ЗНО онлайн 2018 року з математики – пробний тест

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійна функція, її властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік функції перетинає вісь абсцис у точці \(A(4; 0).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Отже, корінь рівняння \(x=4.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур, різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(\Delta ABC\) – рівносторонній, тому $$ \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ. $$

\(\angle KBM=180^\circ\) – розгорнутий. $$ \angle KBA+\angle ABC+\angle CBM=180^\circ. $$

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості, властивості та означення кореня \(n\text{-го}\) степеня. $$ a^4\cdot \sqrt{a^6}=a^4\cdot \sqrt{(a^3)^2}=a^4\cdot |a^3|. $$

При \(a\ge 0\ |a^3|=a^3\), тому \(a^4\cdot a^3=a^7.\)

Використали властивість степеня з натуральним показником: $$ a^{mn}=(a^m)^n, $$ та властивість кореня \(n\text{-го}\) степеня:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь.

Данo куб, тому грань – квадрат, площею \(12\) см\(^2.\) Ребро куба \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) см.

Діагональ куба знаходимо за формулою \(d=a\sqrt{3}\), де \(a\) – ребро куба.

Отже, \(d=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=6\) см.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивості; вміння розв'язувати рівняння першого ступеня.

За властивістю модуля дійсного числа, рівняння \(|x-1|=6\) рівносильне сукупності таких рівнянь:

Сума коренів рівняння дорівнює \(7+(-5)=2.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Використали формулу "різниця квадратів":

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і почаки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів даних, зокрема медіану.

Дані таблиці розставимо за зростанням. Медіаною ряда чисел називається число, яке стоїть посередині впорядкованого за зростанням ряду чисел.

У ряду \(124\), \(140\), \(140\), \(\underline{163}\), \(168\), \(170\), \(195\) посередині стоїть число \(163.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Є два види перетворення:

1. Паралельне перенесення вздовж осі ординат: $$y=f(x)\rightarrow y=f(x)+c.$$

Для побудови графіка функції \(y=f(x)+c\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Oy\) на \(c\) одиниць угору, якщо \(c\) – додатне число або на \(c\) одиниць вниз, якщо \(c\) – від’ємне число.

2. Паралельне перенесення вздовж осі абсцис: $$y=f(x)\rightarrow y=f(x-a).$$

Для побудови графіка функції \(y=f(x-a)\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\) – додатне число і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\) – від’ємне число.

Застосувавши властивості паралельного перенесення до функції \(y=f(x)\), при перенесенні вліво на \(1\) одиницю отримаємо графік функції \(y=f(x+1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.

Задано дві мимобіжні прямі \(a\) i \(b.\) Нехай \(a\) міститься в площині \(\mathbf{\alpha}\), \(b\cap \mathbf{\alpha}=B.\)

Проведемо в площині \(\mathbf{\alpha}\) пряму \(b_1\ ||\ a\) через точку \(B.\) Через дві прямі, що перетинаються \(b_1\cap b\), можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина \(\mathbf{\beta}.\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ a\) за ознакою паралельності прямої та площини.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів та знаходити числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(\log_43=a\), то за властивостями логарифма

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

На рисунку зображено квадрат \(ABCD.\) Вектори \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{AD}\) із спільним початком. Їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Отже, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь другого степеня.

Розв'яжемо способом додавання

Підставимо \(x=0\) в перше рівняння

Розв'язок системи рівнянь \((0; 2)\) та \((0; -2).\) Отже рівняння має два розв'язки.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей парних та непарних функцій.

Функція \(f(x)\) є парною, тому \(f(x)=f(-x)\), a \(f(-2)=-5.\)

Функція \(g(x)\) є непарною, тому \(g(x)=-g(x)\), \(g(-1)=-g(1)=7.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів, порівнювати числові вирази.

\(a=\sin 120^\circ\gt 0\), \(b=\cos 120^\circ\lt 0\) тому, що кут \(120^\circ\) лежить у ІІ координатній чверті.

Враховуючи знаки тригонометричних функцій \(b\lt 0\lt a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей.

Зведемо до спільного знаменника

Розв'яжемо методом інтервалів:

Отже, \(x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжину кола та його дуг, використовувати формули знаходження довжини кола до розв'язування планіметричних задач і задач практичного змісту.

Знаходимо довжини \(6\) півкіл, які знаходяться усередині кола радіуса \(2\) м, за формулою $$ 6C_1=6\mathbf{\pi}R, $$ де \(R\) – радіус кола та \(R=1\) м.

Емблема також складається ще з одного кола, радіусом \(2\) м, тому

Довжина матеріалу складає

Вартість матеріалу

\(\mathbf{\pi}\approx 3\mathord{,}14\), тому

З-поміж наведених сум грошей найменша, якої достатньо, щоб придбати матеріал це \(7000\) грн.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Дано \(SABC\) i \(S_1A_1B_1C_1\) – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.

\(\Delta SAB\) подібний \(\Delta S_1A_1B_1\) (за трьома сторонами).

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:

\(AB=2A_1B_1\), \(k=2\) коефіцієнт подібності \(k^2=4.\)

\(S_{S_1A_1B_1}=8\) см\(^2\), тому \(S_{SAB}=8\cdot 4=32\) см\(^2.\)

Площа бічної поверхні піраміди \(SABC\) дорівнює \(3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96\) см\(^2.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

Використали формулу Ньютона-Лейбніца:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Квадратична, показникова, логарифмічна та степенева функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функцій.

Область значень функції — це множина всіх можливих значень, які приймає функція при всіх допустимих значеннях аргументу.

Зобразимо схематично графіки функцій та визначимо область значень кожної з них.

1. \(y=\log_2x\)

$$ E(y)=(-\infty; +\infty). $$

Отже, 1 – Д.

2. \(y=2^x\)

$$ E(y)=(0; +\infty). $$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=2\sqrt{x}\)

$$ E(y)=[0; +\infty). $$

Отже, 3 – B.

4. \(y=2-x^2\)

$$ E(y)=(-\infty; 2]. $$

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, використовувати ознаки подільності, знаходити найменше спільне кратне кількох чисел, розрізняти види чисел.

1. \(32+18=50\) є числом, що ділиться націло на \(10.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(32\cdot 18=16\cdot 2\cdot 2\cdot 9=16\cdot 4\cdot 9\) є квадратом натурального числа.

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(32:18=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}\) є раціональним числом, яке не є цілим.

Отже, правильна відповідь – Г.

4. \(32-18=14\) є дільником числа \(84\ (84:14=6).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, центральних та вписаних кутів, видів трикутників та їхніх основних властивостей.

1. За властивістю дотичної до кола \(OC\ \perp\ MP\), тому \(\angle OCM=90^\circ.\)

Отже, 1 – В.

2. \(\angle BAC=80^\circ\), \(AK\) – діаметр, тому \(AK\) – бісектриса \(\angle BAC\), \(\angle BAK=\angle KAC=40^\circ.\)

\(\Delta AOC\) рівнобедрений (\(OA=OC\) як радіуси) \(\angle A=\angle C=40^\circ.\)

Отже, 2 – A.

3. Градусна міра дуги \(\overset{\smile}{AB}\) дорівнює градусній мірі центрального кута \(\angle AOB.\)

\(\Delta AOB=\Delta AOC\) (за трьома сторонами).

У \(\Delta AOB\ \angle A=\angle B=40^\circ\), \(\angle O=180^\circ-80^\circ=100^\circ.\)

Градусна міра дуги \(\overset{\smile}{AB}=100^\circ.\)

Отже, 3 – Г.

4. За властивістю вписаного кута: \(\angle CAK=\frac 12\) дуги \(KC\), дуга \(KC=2\angle CAK=2\cdot 40^\circ=80^\circ.\)

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – A, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формул для обчислення об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Об'єм циліндра знаходимо за формулою $$ V_\text{ц}=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де \(R=\frac a2\) – радіус основи, \(H=a.\)

Отже, 1 – B.

2. Об'єм конуса знаходимо за формулою $$ V_\text{к}=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де\(R=\frac a2\) – радіус основи, \(H=a.\)

Отже, 2 – Б.

3. Об'єм кулі знаходимо за формулою $$ V_\text{кулі}=\frac 43\cdot \mathbf{\pi}R^3, $$ де \(R=\frac a2.\)

Отже, 3 – A.

4. Об'єм призми знаходимо за формулою $$ V_\text{пр}=S_\text{осн}\cdot H, $$ де $$ S_\text{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ (основа – правильний трикутник зі стороною \(a\)), \(H=\frac{\mathbf{\pi}a}{2}.\)

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Нехай на виставці представлено \(x\) скульптур, тоді картин – \(4x.\) Загальна кількість робіт на виставці – \(5x.\)

Кількість картин від загальної кількості робіт становить $$ \frac{4x}{5x}\cdot 100\text{%}=80\text{%}. $$

2. Якщо вважати, що кількість скульптур складає \(100\text{%}\), то кількість картин – \(400\text{%}.\) Картин на $$ 400\text{%}-100\text{%} = 300\text{%} $$ більше за кількість скульптур.

Відповідь: 1. \(80.\)
                   2. \(300.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\Delta APB\ (\angle P=90^\circ)\) \(\angle A=60^\circ\), \(\angle B=30^\circ.\)

За властивостю катета, який лежить напроти кута \(30^\circ\) $$ AP=\frac 12AB=\frac 12\cdot 12=6. $$

2. \(\angle KAP=\angle BCK\) як внутнішні різнсторонні при \(BC\ ||\ AP\) та січної \(AC.\)

\(\Delta AKP\) подібний \(\Delta CKP\) (за гострим кутом), тому відповідні сторони пропорційні

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії.

За умовою \((b_n)\) – геометрична зростаюча прогресія. Складемо систему рівнянь:

Розв'яжемо методом підстановки:

Отже, \(b_2=36\), або \(b_2=9.\)

При \(b_2=36\), \(b_4=9.\)

При \(b_2=9\), \(b_4=36.\)

За умовою прогресія зростаюча, тому \(b_2=9\), \(b_4=36\ (q\gt 1).\)

Знаменник зростаючої геометричної прогресії завжди додатній \((q \gt 1).\) Отже, \(q=2.\)

Відповідь: \(4\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що зводиться до квадратного, розв'язувати текстові задачі.

Нехай порожній басейн заповнюється з другої труби за \(x\) хвилин, тоді з першої труби – за \((x-40)\) хвилин.

За \(1\) хвилину працюючи разом вони заповнять \(1/21\) частину басейну. Складемо рівняння:

Корені рівняння

Отже, друга труба наповнює басейн за \(70\) хвилин, а перша – за $$ 70-40=30\ \text{хв.} $$

Відповідь: \(30.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість способів розташування \(5\) автобусів в колоні знаходимо за формулою перестановок:

Так як супровідні автомобілі можуть помінятися місцями, то способів складання колони $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: \(240.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координати точки, формули площі трапеції.

Позначимо задані точки на координатній площині.

Задано трапеція \(ABCD.\) Точки \(B\) та \(C\) мають однакову ординату, тому пряма \(BC\) паралельна осі \(Ox.\)

\(BC\ ||\ AD\), тому точка \(D\) має з точкою \(A\) однакову ординату \(y=3.\) Площа трапеції \(42\), тому $$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h, $$ де \(h\) – висота трапеції, складемо рівняння.

звідси \(AD=22.\)

Так як точка \(A\) має абсцису \(-1\), то точка \(D\) буде мати абсцису \(21.\)

Відповідь: \(21.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції, її геометричний зміст. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння будувати графік квадратичної функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, знаходити похідні елементарних функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу; знання рівняння дотичної до графіка функції в точці.

\(f(x)=x^2-3x-4\) – квадратична функція, графік парабола.

1. Знаходимо точки перетину графіка \(f\) з осями координат:

\((0; -4)\) з віссю \(Oy.\)

За теоремою Вієта $$ \left[\begin{array}{l} x_1=4,\\ x_2=-1. \end{array}\right. $$ \((4; 0)\), \((-1; 0)\) з віссю \(Ox.\)

2. Вершина параболи

\(a=1\gt 0\) віти параболи напрямлені вгору.

3. Знаходимо похідну функції:

4. Рівняння дотичної до графіка функції має вигляд:

Відповідь: 1. \((0; -4)\), \((4; 0)\), \((-1; 0).\)
                   3. \(x_0=2.\)
                   4. \(y=x-8.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та пощини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між площинами, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач.

1. Якщо \(\angle A\) – гострий, то \(BD\) – менша діагональ ромба.

2. Побудуємо переріз призми площиною \(\mathbf{\gamma}\) через \(BD\) та вершину \(C_1.\)

Точки \(D\) та \(C_1\) належать площині \(\mathbf{\gamma}\) та грані \((DCC_1)\), тому \(DC_1\) – слід січної площини на бічной грані \((DCC_1).\) Точки \(B_1\) та \(C_1\) – спільні точки площин \(\mathbf{\gamma}\) та \((BCC_1)\), тому \(BC_1\) – пряма перетину площин \(\mathbf{\gamma}\) та \((BCC_1).\)

Отже, \(BDC_1\) – шуканий переріз.

3. \(CO\ \perp\ BD\) (властивість ромба), тому \(C_1O\ \perp\ BD\) (за теоремою про три перпендикуляра).

Отже, \((C_1OC)\ \perp\ BD\) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини).

\(\angle C_1OC=\mathbf{\beta}\) лінійний кут відповідного двограного \(\angle (\mathbf{\gamma}, (ABC))=\angle C_1OC=\mathbf{\beta}.\)

4. У \(\Delta C_1OC\ (\angle C=90^\circ)\),

5. За властивістю ромба \(AC\) – бисектриса \(\angle A\), тому \(\angle OAD=\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta AOD\ (\angle O=90^\circ)\), \(OD=AO\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}=h\operatorname{ctg}\mathbf{\beta}\cdot \operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.\)

6.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних нерівностей, уміння розв'язувати нерівності з параметрами.

Розв'язок нерівності \(\sqrt{f(x)}\gt a\) – це сукупність систем:

Таким чином,

Розв'яжемо (1) систему методом інтервалів:

Розв'яжемо (2) систему:

Розглянемо 2 випадки:
1)

Для розв'язку методом інтервалів необхідно з'ясувати при яких значеннях \(a\)

При \(a\in \left[0; \frac 14\right]\)

$$ x\in(-\infty; a)\cup \left(\frac{a^3-1}{a^2-4}; +\infty\right). $$

При \(a\in \left(\frac 14; 2\right)\)

$$ x\in \left(-\infty; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right)\cup (a; +\infty). $$

При \(a=2\ x\gt 2\), \(x\in (2; +\infty).\)

2) $$ \left\{\begin{array}{l} a\in (2; +\infty),\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\lt 0. \end{array}\right. $$

$$ x\in \left(a; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right). $$