Завдання за темою з фізики

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння застосовувати закон збереження імпульсу.

Скористаймося законом збереження імпульсу для системи двох куль: $${\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2={\overrightarrow{p}}_1^{{}^{\prime }}+{\overrightarrow{p}}_2^{{}^{\prime }},$$ де ${\overrightarrow{p}}_1$ і ${\overrightarrow{p}}_2$ ‒ імпульси куль до зіткнення, ${\overrightarrow{p}}_1^{{}^{\prime }}$ і ${\overrightarrow{p}}_2^{{}^{\prime }}$ ‒ імпульси куль після зіткнення відповідно.

Якщо після зіткнення частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію і нагрівання тіл), таке зіткнення називають непружним. Непружне зіткнення, після якого тіла рухаються як єдине ціле, називають абсолютно непружним.

Спроєктуймо вектори імпульсів цього рівняння на горизонтальну вісь, що напрямлена вздовж напрямку руху, наприклад, першої кулі й, відповідно, руху криголама разом із крижиною після зіткнення: $$p_1-p_2=0,$$ $p_1^{\prime }+p_2^{\prime }=(m_1+m_2)\cdot v^{\prime }=0,$ оскільки після зіткнення обидві кулі зупинилися за умовою (швидкість після зіткнення $v^{\prime }=0$).

Запишімо загальний імпульс системи куль до зіткнення:

Отже, зміна загального імпульсу системи куль унаслідок зіткнення дорівнюватиме нулю.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Кількість теплоти.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння перетворення кількості теплоти в інший вид енергії.

Унаслідок утраченої мідною кулькою внутрішньої енергії виділилася певна кількість теплоти $Q:$ $$\begin{array}{c}Q=cm\mathrm{\Delta }t,\end{array}$$ де $c$ ‒ питома теплоємність міді, з якої зроблена кулька, $m$ ‒ маса кульки, $\mathrm{\Delta }t$ ‒ зміна температури.

Під час підняття кульки на певну висоту $h$ збільшиться її потенціальна енергія $E_p$ від нуля до якогось значення: $$E_p=mgh,$$ де $g$ ‒ прискорення вільного падіння.

За умовою на підняття кульки витратиться $1\text{\%}$ від кількості теплоти, що виділиться: $$\begin{array}{c}0,01\cdot Q=E_p,\\ 0,01\cdot cm\mathrm{\Delta }t=mgh,\\ 0,01\cdot c\mathrm{\Delta }t=gh.\end{array}$$

Виразімо звідси $h$ й обчислімо її:

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження імпульсу і вміння за його допомогою описувати конкретну систему тіл.

У замкненій системі тіл векторна сума імпульсів тіл до взаємодії дорівнює векторній сумі імпульсів тіл після взаємодії. Запишімо закон збереження імпульсу для системи тіл, як векторну суму імпульсів ${\overrightarrow{p}}_{\text{п}}$ і ${\overrightarrow{p}}_{\text{н}}$ порожнього і навантаженого вагонів відповідно до взаємодії, і векторну суму імпульсів ${\overrightarrow{p}}_{\text{п}}^{\prime }$ і ${\overrightarrow{p}}_{\text{н}}^{\prime }$ цих вагонів після взаємодії: $${\overrightarrow{p}}_{\text{п}}+{\overrightarrow{p}}_{\text{н}}={\overrightarrow{p}}_{\text{п}}^{\prime }+{\overrightarrow{p}}_{\text{н}}^{\prime }.$$

Оскільки порожній вагон штовхне навантажений і вони разом, зчепившись, продовжать рух у тому самому напрямку, що й порожній, то можемо записати закон збереження імпульсу в проєкціях: $$p_{\text{п}}+p_{\text{н}}=p_{\text{п}}^{\prime }+p_{\text{н}}^{\prime }.$$

Навантажений вагон до зіткнення з порожнім стояв нерухомо, його швидкість дорівнювала нулю. Тож і його імпульс дорівнював нулю, оскільки імпульс тіла ‒ це добуток маси тіла на швидкість його руху: $$p_{\text{н}}=0.$$

З графіка залежності імпульсу порожнього вагона від часу можна визначити, що до зіткнення імпульс порожнього вагона $$p_{\text{п}}=0,1\text{кг}\cdot \text{м/с},$$ а після зіткнення імпульс порожнього вагона $$p_{\text{п}}^{\prime }=0,04\text{кг}\cdot \text{м/с}.$$

Отже, можемо визначити імпульс навантаженого вагона після поштовху порожнього вагона: $$p_{\text{н}}^{\prime }=p_{\text{п}}-p_{\text{п}}^{\prime },$$

Запишімо формулу для імпульсу навантаженого вагона: $$p_{\text{н}}^{\prime }=m_{\text{н}}v,$$ де $m_{\text{н}}$ ‒ маса навантаженого вагона, яка дорівнює сумі мас порожнього вагона $m_{\text{п}}=1\text{кг}$ і вантажу $m_{\text{в}}:$ $$m_{\text{н}}=m_{\text{п}}+m_{\text{в}}.$$

А швидкість руху $v$ ‒ це спільна швидкість руху порожнього і навантаженого вагонів після їхнього зчеплення. Визначити її можна з формули імпульсу порожнього вагона після зчеплення:

Визначмо тепер масу вантажу $m_{\text{в}}:$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку уміння визначати потужність.

Потужність $P$ (або $N$) ‒ це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи й дорівнює відношенню роботи $A$ до інтервалу часу $t,$ за який цю роботу виконано: $$P=\frac{A}{t}.$$

Робота рівнодійної всіх сил, які діють на тіло, дорівнює зміні кінетичної енергії $\mathrm{\Delta }{E}_k$ тіла ‒ це теорема про кінетичну енергію: $$A=E_k-E_{k0}=\mathrm{\Delta }{E}_k.$$

У результаті дії сил опору автомобіль зупиниться, тобто через час $t$ його кінцева швидкість дорівнюватиме нулю: $$v_{\text{к}}=0.$$

Тобто $E_k=0,$ а теорема про кінетичну енергію зводиться до рівності $$A=E_{k0}=\frac{m{v}_0^2}{2},$$ де $m$ ‒ маса автомобіля, $v_0$ ‒ швидкість його руху на початку проміжку часу $20\text{с}:$

За умовою завдання автомобіль змінює швидкість, сповільнюється. Тому середня потужність двигуна ‒ це середнє арифметичне потужностей у певні моменти часу (так би мовити миттєвих потужностей), що дорівнюють добутку модуля сили тяги двигуна на модуль його миттєвої швидкості.

Оскільки всю енергію двигуна буде витрачено на подолання сил опору, то середня потужність двигуна дорівнюватиме середній потужності сил опору.

Отже, визначмо середню потужність сил опору:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону збереження механічної енергії, уміння описати аналітично рух тіла під дією кількох сил.

Перед початком руху тіло масою $m$ було на висоті $h,$ тобто мало певний запас пасивної механічної енергії ‒ потенціальної $E_p:$ $$E_p=mgh,$$ де $g$ ‒ прискорення вільного падіння.

Отже,

Ковзаючи по похилій площині довжиною $s,$ тіло втрачає частину енергії на виконання роботи $A$ сили тертя ковзання $F_{\text{тер}}.$ Частина потенціальної енергії переходить у внутрішню енергію тіла і похилої площини: $$A=F_{\text{тер}}s\cos \alpha ,$$ де $\alpha$ ‒ кут між вектором сили й вектором переміщення.

Сила тертя ковзання напрямлена проти руху тіла, а переміщається воно вздовж похилої площини, то ж зазначений кут становитиме ${180}^{\circ }.$ Оскільки $$\cos {180}^{\circ }=-1,$$ робота сили тертя ковзання від’ємна. Визначімо її модуль.

Схематично зобразимо на похилій площині й позначимо всі сили, що діють на тіло. Сила тяжіння $m\overrightarrow{g}$ з боку Землі завжди напрямлена вертикально вниз, сила нормальної реакції $\overrightarrow{N}$ перпендикулярна до похилої площини, сила тертя ковзання ${\overrightarrow{F}}_{\text{тер}}$ діє проти руху тіла вздовж похилої площини.

Запишімо другий закон Ньютона у векторній формі: $$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{F}}_{\text{тер}}.$$

Сила тертя ковзання $F_{\text{тер}}$ дорівнює добутку коефіцієнта тертя ковзання $\mu$ і сили $N$ нормальної реакції опори: $$F_{\text{тер}}=\mu N.$$

Для того, щоб визначити $N,$ запишімо другий закон Ньютона в проєкціях на вісь $Oy:$ $$\begin{array}{c}0=-mg\cos \alpha +N,\\ N=mg\cos \alpha .\end{array}$$

Отже, $$F_{\text{тер}}=\mu N=\mu mg\cos \alpha .$$

Виразимо модуль переміщення тіла (довжину похилої площини) через дані в умові завдання: $$s=\frac{h}{\sin \alpha }.$$

Отже, остаточна формула для визначення роботи сили тертя ковзання набуває такого вигляду:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження повної механічної енергії, а також залежності в цьому законі величин, які описують тіло або систему тіл, від часу.

Тіло, кинуте під кутом до горизонту, рухається по параболі, тож кінетична енергія тіла переходить у потенціальну, а потім, під час падіння, навпаки – потенціальна в кінетичну.

У замкненій системі тіл, які взаємодіють тільки консервативними силами, повна механічна енергія залишається незмінною (зберігається).

Закон збереження повної механічної енергії виконується тільки в тому разі, якщо в системі немає тертя.

За умовою на опір повітря не зважаємо, тому закон збереження повної механічної енергії справедливий.

Якщо повна механічна енергія $E$ із часом залишається сталою, то графіком її залежності від часу $t$ буде пряма, паралельна до осі часу ‒ варіант В:

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Перетворення енергії у гармонічних коливаннях.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження механічної енергії на прикладі математичного маятника.

Повна механічна енергія кульки, яка складається з кінетичної і потенціальної енергій, зберігатиметься: уважаємо, що опір повітря нехтовно малий, а сили, що діють у системі, є консервативними. Якщо значення одного виду енергії зменшується, то відповідно, значення іншого виду енергії збільшується.

За умовою завдання маятник рухається в бік положення рівноваги (вертикального положення). Це означає, що висота підняття кульки під час здійснення коливання зменшуватиметься, а швидкість руху кульки у напрямку положення рівноваги збільшуватиметься (див. рисунок).

Потенціальна енергія $W_p$ кульки прямо пропорційна висоті $h$ підняття кульки відносно нульового рівня (коли кулька перебуває в положенні рівноваги): $$W_p=mgh,$$ де $m$ ‒ маса кульки, $g$ ‒ прискорення вільного падіння.

Отже, якщо висота зменшується, то потенціальна енергія теж зменшується.

Кінетична енергія $W_k$ прямо пропорційна квадрату швидкості руху $v$ кульки: $$W_k=\frac{m{v}^2}{2}.$$

Отже, у разі збільшення швидкості руху кінетична енергія кульки теж збільшуватиметься.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови рівноваги.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння умов рівноваги тіла, а також вміння застосовувати правило моментів.

За умовою важіль $1$ може обертатися (має нерухому вісь обертання $2$). Відповідно до правила моментів важіль перебуватиме в рівновазі, якщо алгебрична сума моментів $M_1$ і $M_2$ сил (їх два, тому що є дві точки прикладання сил до важеля ‒ там, де підвішені важки, і там, де підвішений вантаж $3$), що діють на тіло, дорівнює нулю: $$M_1+M_2=0.$$

Момент сили $M_1=F_1{d}_1$ є додатним (сила ${\overrightarrow{F}}_1$ повертає важіль проти годинникової стрілки). Момент сили $M_2=-F_2{d}_2$ є від’ємним (сила ${\overrightarrow{F}}_2$ повертає важіль за годинниковою стрілкою) $$\begin{array}{c}{F}_1{d}_1-F_2{d}_2=0,\\ F_1{d}_1=F_2{d}_2.\end{array}$$

У цьому разі на важки і на вантаж діють сили тяжіння $F_1$ і $F_2:$ $$F_1=2mg,$$ де $m=100\text{г}=0,1\text{кг}$ ‒ маса одного важка, $g$ ‒ прискорення вільного падіння); $$F_2=Mg,$$ де $M$ ‒ маса вантажу $3$ ‒ шукана величина.

Плече $d$ сили $F$ ‒ це найменша відстань від осі обертання $2$ тіла до лінії, вздовж якої діє сила $\overrightarrow{F}.$ Отже, плече $d_1=4d,$ а плече $d_2=d$ (де $d$ ‒ одиничний відрізок).

Визначимо масу вантажу $3:$

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів збереження в механіці й уміння їх застосовувати.

Кульку, що нерухомо висить на нитці, позначмо $1,$ а кульку, яку відхилили на ${90}^{\circ },‒2.$ Спочатку розгляньмо перетворення механічної енергії кульки $2.$ За нульовий рівень виберемо положення кульки $1.$ Тоді відхилена на ${90}^{\circ }$ кулька $2$ перебуватиме на висоті $L,$ що дорівнює довжині нитки. А отже, володітиме потенціальною енергією: $$E_{p2}=mgL,$$ де $m$ ‒ маса кульки (і першої, і другої), $g$ ‒ прискорення вільного падіння.

Після того як кульку $2$ відпустили, вона, рухаючись по дузі кола, набрала швидкість і перед зіткненням з кулькою $1$ мала найбільшу швидкість $v_{max}$ ‒ уся потенціальна енергія перейшла в кінетичну. Опишімо цей рух кульки $2$ законом збереження енергії:

Відповідно до умови зіткнення кульок $2$ і $1$ ‒ непружне. Це означає, що після такої взаємодії частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію і нагрівання тіл). А після зіткнення кульки рухатимуться як одне ціле й піднімуться на певну висоту $h.$

Опишімо взаємодію двох кульок законом збереження імпульсу: $${\overrightarrow{p}}_{01}+{\overrightarrow{p}}_{02}={\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2,$$ де ${\overrightarrow{p}}_{01}$ і ${\overrightarrow{p}}_{02}$ ‒ імпульси кульок до взаємодії, ${\overrightarrow{p}}_1$ і ${\overrightarrow{p}}_2$ ‒ імпульси кульок після взаємодії. Оскільки після взаємодії кульки разом продовжать рухатися в той самий бік, що й кулька $2,$ то всі проєкції імпульсів будуть зі знаком плюс:

Знову запишімо закон збереження енергії для кульок, які рухаються разом:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння механічної роботи і потужності і вміння їх визначати за заданих умов.

1. Роботу $A$ сили тяжіння (як і роботу сили пружності) визначають за формулою: $$A=-(E_{p0}-E_p)=-\mathrm{\Delta }{E}_p.$$

Це математичний запис теореми про потенціальну енергію: робота всіх консервативних сил (що не залежать від траєкторії руху тіла), які діють на тіло, дорівнює зміні потенціальної енергії $\mathrm{\Delta }{E}_p$ тіла, взятій із протилежним знаком.

Потенціальна енергія піднятого тіла залежить від висоти, на якій перебуває тіло, тобто залежить від вибору нульового рівня, ‒ рівня, від якого буде відлічуватися висота. Нульовий рівень вибирають з міркувань зручності. А зміна потенціальної енергії, а отже, і робота сили тяжіння від вибору нульового рівня не залежать.

Отже, за нульовий рівень візьмемо підніжжя гори, де потенціальна енергія $E_{p0}$ дорівнюватиме $$E_{p0}=Mg{h}_0,$$ де $M=m_{1}N$ ‒ маса лижників кількістю $N$ середньої маси $m_1$ кожний, $g$ ‒ прискорення вільного падіння, $h_0=0$ ‒ початкова висота, яка співпадає з нульовим рівнем.

Потенціальна енергія $E_p$ на висоті $h=2\text{км}=2000\text{м}$ дорівнюватиме $$E_p=Mgh.$$

Визначимо корисну роботу, яку виконує підйомник:

Відповідь: 63.

2. Потужність $P$ (або $N$) ‒ це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи й дорівнює відношенню роботи $A$ до інтервалу часу $t,$ за який цю роботу виконано: $$P=\frac{A}{t}.$$

Обчислимо потужність двигуна підйомника:

Відповідь: 52,5.

Відповідь: 1. 63. 2. 52,5.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння застосовувати закон збереження імпульсу.

Скористаймося законом збереження імпульсу для системи тіл криголам ‒крижина: $${\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2={\overrightarrow{p^{\prime }}}_1+{\overrightarrow{p^{\prime }}}_2,$$ де ${\overrightarrow{p}}_1$ і ${\overrightarrow{p}}_2$ ‒ імпульси криголама і крижини до зіткнення, ${\overrightarrow{p^{\prime }}}_1$ і ${\overrightarrow{p^{\prime }}}_2$ ‒ імпульси криголама і крижини після зіткнення відповідно.

Спроєктуймо вектори імпульсів цього рівняння на горизонтальну вісь, що напрямлена вздовж напрямку руху криголама й, відповідно, руху криголама разом із крижиною після зіткнення: $$p_1=p_1^{\prime }+p_2^{\prime },$$ $p_2=0,$ оскільки до зіткнення крижина була нерухома за умовою.

Візьмімо до уваги, що після зіткнення криголам масою $m_1$ і крижина масою $m_2$ рухатимуться разом, тобто з однаковою швидкістю $v^{\prime }:$

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Кінетична і потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння зв’язку між імпульсом тіла і його кінетичною енергією.

Кінетична енергія $E_k$ ‒ це фізична величина, яка характеризує механічний стан рухомого тіла й дорівнює половині добутку маси $m$ тіла на квадрат швидкості $v$ його руху: $$E_k=\frac{m{v}^2}{2}.$$

На зміну кінетичної енергії м’яча після зіткнення зі стінкою вплине зміна його швидкості, маса ж залишиться незмінною.

Визначiмо зміну швидкості через зміну імпульсу $p$ м’яча.

Імпульс тіла $\overrightarrow{p}$ ‒ це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси $m$ тіла на швидкість $\overrightarrow{v}$ його руху: $$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}.$$

За умовою м’яч до зіткнення зі стінкою мав імпульс $$p_1=p_0=m{v}_0.$$

Після зіткнення зі стінкою величина імпульсу м’яча становить $$p_2=\frac{p_0}{2}=\frac{m{v}_0}{2}.$$

Отже, швидкість зменшилася вдвічі. Порівняймо, як змінилася кінетична енергія:

Отже, кінетична енергія м’яча внаслідок зіткнення зі стінкою зменшилася вчетверо.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки (закон всесвітнього тяжіння.). Закони збереження в механіці (прості механізми, закон збереження імпульсу). Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння механічних процесів, уміння описати їх за допомогою формул і законів.

Взаємодію Землі і Місяця описуємо за допомогою закону всесвітнього тяжіння: будь-які два тіла притягуються одне до одного із силою $F,$ яка прямо пропорційна добутку мас $m_1$ і $m_2$ цих тіл й обернено пропорційна квадрату відстані $R$ між ними: $$F=G\frac{m_1{m}_2}{R^2}.$$

Відкручування гайки за допомогою гайкового ключа є прикладом застосування простого механізму ‒ важеля ‒ на практиці. Чим довшою буде ручка гайкового ключа, тим легше ми відкрутимо або сильніше закрутимо гайку, прикладаючи меншу силу. Описати цей процес можна відповідно до правила моментів: $$F_1{l}_1=F_2{l}_2,$$ де сила ${\overrightarrow{F}}_1$ повертає важіль за ходом годинникової стрілки, сила ${\overrightarrow{F}}_2$ ‒ проти ходу годинникової стрілки, а $l_1$ і $l_2$ ‒ плечі цих сил відповідно.

Коливання тіла масою $m$ на пружині жорсткістю $k$ можна описати за допомогою формули для обчислення періоду $T$ коливань пружинного маятника: $$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Зіткнення більярдних куль, як приклад абсолютно пружного удару, опишімо за допомогою закону збереження імпульсу: у замкненій системі тіл векторна сума імпульсів тіл до взаємодії дорівнює векторній сумі імпульсів тіл після взаємодії. Зваживши на те, що імпульс тіла дорівнює добутку маси $m$ і швидкості $\overrightarrow{v}$ до взаємодії (або $\overrightarrow{u}$ після взаємодії) руху тіла, закон збереження імпульсу для зіткнення більярдних куль матиме такий вигляд: $$m_1{\overrightarrow{v}}_1+m_2{\overrightarrow{v}}_2=m_1{\overrightarrow{u}}_1+m_2{\overrightarrow{u}}_2.$$

Відповідь: 1Д, 2Б, 3В, 4Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження механічної енергії.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони збереження імпульсу й енергії під час непружного удару тіл.

Якщо після зіткнення частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію та нагрівання тіл), таке зіткнення називають непружним. Після такого удару тіла рухаються як єдине ціле (див. рисунок).

Опишімо рух куль до і після удару за допомогою закону збереження імпульсу у векторному вигляді та в проєкціях на вісь $Ox:$ $$\begin{array}{c}{m}_1{\overrightarrow{v}}_1=(m_1+m_2)\overrightarrow{v},\\ m_1{v}_1=(m_1+m_2)v,\end{array}$$ де $m_1$ ‒ маса пластилінової кульки, що рухалася зі швидкістю ${\overrightarrow{v}}_1,m_2$ ‒ маса нерухомої до удару кульки, $\overrightarrow{v}$ ‒ швидкість руху обох кульок після удару.

Обчислімо швидкість руху куль після удару:

Запишімо закон збереження енергії для цієї умови: $$\frac{m_1{v}_1^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}+Q,$$ де $Q$ ‒ утрачена кінетична енергія після удару кульок.

Обчислімо її:

Відповідь: 22.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Імпульс тіла. Кінетична енергія.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для визначення імпульсу й кінетичної енергії тіла.

Імпульс тіла $\overrightarrow{p}$ – це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси $m$ тіла на швидкість $\overrightarrow{v}$ його руху: $$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}.$$

Обчислімо значення імпульсу автомобіля: $$p=1000\text{кг}\cdot 10\text{м/с}={10}^4\text{кг}\cdot \text{м/с}.$$

Кінетична енергія $E_k$ ‒ це фізична величина, якою характеризують механічний стан рухомого тіла. Кінетична енергія дорівнює половині добутку маси $m$ тіла на квадрат швидкості $v$ його руху: $$\begin{array}{c}{E}_k=\frac{m{v}^2}{2}.\end{array}$$

Обчислімо значення кінетичної енергії автомобіля: $$E_k=\frac{1000\text{кг}\cdot (10\text{м/с}{)}^2}{2}=5\cdot {10}^4\text{Дж}.$$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Коливання і хвилі.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичних процесів механіки і знання формул, якими описують ці процеси.

Усім тілам у Всесвіті властива гравітаційна взаємодія, виявом якої є їхнє взаємне притягання. Відповідно до закону всесвітнього тяжіння планети Венера й Марс притягуються одна до одної із силою $F,$ яка прямо пропорційна добутку їхніх мас $m_1$ і $m_2$ й обернено пропорційна квадрату відстані $r$ між ними: $$F=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2},$$ де $G$ ‒ гравітаційна стала (коефіцієнт пропорційності, однаковий для всіх тіл у Всесвіті).

Якщо розтягнуту гумову нитку відпустити, то, скорочуючись, вона виконає роботу. Робота сили пружності визначена лише початковим і кінцевим станами гумової нитки, тобто сила пружності ‒ консервативна або потенціальна сила. Величину $$E=\frac{k{x}^2}{2}$$ називають потенціальною енергією $E$ пружно деформованого тіла, де $x$ ‒ видовження пружного тіла, $k$ ‒ жорсткість.

Між дотичними поверхнями стрічки транспортера й цеглини діє сила тертя спокою, яка перешкоджає виникненню відносного руху їх. Сила тертя спокою завжди дорівнює за модулем і протилежна за напрямком рівнодійній зовнішніх сил, які намагаються зрушити тіло з місця. Після того як рівнодійна зовнішніх сил зрівняється з максимальною силою тертя спокою, тіло починає ковзання, тобто починає діяти сила тертя ковзання. Отже, максимальна сила тертя спокою дорівнює силі тертя ковзання: $$F_{\max }=\mu N,$$ де $F_{\max }$ ‒ максимальна сила тертя спокою, $\mu$ ‒ коефіцієнт тертя, $N$ ‒ сила нормальної реакції опори.

Маленька сталева кулька коливається на довгій нерозтяжній нитці ‒ це модель нитяного (математичного) маятника. Період коливань $T$ нитяного маятника обчислюють за формулою $$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}},$$ де $l$ ‒ довжина маятника; $g$ ‒ прискорення вільного падіння.

Відповідь: 1А, 2Г, 3Д, 4Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки.

Завдання скеровано на перевірку розуміння різних динамічних процесів і вміння описати їх аналітично.

Ситуацію 1, коли відро з водою утримується за допомогою колодязного журавля (важеля), можна описати за допомогою правила моментів A: важіль перебуває в рівновазі, якщо сума моментів сил, які обертають важіль проти ходу годинникової стрілки, дорівнює сумі моментів сил, що обертають важіль за ходом годинникової стрілки.

Отже, умову рівноваги важеля під дією двох обертальних сил (сили тяжіння ${\overrightarrow{F}}_1,$ що діє на відро з водою, і сили ${\overrightarrow{F}}_2,$ прикладеної до іншого кінця колодязного журавля) можна записати як рівність моментів $M_1$ і $M_2$ відповідних сил: $$M_1=M_2\text{або}{F}_1{l}_1=F_2{l}_2,$$ де $l_1$ і $l_2$ – плечі сил.

У разі деформації тіла, як то стискання пружини (2), із боку тіла починає діяти сила, яка прагне відновити той стан тіла, у якому воно перебувало до деформації. Цю силу називають силою пружності. У разі малих пружних деформацій розтягнення або стиснення сила пружності прямо пропорційна видовженню тіла (Б): $${\overrightarrow{F}}_{\text{пружності}}=-k\overrightarrow{x}.$$

Потужність, яку розвиває транспортний засіб, зручно визначати через силу тяги та швидкість руху. Формула справджується, і якщо в певний інтервал часу тіло рухається рівномірно, а напрямок сили тяги збігається з напрямком переміщення, і за нерівномірного руху: потужність $P,$ яку розвиває двигун у певний момент часу, дорівнює добутку модуля сили тяги $F$ двигуна на модуль його миттєвої швидкості $v:$ $$P=Fv.$$

Отже, ситуації 3 відповідає формула B.

Силу тертя ковзання можна зменшити, змастивши дотичні поверхні, як у ситуації 4, коли деталі механізмів змащують мастилом.

Рідке мастило віддаляє дотичні поверхні одну від одної − сухе тертя замінюється значно слабшим рідким тертям.

Сила тертя ковзання $F_{\text{тертя ковзання}}$ не залежить від площі дотику тіл і прямо пропорційна до сили $N$ нормальної реакції опори – формула Г: $$F_{\text{тертя ковзання}}=\mu N,$$ де $\mu$ – коефіцієнт тертя.

Відповідь: 1А, 2Б, 3В, 4Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони збереження імпульсу і енергії.

1. За умовою удар куль був непружний, центральний.

Якщо швидкості руху тіл до і після зіткнення (пружного чи непружного) напрямлені вздовж прямої, що проходить через центри мас цих тіл, таке зіткнення називають центральним.

Якщо після зіткнення частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію та нагрівання тіл), таке зіткнення називають непружним. Після такого удару тіла рухаються як єдине ціле.

Опишімо рух куль до і після удару за допомогою закону збереження імпульсу у векторному вигляді та в проєкціях на вісь $OX:$ $$\begin{array}{c}{m}_1{\overrightarrow{v}}_1+m_2{\overrightarrow{v}}_2=(m_1+m_2)\overrightarrow{v},\\ m_1{v}_1+m_2{v}_2=(m_1+m_2)v,\end{array}$$ де $m_1$ ‒ маса більшої кулі, що рухалася з більшою швидкістю ${\overrightarrow{v}}_1,m_2$ ‒ маса меншої кулі, що рухалася з меншою швидкістю ${\overrightarrow{v}}_2,\overrightarrow{v}$ – швидкість руху куль після удару.

Обчислімо швидкість руху куль після удару:

Відповідь: 4.

2. Запишімо закон збереження енергії: $$\begin{array}{c}\frac{m_1{v}_1^2}{2}+\frac{m_1{v}_2^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}+Q,\end{array}$$ де $Q$ ‒ утрачена кінетична енергія після удару куль.

Обчислімо її:

Відповідь: 0,6.

Відповідь: 1. 4. 2. 0,6.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Кінетична і потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння графіків функціональної залежності фізичних величин, що ними описано прямолінійний рівноприскорений рух.

Кінетична енергія $E_{\text{к}}$ ‒ це фізична величина, яка є характеристикою механічного стану рухомого тіла й дорівнює половині добутку маси $m$ тіла на квадрат швидкості $v$ його руху: $$E_{\text{к}}=\frac{m{v}^2}{2}.$$

Отже, кінетична енергія пропорційна квадрату швидкості $E_{\text{к}}\sim v^2.$ Рух тіла, кинутого вертикально вгору, є рівноприскореним, тому швидкість руху визначмо за відповідним кінематичним рівнянням (у проєкціях на вертикальну, напрямлену вгору вісь $Oy$): $$v=v_0-gt.$$

З рівняння випливає, що швидкість руху тіла прямо пропорційна часу: $$v\sim t,$$ відповідно квадрат швидкості пропорційний квадрату часу: $$v^2\sim t^2.$$

Тож і кінетична енергія пропорційна квадрату часу: $$E_{\text{к}}\sim t^2.$$

Графіком залежності кінетичної енергії від часу (квадратичної функції) є парабола. З огляду на це варіанти відповіді А і Г неправильні.

Оскільки тіло піднімається, то кінетична енергія зменшуватиметься, тіло сповільнюватиметься, а потенціальна енергія зростатиме. Такому рухові відповідатиме парабола, вітки якої напрямлені вгору: із плином часу кінетична енергія зменшуватиметься до нуля у максимальній точці підняття, а коли тіло почне падати, кінетична енергія почне зростати до початкового значення, оскільки за умовою опором повітря нехтуємо, утрат механічної енергії немає.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку розуміння відмінності між поняттями імпульсу тіла й імпульсу сили.

Імпульс тіла $(p_{\text{тіла}})$ пов’язаний з імпульсом сили, що на нього діє $(p_{\text{сили}})$: $$p_{\text{сили}}=\mathrm{\Delta }{p}_{\text{тіла}}=p_{\text{тіла}}-p_{\text{тіла 0}}.$$

Імпульс сили й імпульс тіла можна визначити за такими формулами: $$\begin{array}{c}\overrightarrow{p_{\text{сили}}}=\overrightarrow{F}t,\\ \overrightarrow{p_{\text{тіла}}}=m\overrightarrow{v},\end{array}$$ де $F$ – сила, що діє на тіло, $t$ – час, упродовж якого діє сила, $m$ – маса тіла, $v$ – швидкість тіла.

Імпульс тіла залежить від часу:

Цим рівнянням описано пряму. Загальне рівняння прямої таке: $$y=kx+b,$$ де $k$ – кутовий коефіцієнт, що визначає нахил прямої, $b$ – коефіцієнт, що визначає точку перетину з віссю $OY$.

Для залежності $p_{\text{тіла}}$ від часу $tk=F$. Що більший кутовий коефіцієнт, то крутіший нахил прямої, тож $F_1>F_3$.

Якщо кутовий коефіцієнт дорівнює нулю, то пряма є паралельною осі $OX$, тому $F_2=0$.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Робота. Потужність. ККД.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з обчислення роботи, потужності й коефіцієнта корисної дії (ККД).

Дано:
$h=10\text{м}$
$P=400\text{Вт}$
$t=5\text{хв}$
$V=600\text{л}$
$\rho =1000\frac{\text{кг}}{{\text{м}}^3}$

1. Знайти:
$A(\text{кДж})-?$

Корисна робота – це робота, необхідна для виконання завдання. У цьому завданні це піднімання води об’ємом $600\text{л}$ на висоту $10\text{м}$. Роботу сили можна обчислити за формулою $$A=Fs\cos \beta ,$$ де $F$ – сила, що діє на тіло, $s$ – переміщення тіла, $\beta$ – кут між напрямками векторів сили й переміщення.

Під час піднімання води насос працює проти сили тяжіння, тож найменша сила, яку можна прикласти для підйому води, дорівнює силі тяжіння, що діє на неї. Кут між напрямком дії сили, що піднімає воду, і переміщенням води дорівнює нулю. Тож $$\begin{array}{c}A=F_{\text{тяж}}s;\\ F_{\text{тяж}}=mg;\\ A=mgh,\end{array}$$ де $m$ – маса тіла, $g$ – прискорення вільного падіння.

Маса води пов’язана з її об’ємом і густиною формулою $$\begin{array}{c}m=\rho V.\end{array}$$

Тоді

2. Знайти:
$\text{ККД}(\text{\%})-?$

ККД машини можна визначити за формулою $$\text{ККД}=\frac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{пов}}}\cdot 100\text{\%},$$ де $A_{\text{пов}}$ – повна робота.

Повну роботу можна обчислити, якщо врахувати енергію, яку споживає електричний насос. Її можна визначити за такою формулою: $$\begin{array}{c}{A}_{\text{пов}}=Pt,\end{array}$$ де $t$ – час роботи двигуна, $P$ – потужність двигуна.

Тоді

Відповідь: 1. 60. 2. 50.