ЗНО онлайн 2019 року з математики – основна сесія
Тестові завдання основної сесії ЗНО 2019 року з математики
Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Це завдання перевіряє вмінняя виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання означення степеня з цілим показником та її властивостей.
$$ 0\mathord{,}8b^9:(8b^3)=0\mathord{,}1b^{9-3}=0\mathord{,}1b^6. $$
Відповідь: A.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.
Це завдання перевіряє знання кола та його елементів.

\begin{gather*} OA=12\ \textit{см},\\[7pt] O_1A=8\ \textit{см},\\[7pt] OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ \textit{см}. \end{gather*}
Відповідь: Г.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з однією змінною, використовувати методи розв'язування раціональних рівнянь.
Якщо рівняння має вигляд добутку множників, що дорівнює нулю, то принаймні один з множників повинен дорівнювати нулю.
\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x+1=0,\\ 2x-3=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ 2x=3, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ x=1\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}
Відповідь: Д.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
\begin{gather*} p=5d+8,\\[7pt] 5d=p-8,\\[6pt] d=\frac 15(p-8). \end{gather*}
Відповідь: B.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Це завдання перевіряє вміння встановлювати за разгорткою поверхні вид геометричного тіла.
Бічні грані – прямокутники, тому на рисунку зображено призму.
Основа призми – трикутник.
Отже, на рисунку розгортка трикутної призми.
Відповідь: A.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса.

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту:
$$ V=\frac 13Sh=\frac{Sh}{3}. $$
Відповідь: Д.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.
Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій заданих графіком.

Нулі функції – точки перетину графіка функції з віссю \(Ox.\)
На рисунку бачимо лише одну точку перетину графіка функції з віссю \(Ox\) - точка \(A.\) Отже, функція має лише один нуль на заданому проміжку \([1; 8].\)
Відповідь: Б.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять змінну під знаком модуля.
Використовуючи геометричну інтерпритацію модуля отримаємо розв'зок нерівності \(|x|\lt 3:\)

\(x\in (-\infty; -3)\cup (3; +\infty).\)
Отже, з наведених чисел \(x=-8\) є розв'язком нерівності.
Відповідь: Д.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степенева функція.
Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Ця функція зростає на всій області визначення, не є парною, періодичною, не має точок екстремуму.
Функція набуває лише невід'ємних значень.
Відповідь: A.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
Відповідь: Г.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.
Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.
Кількість працівників знаходимо з діаграми:
\(36+40+24+16+4=120\) працівників.
Отже, відповідь – B.
Відповідь: B.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.
Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, розкладу многочлена на множники, уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
$$ \frac{a^2-b^2}{a^2-ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)}=\frac{a+b}{a}. $$
Відповідь: A.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.
I. Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює \(180^\circ.\) Отже, твердження І правильне.
II. Протилежні сторони паралелограма рівні. Отже, твердження ІІ правильне.
III. \(AC\) та \(BD\) - діагоналі паралелограма. Якщо діагоналі паралелограма перетинаються під прямим кутом, то такий паралелограм є ромбом. За умовою \(ABCD\) паралелограм. Отже, \(AC \not\perp BD\), тому твердження III неправильне.
Відповідь: B.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Функції. Дійсні числа. Логарифмічні вирази. Логарифмічна функція.
Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа, виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
Функція \(y=\log_2\frac 13\) зростаюча, оскільки основа логарифмічної функції – число \(2\gt 1.\) Отже, більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.
\begin{gather*} \log_2\frac 14\lt \log_2\frac 13\lt \log_2\frac 12\\[6pt] \log_22^{-2}\lt \log_2\frac 13\lt \log_22^{-1}\\[6pt] -2\lt\log_2\frac 13\lt -1. \end{gather*}З наведених проміжків число належить \((-3; -1).\)
Відповідь: Б.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.
Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, використовувати перетворення графіків функцій.
Функції \(y=f(x)\) та \(y=-f(x)\) симетричні відносно осі \(Ox.\)

Точка \(N\) належить графіку \(y=-f(x).\)
Відповідь: Д.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь першого степеня.
\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2y=5x,\\ x+y=14, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x+\frac 52x=14, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ \frac 72x=14, \end{array}\right. \\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x=14:\frac 72, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x=4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=10,\\ x=4. \end{array}\right. \end{gather*}Розв'язок \((4; 10).\) Відповідь: \(4\cdot 10=40.\)
Відповідь: Г.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(6\) см. \(SK\) – апофема.
$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ \(\angle SKO=60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SCD)\) та \((ABC).\)
\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи.
\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}Відповідь: A.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.
Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.
Якщо фігура обмежена графіками двох функцій, то границі інтегрування – точки їх перетину.
Функції \(f(x)\) та \(g(x)\) перетинаються в точках \(x=2\) та \(x=7\), отже межі інтегрування від \(2\) до \(7.\) У межах від \(2\) до \(7\) функція \(f(x)\) лежить вище функції \(g(x)\), отже, запишемо формулу для обчислення площі зафарбованої фігури: $$ S=\mathop{\int}\limits_2^7(f(x)-g(x))dx. $$
Отже, правильна відповідь Г.
Відповідь: Г.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

\(CP\ ||\ OB\), \(NF\ ||\ OK\) (додаткові побудови).
\begin{gather*} OK=1\mathord{,}2\ \textit{м}\\[7pt] OP=BC=0\mathord{,}3\ \textit{м}\\[7pt] OM=1\mathord{,}2-0\mathord{,}5=0\mathord{,}7\ \textit{м}\\[7pt] PM=OM-OP=0\mathord{,}4\ \textit{м}=HE. \end{gather*} Аналогічно, \(HD=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)
\(\Delta HED\) – прямокутний, рівнобедрений, з катетами \(HE=DH=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)
За теоремою Піфагора
$$ DE=\sqrt{HE^2+HD^2}=\sqrt{0\mathord{,}32}\ \textit{м}. $$Число \(\sqrt{0\mathord{,}32}\) можна оцінити наступним чином: $$ \sqrt{0\mathord{,}25}\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt \sqrt{0\mathord{,}36}, $$ тобто \(0\mathord{,}5\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt 0\mathord{,}6.\)
Серед відповідей цю нерівність задовольняє число \(0\mathord{,}55\) м.
Відповідь: Б.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.
\begin{gather*} 2^{x+3}-3\cdot 2^x=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x(2^3-3)=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x\cdot 5=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x=2\sqrt{2}\\[7pt] 2^x=\sqrt{8}\\[7pt] 2^x=2^{\frac 32}\\[7pt] 2^x=2^{1\mathord{,}5}\\[7pt] x=1\mathord{,}5. \end{gather*}Корінь рівняння належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь Г.
Відповідь: Г.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, логарифмічні функції.
Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.
1.

Не має спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – Г.
2.

Має безліч спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – B.
3.

Проходить через точку \((1; 3).\) Отже, правильна відповідь – Д.
4.

Не перетинає вісь \(y.\) Отже, правильна відповідь – A.
Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Д, 4 – A.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє вміння розрізняти види чисел.
1. \(\frac 35\) правильний дріб. Отже, 1 – Б.
2. \(\frac 65=1\frac 15=1\mathord{,}2\in (1; 1\mathord{,}5).\)
Отже, 2 – Д.
3. \(\frac 85=1\frac 35=1\mathord{,}6=7^{\log_7 1\mathord{,}6}.\)
Отже, 3 – Г.
4. \(\sqrt[3]{\frac 18}+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac 12+\frac 53=\frac{13}{6}.\)
Отже, 4 – A.
Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г, 4 – A.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

\(OK=4\), \(CD=10.\)
1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.
2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)
\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.
3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.
4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.
Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.

1. \(AC\cup CC_1\), \(AC\ \perp\ CC_1\),
\(\left.\begin{array}{l}
CC_1\ \perp\ (ABC),\\
AC \in (ABC),
\end{array}\right|
\rightarrow CC_1\ \perp\ AC.\)
Отже, 1 – B.
2. Прямі \(AB_1\) та \(CD_1\) мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.
3. \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній, так як \(AC=CD_1=AD_1\) (діагоналі рівних квадратів).
\(\angle(AC\), \(CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.
4. \(AB_1\ ||\ C_1D\) не перетинаються та лежать в одній площині \((AB_1C_1).\)
Отже, 4 – A.
Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсоткові розрахунки.
1. Розглянемо можливі варіанти доставки багажу:
– усі вантажі доставлять окремо:
\(P=100+100+100=300\) (грн).
– усі вантажі доставлять разом:
вантаж важить: \(31+36+40=107\) (кг). \(P=310\) (грн).
– один вантаж доставлять окремо від двох інших:
\(40\) кг вартістю \(100\) грн, \(31+36=67\) кг – вартістю \(110\) грн.
\(P=100+110=210\) (грн).
Отже, найменша сума грошей – \(210\) грн.
2. \(P=210\) грн, загальна сума грошей за доставку цих трьох вантажів, якщо кожен відправити окремо – \(300\) грн.
\((210 : 300)\cdot 100\text{%}=70\text{%}.\)
Відповідь: 1. \(210.\)
2. \(70.\)
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач; знання теореми Піфагора, формули площі трикутника.

\(OK=3\) см, \(S_{AOD}=15\) см\(^2.\)
1. \(\Delta AOD\) \begin{gather*} S_{AOD}=\frac 12AD\cdot OK,\\[6pt] 15=\frac 12\cdot AD\cdot 3,\\[6pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}
2. \(BE\ \perp\ AD\) висота ромба \(BO=OD\), \(KD=EK\) (за теоремою Фалеса).
У \(\Delta BED\ OK\) – середня лінія. \(BE=2OK=6\) см.
\(\Delta ABE\ (\angle E=90^\circ)\ AB=10\) см, \(BE=6\) см. За теоремою Піфагора:
\begin{gather*} AB^2=BE^2+AE^2,\\[7pt] AE=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \textit{см},\\[6pt] \mathrm{tg}\ A=\frac{BE}{AE}=\frac 68=\frac 34=0\mathord{,}75. \end{gather*}Відповідь: 1. \(10.\)
2. \(0\mathord{,}75.\)
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Рівняння.
Це завдання перевіряє знання основної властивості арифметичної прогресії; уміння розв'язувати квадратні рівняння.
Задана арифметична прогресія: \begin{gather*} a_1=x^2-4,\\[7pt] a_2=3-5x,\\[7pt] a_3=2-3x. \end{gather*}
За властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\\[6pt] 3-5x=\frac{x^2-4+2-3x}{2},\\[6pt] 6-10x=x^2-3x-2,\\[7pt] x^2+7x-8=0,\\[6pt] x_1=\frac{-7+9}{2}=1,\\[6pt] x_2=\frac{-7-9}{2}=-8. \end{gather*} Від'ємне значення \(x=-8.\)
Відповідь: \(-8.\)
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, розв'язувати рівняння першого степеня.
Нехай \(x\) км/год – швидкість автобуса від \(A\) до \(B.\) Тоді:
\(V\), км/год | \(t\), год | \(S\), км | |
Від \(A\) до \(B\) | \(x\) | \(5\) | \(5x\) |
Від \(B\) до \(A\) | \(x+8\) | \(4\mathord{,}5\) | \(4\mathord{,}5(x+8)\) |
Оскільки відстань від \(A\) до \(B\) така сама як і від \(B\) до \(A\), то складемо рівняння: \begin{gather*} 5x=4\mathord{,}5(x+8),\\[7pt] 5x=4\mathord{,}5x+36,\\[7pt] 0\mathord{,}5x=36,\\[7pt] x=72. \end{gather*}
Відповідь: \(72.\)
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки. Комбінаторні правила добутку.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; знання комбінаторного правила добутку.
Солісті – \(4\), гурти – \(3.\)
Варіантів скласти послідовності виступів солістів \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.\)
Варіантів скласти послідовність гуртів \(3!=1\cdot 2\cdot 3=6.\)
За комбінаторним правилом добутку знаходимо кількість варіантів виступів:
\(24\cdot 6=144.\)
Відповідь: \(144.\)
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.
Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, прямокутну систему координат; уміння застосовувати координати до розв'язування планіметричних задач.
Рівняння кола зведемо до стандартного вигляду: \begin{gather*} (x+3)^2+y^2-4y=21,\\[7pt] (x+3)^2+y^2-4y+4=25,\\[7pt] (x+3)^2+(y-2)^2=25. \end{gather*}
Коло з центром у точці \(A(-3; 2)\) та радіусом \(5.\ 3AC=BC.\)

\(AC\ ||\ Oy\), тому \(x_c=-3\).
\(AC=5\), \(y_c=7.\) Отже, \(C(-3; 7).\)
\(\Delta ACB,\) \(\angle C=90^\circ\), \(BC\ ||\ Ox\), \(BC=3AC=15.\)
Отже, \(x_\text{в}=12\), \(y_\text{в}=7.\)
\(B(12; 7)\), \(12+7=19.\)
Відповідь: \(19.\)
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степеневі функції. Похідна функції, її геометричний зміст.
Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, знаходити похідні елементарних функцій, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції.
1-2. \(f(x)=\frac 2x\) – обернена пропорційність, графік – гіпербола.
Обчислимо кілька значень функції та побудуємо графік.
\(x\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) |
\(y\) | \(2\) | \(1\) | \(1\mathord{,}5\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0\mathord{,}5\) |
\(g(x)=5-8x\) – лінійна функція, графіком якої є пряма. Побудувати пряму можна за двома точками.
Якщо \(x=0\), то \(g(0)=5-8\cdot 0=5.\)
Перша точка: \((0; 5).\)
Якщо \(x=1\), то \(g(0)=5-8\cdot 1=-3.\)
Друга точка: \((1; -3).\)
Позначимо ці точки на координатній площині та проведемо через них пряму.

3. \(f(x)=2x^{-1}\), \(f'(x)=2\cdot (-1)x^{-2}\),
\(f'(x)=-\frac{2}{x^2}.\)
4. Оскільки дотична паралельна прямій \(g(x)=5-8x\), то їхні кутові коефіцієнти рівні, і дорівнюють \(-8.\) Отже, значення похідної в точці дотику дорівнює \(-8.\) Маємо рівняння:
\(-\frac{2}{x^2}=-8\), \(x^2=\frac{-2}{-8}=0\mathord{,}25.\)
Тоді, \(x=0\mathord{,}5\) та \(x=-0\mathord{,}5.\)
Відповідь: 3. \(f'(x)=-\frac{2}{x^2}.\)
4. \(x=0\mathord{,}5;\ x=-0\mathord{,}5.\)
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла й поверхні обертання. Прямі й площини у просторі.
Це завдання перевіряє вміння будувати перерізи тіл обертання, застосовувати властивості циліндра до розв'язування стереометричних задач; ознаки паралельності прямої та площини.

\(AB=c\), \(\angle AO_1B=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(OO_1\) – вісь циліндра.
1. Побудуємо твірні \(AD\), \(BC.\)
Твірні \(AD\) та \(BC\) – перпендикулярні основам циліндра. \(AD\ \perp\ AB\), \(BC\ \perp\ AB.\)
Прямокутник \(ABCD\) – переріз циліндра площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\) \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ ||\ OO_1:\)
\(\left.\begin{array}{l}
OO_1\ ||\ AD,\\
AD \in \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta},
\end{array}\right|
\rightarrow OO_1\ ||\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
(за ознакою паралельності прямої та площини).
2. Проведемо \(OK\ \perp AB.\) \(OK\ \perp\ OO_1\), \(OO_1\ ||\ AD\rightarrow OK\perp\ AD.\)
Отримали, що \(OK\) перпендикулярна двом прямим, що перетинаються з площини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ (AB\cap AD)\), тому \(OK\ \perp \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
Отже, \(OK=d\) – відстань від \(OO_1\) до \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\) (Відстань від прямої до площини – це довжина перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої до площини).
3. \(\Delta AOB\) – рiвнобедренний (\(OA=OB\) як радіуси). \(OK\) – висота та медіана.
\(AK=KB=\frac 12AB=\frac{c}{12}.\)
\(\Delta AO_1B\) – рівнобедренний. \(O_1A=O_1B\) (\(OA=OB\) як радіуси, рівним проекціям відповідають рівні похилі). \(O_1K\) – висота (\(OK\ \perp\ AB\), \(O_1K\ \perp AB\) за теоремою про три перпендикуляри). \(O_1K\) – бісектриса (за властивістю рівнобедренного трикутника).
\(\angle AO_1K=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)
У \(\Delta AO_1K\ (\angle K=90^\circ)\ O_1K\ \mathrm{ctg}\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}=\frac c2\mathrm{ctg}\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)
У \(\Delta OO_1K\ (\angle O=90^\circ)\ OO_1^2=O_1K^2-OK^2\) (за теоремою Піфагора)
$$ OO_1=\sqrt{\frac{c^2}{4}\mathrm{ctg}^2\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-d^2}. $$Площа переріза \(ADCB\) (прямокутника)
$$ S=AB\cdot AD=c\sqrt{\frac{c^2}{4}\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-d^2}=\frac c2\sqrt{c^2\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-4d^2}. $$Відповідь: \(S=\frac c2\sqrt{c^2\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-4d^2}.\)
Знайшли помилку? Пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння та нерівності. Показникова функція.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати дробно-раціональні нерівності, показникові нерівності, а також їхні системи; розв'язувати нерівності та системи з параметрами; користуватися графічним методом розв'язування і дослідження рівнянь, нерівнстей та їхні системи.
1. Розв'яжемо першу нерівність методом інтервалів: $$ \frac{x+1}{x-2}\ge 0. $$

$$ x\in (\infty; -1]\cup (2; +\infty). $$
2. Розв'яжемо другу нерівність графічно. Спростимо вираз:
\begin{gather*} 2\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=\\[7pt] =2\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})-\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=\\[7pt] =\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=1+x\\[6pt] \left(\frac 12\right)^{x+1}\gt a. \end{gather*}Побудуємо графік функції \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\) за допомогою елементарних перетворень.

\(y=\left(\frac 12\right)^x\) перенесено вліво на \(1\) одиницю. Отримаємо графік функції \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}.\)
1) При \(a\in (-\infty; 0]\ x\in R.\)
2) При \(a\in (0; +\infty)\)
\begin{gather*}
y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\gt a,\ \ \frac 12\cdot \left(\frac 12\right)^x\gt a,\\[6pt]
\left(\frac 12\right)\gt 2a,\ \ \left(\frac 12\right)^x\gt \left(\frac 12\right)^{\log_{\frac 12}(2a)}
\end{gather*}
функція \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\) спадна, тому
\(x\lt\log_{\frac 12}(2a)\), \(x\lt -\log_2(2a).\)
Відповідь: при \(a\in (-\infty; 0] x\in R.\)
при \(a\in (0; +\infty]\), \(x\in (-\infty; -\log_2(2a)).\)
3. Розв'яжемо систему нерівностей:

При \(a\in (-\infty; 0]\), \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty).\)
При \(a\in \left(0; \frac 18\right)\), \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; -\log_2(2a)).\)
При \(a\in \left[\frac 18; \right)\), \(x\in (-\infty; -1].\)
При \(a\in [1; +\infty)\), \(x\in (-\infty; -\log_2(2a)).\)
Відповідь: 1. \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty).\)
2. \(x\in R\), якщо \(a\in (-\infty; 0]\);
\(x\in (-\infty; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in (0; +\infty).\)
3. \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty)\), якщо \(a\in (-\infty; 0]\);
\(x\in (-\infty; -1]\cup (2; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in \left(0; \frac 18\right)\);
\(x\in (-\infty; -1]\), якщо \(a\in \left[\frac 18; 1\right)\);
\(x\in (-\infty; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in [1; +\infty).\)
Знайшли помилку? Пишіть на