Радіус кола, уписаного в правильний шестикутник \(ABCDEF,\) дорівнює \(6\ \text{см.}\) Точки \(K,\ L,\ M,\ N\) є серединами сторін \(AB, CD, DE, AF\) відповідно. Обчисліть площу чотирикутника \(KLMN.\)

Обчисліть значення виразу \((a-b)^2\), якщо \(a+b=4,\ \frac{ab}{2}=-1.\)

Укажіть многокутник, який є перерізом куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) площиною, що проходить через точки \(K,\ M,\ N\) (див. рисунок).

Укажіть проміжок, якому належить значення змінної \(a\) за умови, що $$ \frac{|a-2|}{|a-1|-1}=1. $$

Через точку \(M_0(x_0;\ y_0),\) що належить графіку функції \(y=(2x+1)^4,\) проведено дотичну, яка утворює з додатним напрямком осі абсцис кут \(45^\circ\). Визначте \(x_0.\)

До кола із центром у точці \(O\) проведено дві дотичні \(MA\) і \(MB\) (\(A\) i \(B\) – точки дотику). Точка \(K\) належить колу (див. рисунок). Визначте градусну міру кута \(AKB,\) якщо кут між дотичними дорівнює \(40^\circ.\)

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: \(y=(x+2)^3+1,\ y=9,\ x=-3.\)

Скільки всього розв'язків має система рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} x+y=-3,\\ \sin 3x+y=1? \end{array} \right. $$

Яке з наведених тверджень є ХИБНИМ?

Укажіть правильну подвійну нерівність, якщо \(a=\log_{\sqrt{5}}6\cdot \log_6 125,\) \(b=5^{2\log_{25}3+\log_{\sqrt{5}}2},\) \(c=\frac{\log_7 25+2\log_7 2}{\log_7 1,7-\log_7 17}.\)

Укажіть систему рівнянь, яка є математичною моделлю такої задачі:

Щоб перевірити всі роботи учасників ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики, задіяли дві групи вчителів, які разом можуть перевірити ці роботи за \(8\ \text{год.}\) Якщо спочатку роботи перевірятиме лише перша група вчителів протягом \(2\ \text{год,}\) а потім лише друга група протягом \(5\ \text{год,}\) то перевірено буде тільки половину всіх робіт. За скільки годин зможе перевірити всі роботи кожна група вчителів, працюючи самостійно?

(Уважайте, що перша група вчителів, працюючи самостійно, може перевірити всі роботи за \(x\) годин, а друга – за \(y\) годин).

Увідповідніть твердження (1-3) та функцію (А-Д), для якої це твердження є правильним.

Набір складається з тридцяти карток, на кожній з яких записано одне з натуральних чисел від \(1\) до \(30.\) Випробування полягає в тому, що навмання вибирають одну картку з набору. Установіть відповідність між подією (1-3), яка відбудеться внаслідок цього випробування, та її ймовірністю (А – Д).

До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.