НМТ онлайн 2022 року з математики – основна сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

На першому поверсі – $6$ квартир, на другому-четвертому по $8.$

Отже, $6+8\ast 3=30$ (квартир) на перших чотирьох поверхах. Квартира №31 на п'ятому поверсі.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.

На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, знання теореми Вієта.

Добуток коренів рівняння за теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння:

$$\begin{array}{c}{x}^2+px+q=0\\ x_1\ast x_2=q\\ x_1\ast x_2=-55.\end{array}$$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості.

Перевіряє знання властивостей, паралельних прямих, суми кутів трикутника.

$$\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }ACK={180}^{\circ }$$ за властивістю паралельних прямих сума внутрішніх односторонніх кутів ${180}^{\circ }.$ $$\mathrm{\angle }ACK={180}^{\circ }-{52}^{\circ }={128}^{\circ }.$$ $CB$ – бісектриса, тому $$\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }BCK={128}^{\circ }:2={64}^{\circ }.$$ Сума кутів трикутника ${180}^{\circ }.$ Отже, $$\begin{array}{c}\mathrm{\angle }ABC={180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }ACB)=\\ ={180}^{\circ }-({52}^{\circ }+{64}^{\circ })={180}^{\circ }-{116}^{\circ }={64}^{\circ }.\end{array}$$ Або в такий спосіб: $\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }BCK={64}^{\circ }$ як внутрішні різносторонні при $AB||CK$ та січної $BC.$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік функції проходить через точку $(-3;1).$ Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, властивості степенів.

$$\frac{10a{b}^3}{5a^{2}b}=\frac{2b^2}{a}$$

Скоротили дріб використовуючи властивість степенів: $$\begin{array}{c}{a}^n:a^m=a^{n-m}.\end{array}$$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком. використовувати перетворення графіків функцій.

Якщо графік функції $y=f(x)$ паралельно перенесли вздовж осі $y$ вниз на $3$ одиниці, то отримали $$y=f(x)-3.$$

Застосували елементарне перетворення графіка функції.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

При розв'язанні застосували властивості логарифмів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.

Об'єм циліндра $$V=\pi R^{2}H,$$ Отже, $$H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi }{\pi \ast 3^2}=8.$$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

$(16;-5)$ – розв'язок системи. Отже, $$\begin{array}{c}{x}_0+y_0=16+(-5)=11.\end{array}$$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Перевіряє вміння знаходити похідні функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

$$f(x)=2x^3–5$$

Похідна функції: $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=3\ast 2x^2=6x^2.\\ f^{\prime }(-1)=6\ast (-1{)}^2=6.\end{array}$$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Зведемо до однакової основи: $$\begin{array}{c}{10}^{x+1}>{10}^{-2}.\end{array}$$ Функція $y={10}^x$ – зростаюча, тому $$\begin{array}{c}x+1>-2,\\ x>-3.\end{array}$$ Отже, $x\in (-3;+\mathrm{\infty }).$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

$$4{\cos }^2\alpha =1,{\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}.$$

За основною тригонометричною тотожністю: $$\begin{array}{c}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,\\ {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.\end{array}$$ Отже, $$4{\sin }^2\alpha =4\ast \frac{3}{4}=3.$$

Відповідь: Г

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Графік є фрагментом графіка функції $y=1-x.$ Отже, 1 – Б.

2. Графік функції двічі перетинає графік функції $y=2^x.$ Отже, 2 – А.

3. Функція зростає на проміжку $[0;3].$ Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1Б, 2А, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

1. $$\begin{array}{c}\frac{2a}{3}=\frac{2\ast \frac{25}{4}}{3}=\frac{2\ast 25}{4\ast 3}=\\ =\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}.\end{array}$$ Отже, 1 – Г.

2. $$\begin{array}{c}\frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}.\end{array}$$ Отже, 2 – Б.

3. $$\begin{array}{c}|9-2a|=|9-2\ast \frac{25}{4}|=\\ =|9-\frac{25}{2}|=|9-12\frac{1}{2}|=\\ =|-3\frac{1}{2}|=3\frac{1}{2}.\end{array}$$ Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г 2Б 3В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.

1.

За теоремою Піфагора: $$\begin{array}{c}A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=(4\sqrt{6}{)}^2+{10}^2=\\ =16\ast 6+100=196.\\ AC=\sqrt{196}=14.\end{array}$$ Отже, 1 – Г.

2.

$$\begin{array}{c}A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=16+16\ast 3=64\\ AC=8.\end{array}$$ За властивістю прямокутника $$AC=BD,AO=BD=OC=OD=4.$$ Отже, $\mathrm{\Delta }ABO$ – рівносторонній $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }.$
Отже, 2 – Б.

3.

$$\begin{array}{c}S=6\ast 8=48.\end{array}$$ Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.

Перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

1. Точка на осі $y$ має нульові координати $x$ та $z.$ Довжина відрізка $BC$ – $8$ одиниць, звідси серединою відрізка є точка з координатами $(0;4;0).$ Отже, 1 – Г.

2. Точки, що належить відрізку $D{D}_1$ мають координати $x=4;y=8$ (як у точки $D_1).$ Точка, що належить відрізку $D{D}_1$ і віддалена від точки $D$ на $4$ одиниці, має координати $(4;8;4).$ Отже, 2 – Д.

3. Точка $C_1$ лежить в площині $yz,$ тому має $x=0.$ Координати $y$ та $z$ співпадають з координатами точки $D_1.$ Отже, координати точки $C_1(0;8;12).$ Отже, 3 – A.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Перевіряє знання формули n-го члена та властивостей геометричної прогресії.

За властивістю геометричної прогресії знаменник $$q=\frac{b_4}{b_3}.$$ Отже, $$\begin{array}{c}q=\frac{3}{4}:0,2=\frac{3}{4}:\frac{1}{5}=\\ =\frac{3}{4}\ast 5=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}=3,75.\end{array}$$

Відповідь: 3,75.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей трапеції та її середньої лінії, вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $MB$ – середня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії $$MN=\frac{AD+BC}{2}.$$

2. Отже, $$\begin{array}{c}AD=2MN-BC=\\ =2\ast 13-9=26-9=17(\text{см}).\end{array}$$

3. Проведемо $CK\perp AD.$ Отримали $$\begin{array}{c}BC=AK=9\text{см},\\ KD=AD-AK=17-9=8\text{см}.\end{array}$$

4. $\mathrm{\Delta }CKD(\mathrm{\angle }K={90}^{\circ }$ – прямокутний рівнобедрений $(\mathrm{\angle }D={45}^{\circ }).$ Отже, $$\begin{array}{c}KD=CK=8\text{см}.\end{array}$$

5. $ABCD$ – прямокутна трапеція, тому $$AB=CK=8\text{см}.$$

Відповідь: 8.