцеве положення матеріальної точки.

Тоді час \(3\ \text{с}\) – це пів періоду \(\frac 12 T,\) тіло пройде пів кола, тобто з точки \(A\) в точку \(B.\) Модуль переміщення \(s_{\frac 12 T}\) у цьому разі дорівнюватиме двом радіусам \(R\) кола – довжині відрізка \(AB\) (див. рисунок). $$ s_{\frac 12 T}=2R. $$

Час руху \(1\ \text{с}\) – це \(\frac 16\) періоду \(\left(\frac 16T\right).\) За цей час тіло пройде вздовж дуги \(AC.\) А модуль переміщення \(s_{\frac 16T}\) в цьому разі дорівнюватиме довжині відрізка \(AC.\) Розгляньмо \(\Delta AOC.\) \(\Delta AOC\) – рівнобедрений \((AO=OC=R),\) \(\angle AOC=60^\circ\) (оскільки за \(1\ \text{с}\) тіло робить у радіанах поворот на \(\frac 16\) від \(360^\circ,\) тобто на \(60^\circ\)). Тоді кути при основі \(AC\) рівні і градусна міра кожного з них становить \(60^\circ.\) Отже, \(\Delta AOC\) – рівносторонній, тобто \(AC=AO=OC=R.\) Тобто модуль переміщення \(s_{\frac 16T}\) в цьому разі дорівнюватиме радіусу \(R\) кола – довжині відрізка \(AC\) (див. рисунок): $$ s_{\frac 16 T}=R. $$

Визначімо, у скільки разів модуль переміщення за \(3\ \text{с}\) руху більший від модуля переміщення за \(1\ \text{с}:\) $$ \frac{s_{\frac 12T}}{s_{\frac 16T}}=\frac{2R}{R}=2. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Період і частота.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття обертової частоти, і вміння її визначати.

Обертова частота \(n\) ‒ фізична величина, яка чисельно дорівнює кількості \(N\) обертів за одиницю часу \(t:\) $$ n=\frac Nt. $$

Одиниця обертової частоти в SІ ‒ оберт за секунду: $$ [n]=1\frac{\text{об}}{\text{с}}=\text{с}^{-1}. $$

Обчислимо частоту обертання барабана пральної машини:

Відповідь: \(15.\)