ЗНО онлайн 2020 року з математики – основна сесія

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

\(\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\) – суміжний до кута \(120^\circ.\)

\(\angle ACB=\mathbf{\alpha}\) – вертикальні кути.

Сума кутів \(\Delta ABC\) дорівнює \(180^\circ\), тому $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

\(1\) хвилина = \(60\) секунд.

За \(4\) секунди машина робить \(3\) копії.

Отже, \(60 : 4 \cdot 3 = 45\) копій.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(3.\)

\(5x+8=3\), \(5x=-5\), \(x=-1.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Довжина всіх ребер куба \(72\) см.

Усього в куба \(12\) ребер, тому довжина ребра дорівнює
\(72 : 12 = 6\) см.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Нуль функції – значення \(x\), при якому \(y=0.\) На рисунку – це точка перетину графіка з віссю \(x.\) Отже, \(x=1.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Піднятись на гору можна \(1\) з \(5\) варіантів, а спуститися – \(1\) з \(4\) (спускатися треба іншою).

Усього варіантів вибору маршруту \(5 \cdot 4 = 20\) (за правилом добутку).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

На рисунку Б зображено ескіз графіка показникової функції \(y=(0\mathord{,}5)^x.\)

Функція спадна, проходить через точку \((0; 1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\), \(OB=r\), \(AB=l\), \(\angle A=60^\circ.\) $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкладемо вираз \((x+y)^2-9x^2\) на множники за формулою "різниця квадратів":

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Якщо графік функції \(y=f(x)\) паралельно перенесли вздовж осі \(y\) на \(3\) одиниці вниз, то отримаємо \(y=f(x)-3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання основних співвідношень між тригонометричними функціями одного аргументу.

Спростимо вираз

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжемо систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 6\gt 2x,\\ 7x-28\le 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ 7x\le 28, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ x\le 4. \end{array}\right.\\[7pt] x\in (-\infty; 3). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, порівнювати дійсні числа.

За означенням логарифма $$ x=64^{\frac 12}=\sqrt{64}=8 $$ \(6\lt 8\lt 32\) – проміжок, якому належить корінь.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишемо подвійною нерівністю: \begin{gather*} \sqrt{8}\lt x\lt \sqrt{81}\\[7pt] \sqrt{8}\lt \sqrt{9}=3,\ \ \sqrt{81}=9\\[7pt] 3\le x\lt 9 \end{gather*} \(x=3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) – шість цілих чисел.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжину кола та його дуги.

Довжина кола \(C=2\mathbf{\pi}R\), \(R=27\) м. Отже, довжина всього кола $$ C=2\mathbf{\pi}\cdot 27=54\mathbf{\pi}\ \textit{м}. $$

Оскільки до каркаса прикрілено \(18\) кабінок, то довжина дуги \(AB\) дорівнює

Найближча до точної відповідь Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної функції.

Функція \(F(x)=5x^4-1\) є первісною функції \(f(x).\)

Формула, яка задає всі первісні функції \(f(x)\) $$ F(x)=5x^4+C, $$ де \(C\) – будь-яке число.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=\sqrt{x-4}\) не визначена в точці \(x=1.\)

Отже, 1 – Б.

2. \(y=x+4\) набуває додатного значення при \(x=-3.\) $$y(-3)=-3+4=1.$$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=x^3\) – непарна (симетричний графік відносно початку координат). $$y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x).$$

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв’язування задач, виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних виразів.

1. \(a^0=1.\)
Отже, 1 – Г.

2. \(|a|+a=-a+a=0.\)

За означенням модуля $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \ \text{якщо}\ \ a\gt 0\\ 0,\ \ \text{якщо}\ \ a=0\\ -a,\ \ \text{якщо}\ \ a\lt 0 \end{array}\right. $$ Отже, 2 – A.

3. \(a\log_22^a=a^2\log_22=a^2.\)
Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1.

\(\angle A=90^\circ\), \(AC\) бісектриса, \(\angle BAC=45^\circ.\)

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((\angle B=90^\circ)\), \(AB=BC=6\) см.
Отже, 1 – A.

2. \(CH\perp AD\), \(HD\) – проекція \(CD\) на \(AD.\)

У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)\), \(CH=6\) см, \(HD=8\) см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.

3. \(ABCH\) – квадрат.

\(BC=AH=6\) см, \(AD=AH+HD=14\) см.

Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні та об’єму циліндра, циліндра та його елементів.

1. Твірна дорівнює \(4.\)

Отже, 1 – В.

2. \(S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=2\mathbf{\pi}\cdot 2\cdot 6=24\mathbf{\pi}.\)

Отже, 2 – Г.

3. \(ABCD\) – прямокутник, обертається навколо сторони \(6.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. За \(6\) діб норма пробігу \(6\cdot 50=300\) км. Автомобіль проїхав \(420\) км. Перевищення норми пробігу складає $$ 420-300=120\ \textit{км}. $$ За понаднормовий пробіг додаткова плата становитиме $$ P=120\cdot 6=720\ \textit{грн}. $$

2. За \(6\) діб основна плата за оренду становитиме $$ 6\cdot 400=2400\ \textit{грн}. $$ Сума \(P=720\) від \(2400\) становитиме $$ \frac{720}{2400}\cdot 100\text{%}=30\text{%}. $$

Відповідь: 1. \(720.\)
                   2. \(30.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, теореми Піфагора, знання формули для обчислення площі трикутника.

1. \(O_2C=20\) см, \(O_2K\perp CD\), \(O_2K=12\) см.

За теоремою Піфагора \begin{gather*} \Delta O_2KC\ (\angle K=90^\circ),\\[7pt] O_2C^2=O_2K^2+CK^2,\\[7pt] CK=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \textit{см},\\[7pt] O_1H=CK=16\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(S_{DO_1C}=\frac 12CD\cdot O_1K\),

Відповідь: 1. \(16.\)
                   2. \(768.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

1. \(a_2-a_5=7\mathord{,}8\); \(a_2=a_1+d\); \(a_5=a_1+4d\)
\(a_1-a_5=a_1+d-(a_1+4d)=a_1+d-a_1-4d=-3d=7\mathord{,}8\)
\(d=7\mathord{,}8:(-3)=-2\mathord{,}6.\)

2. \(a_3=a_1+2d\)
\(-1\mathord{,}8=a_1+2\cdot (-2\mathord{,}6)\)
\(-1\mathord{,}8=a_1-5\mathord{,}2\)
\(a_1=-1\mathord{,}8+5\mathord{,}2=3\mathord{,}4\).

Відповідь: 1. \(-2\mathord{,}6.\)
                   2. \(3\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

Нехай власна швидкість човна \(x\) км/год.

Відстань проти течії човен подолав за час, вдвічі менший, ніж за течією. $$ \frac{48}{x+2\mathord{,}5}=\frac{18\cdot 2}{x-2\mathord{,}5}. $$ Поділимо обидві частини рівняння на \(12.\) \begin{gather*} \frac{4}{x+2\mathord{,}5}=\frac{3}{x-2\mathord{,}5}\\[6pt] 4(x-2\mathord{,}5)=3(x+2\mathord{,}5)\\[7pt] 4x-10=3x+7\mathord{,}5\\[7pt] x=17\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(17\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Середню температуру знаходимо як середнє арифметичне значень

Відповідь: \(15\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(EABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(O=AB\cap BD\),

\(EO\) – висота, \(EO=12\) см. \(EK\perp AB\) – апофема.

У \(\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(400.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.

Серед \(24\) студентів першої групи проживають у гуртожитку \(6\) студентів.

Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$

Серед \(28\) студентів другої групи у гуртожитку проживають \(14\) студентів.

Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$

За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}125.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє знання властивості рівних векторів, координат вектора; уміння складати рівняння кола, знаходити координати середини відрізка.

Коло задано рівнянням $$ x^2-4x+y^2+12y=9. $$

Запишемо в стандартному вигляді:

Точка \(O(2; -6)\) – центр кола, \(R=7.\)

Нехай точка \(A(x_\text{A}; y_\text{A})\), \(\overrightarrow{OA}(x_\text{A}-2; y_\text{A}+6)\), \(\overrightarrow{OA}(-1; 2).\)

Отже,

Точка \(O\) середина відрізка \(AC.\)

За формулами $$ x=\frac{x_1+x_2}{2},\ \ y=\frac{y_1+y_2}{2} $$ знаходимо координати точки \(C:\)

Відповідь: \(-24.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та тригонометричної функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

3. Точка \(A\left(\frac{\mathbf{\pi}}{2};1\right)\) – спільна для обох графіків.

4. \(f(x)=g(x)\) на інтервалі \((-\infty; +\infty)\) $$\sin x=1,\ \ x=\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z.$$

Відповідь: 3. \(\left(\frac{\mathbf{\pi}}{2};1\right).\)
                   4. \(\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z.\)

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

1. Нехай \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямокутний паралелепіпед.

\(ABCD\) – прямокутник, бічні ребра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) – висоти паралелепіпеда.

Через пряму \(AD\) та точку \(K\in B_1C_1\) можна провести площину \(\mathbf{\gamma}\) та тільки одну.

За властивістю паралельних площин \((ABC)\ ||\ (A_1B_1C_1)\), третя площина \(\mathbf{\gamma}\) перетинає дані площини по паралельних прямих.

\(AD\ ||\ B_1C_1\) точка \(K\in B_1C_1\rightarrow AB_1C_1D\) – даний переріз.

2. \(AB_1C_1D\) – паралелограм, оскільки \(AD\ ||\ B_1C_1\), \(AD=B_1C_1\), \(DC\perp AD\) (\(ABCD\) – прямокутник), \(CC_1 \perp (ABC).\) За теоремою про три перпендикуляри похила \(C_1D\perp AD.\)
Отже, \(AB_1C_1D\) – прямокутник.

3. \(BB_1\perp (ABC)\), \(B_1D\) – похила, \(BD\) – проєкція похилої на \((ABC).\) За означенням кута між прямою та площиною, \(\angle B_1DB=\angle(B_1D\), \((ABC))=\mathbf{\alpha}.\) \(CC_1D_1D\) – квадрат, \(CC_1=CD=18\), за теоремою Піфагора у \(\Delta CC_1D\ (\angle C=90^\circ)\ C_1D=18\sqrt{2}.\)

У \(\Delta B_1BD\ (\angle B=90^\circ)\ BB_1=18\), \(\angle D=\mathbf{\alpha}\), \(BD=BB_1\cdot \operatorname{ctg}\mathbf{\alpha}=18\operatorname{ctg}\mathbf{\alpha}.\)

У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BD^2=AB^2+AD^2\), \(AD=\sqrt{324\operatorname{ctg}^2\mathbf{\alpha}-324}=18\sqrt{\operatorname{ctg}^2\mathbf{\alpha}-1}.\)

\(S_{AB_1C_1D}=AD\cdot DC_1=18\sqrt{\operatorname{ctg}^2-1}\cdot 18\sqrt{2}=324\sqrt{2}\sqrt{\operatorname{ctg}\mathbf{\alpha}-1}.\)

Відповідь: \(324\sqrt{2}\sqrt{\operatorname{ctg}\mathbf{\alpha}-1}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

1. Розв'яжемо рівняння

2. Розв'яжемо рівняння \((5^{2x+1}-25^x-20)(\sqrt{ax-6}-\sqrt{a-2x})=0\text{:}\) \begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 5^{2x+1}-25^x=20=0\ \ (1),\\ \sqrt{ax-6}-\sqrt{a-2x}=0\ \ (2). \end{array}\right. \\[7pt] \text{ОДЗ:} \left\{\begin{array}{l} ax-6\ge 0,\\ a-2x\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\((1)\ 5^{2x+1}-25^x-20=0\), \(x_1=0\mathord{,}5.\)

Перевіримо, при яких значеннях \(a\ \ x_1\) буде коренем рівняння (підставимо в ОДЗ): \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} a\cdot 0\mathord{,}5 -6 \ge 0,\\ a-2\cdot 0\mathord{,}5 \ge 0; \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 0\mathord{,}5a\ge 6,\\ a\ge 1; \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\ge 12,\\ a\ge 1. \end{array}\right. \end{gather*} якщо \(a\in [12; +\infty)\ x_1=0\mathord{,}5.\)

\((2)\ \sqrt{ax-6}-\sqrt{a-2x}=0\), \(\sqrt{ax-6}=\sqrt{a-2x}\),
\(ax-6=a-2x\), \(ax+2x=a+6\), \(x(a+2)=a+6\),
якщо \(a=-2\), \(x\cdot 0 = 4\) не має коренів,

якщо \(a\ne -2\), \(x_2=\frac{a+6}{a+2}.\)

Перевіримо, при яких значеннях \(a\ \ x_2\) буде коренем рівняння:

Розв'яжемо методом інтервалів:

\(x_2=\frac{a+6}{a+2}\) – корінь рівняння при \(a\in [-2\sqrt{3}-2)\cup [2\sqrt{3}; +\infty).\)

Запишемо загальну відповідь:

Відповідь: якщо \(a\in (-\infty; -2\sqrt{3})\cup [-2; 2\sqrt{3})\) рівняння не має коренів;

                   якщо \(a\in [-2\sqrt{3}; -2)\cup [2\sqrt{3}; 12)\ \ x=\frac{a+6}{a+2}\);
                   якщо \(a\in [12; +\infty)\ \ x_1=0\mathord{,}5;\ \ x-2=\frac{a+6}{a+2}.\)