ЗНО онлайн 2018 року з математики – додаткова сесія

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування задач практичного змісту.

Кут \(COD\) – прямий.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння використовувати ознаки подільності до розв'язування задач.

Якщо цукерки можна поділити між двома або трьома дітьми, то їх кількість визначається числом, кратним \(6\).

Якщо цукерки не можна поділити порівну між чотирма дітьми, то їх кількість не є кратною \(4.\)

З наведених чисел кратні \(6\) – це \(36\), \(42\) та \(48.\) З них тільки \(42\) не є кратним \(4.\) Отже, відповідь \(42.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Точка \((x_0; -2)\) належить графіку цієї функції.

На графіку є тільки одна точка з ординатою \(-2:\ (-3; -2).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} 2x-3=4,\\[7pt] 2x=4+3,\\[7pt] 2x=7,\\[7pt] x=7:2,\\[7pt] x=3\mathord{,}5. \end{gather*}

Значення \(x\) належить проміжку \([2; 4).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Стереометрія. Поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей кулі та сфери та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площа великого круга дорівнює \(S.\) За формулою \(S=\mathbf{\pi}R^2\) знаходимо $$ R^2=\frac{S}{\mathbf{\pi}}. $$

Площа сфери визначається за формулою: \(S=4\mathbf{\pi}R^2.\) Підставимо у формулу замість \(R^2\) вираз \(\frac{S}{\mathbf{\pi}}.\)

Отримаємо: $$ S=4\mathbf{\pi}\cdot \frac{S}{\mathbf{\pi}}=4S. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять логарифмічні вирази, знання властивостей логарифма.

Застосуємо означення логарифма

Відповідь: Г.

ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямої та площини у просторі.

За наслідками з аксіом стереометрії: через пряму і точку, яка їй належить, проходить площина, і до того ж тільки одна.

Через точку \(A\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(m\), але лише одну, перпендикулярну до прямої \(m.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Функції. Степенева функція.

Це завдання перевіряє знання графіка степеневої функції, вміння будувати графіки елементарних функцій, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=x^3-1\) можна отримати елементарним перетворенням графіка функції \(y=x^3\): паралельним перенесенням вниз на \(1\) одиничний відрізок.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул зведення, означення котангенса числового аргументу.

За формулою зведення $$ \cos(90^\circ+\mathbf{\alpha})=-\sin \mathbf{\alpha}. $$

Отримаємо,

Відповідь: A.

ТЕМА: Елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Для того, щоб знайти скільки часу на день у середньому учень користується Інтернетом, необхідно знайти середнє арифметичне значень

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

\(x^2-y^2=7\), \(3x+3y=63.\)

\((x-y)(x+y)=7\) – розклали на множники за формулою різниці квадратів.

\(3(x+y)=63\), отже, \(x+y=21.\)

Підставимо у перше рівняння замість суми \((x-y)\cdot 21=7\), отримаємо $$ x-y=\frac 13. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Розглянемо \(\Delta AOK\) та \(\Delta COB.\)

\(\angle KAO=\angle BCO\) як внутрішні різносторонні при \(BC\ ||\ AD\) та січної \(AC.\)

\(\angle BOC=\angle KOA\) як вертикальні.

Отже, \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOA\) за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(2^{\mathbf{\alpha}}\), то

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра. Функції. Функціональа залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність).

Для наведених функцій область визначення не є симетричною у функції \(f(x)=\log_3x\), тому вона ні парна, ні неперна.

Серед інших умова \(f(-x)=-f(x)\) є ознакою непарності. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Така властивість є у функції \(f(x)=\frac 2x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Стереометрія. Многограники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, знання формул для обчислення площ трикутників.

Дана трикутна призма \(ABCA_1B_1C_1\).

Усі бічні грані – квадрати, тому основа призми – рівносторонній трикутник. Площу рівностороннього трикутника можна знайти за формулою $$ S_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – сторона трикутника.

За умовою $$ S_{\Delta}=9\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$ Звідси, \(a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}\), \(a^2=36\), \(a=6\) см.

\(AA_1C_1C\) – квадрат, тому \(AA_1=6\) см.

Об'єм призми

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії над ними.

Це завдання перевіряє вміння розрізняти види чисел та числових проміжків, виконувати дії з дійсними числами.

Це число належить проміжку \([0; 0\mathord{,}5).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Фунції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій; похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

Використали формулу \(y=x^n\), \(y=nx^{n-1}\) та правило знаходження похідної суми.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо \(K_1E\ ||\ AB\) дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола \(KK_1\ \perp\ K_1E.\)

\(\angle CPK=\angle PKP_1=\mathbf{\beta}\) як внутрішні різносторонні при \(KK_1\ ||\ CE\) та січної \(KP.\)

У \(\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)\), \(KP=0\mathord{,}9\) м, \(\angle K=\mathbf{\beta}.\)

Серед наведених відстаней найменша \(0\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра, початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності першого степеня, нерівності, що містять змінну під знаком модуля.

\(|x+4|(x-1)\lt 0.\)

Цю нерівність можна розв'язати двома способами:

І спосіб.

Вираз \(|x+4|\ge 0\) при будь-яких значеннях змінної, тому розв'язком нерівності є розв'язок системи:

ІІ спосіб.

Розв'язуємо методом інтервалів:

\(|x+4|(x-1)\lt 0\)

$$ x\in (-\infty; -4)\cup (-4; 1). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення, область значень функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Функція спадає на проміжку \([-2; 2].\) Отже, 1 – Г.

2. Графік функції є фрагментом графіка функції \(y=x^2-1.\) Отже, 2 – Б.

3. Множиною значень функції є проміжок \([-1; 2].\) Отже, 3 – В.

4. Функція зростає на проміжку \([-2; 2].\) Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – В, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє знання означення та властивості кореня n-го степеня, степеня з натуральним показником, основної логарифмічної тотожності.

1. $$ (3a^3)^2=3^2\cdot (a^3)^2=9a^6. $$ Отже, 1 – A.

2. $$ \sqrt[3]{27a^6}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{a^6}=3a^2. $$ Отже, 2 – Д.

3. $$ \frac{27a^6}{9a^3}=3a^3. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

\(\angle D=\angle K=60^\circ\), звідси \(\angle C=\angle M=120^\circ.\) Більша діагональ – \(KD.\)

У \(\Delta DCK\) за теоремою косинусів

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки \(M\) до сторони \(CD\) – це довжина перпендикуляра

\(ME\ \perp\ DC\) – висота ромба.

У \(\Delta MED\ \angle E=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ.\)

Отже, 3 – Б.

4. \(KP\ \perp\ AD.\) Відстань від точки \(K\) до прямої \(AD\) – це відрізок \(KP.\)

\(CD\ \perp\ AD\), \(KM\ ||\ CD\), тому \(KM\ \perp\ AD\), \(KP\ \perp\ AD.\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання формул для обчислення площ поверхонь конуса та циліндра.

Нехай \(R=OA=3\) см, \(OO_1=H=4\) см.

1. \(S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}RH\), де \(R=3\) – радіус основи, \(H=4\) см. – висота циліндра.

\(S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 4=24\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 1 – Г.

Отже, 2 – Д.

3. Площа основи конуса дорівнює площі основи циліндра.

Отже, \(S_\text{осн.}=9\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 3 – A.

4. Площа бічної поверхні конуса \(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}Rl\), де \(R=3\) см, \(l\) – твірна \(O_1A.\)

\(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 5=15\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсоки. Текстові задачі. Квадратні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

1. Нехай у кожному ряду висадили \(x\) кущів, тоді кількість рядів буде \((x-20).\) Усього висадили \(125\) кущів троянд. Складемо рівняння:

Отже, в кожному ряду \(25\) кущів.

2. Усього кущів у першому рядку \(25.\) Ушкоджених кущів виявилось \(16\text{%}\), отже, неушкоджених кущів \(84\text{%}\) від кількості кущів у першому рядку.

Відповідь: 1. \(25.\)
                   2. \(21.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання дотичної до кола та її властивості, формули довжини кола; уміння застосовувати ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1.Довжина кола знаходиться за формулою \(C=2\mathbf{\pi}R.\)

\(O_1O_2=2R=8.\)

2. У прямокутник \(ABCD\) вписано два кола, тому \(BC=4R=16.\)

\(OO_1=2R=8.\)

\(O_1K\ \perp\ BC\) (за властивістю дотичної)

\(O_1K=4.\)

\(O_2L\ \perp\ BC\) \(O_1K=O_2L=R\), тому \(O_1O_2\ ||\ BC\), отже \(BO_1O_2C\) – трапеція.

Відповідь: 1. \(8.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

Нехай \(a_3=2a_1.\) За характеристичною властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2}, \end{gather*} тому $$ a_2=\frac{3a_1}{2}=1\mathord{,}5a_1. $$

Різниця арифметичної прогресії \(d=a_2-a_1=1\mathord{,}5a_1-a_1=0\mathord{,}5a_1.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії:

За умовою, \(S=190\), тому \(10a_1=190\), \(a_1=19.\)

\(d=0\mathord{,}5a_1=0\mathord{,}5\cdot 19=9\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(9\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання відношень, пропорцій, основної властивості пропорції; уміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Лідія редагує \(80\) сторінок рукопису у \(8\) разів швидше, ніж Максим \(480\) сторінок. Отже, Лідія редагує \(80\cdot 8=640\) сторінок за той самий час, за який Максим редагує \(480\) сторінок.

\(320\) сторінок (у \(2\) рази менше) Лідія відредагує за той самий час, що й Максим \(240\) сторінок.

Відповідь: \(240.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінації комбінаторного правила добутку; уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Клієнт вибирає \(2\) м'ясні добавки з \(8\), але однією обов'язково повинна бути шинка. За формулою \(C_n^m\), де \(n=7\) (тому що шинка є обов'язковою) \(m=1.\)

\(C_7^1\) – кількість варіантів вибрати м'ясну добавку.

З \(9\) овочевих добавок клієнт вибирає \(3\), крім цибули, тому за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=56 $$ кількість варіантів вибрати овочеву добавку.

Отже, якщо необхідно вибрати і м'ясну, і овочеву добавку, то за комбінаторним правилом добутку знаходимо: $$ C_7^1\cdot C_8^3=7\cdot 56=392. $$

Відповідь: \(392.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло. Круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання кола, круга та їхніх елементів; теореми синусів, рівняння кола.

Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді

Центр кола \((2; 0)\) та радіус \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}.\)

За наслідком з теореми синусів

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні властивості. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, обчислювати площу плоских фігур за допопомогою інтеграла.

1. \(f(x)=\sqrt{x}.\) Графік – вітка параболи \(D(f):x\ge 0.\)

2. \(g(x)=6-x.\) Графік – пряма.

3. Знайдемо точку перетину графіків \(f(x)\) i \(g(x).\)

Абсциса точки перетину \(x=4.\)

4. Обчислимо площу фігури, обмеженої графіками функцій \(f\) і \(g\) та віссю \(y.\)

Отже, правильна відповідь – \(S=10\frac 23\) кв. од.

Відповідь: 3. \(4.\)
                   4. \(10\frac 23.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання многогранників та їхніх елементів, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості многогранників до розв'язування стереометричних задач.

\(SABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат.

\(SO\ \perp\ (ABC)\), \(AC\cap BD=0.\)

1. Проведемо\(BK\ \perp SC.\)

\(\Delta BKC=\Delta DKC\) за двома сторонами та кутом між ними, \(KC\) – спільна, \(DC=BC\) – сторона квадрата.

\(\angle DCK=\angle BCK\) (правильна піраміда).

Отже, \(DK\ \perp\ SC.\)

Так як \(SC\ \perp\ BK\) i \(SC\ \perp DK\), то \(SC\ \perp\ (DKB)\) за ознакою перпендикулярності прямої та площини.

\((DKB)=\mathbf{\gamma}\) шуканий переріз.

2. \(\Delta BKD\) рівнобедрений \(BK=DK\), \(DO=OB\), звідси \(OK\) – медіана і висота.

\(OK\ \perp\ BD\) i \(OC\ \perp\ BD\) (за властивістю діагоналей), звідси \((BDC)\cap (ABC)=BD.\)

\(\angle ((BDK),\ (ABC))=\angle KOC=\mathbf{\alpha}\) лінійний кут відповідного двограного.

3. \(SC\ \perp\ (BDK)\), \(OKC(BDK)\), тому \(SC\ \perp\ DK.\)

\(\angle SOC=90^\circ\), \(\angle KOC=\mathbf{\alpha}\), тому \(\angle SOK=90^\circ-\mathbf{\alpha}.\)

У \(\Delta SOK\ (\angle K=90^\circ)\ \angle S=\mathbf{\alpha}\), \(SO=H.\)

\(OK=SO\cdot \sin S=H\sin \mathbf{\alpha}.\)

У \(\Delta SOK\ \angle O=90^\circ\), \(OC=H\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

\(ABCD\) квадрат. За властивістю діагоналей \(AO=OC=OB=OD=H\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

Відповідно до умови завдання необхідно побудувати переріз піраміди \(SABC\), а перерізом цієї піраміди є \(KOB\), тому

Відповідь: \(\frac 12H^2\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}\cdot\sin \mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові, квадратичні, раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, квадратні нерівності, нерівності з параметрами.

При \(a\in (-\infty; 0]\)

нерівність \(2^x\lt a\) при від'ємному \(a\) не має розв'язку, тому \(x=2.\)

При \(a=0\)

має тільки розв'язок \(x=2.\)

При \(a\in (0; 4)\)

При \(a=4\)

При \(a\in (4; +\infty)\)