НМТ онлайн 2025 року з математики – 2 сесія

У паралелограмі \(ABCD\) проведено діагональ \(AC\) (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма, якщо \(\angle CAD=18^\circ\), \(\angle ACD=43^\circ.\)

Яке з наведених чисел є коренем рівняння \(2-|x|=0\mathord{,}1\)?

\(4x+x^2-5-2x^2-4x+19=\)

На рисунку зображено куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1.\) Скільки всього площин, паралельних прямій \(AB\), містять грані куба?

Графік функції \(y=x^3\) перенесли на \(4\) одиниці вниз уздовж осі \(y.\) Графік якої функції отримали внаслідок такого перетворення?

Чорної п'ятниці в магазині пропонують акцію: за кожен придбаний чорний гаманець покупець платить на \(70\ \text{%}\) менше від його ціни. Покупець придбав чорний гаманець і заплатив за нього \(105\) грн, скориставшись цією акцією.

Визначте ціну (грн) цього гаманця до Чорної п'ятниці.

У прямокутній системі координат у просторі кулі із центрами в точках \(O_1\) і \(O_2\) мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню може дорівнювати радіус більшої кулі, якщо \(O_1(1; -4; 10)\), \(O_2(7; 4; -14)\)?

Якщо \(a=\frac{(b+c)\cdot d}{2}\), то \(c=\)

Які з наведених тверджень є правильними?

I.   Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.

II.  Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.

III. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов'язково лежить на більшій основі трапеції.

Якому проміжку належить корінь рівняння \(\left(\frac 13\right)^{x-7}=\sqrt{3}\)?

Обчисліть значення похідної функції \(f(x)=6x-2\cos x\) у точці \(x_0=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}.\)

\(\frac{20^7\cdot 0\mathord{,}1^6}{4^5}=\)

Розв'яжіть нерівність \(\log_3(1-2x)\lt 2.\)

На стороні \(AD\) прямокутника \(ABCD\) вибрано точку \(K\) так, що трикутник \(BKC\) є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника \(ABCD\), якщо \(\angle ABK=30^\circ\), \(KC=6\sqrt{3}.\)

До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Узгодьте вираз (1-3) та проміжок (А – Д), якому належить його значення, де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) – відома математична величина, яку називають золотим числом.

На рисунку зображено квадрат \(ABCD.\) На стороні \(C\) вибрано точку \(K\) так, що \(KC=4\) см. Точка \(M\) – середина відрізка \(AK.\) Пряма, що проходить через точку \(M\) паралельно стороні \(BC\), перетинає сторони \(AB\) та \(CD\) в точках \(N\) і \(P\) відповідно, \(NM=б\) см. Узгодьте відрізок (1-3) та його довжину (А – Д).

Функція \(f(x)\) є парною, а функція \(g(x)\) – непарною. Обчисліть значення виразу $$ \frac{4g(-x_0)+2f(x_0)}{5f(-x_0)}, $$ якщо \(f(x_0)=1\), \(g(x_0)=-3.\)

На рисунку зображено схему салону пасажирського літака. У салоні \(n\) рядів, у кожному з яких розташовано по \(6\) крісел (по \(3\) крісла обабіч проходу ). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце в перших трьох рядах, дорівнює \(\frac{1}{14}.\) Визначте \(n.\)

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по \(25\) см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см\(^2\)) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює \(500\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2.\)

Визначте значення \(a\), за якого система рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} y+(x-1)^2=5a, \\ x^2-2x+y^2+8y=47. \end{array} \right. $$ має єдиний розв'язок.