ЗНО онлайн 2021 року з математики – демоваріант

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

\(40\) учасників семінару мають бути забезпечені двома пляшками води. Отже, потрібно \(80\) пляшок.

Упаковка містить \(12\) пляшок води. \(80:12=6\) (остача \(8\)). Тобто, потрібно \(6\) упаковок та \(8\) пляшок води.

Отже, найменша кількість упаковок, яких вистачить для всіх учасників семінару - \(7\) шт.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників.

Прямою трикутною призмою є призма, основою якої є трикутник, а бічні ребра перпендикулярні до площини основи. Це означає, що всі бічні грані - прямокутники.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} x^2-8x+15=0,\\[6pt] D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4,\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2\cdot 1}=5,\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2\cdot 1}=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

За властивістю суміжних кутів $$ \angle ABM+\angle CBA=180^\circ. $$

За властивістю паралелограма \(\angle B=\angle D=155^\circ\) як протилежні.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей та графіків функцій.

Правильна відповідь – Г\((4; -2).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Спростимо вираз за формулою "різниці квадратів":

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення буквеного виразу.

За формулою \(\mathrm{F}=1\mathord{,}8\cdot \mathrm{C} +32\) знаходимо значення, яке показуватиме термометр, якщо \(\mathrm{C}=50^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання властивостей степенів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I.   Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II.  Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему лінійних рівнянь методом додавання: \begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6, \end{array}\right.\\[0pt] \ \ \ \ \ \ \overline{16x=32,}\\[7pt] x=32:16,\ \ x=2. \end{gather*}

Підставимо значення \(x=2\) в друге рівняння: \begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6,\\[7pt] 12+4y=6,\\[7pt] 4y=6-12,\\[7pt] 4y=-6,\\[7pt] y=-6: 4,\\[7pt] y=-1\mathord{,}5. \end{gather*}

Розв'язок системи \((2; -1\mathord{,}5).\)
Обчислимо добуток \(x_0\cdot y_0=2\cdot (-1\mathord{,}5)=-3.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, правил знаходження похідних.

За таблицею похідних: \begin{gather*} (x^n)'=n\cdot x^{n-1},\\[6pt] (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x}. \end{gather*}

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Функція \(y=10^x\) – зростаюча, тому \(x+1\gt 2\), \(x\gt -2-1\), \(x\gt -3.\)

$$ x\in (-3; +\infty). $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формули площі поверхні циліндра.

Площа бічної поверхні $$S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=C\cdot H$$ де \(C\) – довжина кола його основи, \(H\) – висота циліндра.

$$H=\frac{S_\text{бічної}}{C}=\frac{24\mathbf{\pi}}{4\mathbf{\pi}}=6.$$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.

\(ABCD\) – ромб, \(BD=2\) м, \(\angle D=60^\circ.\)

\(\Delta BMD\ (\angle M=90^\circ)\), \(BD=2\) м, \(\angle MDB=30^\circ\) (діагональ ромба \(BD\) – бісектриса
кута \(D\)).

\(MB=\frac 12BD=\frac 12\cdot 2=1\) м.

За властивістю катета, протилеглого до кута \(30^\circ.\)

Відповідь, найближча до точної \(\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7\ \textit{м}^2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та тригoнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій та їх графіків.

1. Графік функції є фрагментом графіка функції \(y=1-x.\) Отже, 1 – Б.

2. Графік функції двічі перетинає графік функції \(y=2^x.\) Отже, 2 – А.

3. Функція зростає на проміжку \([0; 3].\) Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа, знання властивостей модуля числа.

1. \(a^2=(-0\mathord{,}6)^2=0\mathord{,}36\) належить проміжку \([0; 0\mathord{,}5].\) Отже, 1 – B.

2. \(|a|=|-0\mathord{,}6|=0\mathord{,}6=\frac 35.\) Отже, 2 – A.

3. \(\log_2(4+a)=\log_2(4-0\mathord{,}6)=\log_2 3\mathord{,}4\),

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.

1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.

2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – A.

3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, аксіом стереометрії.

1. Точки \(B, D\in (ABC)\rightarrow BD\in (ABC).\) Отже, 1 – Б.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на пропорційну залежність, відсоткові розрахунки.

1. \(800\) г борошна – \(16\mathord{,}56\) грн.
\(1\) кг борошна – ? грн.
Складемо пропорцію: $$ \frac{800}{1000}=\frac{16\mathord{,}56}{x} $$ (\(x\) грн – коштує \(1\) кг борошна).

2. \(1\) кг борошна фабрики "Колос" дорожчий за \(1\) кг борошна фабрики "Хлібна".
\(20\mathord{,}7-18=2\mathord{,}7\) грн.
\(2\mathord{,}7\) грн від \(18\) грн становить: $$ \frac{2\mathord{,}7}{18}\cdot 100\text{%}=15\text{%}. $$

Відповідь: 1. \(20\mathord{,}7.\)
                   2. \(15.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння знаходити довжину дуги кола.

1. За властивістю вписаного кута \(\angle ACB=\frac 12\angle AOB.\)
\(\angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 15^\circ=30^\circ.\) Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(30^\circ.\)

2. \(l_{AB}=8\mathbf{\pi}\) см. За формулою довжини дуги $$l=\frac{\mathbf{\pi}R}{180^\circ}\cdot n^\circ,$$ де \(R\) – радіус кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Відповідь: 1. \(30.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Вектори і координати у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора, його довжину, координати середини відрізка.

1. Точка \(C\) є серединою відрізка \(AB.\) \begin{gather*} x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+17}{2}=5,\\[6pt] y_C=\frac{4+(-4)}{2}=0,\\[6pt] z_C=\frac{-3+3}{2}=0.\\[6pt] C(5; 0; 0). \end{gather*}

Відповідь: 1. \(5.\)
                   2. \(13.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

1. За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1). \end{gather*} Маємо: \begin{gather*} a_2=a_1+d,\\[7pt] a_4=a_1+3d. \end{gather*} Віднімемо від другого рівняння перше: \begin{gather*} a_4-a_2=2d. \end{gather*} Підставимо відомі значення \((a_2=1\), \(a_4=9):\) \begin{gather*} 9-1=2d,\\[7pt] 2d=8,\\[7pt] d=4. \end{gather*}

2. За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів

Відповідь: 1. \(4.\)
                   2. \(700.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

У шухляді олівці та ручки.

Нехай ручок було \(x\) штук, тоді олівців: \(x-12\) шт. Всього ручок та олівців було $$ x+x-12=2x-12. $$

Відомо, що ймовірність вибрати навмання одну ручку \(P(A)=\frac 58.\) Тобто відношення кількості ручок до кількості всіх елементів дорівнює \(\frac 58.\)

\begin{gather*} \frac{x}{2x-12}=\frac 58,\ \ 5(2x-12)=x\cdot 8,\\[6pt] 10x-60=8x,\ \ 2x=60,\ \ x=30. \end{gather*}

Олівців лежить у шухляді \(30-12=18\) шт.

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на рух.

Нехай швидкість велосипедиста \(x\) км/год, тоді мотоцикліста \((x+48)\) км/год.

На дорогу з міста \(A\) до міста \(B\) велосипедист витратив \(2\) години. Отже, відстань з \(A\) до \(B\) становить \(2x\) км.

Мотоцикліст виїхав на \(1\mathord{,}5\) год пізніше, але прибув одночасно з велосипедистом. Отже, \(0\mathord{,}5(x+48)\) км становить відстань від \(A\) до \(B.\)

Відстань між містами \(A\) та \(B\)    \(2\cdot 16=32\) км.

Відповідь: \(32.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: \(-0\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля

У відповідь запишемо суму розв'язків: \(0\mathord{,}5+2=2\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(2\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість варіантів вибору в місті з \(10\) об'єктів \(4\) знаходимо за формулою сполук: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. $$ У кожному з трьох міст кількість варіантів однакова. Отже, всього у Ганни варіантів вибрати туристичні об'єкти

Відповідь: \(630.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, використовуючи елементарні перетворення графіків, знаходити площу фігури, обмеженої лініями, застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

1.
\(y(0)=\sqrt{0}-2=-2\),
\(y(9)=\sqrt{9}-2=3-2=1\),
\(y(x)=0\), \(\sqrt{x}-2=0\), \(\sqrt{x}=2\), \(x=4.\)

2. Побудуємо графік функції, використовуючи елементарне перетворення графіка функції \(y=\sqrt{x}\) на \(2\) одиниці вниз вздовж осі \(Oy.\)

3. Точка перетину графіка з віссю \(Ox\ (4; 0)\), з віссю \(Oy\ (0; -2).\)

4. $$ F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x+C $$ – загальний вигляд первісних функції, де \(C\) – будь-яке число.

Наприклад, при \(C=0\) первісна має вигляд $$ F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x. $$

5.

Оскільки графік функції лежить нижче від осі \(Ox\), то площу фігури знаходимо за формулою:

6. Обчислимо площу фігури:

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей правильної піраміди, кута між прямою та площиною, вміння знаходити об’єм піраміди.

\(SABCD\) – правильна піраміда. Отже, \(ABCD\) – квадрат, основа висоти піраміди \(SO\) точка \(O\) – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

1. \(SO\perp (ABC)\), \(SA\) – похила до площини, \(AO\) – проекція \(SA\) на \((ABC).\) Отже, \(\angle (SA, (ABC))=\angle SAO=\mathbf{\beta}.\)

2. \(\Delta SOA (\angle O=90^\circ)\ \angle A=\mathbf{\beta}\), \(SA=12.\)

3. \(\Delta SOA (\angle )=90^\circ)\), \(AO=SA\cdot \cos\mathbf{\beta}=12\cos\mathbf{\beta}.\)

Відповідь: 2. \(12\sin\mathbf{\beta}.\)
                   3. \(1152\cos^2\mathbf{\beta}\sin\mathbf{\beta}.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей правильної піраміди, кута між площинами, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.

1. \(\Delta AOB\) побудуємо \(OK\perp AB.\)

За теоремою про три перпендикуляри похила \(SK\perp AB.\) Отже, \((SKO)\perp AB.\) \(\angle SKO=\mathbf{\gamma}\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((BSA)\) i \((ABC)\), \(AO\) – проекція \(SA\) на \((ABC)\), \(KO\) – прекція \(SK\) на \((ABC).\)

2. \(\Delta ABC (\angle B=90^\circ)\ AB=BC\), \(AC=24\cos\mathbf{\beta}.\)

За теоремою Піфагора

Відповідь: \(\mathrm{arctg}(\sqrt{2}\operatorname{tg}\ \mathbf{\beta}).\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, доводити нерівності.

\((x-y)^2\ge 0\) при будь-яких значеннях \(x\) та \(y.\)

Виділили квадрат двочлена з виразу \((x^2+xy+y^2)\), отримали суму двох невід'ємних виразів, які одночасно не дорівнюють нулю.

Отже, вираз \(x^2+xy+y^2\gt 0\) при будь-яких значеннях \(x\) та \(y.\)

Якщо \((x-y)^2\ge 0\) та \(x^2+xy+y^2\gt 0\), то і їхній добуток \((x-y)^2(x^2+xy+y^2)\ge 0\), що й вимагалося довести.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, показникові рівняння з параметром, раціональні нерівності.

1. Розв'яжемо рівняння: \begin{gather*} \sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0,\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8}{x+3}-2=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2(x+3)}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2x-6}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{2-x}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=2,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \end{gather*} Отже, \(x=2.\)

2. Розв'яжемо в залежності від параметра \(a\)

Нерівність \(\frac{2-x}{x+3}\ge 0\) розв'яжемо методом інтервалів:
$$ \frac{-(x-2)}{x+3}\ge 0,\ \ \frac{x-2}{x+3}\le 0, $$

$$ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 5^x=a,\\ x=2, \end{array}\right. \\ x\in (-3; 2]. \end{array}\right. $$ \(x_1=2\) – розв'язок рівняння при будь-якому значенні \(a.\)

Рівняння \(5^x=-a\) має розв'язки при \(a\lt 0.\) \(x_2=\log_5(-a)\) буде коренем рівняння при \(-3\lt x_2\le 2.\)
\(-3\lt x_2\le 2.\)

\(x_1=x_2\), якщо \(5^2=-a\), \(a=-25.\)