ЗНО онлайн 2019 року з математики – додаткова сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

Графік функції перетинає вісь \(y\) в одній точці \(Д\ (0; 4).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Розв'яжемо методом інтервалів:

\(x=3\), \(x=-3\) – нулі функції

\(x\in (-3; 3).\)

З наведених чисел лише число \(-2\in (-3; 3).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів, властивості прямокутника.

\(AK\) – бісектриса \(\angle A\), отже, \(\angle BAK=\angle KAD=45^\circ.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

За \(220\) грн можна купити шоколадок по \(35\) грн: $$ 220:35=6\frac{10}{35}. $$

Отже, \(6\) шоколадок зможе купити покупець маючи \(220\) грн і матиме решту \(10\) грн.

За кожні \(3\) шоколадки супермаркет надає одну безкоштовно.

\(6:3=2\) (рази).

Отже, \(2\) рази можна скористатися акцією і отримати \(+2\) шоколадки. Тоді

\(6+2=8\) шоколадок отримає покупець.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

Бічні грані – трикутники, основа – квадрат.

Отже, на рисунку розгортка чотирикутної піраміди.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо показникову нерівність:

\(2^{4x-5}\ge 2.\) Функція \(y=2^x\) – зростає, отже,

\(x\in [1\mathord{,}5; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

\(y=\log_{(1/4)}x\) спадна (\(y=\log_a x\) при \(a\in (0; 1)\) спадає) \(D(y)=(0; +\infty).\) Отже, правильна відповідь Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

Кількість відвідувачів менше ніж \(170\) була на І та ІІ сеансі. Отже, кількість відвідувачів не менше ніж \(170\) осіб було на ІІІ, IV, V, VI сеансах.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму циліндра.

Об'єм циліндра обчислюємо за формулою

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Спростимо вираз за допомогою формул скороченого множення:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій.

За допомогою елементарних перетворень \(y=f(x)\rightarrow y=f(x+A)\) переносимо графік уздовж осі \(x\) на \(A\) одиниць. При \(A\gt 0\) графік переміщується вліво, а при \(a\lt 0\) – праворуч.

Отже, отримаємо графік функції \(y=f(x-2).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростимо вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники.

Це завдання перевіряє знання про вписані в коло та описані навколо кола многокутники.

У будь-який трикутник можна вписати коло. Отже, I твердження правильне.

У чотирикутник можно вписати коло, якщо суми протилежних сторін рівні. Отже, в прямокутник не можна вписати коло, але у ромб – так.

Отже, ІІ твердження – неправильне, ІІІ – правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами та порівнювати їх.

Оцінимо вираз. \begin{gather*} \sqrt{25}\lt \sqrt{27}\lt \sqrt{36},\\[7pt] 5\lt\sqrt{27}\lt 6,\\[7pt] 4\lt \sqrt{27}-1\lt 5,\\[6pt] 2\lt \frac{\sqrt{27}-1}{2}\lt 2\mathord{,}5. \end{gather*} Отже, значення виразу належить проміжку \([2; 3).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості призми, знання формули площі бічної поверхні призми.

\(ABCA_1B_1C_1\) – правильна призма. \(\Delta ABC\) – рівносторонній.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь.

Почленно додамо рівняння: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5\\ x-2y=7\ |\ \cdot (-2) \end{array}\right.\\[7pt] \ +\ \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5\\ \underline{-2x+4y=-14} \end{array}\right.\\[7pt] 9y=-9,\ y=-1 \end{gather*} Підставимо \(y=-1\) у друге рівняння: \begin{gather*} x-2(-1)=7,\\[7pt] x+2=7,\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Розв'язок системи \((x_0; y_0)\) це \((5; -1).\) Сума \(x_0+y_0=5+(-1)=4.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури знаходимо за допомогою визначеного інтеграла. Границі інтегрування – абсциси точок перетину графіків: \(x=0\), \(x=4.\) $$ S=\mathop{\int}\limits_0^4\left(\sqrt{x}-\frac x2\right)dx. $$

За правилом: від "верхньої" лінії віднімаємо "нижню", знаходимо площу зафарбованої фігури.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язання задач практичного змісту.

З-поміж наведених відстаней найменша \(4\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування тригонометричних рівнянь.

Рівняння \(\cos x=a\) при \(|a|\lt 1\) має розв'язок \(x\pm\mathrm{arccos}\ a+2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n\), \(n\in Z.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

1. \(y=x^2\) функція парна (графік симетричний відносно осі \(Oy\)). Отже, 1 – Г.

2. \(y=x^3+1\) зростає на всій області визначення. Отже, 2 – Б.

3. \(y=3-x\) спадає на всій області визначення. Отже, 3 – А.

4. \(y=\sin x\) непарна. Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

1. \(a^{-1}=\frac{1}{a^1}=\frac 1a.\) Отже, 1 – Б.

2. \(\sqrt{(-a)^2}=|-a|=a\ (a\gt 0).\) Отже, 2 – B.

3. \(5:\frac{1}{5a}=5\cdot \frac{5a}{1}=25a.\) Отже, 3 – Д.

4. \(25^{\log_5a}=5^{2\log_5a}=(5^{\log_5a})^2=a^2.\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про середню лінію трапеції, вміння застосовувати властивості трапеції до розв'язування планіметричних задач.

\(BC=7\) см, \(AD=25\) см, \(BD\ \perp\ AB.\)

1. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює:

Отже, 1 – Г.

2. \(BK\ \perp\ AD\), \(AK\) – проекція \(AB\) на пряму \(AD.\) Проведемо перпендикуляр з вершини \(C\) на пряму \(AD.\) \(CP\ \perp\ AD\) \(BCPK\) – прямокутник, \(BC=KP=7\) см.

Отже, 2 – А.

3. \(KD=25-9=16\) см.

За властивістю висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи:

Отже, 3 – Б.

4. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

1. \(CB\ \perp\ BA\) та \(CB\ \perp\ BB_1\), звідси \(CB\ \perp\ (AA_1B_1).\) Отже, 1 – Б.

2. \(CD_1\in (CC_1D_1)\);

Отже, 2 – A.

3. \(AC\) – похила до площини \((ABA_1)\), \(BC\ \perp\ (ABA_1)\), \(BA\) – проекція \(AC\) на \((ABA_1).\) \(\angle (AC,\ (ABA_1))=\angle CAB=45^\circ.\) \(ABCD\) – квадрат, \(AC\) – бісектриса \(\angle A.\) Отже, 3 – Д.

4. \(A_1B\in (AA_1B_1B)\), тому що точки \(A_1\) i \(B\) належать \((AA_1B).\) Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. \(100\text{%}-46\text{%}=54\text{%}\) – складає кількість дітей у страшій групі.

\(27:54\cdot 100=50\) дітей – всього у шаховому клубі.

\(50-27=23\) дітей – відвідує молодшу групу.

2. Для того, щоб при незмінності кількості дітей старшої групи (\(27\) дітей), відношення кількості відвідувачів молодшої групи до кількості дітей старшої було \(4 : 3\), необхідно:

\(27:3\cdot 4=36\) дітей молодшої групи. Отже, необхідно додатково набрати
\(36-23=13\) дітей.

Відповідь: 1. \(23.\)
                   2. \(13.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

\(BK=8\) см, \(\Delta KCL=\Delta LDM\), \(KC=LD=15\) см.

1. \(ABCD\) квадрат.

У \(\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

2. Нехай \(\angle CKL=\angle MLD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(\angle CLK=\angle LMD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\) \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=90^\circ\) (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

\(\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ\), \(\angle KLM=180^\circ-(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta})=90^\circ.\)

Отже, \(\Delta KLM\) – прямокутний, тому

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(144\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання властивостей геометричної прогресії, уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Якщо \(x-8\), \(3x\) та \(6x\) є послідовними членами геометричної прогресії, то \begin{gather*} b_1=x-8\\[7pt] b_2=3x\\[7pt] b_3=6x. \end{gather*}

За властивістю геометричної прогресії:

Ненульове значення \(x=-16.\)

Відповідь: \(-16.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

\(2\) год \(15\) хв \(=2\frac 14\) год.

Нехай власна швидкість телохода \(x\) км/год, тоді швидкість за течією \((x+2)\) км/год, проти течії – \((x-2)\) км/год. Оскільки відстань, яку пройшов теплохід за течією та проти течії, однакова, то складемо рівняння

Отже, власна швидкість теплохода \(34\) км/год.

Відповідь: \(34.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати тарілку – \(6\), чашку та блюдце \(8\cdot 12=96.\)

Якщо влаштовує варіант вибрати або тарілку, або чашку та блюдце, то, використовуючи комбінаторне правило додавання, отримаємо \(96+6=102\) способи купити подарунок.

Відповідь: \(102.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

Запишемо рівняння кола у вигляді:

\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус.
\((x^2-8x+16)+y^2-16+7=0\),
\((x-4)^2+y^2=9\), \(O(4; 0)\) – центр кола.

За формулою знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки \(D:\)

Знайдемо координати векторів \(\overline{AB}\) та \(\overline{AD}:\)

\(\overline{AB}(0-(-4); 3-(-3))\), \(\overline{AB}(4; 6)\), \(\overline{AD}(12; 0).\)

Знайдемо довжини векторів:

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, розв'язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної.

Задано функції \(f(x)=\frac 3x\) i \(g(x)=5-3x.\)

1. \(f(x)=\frac 3x\) обернена пропорційність, графік – гіпербола.

2. \(g(x)=5-3x\) – лінійна функція, графік – пряма.

4. Дотичні до графіка функції \(f(x)=\frac 3x\) паралельні прямій \(g(x)=5-3x.\)

Отже, \(f'(x_0)=k=-3.\)

Підставимо значення похідної в точці в похідну:

\(\frac{-3}{x_0^2}=-3\), \(x_0^2=1\), \(x_0=1\) або \(x_0=-1.\)

Відповідь: 3. \(f'(x)=-\frac{3}{x^2}.\)
                   4. \(x_0=1\) або \(x_0=-1.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=R\), \(SA=l\), \(AB\) – хорда.

1. \(\Delta SAB\) – переріз площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), яка проведена через вершину \(S\) та хорду \(AB.\) \(SA=SB=l\) – твірна конуса, отже, \(\Delta SAB\) – рівнобедрений.

2. Проведемо \(OK\ \perp\ AB.\) \(SO\ \perp\ (OAB)\), \(SK\) – похила, \(OK\) – проекція похилої \(SK\) на \((OAB).\) За теоремою про три перепендикуляри: якщо \(OK\ \perp\ AB\), то \(SK\ \perp AB.\) \(SK\cap OK.\)

За ознакою перпендикулрності прямої та площини \(AB\ \perp\ (SOK)\), тому \(\angle SKO=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – лінійний кут відповідного двограного між площинами \((SAB)\) i \((OAB).\)

3. У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] SO^2=SA^2-OA^2=l^2-R^2,\\[7pt] SO=\sqrt{l^2-R^2}. \end{gather*}

У \(\Delta SAB\ SA=SB=l\), \(SK\) – висота, медіана. \(AK=KB.\)

У \(\Delta SKA\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(2l+\frac{2}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\sqrt{R^2-l^2\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності, логарифмічні нерівності з параметрами та їхні системи.

1. Розв'яжемо методом інтервалів першу нерівність: $$ \frac{3(x+2)}{x}\le 0,\ \ x=-2,\ \ x\ne 0. $$

Отже, \(x\in [-2; 0).\)

2. Розв'яжемо другу нерівність:

1) При \(a\in (1; 2)\) функція \(y=\log_{(a/2)}x\) спадна, отже,

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3]. $$

2) При \(a\in (2; +\infty)\) логарифмічна функція зростаюча

\begin{gather*} |x-a+2|\ge a-1,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x-a+2\ge a-1,\\ x-a+2\le 1-a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge 2a-3,\\ x\le -1. \end{array}\right. \end{gather*}

$$ x\in (-\infty; -1]\cup [2a-3; +\infty). $$

Відповідь: при \(a\in (0; 1]\cup {2}\) немає розв'язків;

3. Розв'яжемо систему нерівностей:

при \(a\in (1; 1\mathord{,}5)\)

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3] $$

при \(a\in (1\mathord{,}5; 2)\)

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-0] $$

при \(a\in (2; +\infty)\)

$$ x\in [-2; -1] $$

при \(a= 1\mathord{,}5\)

$$ x\in [-1; -0\mathord{,}5)\cup (-0\mathord{,}5; 0). $$