ЗНО онлайн 2018 року з математики – пробний тест

Тестові завдання пробного тесту ЗНО 2018 року з математики

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 33

Запишіть число $\frac 83$ у вигляді десяткового дробу, округливши його до десятих.

А$2\mathord{,}6$

Б$2\mathord{,}66$

В$2\mathord{,}67$

Г$2\mathord{,}7$

Д$8\mathord{,}3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей дій з дійсними числами, уміння округлювати десяткові дроби.

Для того, щоб округлити дріб до десятих, необхідно знати цифру, яка стоїть у розряді сотих.

Якщо ця цифра $5$ або більше, то цифра, яка стоїть в розряді десятих, збільшується на один.

$2\mathord{,}66\approx 2\mathord{,}7.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14235

Завдання 2 з 33

На рисунку зображено графік лінійної функції, що перетинає вісь абсцис в одній з наведених точок. Укажіть цю точку.

А$(0; -2)$

Б$(4; -2)$

В$(0; 4)$

Г$(-2; 0)$

Д$(4; 0)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійна функція, її властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік функції перетинає вісь абсцис у точці $A(4; 0).$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14236

Завдання 3 з 33

Укажіть число, що є коренем рівняння $5^{x-2}=25.$

А$7$

Б$4$

В$3$

Г$2$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 5^{x-2}=25,\\[7pt] 5^{x-2}=5^2,\\[7pt] x-2=2,\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Отже, корінь рівняння $x=4.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14237

Завдання 4 з 33

Рівносторонній трикутник $ABC$ та пряма $KM$, що проходить через точку $B$, лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $KBA$, якщо $\angle CBM=85^\circ.$

А$45^\circ$

Б$35^\circ$

В$30^\circ$

Г$25^\circ$

Д$15^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур, різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

$\Delta ABC$ – рівносторонній, тому $$ \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ. $$

$\angle KBM=180^\circ$ – розгорнутий. $$ \angle KBA+\angle ABC+\angle CBM=180^\circ. $$

Отже,

$$ \angle KBA=180^\circ-\angle MBC-\angle ABC=180^\circ-85^\circ-60^\circ=35^\circ. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14238

Завдання 5 з 33

Спростіть вираз $a^4\cdot \sqrt{a^6}$, де $a\ge 0.$

А$a^{12}$

Б$a^{10}$

В$a^{8}$

Г$a^{7}$

Д$a^{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості, властивості та означення кореня $n\text{-го}$ степеня. $$ a^4\cdot \sqrt{a^6}=a^4\cdot \sqrt{(a^3)^2}=a^4\cdot |a^3|. $$

При $a\ge 0\ |a^3|=a^3$, тому $a^4\cdot a^3=a^7.$

Використали властивість степеня з натуральним показником: $$ a^{mn}=(a^m)^n, $$ та властивість кореня $n\text{-го}$ степеня:

$$ \sqrt[n]{a^n}=\left[\begin{array}{l} |a|,\ \text{якщо}\ n - \text{парне}\ a\in R\\ a,\ \text{якщо}\ n - \text{непарне}\ a\in R, \end{array}\right. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14239

Завдання 6 з 33

Площа однієї грані куба дорівнює $12$ см$^2.$ Визначте довжину діагоналі куба.

А$6$ см

Б$3\sqrt{3}$ см

В$2\sqrt{6}$ см

Г$3\sqrt{2}$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь.

Данo куб, тому грань – квадрат, площею $12$ см$^2.$ Ребро куба $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ см.

Діагональ куба знаходимо за формулою $d=a\sqrt{3}$, де $a$ – ребро куба.

Отже, $d=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=6$ см.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14240

Завдання 7 з 33

Укажіть суму коренів рівняння $|x-1|=6.$

А$-2$

Б$0$

В$2$

Г$7$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивості; вміння розв'язувати рівняння першого ступеня.

За властивістю модуля дійсного числа, рівняння $|x-1|=6$ рівносильне сукупності таких рівнянь:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x-1=6,\\ x-1=-6, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=7,\\ x=-5. \end{array}\right. \end{gather*}

Сума коренів рівняння дорівнює $7+(-5)=2.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14241

Завдання 8 з 33

Спростіть вираз $$ \frac{(a-b)^2-b^2}{a}. $$

А$a$

Б$a-2b$

В$a-b$

Г$a+b$

Д$a-2b^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

$$ \frac{(a-b)^2-b^2}{a}=\frac{(a-b-b)(a-b+b)}{a}=\frac{(a-2b)a}{a}=a-2b. $$

Використали формулу "різниця квадратів":

$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14242

Завдання 9 з 33

У таблиці відображено інформацію щодо кількості відвідувачів кінотеатру протягом семи днів тижня.

День тижня	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Нд
Кількість відвідувачів	$124$	$140$	$140$	$170$	$163$	$195$	168

Укажіть медіану кількості відвідувачів кінотеатру.

А$140$

Б$155$

В$163$

Г$170$

Д$195$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і почаки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів даних, зокрема медіану.

Дані таблиці розставимо за зростанням. Медіаною ряда чисел називається число, яке стоїть посередині впорядкованого за зростанням ряду чисел.

У ряду $124$, $140$, $140$, $\underline{163}$, $168$, $170$, $195$ посередині стоїть число $163.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14243

Завдання 10 з 33

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-2; 2].$ Укажіть рисунок, на якому зображено графік функції $y=f(x+1).$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Є два види перетворення:

1. Паралельне перенесення вздовж осі ординат: $$ y=f(x)\rightarrow y=f(x)+c. $$

Для побудови графіка функції $y=f(x)+c$ необхідно графік функції $y=f(x)$ перенести вздовж осі $Oy$ на $c$ одиниць угору, якщо $c$ – додатне число або на $c$ одиниць вниз, якщо $c$ – від’ємне число.

2. Паралельне перенесення вздовж осі абсцис: $$ y=f(x)\rightarrow y=f(x-a). $$

Для побудови графіка функції $y=f(x-a)$ необхідно графік функції $y=f(x)$ перенести вздовж осі $Ox$ на $a$ одиниць вправо, якщо $a$ – додатне число і на $a$ одиниць вліво, якщо $a$ – від’ємне число.

Застосувавши властивості паралельного перенесення до функції $y=f(x)$, при перенесенні вліво на $1$ одиницю отримаємо графік функції $y=f(x+1).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 35220

Завдання 11 з 33

Задано дві мимобіжні прямі $a$ і $b.$ Скільки існує різних площин, які проходять через пряму $a$ та є паралельними прямій $b$?

Ажодної

Бодна

Вдві

Гтри

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.

Задано дві мимобіжні прямі $a$ i $b.$ Нехай $a$ міститься в площині $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}$, $b\cap \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=B.$

Проведемо в площині $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}$ пряму $b_1\ ||\ a$ через точку $B.$ Через дві прямі, що перетинаються $b_1\cap b$, можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.$

$\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ ||\ a$ за ознакою паралельності прямої та площини.

$$ \left.\begin{array}{l} a\ ||\ b_1,\\ b_1\subset \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}, \end{array}\right| \rightarrow a\ ||\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14245

Завдання 12 з 33

Якщо $\log_43=a$, то $\log_{16}9=$

А$4a$

Б$a^2$

В$2a$

Г$\frac a2$

Д$a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів та знаходити числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо $\log_43=a$, то за властивостями логарифма

\begin{gather*} \log_{a^n}b^m=\frac mn\log_ab,\\[6pt] \log_{16}9=\log_{4^2}3^2=\frac 22\log_43=1\cdot a=a. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14246

Завдання 13 з 33

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Укажіть правильну векторну рівність.

А$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$

Б$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$

В$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Г$\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$

Д$\overrightarrow{AC}=-\sqrt{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AD}$ із спільним початком. Їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Отже, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14247

Завдання 14 з 33

Скільки всього розв’язків має система рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=-4,\\ x^2+y^2=4? \end{array}\right. $$

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь другого степеня.

Розв'яжемо способом додавання

\begin{gather*} + \left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=-4,\\ \underline{x^2+y^2=4,} \end{array}\right.\\[3pt] 2x^2=0.\ \ \ \ \\[7pt] x^2=0,\\[7pt] x=0. \end{gather*}

Підставимо $x=0$ в перше рівняння

\begin{gather*} 0-y^2=-4,\\[7pt] y^2=4,\\[7pt] y=\pm 2. \end{gather*}

Розв'язок системи рівнянь $(0; 2)$ та $(0; -2).$ Отже рівняння має два розв'язки.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14248

Завдання 15 з 33

Функція $f(x)$ є парною, а $g(x)$ – непарною. Обчисліть значення виразу $3f(-2)-g(1)$, якщо $f(2)=-5$, $g(-1)=7.$

А$-8$

Б$-22$

В$22$

Г$8$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей парних та непарних функцій.

Функція $f(x)$ є парною, тому $f(x)=f(-x)$, a $f(-2)=-5.$

Функція $g(x)$ є непарною, тому $g(x)=-g(x)$, $g(-1)=-g(1)=7.$

$$ 3f(-2)-g(1)=3f(2)+g(-1)=3\cdot (-5)+7=-8. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14249

Завдання 16 з 33

Укажіть правильну нерівність, якщо $a=\sin 120^\circ$, $b=\cos 120^\circ.$

А$0\lt b\lt a$

Б$a\lt 0\lt b$

В$a\lt b\lt 0$

Г$0\lt a\lt b$

Д$b\lt 0\lt a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів, порівнювати числові вирази.

$a=\sin 120^\circ\gt 0$, $b=\cos 120^\circ\lt 0$ тому, що кут $120^\circ$ лежить у ІІ координатній чверті.

Враховуючи знаки тригонометричних функцій $b\lt 0\lt a.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14250

Завдання 17 з 33

Розв’яжіть нерівність $$ \frac{x+1}{x}\le \frac 43. $$

А$(-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$

Б$(0; 3]$

В$[3; +\infty)$

Г$(-\infty; 0)$

Д$(-\infty; 3]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей.

\begin{gather*} \frac{x+1}{x}\le \frac 43,\\[6pt] \frac{x+1}{x}-\frac 43\le 0. \end{gather*}

Зведемо до спільного знаменника

\begin{gather*} \frac{3(x+1)-4x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{3x+3-4x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{3-x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{-(x-3)}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{x-3}{3x}\ge 0,\\[6pt] x\ne 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

Отже, $x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14251

Завдання 18 з 33

На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола радіуса $2$ м, усередині якого розміщено $6$ однакових півкіл. Один кінець кожного півкола збігається із центром кола, інший кінець лежить на колі. Для виготовлення емблеми (з усіма елементами включно) потрібен гнучкий матеріал вартістю $200$ грн за $1$ м довжини. Укажіть з-поміж наведених сум грошей найменшу, якої достатньо, щоб придбати цей матеріал для виготовлення емблеми. Уважайте, що на з’єднання елементів емблеми не потрібно додаткових витрат матеріалу.

А$4000$ грн

Б$5000$ грн

В$6000$ грн

Г$7000$ грн

Д$8000$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжину кола та його дуг, використовувати формули знаходження довжини кола до розв'язування планіметричних задач і задач практичного змісту.

Знаходимо довжини $6$ півкіл, які знаходяться усередині кола радіуса $2$ м, за формулою $$ 6C_1=6\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R, $$ де $R$ – радіус кола та $R=1$ м.

$$ 6C_1=6\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 1=6\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{м}. $$

Емблема також складається ще з одного кола, радіусом $2$ м, тому

$$ C_2=2\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 2=4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{м}. $$

Довжина матеріалу складає

$$ 6\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}=10\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{м}. $$

Вартість матеріалу

$$ 10\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 200=2000\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{грн}. $$

$\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\approx 3\mathord{,}14$, тому

$$ 2000\cdot 3\mathord{,}14=6280\ \textit{грн}. $$

З-поміж наведених сум грошей найменша, якої достатньо, щоб придбати матеріал це $7000$ грн.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14252

Завдання 19 з 33

$SABC$ i $S_1A_1B_1C_1$ – правильні трикутні піраміди. Кожне ребро піраміди $SABC$ вдвічі більше за відповідне ребро піраміди $S_1A_1B_1C_1.$ Визначте площу бічної поверхні піраміди $SABC$, якщо площа бічної грані $S_1A_1B_1$ дорівнює $8$ см$^2.$

А$16$ см$^2$

Б$24$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Дано $SABC$ i $S_1A_1B_1C_1$ – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.

$\Delta SAB$ подібний $\Delta S_1A_1B_1$ (за трьома сторонами).

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:

$$ \frac{S_{SAB}}{S_{S_1B_1C_1}}=\left(\frac{AB}{A_1B_1}\right)^2=k^2. $$

$AB=2A_1B_1$, $k=2$ коефіцієнт подібності $k^2=4.$

$S_{S_1A_1B_1}=8$ см$^2$, тому $S_{SAB}=8\cdot 4=32$ см$^2.$

Площа бічної поверхні піраміди $SABC$ дорівнює $3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96$ см$^2.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14253

Завдання 20 з 33

Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А$\frac 12$

Б$\frac{\sqrt{3}}{2}$

В$1$

Г$\sqrt{2}$

Д$\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

$$ S_\text{ф}=\mathop{\int}\limits_0^{\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}} 2\cos xdx=\left.2\sin x\right|_0^{\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}}=2\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}-2\sin 0=2\cdot \frac 12-2\cdot 0=1. $$

Використали формулу Ньютона-Лейбніца:

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=F(x)\left.\right|_a^b=F(b)-F(a). $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14254

Завдання 21 з 33

Установіть відповідність між функцією, заданою формулою (1–4), та її областю значень (А – Д).

Функція

1$y=\log_2x$

2$y=2^x$

3$y=2\sqrt{x}$

4$y=2-x^2$

Область значень

А$(-\infty; 2]$

Б$[2; +\infty)$

В$[0; +\infty)$

Г$(0; +\infty)$

Д$(-\infty; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Квадратична, показникова, логарифмічна та степенева функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функцій.

Область значень функції — це множина всіх можливих значень, які приймає функція при всіх допустимих значеннях аргументу.

Зобразимо схематично графіки функцій та визначимо область значень кожної з них.

1. $y=\log_2x$

$$ E(y)=(-\infty; +\infty). $$

Отже, 1 – Д.

2. $y=2^x$

$$ E(y)=(0; +\infty). $$

Отже, 2 – Г.

3. $y=2\sqrt{x}$

$$ E(y)=[0; +\infty). $$

Отже, 3 – B.

4. $y=2-x^2$

$$ E(y)=(-\infty; 2]. $$

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14255

Завдання 22 з 33

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Сума чисел $32$ і $18$

2Добуток чисел $32$ і $18$

3Частка чисел $32$ і $18$

4Різниця чисел $32$ і $18$

Закінчення речення

Ає квадратом натурального числа.

Бє числом, що ділиться націло на $10.$

Вє найменшим спільним кратним чисел $32$ і $18.$

Гє раціональним числом, яке не є цілим.

Дє дільником числа $84.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, використовувати ознаки подільності, знаходити найменше спільне кратне кількох чисел, розрізняти види чисел.

1. $32+18=50$ є числом, що ділиться націло на $10.$

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $32\cdot 18=16\cdot 2\cdot 2\cdot 9=16\cdot 4\cdot 9$ є квадратом натурального числа.

Отже, правильна відповідь – A.

3. $32:18=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}$ є раціональним числом, яке не є цілим.

Отже, правильна відповідь – Г.

4. $32-18=14$ є дільником числа $84\ (84:14=6).$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14256

Завдання 23 з 33

На рисунку зображено коло із центром у точці $O.$ Хорди $AB$ і $AC$ рівні, $AK$ – діаметр, $PM$ – дотична до кола, проведена в точці $C$, $\angle BAC=80^\circ.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Градусна міра кута $OCM$ дорівнює

2Градусна міра кута $ACP$ дорівнює

3Градусна міра меншої дуги $AB$ дорівнює

4Градусна міра меншої дуги $KC$ дорівнює

Закінчення речення

А$50^\circ$

Б$80^\circ$

В$90^\circ$

Г$100^\circ$

Д$120^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, центральних та вписаних кутів, видів трикутників та їхніх основних властивостей.

1. За властивістю дотичної до кола $OC\ \perp\ MP$, тому $\angle OCM=90^\circ.$

Отже, 1 – В.

2. $\angle BAC=80^\circ$, $AK$ – діаметр, тому $AK$ – бісектриса $\angle BAC$, $\angle BAK=\angle KAC=40^\circ.$

$\Delta AOC$ рівнобедрений ($OA=OC$ як радіуси) $\angle A=\angle C=40^\circ.$

$\angle ACP=\angle OCP-\angle OCA=90^\circ-40^\circ=50^\circ.$

Отже, 2 – A.

3. Градусна міра дуги $AB$ дорівнює градусній мірі центрального кута $\angle AOB.$

$\Delta AOB=\Delta AOC$ (за трьома сторонами).

У $\Delta AOB\ \angle A=\angle B=40^\circ$, $\angle O=180^\circ-80^\circ=100^\circ.$

Градусна міра дуги $AB=100^\circ.$

Отже, 3 – Г.

4. За властивістю вписаного кута: $\angle CAK=\frac 12$ дуги $KC$, дуга $KC=2\angle CAK=2\cdot 40^\circ=80^\circ.$

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – A, 3 – Г, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14257

Завдання 24 з 33

Установіть відповідність між геометричним тілом (1–4) і його
об’ємом (А – Д).

Геометрична тіло

Об’єм

А$\frac{1}{6}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3$

Б$\frac{1}{12}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3$

В$\frac{1}{4}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3$

Г$\frac{\sqrt{3}}{8}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3$

Д$\frac{1}{3}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формул для обчислення об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Об'єм циліндра знаходимо за формулою $$ V_\text{ц}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де $R=\frac a2$ – радіус основи, $H=a.$

$$ V_\text{ц}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\left(\frac a2\right)^2\cdot a=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^2\cdot a}{4}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3}{4}=\frac 14\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3. $$

Отже, 1 – B.

2. Об'єм конуса знаходимо за формулою $$ V_\text{к}=\frac 13\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де$R=\frac a2$ – радіус основи, $H=a.$

$$ V_\text{к}=\frac 13\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\left(\frac a2\right)^2\cdot a=\frac{1}{12}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3. $$

Отже, 2 – Б.

3. Об'єм кулі знаходимо за формулою $$ V_\text{кулі}=\frac 43\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^3, $$ де $R=\frac a2.$

$$ V_\text{кулі}=\frac 43\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\frac{a^3}{8}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3}{6}=\frac 16\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3. $$

Отже, 3 – A.

4. Об'єм призми знаходимо за формулою $$ V_\text{пр}=S_\text{осн}\cdot H, $$ де $$ S_\text{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ (основа – правильний трикутник зі стороною $a$), $H=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a}{2}.$

$$ V_\text{пр}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a}{2}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{3}a^3}{8}=\frac{\sqrt{3}}{8}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3. $$

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 35221

Завдання 25 з 33

На виставці представлено лише два види мистецьких робіт: картини та скульптури, причому кількість скульптур у $4$ рази менша за кількість картин.

1. Скільки відсотків становить кількість картин від загальної кількості робіт на виставці?

2. На скільки відсотків кількість картин більша за кількість скульптур?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	80			300

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Нехай на виставці представлено $x$ скульптур, тоді картин – $4x.$ Загальна кількість робіт на виставці – $5x.$

Кількість картин від загальної кількості робіт становить $$ \frac{4x}{5x}\cdot 100\text{%}=80\text{%}. $$

2. Якщо вважати, що кількість скульптур складає $100\text{%}$, то кількість картин – $400\text{%}.$ Картин на $$ 400\text{%}-100\text{%} = 300\text{%} $$ більше за кількість скульптур.

Відповідь: 1. $80.$
2. $300.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14259

Завдання 26 з 33

Діагональ $AC$ та висота $BP$ паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $K$ (див. рисунок). Відомо, що $AB=12$, $\angle BAD=60^\circ$, $BK:KP=4:1.$

1. Визначте довжину відрізка $AP.$

2. Обчисліть периметр паралелограма $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6			72

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $\Delta APB\ (\angle P=90^\circ)$ $\angle A=60^\circ$, $\angle B=30^\circ.$

За властивостю катета, який лежить напроти кута $30^\circ$ $$ AP=\frac 12AB=\frac 12\cdot 12=6. $$

2. $\angle KAP=\angle BCK$ як внутнішні різнсторонні при $BC\ ||\ AP$ та січної $AC.$

$\Delta AKP$ подібний $\Delta CKP$ (за гострим кутом), тому відповідні сторони пропорційні

\begin{gather*} \frac{AP}{BC}=\frac{KP}{BK}=\frac 14\ (\text{за умовою}),\\[6pt] \frac{6}{BC}=\frac 14,\\[6pt] BC=24,\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(12+24)=2\cdot 36=72. \end{gather*}

Відповідь: 1. $6.$
2. $72.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14260

Завдання 27 з 33

Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює $45$, а їхній добуток – $324.$ Визначте перший член цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

4.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії.

За умовою $(b_n)$ – геометрична зростаюча прогресія. Складемо систему рівнянь:

$$ \left[\begin{array}{l} b_2+b_4=45,\\ b_2\cdot b_4=324. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо методом підстановки:

$$ \left\{\begin{array}{l} b_4=45-b_2,\\ b_2(45-b_2)=324, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} b_4=45-b_2,\\ b_2^2-45b_2+324=0. \end{array}\right. $$

Отже, $b_2=36$, або $b_2=9.$

При $b_2=36$, $b_4=9.$

При $b_2=9$, $b_4=36.$

За умовою прогресія зростаюча, тому $b_2=9$, $b_4=36\ (q\gt 1).$

\begin{gather*} b_4=b_2\cdot q^2,\\[7pt] q^2=b_4:b_2=36:9=4,\\[7pt] q=\pm 2. \end{gather*}

Знаменник зростаючої геометричної прогресії завжди додатній $(q \gt 1).$ Отже, $q=2.$

\begin{gather*} b_2=b_1\cdot q\ (\text{за формулою}\ n\text{-го члена}),\\[7pt] 9=b_1\cdot 2,\\[7pt] b_1=4\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $4\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14261

Завдання 28 з 33

З першої труби порожній басейн наповнюють водою на $40$ хвилин швидше, ніж з другої. Скільки часу (у хвилинах) потрібно для наповнення порожнього басейну з першої труби, якщо з обох труб порожній басейн наповнюють за $21$ хвилину? Уважайте, що швидкості наповнення басейну водою з кожної труби є сталими.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що зводиться до квадратного, розв'язувати текстові задачі.

Нехай порожній басейн заповнюється з другої труби за $x$ хвилин, тоді з першої труби – за $(x-40)$ хвилин.

За $1$ хвилину працюючи разом вони заповнять $1/21$ частину басейну. Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{1}{x-40}+\frac 1x=\frac{1}{21},\\[6pt] \frac{x+x-40}{x(x-40)}=\frac{1}{21},\\[6pt] \frac{2x-40}{x^2-40x}=\frac{1}{21},\\[6pt] \text{ОДЗ}:\ \ \left[\begin{array}{l} x\ne 0,\\ x\ne 40, \end{array}\right.\\[7pt] x^2-40x=21(2x-40),\\[7pt] x^2-40x=42x-840,\\[7pt] x^2-82x+840=0. \end{gather*}

Корені рівняння

$$ \left[\begin{array}{l} x_1=12\ \ \text{не задовільняє умові задачі},\\ x=70. \end{array}\right. $$

Отже, друга труба наповнює басейн за $70$ хвилин, а перша – за $$ 70-40=30\ \text{хв.} $$

Відповідь: $30.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14262

Завдання 29 з 33

Для перевезення дітей формують колону, яка складається з п’яти автобусів і двох супровідних автомобілів: одного на чолі колони, іншого – позаду неї. Скільки всього існує різних способів розташування автобусів і супровідних автомобілів у цій колоні?

Впишіть відповідь:

240

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість способів розташування $5$ автобусів в колоні знаходимо за формулою перестановок:

\begin{gather*} P_n=n!\\[7pt] P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\ \text{способами.} \end{gather*}

Так як супровідні автомобілі можуть помінятися місцями, то способів складання колони $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: $240.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14263

Завдання 30 з 33

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ $(AD\ ||\ BC$, $AD\gt BC).$ Площа трапеції дорівнює $42.$ Визначте абсцису вершини $D$, якщо $A(-1; 3)$, $B(1; 6)$, $C(7; 6).$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координати точки, формули площі трапеції.

Позначимо задані точки на координатній площині.

Задано трапеція $ABCD.$ Точки $B$ та $C$ мають однакову ординату, тому пряма $BC$ паралельна осі $Ox.$

$BC\ ||\ AD$, тому точка $D$ має з точкою $A$ однакову ординату $y=3.$ Площа трапеції $42$, тому $$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h, $$ де $h$ – висота трапеції, складемо рівняння.

\begin{gather*} BC=6,\\[7pt] h=BK=3,\\[7pt] S=42,\\[6pt] \frac{6+AD}{2}\cdot 3=42, \end{gather*}

звідси $AD=22.$

Так як точка $A$ має абсцису $-1$, то точка $D$ буде мати абсцису $21.$

Відповідь: $21.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14264

Завдання 31 з 33

Задано функцію $f(x)=x^2-3x-4.$

1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.

2. Побудуйте графік функції $f.$

3. Знайдіть значення $x=x_0$, за якого похідна функції $f$ дорівнює $1.$

4. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції $f$ у точці з абсцисою $x_0.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання. Під час розрахунку бала за це завдання, на сайті ЗНО-онлайн використовується спеціальна формула розрахунку в залежності від якості виконання інших завдань тесту. Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції, її геометричний зміст. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння будувати графік квадратичної функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, знаходити похідні елементарних функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу; знання рівняння дотичної до графіка функції в точці.

$f(x)=x^2-3x-4$ – квадратична функція, графік парабола.

1. Знаходимо точки перетину графіка $f$ з осями координат:

\begin{gather*} x=0,\\[7pt] f(0)=0^2-3\cdot 0-4=-4, \end{gather*}

$(0; -4)$ з віссю $Oy.$

\begin{gather*} f(x)=0,\\[7pt] x^2-3x-4=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта $$ \left[\begin{array}{l} x_1=4,\\ x_2=-1. \end{array}\right. $$ $(4; 0)$, $(-1; 0)$ з віссю $Ox.$

2. Вершина параболи

\begin{gather*} x_\text{в}=\frac{-b}{2a}=\frac 32=1\mathord{,}5\\[6pt] y_\text{в}=1\mathord{,}5^2-3\cdot 1\mathord{,}5-4=2\mathord{,}25-4\mathord{,}5-4=-6\mathord{,}25\\[7pt] (1\mathord{,}5; -6\mathord{,}25). \end{gather*}

$a=1\gt 0$ віти параболи напрямлені вгору.

3. Знаходимо похідну функції:

\begin{gather*} f'(x)=2x-3,\\[7pt] f'(x_0)=2x_0-3=1,\\[7pt] 2x_0=4,\\[7pt] x_0=2. \end{gather*}

4. Рівняння дотичної до графіка функції має вигляд:

\begin{gather*} y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),\\[7pt] x_0=2,\\[7pt] f(x_0)=f(2)=2^2-3\cdot 2-4=4-6-4=-6,\\[7pt] f'(x_0)=1,\\[7pt] y=1\cdot (x-2)-6,\\[7pt] y=x-2-6,\\[7pt] y=x-8. \end{gather*}

Відповідь: 1. $(0; -4)$, $(4; 0)$, $(-1; 0).$
3. $x_0=2.$
4. $y=x-8.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14265

Завдання 32 з 33

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є ромб $ABCD$, у якому гострий кут $A$ дорівнює $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.$ Площина $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$, що проходить через одну з вершин верхньої основи та меншу діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.$ Висота призми дорівнює $h.$

1. Побудуйте переріз заданої призми площиною $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}.$

2. Визначте площу цього перерізу.

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та пощини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між площинами, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач.

1. Якщо $\angle A$ – гострий, то $BD$ – менша діагональ ромба.

2. Побудуємо переріз призми площиною $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$ через $BD$ та вершину $C_1.$

Точки $D$ та $C_1$ належать площині $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$ та грані $(DCC_1)$, тому $DC_1$ – слід січної площини на бічной грані $(DCC_1).$ Точки $B_1$ та $C_1$ – спільні точки площин $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$ та $(BCC_1)$, тому $BC_1$ – пряма перетину площин $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$ та $(BCC_1).$

Отже, $BDC_1$ – шуканий переріз.

3. $CO\ \perp\ BD$ (властивість ромба), тому $C_1O\ \perp\ BD$ (за теоремою про три перпендикуляра).

Отже, $(C_1OC)\ \perp\ BD$ (за ознакою перпендикулярності прямої та площини).

$\angle C_1OC=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$ лінійний кут відповідного двограного $\angle (\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}, (ABC))=\angle C_1OC=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.$

4. У $\Delta C_1OC\ (\angle C=90^\circ)$,

\begin{gather*} C_1O=\frac{h}{\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}},\\[6pt] OC=h\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}. \end{gather*}

5. За властивістю ромба $AC$ – бисектриса $\angle A$, тому $\angle OAD=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.$

У $\Delta AOD\ (\angle O=90^\circ)$, $OD=AO\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}=h\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.$

\begin{gather*} S_{BC_1D}=\frac 12\cdot BD\cdot C_1O=OD\cdot C_1O=h\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}\cdot \frac{h}{\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}=h^2\frac{\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}}{\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}. \end{gather*}

Вид завдання: Завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14266

Завдання 33 з 33

Розв’яжіть нерівність $$ \sqrt{\frac{4x-1}{x-a}}\gt a $$ залежно від значень параметра $a.$

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних нерівностей, уміння розв'язувати нерівності з параметрами.

Розв'язок нерівності $\sqrt{f(x)}\gt a$ – це сукупність систем:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a\lt 0,\\ f(x)\ge 0, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ f(x)\gt a^2. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Таким чином,

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \frac{4x-1}{x-1}\ge 0,\\ a\lt 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{4x-1}{x-a}\gt a^2.\ \ \ \ (2) \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо (1) систему методом інтервалів:

Отже, при $a\in (-\infty; 0)\ x\in (-\infty; a)\cup \left[\frac 14; +\infty\right).$

Розв'яжемо (2) систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{4x-1}{x-a}-a^2\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{4x-1-a^2x+a^3}{x-a}\gt 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{(4-a^2)x+a^3-1}{x-a}\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{(4-a^2)\left(x+\frac{a^3-1}{4-a^2}\right)}{x-a}\gt 0,\\[7pt] \end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{(4-a^2)\left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)}{x-a}\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Розглянемо 2 випадки:
1)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 4-a^2\gt 0,\\ a\ge 0, \end{array}\right.\ \ \text{та}\ \ \left\{\begin{array}{l} 4-a^2\lt 0,\\ a\ge 0, \end{array}\right.\ \ \text{тобто}\ \ \left\{\begin{array}{l} a\in [0; 2],\\ a\in (2; +\infty), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\in [0; 2],\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Для розв'язку методом інтервалів необхідно з'ясувати при яких значеннях $a$

\begin{gather*} \frac{a^3-1}{a^2-4}\ge a,\\[6pt] \frac{a^3-1}{a^2-4}-a\gt 0,\\[6pt] \frac{a^3-1-a^3+4a}{a^2-4}\gt 0,\\[6pt] \frac{4a-1}{a^2-4}\ge 0,\\[6pt] \frac{a-\frac 14}{(a-2)(a+2)}\ge 0. \end{gather*}

При $a\in \left[0; \frac 14\right]$

$$ x\in(-\infty; a)\cup \left(\frac{a^3-1}{a^2-4}; +\infty\right). $$

При $a\in \left(\frac 14; 2\right)$

$$ x\in \left(-\infty; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right)\cup (a; +\infty). $$

При $a=2\ x\gt 2$, $x\in (2; +\infty).$

2) $$ \left\{\begin{array}{l} a\in (2; +\infty),\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\lt 0. \end{array}\right. $$

$$ x\in \left(a; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right). $$

Відповідь: при $a\in (-\infty; 0)\ x\in (-\infty; a)\cup \left[\frac 14; +\infty\right);$
                   при $a\in \left[0; \frac 14\right]\ x\in (-\infty; a)\cup \left(\frac{a^3-1}{a^2-4}; +\infty\right);$
                   при $a\in \left(\frac 14; 2\right)\ x\in \left(-\infty; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right)\cup (a; +\infty);$
                   при $a=2\ x\in (2; +\infty);$
                   при $a\in (2; +\infty)\ x\in \left(a; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right).$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 290. Запитання: 14267

Новини

Завершується термін підтвердження отримання гранту студентами 1 курсу
МОН: кількість грантів для першокурсників зросла на 20%
Стартував набір на табір для молоді Venture Camp Ukraine

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Facebook

Twitter