ЗНО онлайн 2021 року з математики – основна сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати дані, подані графіком або таблицею.

Температура двигуна була не більшою за 50 °C протягом 3 хвилин.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеню.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

$$\begin{array}{c}1-5x=0\\ -5x=-1\\ x=\frac{-1}{-5}\\ x=\frac{1}{5}\end{array}$$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми кутів чотирикутника.

Сума кутів будь-якого чотирикутника 360°. Сума трьох кутів – 280°, тому четвертий кут: $${360}^{\circ }-{280}^{\circ }={80}^{\circ }$$

Якщо гострі кути паралелограма $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }C={80}^{\circ }$, то $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D={180}^{\circ }-{80}^{\circ }={100}^{\circ }$.

Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює 180° (як внутрішні односторонні при паралельних прямих і січної).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Дано: лінійна функція $y=-2x+3$.

$k=-2$, отже, функція спадна
$b=3$, отже, точка перетину графіка з віссю $Oy$ (0; 3).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Атмосферний тиск $p=760-\frac{10h}{100}$.

На висоті $h$ метрів атмосферний тиск знижується на 10 мм рт. ст. кожні 100 м.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак ромба.

І. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°. Ця властивість у будь-якому ромбі не виконується. Отже, твердження неправильне.

ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба). Правильне твердження.

ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні (означення ромба). Правильне твердження.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Розв'яжемо ірраціональне рівняння: $$\sqrt{x+12}=3$$ піднесемо обидві частини рівняння до квадрату.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження первісної степеневої функції.

Знаходимо первісну степеневої функції:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником.

Використовуємо властивості степенів: $$a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n;a^n:b^n=a^{n-m}.$$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція $y={\log }_{0,9}(3x)$ – спадна, отже, знак нерівності змінюємо на протилежний. Враховуючи ОДЗ, отримаємо: $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{ll}3x>0& \\ 3x<0,9^2& \end{array}\{\begin{array}{ll}x>0& \\ 3x<0,81& \end{array}\{\begin{array}{ll}x>0& \\ x<0,27& \end{array}\end{array}$$

$x\in (0;0,27)$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Формула синуса подвійного кута $\sin 2x=2\sin x\cos x$ є в довідкових матеріалах.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$EABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат зі стороною 6 см.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

Катет $KM$ протилеглий куту ${30}^{\circ }$ дорівнює половині гіпотенузи $KN$. $$5,5\le 5,6<6$$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність) функції.

1. $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=4,(3;4)$ – центр кола, $R=2$.

Графік функції не має спільних точок з колом. Отже, 1 - Г.

2.

Найменше значення функції на проміжку $[1;3]$ дорівнює $2$. Отже, 2 - Б.

3. Графік функції тричі перетинає пряму $y=1$. Отже, 3 - Д.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $$a^2={(-2\frac{1}{3})}^2={(-\frac{7}{3})}^2=\frac{49}{9}=5\frac{4}{9}$$ число більше від 5, отже, 1 - А.

2. $$\begin{array}{c}a+|a|=a+(-a)=0,\text{оскільки}a<0.\\ |a|=\{\begin{array}{ll}a,\text{якщо}a\ge 0,& \\ -a,\text{якщо}a<0,& \end{array}\end{array}$$ Отже, 2 - Д.

3. $$\begin{array}{c}{\log }_5{5}^a=a{\log }_{5}5=a\cdot 1=a=-2\frac{1}{3},\end{array}$$ є від'ємним числом, отже, 3 - В.

Відповідь: 1A, 2Д, 3В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

$S_{ABCD}=S_{BMNC}=36{\text{см}}^2,AM=15\text{см}$.

1. $S_{ABCD}=A{B}^2=36{\text{см}}^2,AB=6\text{см}$ – сторона квадрата, отже, 1 - Г.

2. У прямокутній трапеції $BM$ – висота.
$BM=AM-AB=15-6=9\text{см}$, отже, 2 - Д.

3. $$\begin{array}{c}{S}_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\ 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\ 72=(MN+6)\cdot 9\\ MN=2\text{см}.\end{array}$$ отже, 3 - A

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

Усі грані цього прямокутного паралепіпеда – прямокутники.

1. $CB\perp (A{A}_1{B}_1)$ – відстань від т.$C$ до $(A{A}_1{B}_1),CB=4$, отже, 1 - B.

2. $C{C}_1\perp (ABC),AC\subset (ABC)\to$ відстань від т.$A$ до $C{C}_1$ – це відрізок $AC.$
$A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2,AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Oтже, 2 - Г.

3. $(ABC)||(A_1{B}_1{C}_1)$. Отже, відстань між ними – це довжина бічного ребра. $A{A}_1=2$. Отже, 3 – A.

Відповідь: 1B, 2Г, 3A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.

1. Повернуті гроші – це вартість квитка й половина вартості плацкарти. Крім того, стягнуть збір 18 грн.

2. Сума грошей $P$ від вартості документа становить: $$\frac{90}{240}\cdot 100\text{\%}=37,5\text{\%}$$

Відповідь: 1. 90. 2. 37,5.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

$P_{ABMK}=24\text{см}KC=17\text{см}.$

1.

2. $2OM=MK=8\text{см},\mathrm{△}MKC(\mathrm{\angle }M={90}^{\circ })$ - за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

1. $$\begin{array}{c}A(x;y;z)\overline{AB}(7-x;-2-y;0-z)\\ \overline{AB}(7-x;-2-y;-z)\\ \overline{AB}(-3;8;1)\\ 7-x=-3,x=10,\\ -2-y=8,y=-10,\\ -z=1,z=-1.\end{array}$$ ордината $\text{т.}A=-10$.

2.

За формулою скалярного добутку:

Відповідь: 1. –10. 2. –111.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію задано $a_n=2,6n-7$

1. $a_7=2,6\cdot 7-7=18,2-7=11,2$

2.

Отже,

Відповідь: 1. 11,2. 2. 7,8.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.

У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$P(A)=\frac{14}{25}=0,56$$

Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.

Відповідь: 0,56.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності. Дезінфікувальний розчин містить:
$2x\text{г}$ – концентрату
$7x\text{г}$ – води
$\frac{7x}{10}\text{г}$ – ароматичної рідини. Разом $485\text{г}$

$$\begin{array}{c}2x+7x+0,7x=485\\ 9,7x=485\\ x=50.\end{array}$$ Концентрату потрібно $$2x=2\cdot 50=100\text{г}.$$

Відповідь: 100.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.

Вираз $3a-4=3\cdot 0,7-4=2,1-4=-1,9$.

Отже, $|3a-4|=-3a+4$.

Значення виразу $$-6a+4=-6\cdot 0,7+4=-4,2+4=-0,2.$$

Відповідь: –0,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння $x^4-x^2-20=0$ – біквадратне. Розв'яжемо заміною:

Повернемось до заміни:

Добуток його дійсних коренів: $$x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5.$$

Відповідь: –5.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.

Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:

Кількість розміщень політичних новин в стрічці $2!$, а суспільних новин – $3!$. Спортивна новина 1 та йде останньою.

За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12$$

Відповідь: 12.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію $y=x^3-3x$

1.

2. Точки перетину графіка $y=x^3-3x$ із віссю $x$ знаходимо за умови $y=0$: $$\begin{array}{c}{x}^3-3x=0,x(x^2-3)=0,\\ x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ [\begin{array}{ll}x=0& \\ x=\sqrt{3}& \\ x=-\sqrt{3}& \end{array}\end{array}$$ $(0;0),(\sqrt{3};0),(-\sqrt{3};0)$ – точки перетину з віссю $x$.

3.

4. $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=0,3x^2-3=0,\\ 3(x^2-1)=0,3(x-1)(x+1)=0\\ [\begin{array}{ll}x-1=0& \\ x+1=0& \end{array}[\begin{array}{ll}x=1& \\ x=-1& \end{array}\end{array}$$

5. Визначимо проміжки зростання і спадання функції

При $f^{\prime }(x)>0$ функція зростає, при $f^{\prime }(x)<0$ – спадає. Отже,
$f(x)$ зростає при $x\in (-\mathrm{\infty };-1]$ i $[1;+\mathrm{\infty })$;
$f(x)$ спадає при $x\in [-1;1]$.

Точки екстремуму: $x_{max}=-1;x_{min}=1$,
екстремуми функції: $f_{max}=f(-1)=2;f_{min}=f(1)=-2$.

6.

Відповідь:

1. $x=0,y=0,$
$x=-1,y=2,$
$x=2,y=2$.
2. $(0;0),(\sqrt{3};0),(-\sqrt{3};0)$.
3. $f^{\prime }(x)=3x^2-3$.
4. $x=1;x=-1$.
5. Проміжки зростання: $(-\mathrm{\infty };-1],[1;+\mathrm{\infty })$
проміжок спадання: $[-1;-1]$
$x_{max}=-1;x_{min}=1$.
$f_{max}=2;f_{min}=-2$.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.

1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник $ABCD$) зображено на рисунку:

2. Твірна $CD$ перпендикулярна основі, $CA$ – діагональ, $AD$ – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, $\mathrm{\angle }CAD=\beta$.

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$V=\pi R^{2}H,$$ де $R=OA=OD$ – радіус основи циліндра, $H=CD$ – висота.

Отже,

Відповідь: $\frac{\pi d^3{\cos }^2\beta \cdot \sin \beta }{4}$

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. Прямокутник $ABCD$ - осьовий переріз циліндра.

$AC=BD=d$. Точка $K$ лежить на колі нижньої основи циліндра $⌣AK={90}^{\circ }$, тому $\mathrm{\angle }AOK={90}^{\circ }$.

Пряма $KD$ – пряма перетину площини $(KBD)$ з площиною нижньої основи.

$\mathrm{\angle }AKD={90}^{\circ }$ (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то $AK\perp KD$.

Таким чином, $\mathrm{\angle }AKB=\gamma$ – лінійний кут двогранного кута між площинами ($BKD)$ і площиною основи циліндра.

2. $\mathrm{△}AKD$ – рівнобедрений ($KO$ – медіана та висота) $AD=d\cos \beta$, тому за теоремою Піфагора:

Отже, $\gamma =\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\beta \right)$.

Відповідь: 2. $\gamma =\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\beta \right)$.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність.
I спосіб:

Отже, вирази рівні.

ІІ спосіб:

Розкладемо вираз $2a^2+5a-3$ на множники:

Розклали за формулою: $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, де $x_1,x_2$ – корені квадратного тричлена.

Отримаємо, $$\begin{array}{c}\frac{(2a-1)(a+3)}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\\ 2a-1=2a-1,\end{array}$$ вирази рівні.