У коло із центром у точці \(O\) вписано гострокутний трикутник \(ABC.\) Пряма \(a\) дотикається до кола в точці \(C\) й утворює зі стороною \(BC\) кут \(45^\circ.\) Визначте довжину (см) сторони \(AC,\) якщо \(BC=6\ \text{см},\) \(\angle ABC=60^\circ.\)

Визначте первісну\(F(x)\) функції \(f(x)=1+\mathrm{sin}\ 2x+\mathrm{tg}^2\ 2x.\)

Яка система нерівностей визначає зафарбовану частину площини (див. рисунок)?

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду \(SABCD,\) бічні ребра якої утворюють із площиною основи кут \(60^\circ,\) \(SO\) – висота піраміди, точка \(K\) – середина висоти, точка \(M\) – середина ребра \(SD.\)

Яке з наведених тверджень є хибним?

Обчисліть значення виразу $$\frac{\log_ab+\log_ba}{\log_ab-\log_ba},$$ якщо \(\log_2a=6, \log_2b=3.\)

Яке рівняння є математичною моделлю такої задачі?

Від пристані \(A\) о \(8\ \text{год} 30\ \text{хв}\) за течією річки вирушив пліт. Об \(11\ \text{год} 10\ \text{ хв}\) від пристані В назустріч плоту вирушив катер, власна швидкість якого дорівнює \(18\ \text{км/год}.\) Відстань між пристанями становить \(32\ \text{км}.\) Визначте швидкість течії річки, якщо пліт і катер зустрілися на відстані \(12\ \text{км}\) від пристані \(A.\) Уважайте, що швидкість течії річки становить \(x\ \text{км/год}.\)

Увідповідніть твердження (1-3) та функцію (А – Д), для якої це твердження є правильним.

У шкільній олімпіаді з математики учні дев'ятих класів отримали такі бали: \(5, 7, 7, 9, 10,\) \(12, 15, 15, 9, 7,\) \(15, 16, 18, 10, 12, 15.\) Увідповідніть характеристику цього ряду даних (1-3) та її числове значення (А – Д).

На координатній площині задано точки \(A(-5; 3),\) \(B(-5; -3)\) i \(C(-5; 9).\) До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.