Визначте всі значення параметра \(a,\) за яких рівняння $$ \frac{x^2+10x-20}{x-2a}=\frac{x^2-7x}{2a-x} $$ має єдиний корінь. Якщо таке значення \(a\) одне, то запишіть його у відповіді. Якщо таких значень параметра \(a\) кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Знаменник геометричної прогресії дорівнює \(-2,\) а четвертий член дорівнює кількості всіх трицифрових натуральних чисел, кратних \(14.\) Визначте суму шести перших членів цієї прогресії.

У трапеції \(ABCD\ (BC\ ||\ AD, BC\lt AD)\) довжина більшої основи дорівнює \(21\ \text{см},\) точка \(M\) – середина діагоналі \(BD.\) Площа трикутника \(ABM\) дорівнює \(63\ \text{см}^2.\) Визначте висоту (см) трапеції.

Обчисліть значення виразу $$ \frac{\sqrt{3}\mathrm{tg}^{-1}(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi})-1}{1+\sqrt{3}\mathrm{ctg}^{-1}\left(\frac{7\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\right)}, $$ якщо \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}.\)

Наталя і Тарас разом виготовляли листівки до свята протягом певного часу. Наталя на виготовлення однієї листівки витрачала \(15\ \text{хв},\) а Тарас – \(20\ \text{хв}.\) Скільки листівок виготовила Наталя, якщо вони разом виготовили \(28\) листівок?

У прямокутній системі координат \(xy\) задано трикутник \(ABC\) з вершинами в точках \(A(2; 1),\ B(3; 4),\ C(x; 3).\) Скалярний добуток векторів \(\overrightarrow{BA}\ \text{i}\ \overrightarrow{BC}\) дорівнює \(1.\)

1. Визначте координати вектора \(\overrightarrow{m}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.\) У відповіді запишіть їхню суму.

2. Обчисліть площу трикутника \(ABC.\)

У понеділок до крамниці завезли мінеральні питні води «Берізка» й «Лелека», розлиті в пляшки по \(1\ \text{л}, 2\ \text{л}, 3\ \text{л}, 5\ \text{л}, 10\ \text{л}.\) У таблиці наведено дані про кількість пляшок води, проданих у крамниці протягом тижня. Зауважте, що деякі поля таблиці не заповнено.

1. Скільки літрів води «Берізка» в середньому реалізовувала крамниця щодня протягом тижня, якщо відомо, що пляшок цієї води місткістю \(3\ \text{л}\) продали вдвічі менше, ніж пляшок місткістю \(2\ \text{л}?\)

2. На основі даних таблиці побудовано кругову діаграму, сектори якої відповідають об'єму (л) води «Лелека», проданої протягом тижня в пляшках місткістю \(1\ \text{л}, 2\ \text{л}, 3\ \text{л}, 5\ \text{л}, 10\ \text{л}.\) Визначте числове значення градусної міри сектора, що відповідає об'єму (л) води «Лелека», проданої в пляшках місткістю \(3\ \text{л},\) якщо їх продали на \(8\) менше, ніж пляшок місткістю \(2\ \text{л},\) і щодня в середньому протягом тижня продавали на \(3\ \text{л}\) води «Лелека» менше, ніж води «Берізка».

Основою прямого паралелепіпеда є ромб \(ABCD\) з гострим кутом \(A.\) Більша діагональ основи ділить висоту \(BF\) ромба на відрізки \(BE=10\ \text{см},\) \(EF=6\ \text{см}.\) Об'єм паралелепіпеда дорівнює \(6720\ \text{см}^3.\)

1. Обчисліть периметр (см) основи паралелепіпеда.

2. Обчисліть площу (\(\text{см}^2\)) повної поверхні паралелепіпеда.

Під час сушіння інжиру вміст води в ньому знижується з \(80\ \text{%}\) до \(30\ \text{%}.\) Господиня придбала свіжі фрукти за ціною \(90\ \text{грн}\) за \(1\ \text{кг}\) і виготовила \(6\ \text{кг}\) сушеного інжиру. Після продажу виготовленого продукту господиня отримала на \(30\ \text{%}\) більше грошей, ніж витратила на закупівлю свіжих фруктів.

1. Визначте масу (кг) свіжого інжиру, який придбала господиня.

2. Визначте ціну (грн) одного кілограма сушеного інжиру, за якою господиня його продала.

На координатній площині задано точки \(A(-5; 3),\) \(B(-5; -3)\) i \(C(-5; 9).\) До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

У шкільній олімпіаді з математики учні дев'ятих класів отримали такі бали: \(5, 7, 7, 9, 10,\) \(12, 15, 15, 9, 7,\) \(15, 16, 18, 10, 12, 15.\) Увідповідніть характеристику цього ряду даних (1-3) та її числове значення (А – Д).

Увідповідніть твердження (1-3) та функцію (А – Д), для якої це твердження є правильним.

Яке рівняння є математичною моделлю такої задачі?

Від пристані \(A\) о \(8\ \text{год} 30\ \text{хв}\) за течією річки вирушив пліт. Об \(11\ \text{год} 10\ \text{ хв}\) від пристані В назустріч плоту вирушив катер, власна швидкість якого дорівнює \(18\ \text{км/год}.\) Відстань між пристанями становить \(32\ \text{км}.\) Визначте швидкість течії річки, якщо пліт і катер зустрілися на відстані \(12\ \text{км}\) від пристані \(A.\) Уважайте, що швидкість течії річки становить \(x\ \text{км/год}.\)

Обчисліть значення виразу $$\frac{\log_ab+\log_ba}{\log_ab-\log_ba},$$ якщо \(\log_2a=6, \log_2b=3.\)