НМТ онлайн 2025 року з математики – 1 сесія

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Геометричні величини та вимірювання їх.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити величини кутів, розв’язувати планіметричні задачі.

Повний кут має градусну міру \(360^\circ.\) Радіуси \(OA\), \(OB\), \(OC\) поділяють кут на \(3\) рівних частини.

Отже, \(\angle AOB=360^\circ :3=120^\circ.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

$$ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -3,\\ x\le 7. \end{array} \right. $$

Зобразимо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок \(x\in (-3; 7].\) З наведених чисел, лише число \(5\) належить даному проміжку.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

$$ 0\mathord{,}6x^3\cdot 5x^4=0\mathord{,}6\cdot 5\cdot x^{3+4}=3x^7. $$

Використали властивість степеня з натуральним показником. При множенні степенів з однаковими основами показники доадються, а основа залишається без змін: $$ a^n\cdot a^m=a^{n+m}, $$ (де \(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання скероване на перевірку розуміння властивостей паралельних площин.

У піраміді \(SABC\) точка \(S\) не лежить у площині \((ABC).\)

Через точку, яка не лежить у площині, можна провести тільки одну площину, паралельну даній.

Отже, через точку \(S\) можна провести лише одну площину паралельну площині \(ABC.\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Є два види перетворення:

1. Паралельне перенесення вздовж осі ординат: $$ y=f(x)\rightarrow y=f(x)+c. $$

Для побудови графіка функції \(y=f(x)+c\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Oy\) на \(c\) одиниць угору, якщо \(c\)   додатне число або на \(c\) одиниць вниз, якщо \(c\)   від’ємне число.

2. Паралельне перенесення вздовж осі абсцис: $$ y=f(x)\rightarrow y=f(x-a). $$

Для побудови графіка функції \(y=f(x-a)\) необхідно графік функції y=f(x) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\)   додатне число і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\)   від’ємне число.

Застосувавши властивості паралельного перенесення до функції \(y=f(x)\), при перенесенні вліво на \(2\) одиниці отримаємо графік функції \(y=f(x+2).\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки.

Знаходимо \(60\ \text{%}\) від \(25\) л: $$ 25\cdot \frac{60}{100}=15. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення координат середини відрізка.

 

Точка \(C\) симетрична точці \(A\) відносно точки \(B.\) Точка \(B\) – середина відрізка \(AC.\)

 

\(A(5; -4; 0)\), \(B(7; 2; -2).\) Нехай точка \(C(x_C; y_C; z_C).\)

За формулою координати середини відрізка:

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифмів.

$$ \log_55^{10}=10\cdot \log_55=10\cdot 1=10. $$

Застосували властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_ab^n=n\log_ab,\\[7pt] \log_aa=1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань основних властивостей трикутника, нерівності трикутника.

I. Твердження неправильне. За нерівністю трикутника, сума довжин двох сторін трикутника більша за довжину третьої.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника не завжди більша за \(90^\circ.\) До прикладу, у трикутнику кути можуть бути \(20^\circ\), \(20^\circ\), \(140^\circ.\) Тоді сума двох гострих кутів: \begin{gather*} 20^\circ+20^\circ=40^\circ,\\[7pt] 40^\circ\lt 90^\circ. \end{gather*}

III. Твердження правильне. За властивістю трикутника, навпроти більшої строни лежить більший кут, навпроти меншої сторони – менший кут, навпроти рівних сторін – рівні кути.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння, знання основної властивості пропорції.

$$ \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. $$

Застосуємо основну властивість пропорції: \begin{gather*} \frac ab=\frac cd,\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c,\\[7pt] 2(2x-7)=3(5x+4),\\[7pt] 4x-14=15x+12,\\[7pt] 4x-15x=12+14,\\[7pt] -11x=26,\\[6pt] x=-\frac{26}{11},\\[6pt] x=-2\frac{4}{11}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

Арифметрична прогресія \((a_n)\), \(a_6-a_1=-30.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1),\\[7pt] a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_1+5d-a_1=-30,\\[7pt] 5d=-30,\\[7pt] d=-6. \end{gather*}

Обчислимо значення виразу

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази і їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Розкриємо дужки:

\begin{gather*} x(x-2y)-(x-y)^2=\\[7pt] =x^2-2xy-(x^2-2xy+y^2)=\\[7pt] =x^2-2xy-x^2+2xy-y^2=-y^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} 1-\log_{0\mathord{,}5}x=3,\\[7pt] \log_{0\mathord{,}5}x=-2,\\[7pt] x=0\mathord{,}5^{-2},\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2}=2^2=4,\\[6pt] 4\in [3; 10). \end{gather*}

Використали означення логарифма: \(\log_ab=c\), \(a^c=b\) та застосували формулу: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. $$

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку властивостей трапеції та трикутника, їх властивостей.

1. \(AD=b\), точка \(O\) – середина \(AD\), тому \(AO=OD.\) Проведемо перпендикуляр \(OH\ \perp BC.\)

2.  Трапеція \(ABCD\) – рівнобічна, тому \(BH=HC.\)

\begin{gather*} AD:BC=5:2,\\[6pt] BC=\frac{2AD}{5}=\frac{2b}{5},\\[6pt] BH=\frac 12BC=\frac b5. \end{gather*}

3. \(\angle AOB=45^\circ\), \(\angle AOH=90^\circ.\) Отже, \(\angle BOH=45^\circ\) а \(\Delta BHO\) – прямокутний рівнобедрений. \(BH=HO=\frac b5.\)

4. Площу трапеції знаходимо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, встановлювати властивості числових функцій.

1. Набуває всіх значень з проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, 1 – Г.

2. Графік функції має з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\) лише одну спільну точку.

Отже, 2 – Б.

3. \(y=\cos x\) – є парною.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.

1. \(\sin \left(-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}\right)=-\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}=-\frac 12.\)

\(y=\sin x\) – непарна, тому \(\sin(x)=-\sin x.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac 12.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та квадрата, розв’язування трикутників.

Отже, правильна відповідь – В.

2.

\(AB=CD=KM=10\) см. \(\Delta CKM\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Відстань між точкою \(O\) – центр квадрата, \(O_1\) – точка перетину діагоналей прямокутника \(ABKM\) – відрізок \(OO_1.\) \(BO_1=O_1M.\)

У \(\Delta DBM\ OO_1\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії $$ OO_1=\frac 12DM=\frac 12\cdot 24=12\ \text{см}. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу, кутового коефіцієнта дотичної.

\begin{gather*} g(x)=\frac{18}{x}-f(x),\\[6pt] g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x). \end{gather*}

Дотична, проведена до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0=3\) паралельна прямій \(y=1\mathord{,}5x+5.\)

Відповідь: \(-3\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій, знання класичного означення ймовірної події.

Всього у салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць в кожному. Отже, всього у літаку \(6n\) місць.

Місць біля проходу в першому або останньому ряду \(4.\) Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – \(\frac{1}{45}.\)

За означенням імовірність це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(4\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

\begin{gather*} \frac{1}{45}=\frac{4}{6n},\\[6pt] 6n=4\cdot 45,\\[7pt] n=30. \end{gather*}

Відповідь: \(30.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями \(12\) см і \(16\) см.

\(AO=OC=8\) см, \(BO=OD=6\) см. \(AC\ \perp\ BD.\) \(\Delta AOD\) – прямокутний. За теоремою Піфагора

2. Радіус основи циліндра \(R=AD=10\) см.

3. Площа поверхні циліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH,\\[7pt] 2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 10\cdot H=400\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра \(H=20\) см.

5. Об'єм призми

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12d_1d_2,\\[6pt] S_\text{осн}=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ \textit{см}^2,\\[6pt] V=96\cdot 20=1920\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1920.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових, раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, раціональні і ірраціональні рівняння й нерівності та їх системи з параметрами.

1. Область допустимих значень

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0,\\ 3-x\ge 0,\\ \sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ne 0, \end{array} \right.\\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0,\\ x\le 3. \end{array} \right.\\[7pt] x\in [0; 3]. \end{gather*}

2. Розв'яжемо рівняння:

\begin{gather*} 3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}=0,\\[7pt] 3^{2a-5x+2}=3\sqrt{3},\\[7pt] 3^{2a-5x+2}=3^{1\mathord{,}5},\\[7pt] 2a-5x+2=1\mathord{,}5,\\[7pt] 5x=2a+0\mathord{,}5,\\[7pt] x=0\mathord{,}4a+0\mathord{,}1. \end{gather*}

Для того, щоб рівняння мало корінь

\begin{gather*} 0\le 0\mathord{,}4a+0\mathord{,}1\le 3,\\[7pt] -0\mathord{,}1\le 0\mathord{,}4a\le 2\mathord{,}9,\\[6pt] -\frac 14\le a\le \frac{29}{4},\\[6pt] -\frac 14\le a\le 7\frac 14. \end{gather*}

Найбільше значення \(a=7\frac 14=7\mathord{,}25.\)

Відповідь: \(7\mathord{,}25.\)