ЗНО онлайн 2017 року з математики – основна сесія

На відрізку \(AB\) вибрано точку \(M\) так, що довжина відрізка \(AM\) утричі більша за довжину \(MB.\) Визначте довжину відрізка \(AB\), якщо \(MB=12\) см.

Розв'яжіть рівняння \(2^{2x}=\frac{1}{2^3}.\)

У таблиці наведено дані про кількість глядачів, які відвідали кінотеатр протягом п'яти днів тижня.

На діаграмах немає шкали (градації) кількості глядачів. Визначте, на якій діаграмі правильно відображено дані, наведені в таблиці.

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу із центром у початку координат, якій належить точка \(A(0; 0; -5).\) Яка з наведених точок також належить цій сфері?

Визначте точку перетину графіка функції \(y=2x-2\) з віссю \(x.\)

Спростіть вираз $$ \frac{a^2+16}{a-4}-\frac{8a}{a-4}. $$

Усі зображені на рисунку прямі лежать в одній площині, прямі \(m\) i \(n\) є паралельними. Визначте градусну міру кута \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \(\sqrt{6-4x}=4.\)

Точка \(A\) належить площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) Які з наведених тверджень є правильними?

I.   Через точку \(A\) можна провести пряму, перпендикулярну до площини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

II.  Через точку \(A\) можна провести площину, перпендикулярну до площини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

III. Через точку \(A\) можна провести площину, паралельну площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

На одному з рисунків зображено графік функції \(y=1-x^2.\) Укажіть цей рисунок.

\(1-\sin^2 \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}-\cos^2 \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\)

В арифметичній прогресії \((a_n)\mathord{:}\) \(a_1=-4\), \(a_5=a_4+3.\) Визначте десятий член \(a_{10}\) цієї прогресії.

Укажіть проміжок, якому належить число \(\log_29.\)

Розв'яжіть нерівність \(\log_2x\lt b\), використавши рисунок.

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(72\) см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює \(15\) см.

Розв'яжіть нерівність \((x^2+64)(x-5)\gt 0.\)

Якщо \(a\lt 2\), то \(1+|a-2|=\)

На рисунку зображено поперечний переріз аркового проїзду, верхня частина якого (дуга \(BKC\)) має форму півкола радіуса \(OC=2\) м. Відрізки \(AB\) і \(DC\) перпендикулярні до \(AD\), \(AB=DC=2\) м. Яке з наведених значень є найбільшим можливим значенням висоти \(h\) вантажівки, за якого вона зможе проїхати через цей арковий проїзд, не торкаючись верхньої частини арки (дуги \(BKC\))? Уважайте, що \(LMNP\) – прямокутник, у якому \(MN=2\mathord{,}4\) м і \(MN\ ||\ AD.\)

Укажіть похідну функції \(y=\sin x-\cos x+1.\)

На рисунках (1–4) зображено графіки функцій, визначених на відрізку \([-4; 4].\) Узгодьте графік функції (1-4) з твердженням (А – Д) про неї.

Нехай \(m\) i \(n\) – довільні дійсні числа, \(a\) – довільне додатне число, \(a\ne 1.\) До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

У трикутнику \(ABC:\ AB=c\), \(BC=a\), \(AC=b.\) До кожного початку речення
(1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Радіус основи конуса дорівнює \(r\), а твірна – \(l.\) До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Для поповнення рахунку телефону Андрій уніс певну суму грошей до платіжного термінала. З цієї суми утримано комісійний платіж у розмірі \(2\) грн \(40\) коп, що становить \(3\ \text{%}\) від суми, унесеної до терміналу. У результаті рахунок телефону поповнено на решту внесеної суми.

1. Яку суму грошей (у гривнях) Андрій уніс до платіжного термінала?

2. Мобільний оператор, послугами якого користується Андрій, нараховує \(8\) бонусів за кожні \(5\) грн, на які поповнено рахунок телефону. На залишок грошей, менший за \(5\) грн, бонуси не нараховуються. Скільки бонусів нараховано Андрію за здійснене ним поповнення телефону?

На рисунку зображено рівнобічну трапецію \(ABCD\) та квадрат \(KBCM.\) Точки \(K\) i \(M\) – середини діагоналей \(AC\) і \(BD\) трапеції відповідно. Площа квадрата \(KBCM\) дорівнює \(18\) см\(^2.\)

1. Визначте довжину діагоналі \(AC\) (у см).

2. Обчисліть площу трапеції \(ABCD\) (у см\(^2\)).

Знайдіть область визначення функції $$ y=\frac{1}{\sqrt{56-4x}}. $$ У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Автобус вирушив з міста \(A\) до міста \(B\), відстань між якими становить \(150\) км. Через \(30\) хв із міста \(A\) до міста \(B\) тією самою дорогою вирушив автомобіль, швидкість якого в \(1\frac 15\) раза більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у год) витратив на дорогу з міста \(A\) до міста \(B\) автомобіль, якщо він прибув до міста \(B\) одночасно з автобусом? Уважайте, що автобус та автомобіль рухалися зі сталими швидкостями.

У торбинці лежать \(3\) цукерки з молочного шоколаду та \(m\) цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки – однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати \(m\), якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукерку з молочного шоколаду менша за \(0\mathord{,}25\)?

У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{a}(4; 3).\) Визначте абсцису точки \(B\), якщо \(A(-2; 0)\), а точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x.\)

Задано функції \(f(x)=x^2-6x+9.\)

1. Визначте координати точок перетину графіка функції \(f\) з осями координат.

2. Побудуйте графік функції \(f.\)

3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції \(f.\)

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функції \(f\) та осями \(x\) i \(y.\)

Основою правильної призми \(ABCA_1B_1C_1\) є рівносторонній трикутник \(ABC.\) Точка \(K\) – середина ребра \(BC.\) Площина, що проходить через точки \(A\), \(K\) та \(B_1\), утворює з площиною основи призми кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) Визначте об'єм призми \(ABCA_1B_1C_1\), якщо відстань від вершини \(A\) до грані \(BB_1C_1C\) дорівнює \(d.\)

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} |x-y|=|x-a|,\\ \mathrm{lg}(y-a)=\lg(4a^2+x-x^2) \end{array}\right. $$ залежно від значень параметра \(a.\)