НМТ онлайн 2025 року з математики – 1 сесія

Емблема компанії має вигляд круга, від центра \(O\) якого проведено радіуси \(OA\), \(OB\) і \(OC\) (див. рисунок). Визначте градусну міру кута \(AOB\), якщо радіуси поділяють круг на три рівні частини.

Позначте число, що є розв'язком системи нерівностей $$ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -3, \\ x\le 7. \end{array} \right. $$

\(0\mathord{,}6x^3\cdot 5x^4=\)

На рисунку зображено трикутну піраміду \(SABC\) з основою \(ABC.\) Скільки всього площин, паралельних площині основи піраміди, можна провести через її вершину \(S\)?

Укажіть функцію, графік якої зображено на рисунку 2, якщо він отриманий внаслідок паралельного перенесення графіка функції \(y=f(x)\) (див. рис. 1).

Під час миття рук милом із крана витікає \(25\) л води, з них \(60\ \text{%}\) марнують під час намилювання. Скільки літрів води можна зберегти, якщо закривати кран перед намилюванням рук?

У прямокутній системі координат у просторі задано точки \(A(5; -4; 0)\) і \(B(7; 2; - 2).\) Визначте точку \(C\), симетричну точці \(A\) відносно точки \(B.\)

\(\log_55^{10}=\)

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника?

I.   Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону.

II.  Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за \(90^\circ.\)

III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут.

Розв'яжіть рівняння $$ \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. $$

В арифметичній прогресії \((a_n)\) відомо, що \(a_6-a_1=-30.\) Обчисліть значення виразу \(a_1-a_3.\)

\(x(x-2y)-(x-y)^2=\)

Позначте проміжок, якому належить корінь рівняння \(1-\log_{0\mathord{,}5}x=3.\)

У рівнобічній трапеції \(ABCD\) точка \(O\) є серединою основи \(AD\), \(\angle AOB=45^\circ\), \(AD:BC=5:2\) (див. рисунок). Визначте площу трапеції \(ABCD\), якщо \(AD=b.\)

Доберіть до функції (1-3) її властивість (А - Д).

Доберіть до числового виразу (1-3) його значення (А – Д).

Прямокутник \(ABKM\) складається з квадрата \(ABCD\) та прямокутника \(CKMD\) (див. рисунок). Периметр квадрата \(ABCD\) дорівнює \(40\) см, а довжина відрізка \(CM\) – \(26\) см. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Дотична, проведена до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0=3\), паралельна прямій \(y=1\mathord{,}5x+5.\) Обчисліть значення похідної функції \(g(x)=\frac{18}{x}-f(x)\) в точці \(x_0=3.\)

На рисунку зображено схему салону пасажирського літака. У салоні налічується \(n\) рядів, у кожному з яких розташовано по \(6\) крісел (обабіч проходу по \(3\)). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу в першому або останньому ряду, дорівнює \(\frac{1}{45}.\) Визначте \(n.\)

Циліндр і пряма чотирикутна призма мають рівні висоти. Основою призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють \(12\) см i \(16\) см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Обчисліть об'єм (см\(^3\)) заданої призми, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює \(400\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2.\)

Визначте найбільше значення \(a\), за якого рівняння $$ \frac{3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}=0 $$ має корінь.