ЗНО онлайн 2020 року з математики – пробний тест

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити периметр.

$$AB : BC = 2 : 5.$$ Нехай \begin{gather*} AB=CD=2x\ \text{см},\\[7pt] BC=AD=5x\ \text{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC). \end{gather*} Отже, \begin{gather*} 2(2x+5x)=28\\[7pt] 14x=28\\[7pt] x=2. \end{gather*} Більша сторона прямокутника $$BC=5x=5\cdot 2=10\ \text{см}.$$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(6.\) \begin{gather*} \frac x2+\frac x3=2\ |\cdot 6\\[6pt] 3x+2x=12\\[7pt] 5x=12\\[7pt] x=12:5\\[7pt] x=2\mathord{,}4. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми.

У прямокутному паралелепіпеді бічні ребра є висотами. Отже, \begin{gather*} 4h=120,\\[7pt] h=120:4,\\[7pt] h=30\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

$$ a^n:a^m=a^{n-m}. $$ Отже, $$ \frac{3x^2y}{9xy^3}=\frac{1\cdot x\cdot 1}{3\cdot 1\cdot y^2}=\frac{x}{3y^2}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

За умовою, абсциса точки від'ємна, а ордината – додатна. З наведених варіантів відповідей задовольняє Б і Г. Після перевірки за графіком встановлюємо, що \((-1; 2)\) належить графіку.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати степеневі рівняння.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площі поверхні циліндра.

Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник.
Площа бічної поверхні \(S=lh.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події.

Ймовірність випадкової події знаходимо за формулою: $$ P=\frac mn, $$ де \(m\) – кількість сприятливих результатів події, \(n\) – кількість можливих результатів.

Отже, \(n=12\) – всього видів морозива, \(m=8\) – видів фруктового. $$ P=\frac{8}{12}=\frac 23. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Використаємо основну властивість пропорції: \begin{gather*} \frac ab=\frac cd\ =\gt\ a\cdot d=b\cdot c\\[6pt] E=\frac{mv^2}{2}\\[6pt] 2E=mv^2\\[6pt] m=\frac{2E}{v^2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I – неправильне твердження. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні (основи), а дві інші – ні (бічні).

IІ – правильне твердження. Основи трапеції – паралельні відрізки, бічна сторона – січна. Кути, прилеглі до бічної сторони – внутрішні односторонні кути, і за властивістю паралельних прямих їх сума дорівнює \(180^\circ.\)

III – неправильне твердження. Наведемо контрприклад. У прямокутній трапеції сума протилежних кутів не дорівнює \(180^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей показникової функції.

\(y=3^x\) – зростаюча, бо \(y=a^x\), \(a=3\gt 1.\)
Графік проходить через точку \((0; 1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічн рівняння.

\begin{gather*} 4+\log_{\frac 12}x=0,\\[6pt] \log_{\frac 12}x=-4. \end{gather*} За означенням логарифма $$ x=\left(\frac 12\right)^{-4}=2^4=16. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

За властивістю пропорції $$ \frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac 25,\ \ \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}. $$ Отже, \(\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac 25.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати систему лінійних нерівностей.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.

Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.

\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей тригонометричної функції.

$$ y=2\cos x+3. $$ За властивістю функції \(y=\cos x\), \begin{gather*} -1\le\cos x\le 1\ |\cdot 2,\\[7pt] -2\le 2\cos x\le 2,\\[7pt] -2+3\le 2\cos x+3\le 2+3,\\[7pt] 1\le 2\cos x+3\le 5. \end{gather*} Отже, \(E(y)=[1; 5].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

\(F(x)=2x^3-1.\)

За означенням первісної \(F'(x)=f(x).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, розв'язувати задачі практичного змісту.

У \(\Delta BOC\ (\angle O=90^\circ)\ OB=OC\) як радіуси.
\(BC=6\) м. За теоремою Піфагора

Ширина смуги

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Симетричний відносно осі y. Отже, 1 – A.

2.

3.

Симетричний відносно початку координат. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа, використовувати властивості модуля до розв’язування задач.

З рисунку визначаємо, що \(a\approx 0\mathord{,}8.\)

1. \(-2a\approx -2\cdot 0\mathord{,}8=-1\mathord{,}6.\)
Значенню \(-1\mathord{,}6\) на рисунку відповідає точка \(K.\)
Отже, 1 – Г.

2. \(3^a\approx 3^{0\mathord{,}8}\),
\(3^{0\mathord{,}5}\lt 3^{0\mathord{,}8}\lt 3^1\),
\(\sqrt{3}\lt 3^{0\mathord{,}8}\lt 3\),
\(\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7.\)
Отже, нас цікавить точка яка належить проміжку \((1\mathord{,}7; 3.)\)
На рисунку даному проміжку належить точка \(P.\)
Отже, 2 – B.

3. \(|a-1|\approx |0\mathord{,}8-1|=|-0\mathord{,}2|=0\mathord{,}2.\)
Значенню \(0\mathord{,}2\) на рисунку відповідає точка точка \(M.\)
Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)

1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)

За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.

1. Точка \(C_1\) симетрична точці \(A_1\) відносно площини \((BB_1D_1).\) Отже, 1 – Д.

2. \(A_1D_1\in (A_1B_1C_1)\), \(A_1D_1\ ||\ AD\), звідси \(AD\ ||\ (A_1B_1C_1).\) Отже, 2 – B.

3. \((BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.\) Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

1. Нехай вартість оренди одного велосипеда для дитини \(x\) грн, тоді вартість оренди одного велосипеда для дорослого \(1\mathord{,}5x\) грн. Отже, \begin{gather*} 2\cdot 1\mathord{,}5x+x=1200,\\[7pt] 3x+x=1200,\\[7pt] 4x=1200,\\[7pt] x=300. \end{gather*}

2. Вартість оренди одного шолома та однієї пари рукавичок \(15\text{%}\) від \(300\) грн.
Тобто, \(300\cdot 0\mathord{,}15=45\) грн.

Вартість оренди трьох шоломів та трьох пар рукавичок дорівнює
\(3\cdot 45=135\) грн.

Відповідь: 1. \(300.\)
                   2. \(135.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.

2. За формулою \(S=ah\), де \(a\) – сторона паралелограма, \(h\) – висота, проведена до сторони \(a\), знаходимо площу

Відповідь: 1. \(20.\)
                   2. \(480.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію.

1. Використовуємо формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) та властивість \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\) \begin{gather*} b_2\cdot b_4=36,\\[7pt] b_1q\cdot b_1q^3=36,\\[7pt] b_1^2q^4=36,\\[7pt] (b_1q^2)^2=36,\ \ b_3^2=36. \end{gather*} Оскільки всі члени прогресії додатні, то \(b_3=6.\)

2. \begin{gather*} b_1=2b_2,\ \ b_2=b_1\cdot \frac 12\rightarrow q=\frac 12,\\[6pt] b_3=b_1\cdot q^2,\ \ 6=b_1\cdot \frac 14,\ \ b_1=24. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(24.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Знаходимо середнє арифметичне за формулою:

Відповідь: \(15.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, застосовувати системи рівнянь до розв’язування текстових задач.

Нехай тривалість одного рекламного ролика \(x\) хв., а одного трейлера – \(y\) хв. Тоді,

Трейлер триває \(2\mathord{,}5\) хв \(=150\) с.

Відповідь: \(150.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.

Площа основи конуса – \(S_\text{основи}=\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=100\), \(R=10\) см. \(OB=10\) см.

Об'єм конуса знаходимо за формулою:

\(V=\frac 13S_\text{основи}H,\) де \(S_\text{основи}=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(H=AO.\)

\(\frac 13\cdot 100\mathbf{\pi}\cdot H=800\mathbf{\pi}\), \(H=24\) см.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=26\) см – твірна конуса.

Відповідь: \(26.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Оскільки спочатку інформацію промовляють українською, то таких варіантів – один.

Далі \(4\) елементи: англійська, німецька, російська, польська переставляються. Отже, за формулою $$ P_n=n! $$ знаходимо $$ P_4=4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24. $$

За правилом добутку знаходимо загальнку кількість можливих варіантів: $$ 1\cdot 24=24. $$

Відповідь: \(24.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.

Коло задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\)

Запишемо у стандартному вигляді
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус
\((x-3)^2+y^2+2y+1=16+1\)
\((x-3)^2+(y+1)^2=17.\)
\((3; -1)\) – центр кола, \(R=\sqrt{17}.\)

Точка \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Центр кола \(O(3; -1)\) є серединою відрізка \(AB\) $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$

Отже, \(\Delta ABC\) – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою \(AB=2\sqrt{17}.\)

Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.

Отже, \(S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC\), \(OC=R=\sqrt{17}.\)

\(S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.\)

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та логарифмічної функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(f(x)=3-\frac x4\)

2. \(g(x)=\log_2x\)

3. Точка перетину графіків \(A(4; 2).\)

4. Розв'язок нерівності \(f(x)\ge g(x)\) знаходимо за рисунком.

Тобто знаходимо такі значення \(x\), при яких графік функції \(f(x)\) лежить вище графіка \(g(x).\) Це проміжок \(x\in (0; 4].\)

Відповідь: 3. \((4; 2).\)
                   4. \(x\in (0; 4].\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

1. \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна трикутна призма, основа – \(\Delta ABC\) – рівносторонній
\(BK\perp AC\) – висота \(\Delta ABC.\)
\(CC_1=H\) – висота призми.
Кутом між \(BC_1\) та \((ABC)\) є кут між прямою \(C_1B\) та її проекцією \(BC.\) Отже, \(\angle C_1BC=\mathbf{\alpha}.\)

\(KC_1\in (ACC_1)\), \(BC_1\in (BCC_1)\), звідси \(\Delta BKC_1\) – заданий переріз.

2. За умовою \(BK\perp AC\). Оскільки \(CC_1\perp (ABC)\), то за теоремою про три перпендикуляри \(C_1K\perp BK.\) Отже, \(\Delta C_1KB\) – прямокутний з \(\angle K=90^\circ.\)

3. \(\Delta BCC_1\ (\angle C=90^\circ)\), \(BC=H\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}.\)

Оскільки \(\Delta ABC\) - рівносторонній, то висота \(BK\) є медіаною.

Відповідь: \(\frac{\sqrt{3}H^2}{8}\sqrt{4+\operatorname{ctg}^2\mathbf{\alpha}}\cdot \operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

1. Розв'яжемо заміною:
\(x-\sqrt{x}-2=0,\) нехай \(\sqrt{x}=t\ge 0\)
ОДЗ: \(x\ge 0.\)
\(t^2-t-2=0.\)

За теоремою, оберненою до теореми Вієта $$ \left[\begin{array}{l} t_1=2,\\ t_2=-1\ \notin t\ge 0. \end{array}\right. $$ Отже, \(\sqrt{x}=2\), \(x=4.\)

2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень параметра: \begin{gather*} \frac{(x-\sqrt{x}-2)(a^2-16)}{2^x-a}=0. \end{gather*} ОДЗ:\( \left\{\begin{array}{l} x\ge 0,\\ 2^x\ne a. \end{array}\right.\)

Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю. \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x-\sqrt{x}-2=0,\ \ (1)\\ a^2-16=0,\ \ \ (2) \end{array}\right. \\ x\ge 0,\\ 2^x\ne a. \end{array}\right. \end{gather*}

(1) \(x-\sqrt{x}-2=0\), \(x=4.\)

Підставимо в ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} 4\ge 0,\\ 2^4\ne a\ \ a\ne 16. \end{array}\right. $$ якщо \(a\in (-\infty; 16)\cup (16; +\infty)\ x=4\)
якщо \(a=16\) немає коренів.

(2) \(a=4\)

\(a=-4\)