Математика

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання про конус та його елементи, формули площ поверхонь конуса, формул для обчислення відстані між двома точками.

\(\Delta AMB\) – рівносторонній трикутник.

Знайдемо довжину \(AB\) – сторони трикутника за формулою

Відповідь: $$ \frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=\frac{37,5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=37,5. $$

Відповідь: 37,5.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Якщо першим уроком буде фізкультура, а інші п'ять можна переставляти, то різних варіантів скласти розклад знаходимо за комбінаторною формулою перестановок $$ P_A=n! $$ Отже, $$ P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$ Варіантів скласти розклад з останнім уроком фізкультури також \(120.\)

Всього існує \(240\) різних варіантів розкладу уроків.

Відповідь: 240.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку вміння находити первісну, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Обчислити значення виразу $$ \int_{-4}^{-1}f(x)dx+2\int_1^8f(x)dx $$ можна двома способами:
1) застосувати геометричний зміст визначеного інтеграла;
2) алгебраїчним.

1 спосіб:

2 спосіб:

Відповідь: 31.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.

\(P_{ABCD}=24\ \text{см}.\) \(ABCD\) – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції \(AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.\) \(EF=PF+PE,\ 10=6+PE,\) \(PE=4\ \text{см}.\)

1 – A. \(PE\) – середня лінія \(\Delta KBC.\) За властивістю середньої лінії \(PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.\)

2 – Г. \(\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка \(O.\)

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка \(E.\) Отже, відстань між центрами кіл буде \(OP+PE=3+4=7\ \text{см}.\)

Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, уміння виконувати дії дійсними числами.

1 – А. \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{3}\) ірраціональне число.

3 – Б. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^{\cos 90^\circ}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^0=1\) – є натуральним числом.

Відповідь: 1А, 2В, 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Найбільше значення функції \(y=f(x),\) на відрізку \([1; 9]\) дорівнює \(7.\) Правильна відповідь – Г.

2. Найменше значення функції на відрізку \([1; 3]\) дорівнює \(5.\) Правильна відповідь – Д.

3. \(f(x)\lt 0\) при \(x\in (5; 7).\) Найбільше ціле значення \(x,\) за якого справджується нерівність \(x=6.\) Правильна відповідь – В.

Відповідь: 1Г 2Д 3В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості трапеції, прямокутного трикутника.

\(AK:KD=3:2.\) За властивістю паралелограма \(BC=AD.\) $$ KD=\frac 25AD=\frac 25\cdot 20=8\ \text{см}. $$ \(BKDC\) – рівнобічна трапеція.

\(\angle AKB=\angle KBM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) (внутрішні різносторонні при паралельних прямих \(BC\ ||\ KD\) і січною \(BK\)). \(\angle KBC=\angle DCP=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) як кути при основі рівнобедреної трапеції.

У \(\Delta DPC\ (\angle P=90^\circ)\ PC=6\ \text{см}, \angle C=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) $$ CD=\frac{PC}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{6}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}. $$

Площу паралелограма знаходимо за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot b\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha},\\[6pt] S=CD\cdot BC\sin C=\frac{6}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot 20\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\\[6pt] =120\frac{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=120\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 3^{x^2}=3^4,\ \ x^2=4,\\[7pt] x=2\ \ \text{або}\ \ x=-2. \end{gather*}

Рівняння має два корені. Найменший з них \(x=-2.\) Він належить проміжку \([-2; 0).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосували властивості логарифмів: \begin{gather*} \log_a b^n=n\log_a b,\\[7pt] \log_{a}(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми геометричної прогресії, її властивостей.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. \(S_5=32,\ \ S_4=20.\)

Визначаємо \(b_5.\)

Отже, \(S_5-S_4=b_5=32-20=12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7,\\ 4x+\frac{2y}{3}=6\ | : 2, \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7,\\ 2x+\frac y3=3. \end{array} \right. \end{gather*}

Почленно додамо рівняння: $$ 4x=10,\ \ x=10:4,\ \ x=2,5. $$ Підставимо значення \(x\) у перше рівняння: \begin{gather*} 2\cdot 2,5-\frac y3=7,\ \ 5-\frac y3=7,\\[6pt] -\frac y3=2,\ \ y=-6. \end{gather*} \((2,5; -6)\) – розв'язок системи.

Отже, \(x_0+y_0=2,5+(-6)=-3,5.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.

I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. \(\Delta ADB=\Delta CDB\) (за двома катетами). Твердження є правильним.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.

III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Обчислимо $$ 2\sqrt{m+m+m}=2\sqrt{3m}. $$

При \(m=\frac{1}{27}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Чотирикутники. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи, вміння знаходити площу ромба та об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислуємо за формулою: $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

За умовою завдання основою піраміди є ромб, діагоналі якого \(20\ \text{см}\) і \(12\ \text{см}.\) Площу основи (ромба) обчислюємо за формулою $$ S_\text{осн}=\frac 12 d_1d_2=\frac 12\cdot 20\cdot 12= 120\ \text{см}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, уміння виконувати дії з дійсними числами.

Маса одного протона $$ 1,67\cdot 10^{-27}\ \text{кг}. $$

Маса \(100\) протонів \begin{gather*} 1,67\cdot 10^{-27}\cdot 100=1,67\cdot 10^{-27}\cdot 10^2=\\[7pt] =1,67\cdot 10^{-25}\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік лінійної функції \(y=x+2\) проходить через дану точку.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їхні елементи, ознаки паралельності прямої та площини.

Протилежні грані куба – паралельні площини. \(C_1D\subset (DD_1C_1)\) \((AA_1B)\ ||\ (DD_1C_1).\) Отже, \(C_1D\ ||\ (AA_1B_1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кутів, аксіом планіметрії.

\(\angle BOC=90^\circ, \angle BOA=4^\circ.\) Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння порівнювати дійсні числа, знання властивостей модуля.

Розв'язком нерівності \(|-2x-3|\gt 5\) з наведених чисел є \(2.\) \begin{gather*} |-2\cdot 2-3|\gt 5,\ \ |-4-3|\gt 5,\\[7pt] |-7|\gt 5,\ \ 7\gt 5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення.

За формулою скороченого множення \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2:\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкової події.

Усього в літаку \(20\) рядів по \(6\) в кожному. Отже, в літаку \(120\) місць. Біля проходу є по \(2\) місця у кожному ряду. Усього таких місць \(40.\)

Імовірність того, що пасажиру дістанеться місце біля проходу, знаходиться за формулою $$ P(A)=\frac mn,\ \ P(A)=\frac{40}{120}=\frac 13. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

$$ \frac{x^2-ax+4}{x-5}=0. $$ ОДЗ:

Рівняння буде мати один корінь за умов:
1) \(D=0\) та \(x\ne 5;\)
2) \(D\gt 0,\) але один з коренів дорівнює \(5.\)

Розглянемо обидва випадки: \begin{gather*} \text{1)}\ \ D=0,\ \ a^2-16=0,\ \ a^2=16,\\[7pt] a=4\ \text{або}\ a=-4\\[6pt] x=\frac a2=\frac 42=2\ \text{або}\ x=-2. \end{gather*} Отже, корінь один. \begin{gather*} \text{2)}\ \ D\gt 0,\ \ a^2-16=0,\\[7pt] a\in (-\infty; -4)\cup (4; +\infty) \end{gather*}

\begin{gather*} x_1=\frac{a+\sqrt{a^2-16}}{2},\\[6pt] x_2=\frac{a-\sqrt{a^2-16}}{2}. \end{gather*}

Нехай \(x_1=5,\) тоді

Нехай \(x_2=5,\) отже

Отже, рівняння має один корінь при \(a=4,\ a=-4, a=5\mathord{,}8.\) Добуток усіх значень \(a\) дорівнює: $$ 4\cdot (-4)\cdot 5\mathord{,}8=-92\mathord{,}8. $$

Відповідь: -92,8.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення

\(A(4; \sqrt{10}; 3),\ M(-2; 0; 1).\) Призма правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

Діагоналі квадрата перпендикулярні. У \(\Delta AMD (\angle M=90^\circ)\) \(AM=MD=\sqrt{50}.\) За теоремою Піфагора

Висота \(AA_1=3AB=30.\) $$ V=S_\text{осн}H, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа квадрата, \(H\) – висота.

Відповідь: 3000.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити середнє арифметичне, розв’язувати лінійну нерівність.

\(4\) чорних ручки по \(27\ \text{грн},\) \(6\) червоних ручки по \(15\ \text{грн},\) \(n\) синіх ручок по \(10\ \text{грн}.\) Середня ціна однієї ручки \begin{gather*} \frac{4\cdot 27+6\cdot 15+n\cdot 10}{4+6+n}\lt 13,\\[6pt] \frac{108+90+10n}{10+n}\lt 13, \end{gather*} \(n\) – число додатне, тому можна помножити нерівність на \((10+n).\) \begin{gather*} 198+10n\lt 13(10+n),\\[7pt] 198+10n\lt 130+13n,\\[7pt] 3n\gt 68,\ \ n\gt\frac{68}{3},\ \ n\gt 22\frac 23. \end{gather*} Найменше можливе \(n=23.\)

Відповідь: 23.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

Відповідь: 10.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора, описані навколо кола чотирикутники.

Якщо у чотирикутник можна вписати коло, то сума довжин протилежних сторін рівна.

1 – В. Середня лінія трапеції дорівнює \begin{gather*} \frac{BC+AD}{2}=\frac{50}{2}=25\ \text{см}. \end{gather*}

2 – Г. За умовою \begin{gather*} AB-BC=14\ \text{см}, BC=AD-14,\\[7pt] BC+AD=50,\ \ AD-14+AD=50,\\[7pt] 2AD=64,\ \ AD=32\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. \(BC=50-32=18\ \text{см}.\) \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD.\)

за теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] BK^2=25^2-7^2=625-49=576,\\[7pt] BK=24\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з цілим показником та її властивості, означення синуса.

1. \(a^{-1}=\frac 1a=\frac 13\) є раціональним числом, що не є цілим. Отже, правильна відповіль – А.

2. \(a^0=1\) є натуральним числом. Отже, правильна відповіль – Б.

\(y=\sin x\) – періодична функція з найменшим додатним періодом \(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\) Отже, правильна відповіль – Д.

Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. \(y=0\) це вісь \(Ox.\) Отже, спільних точок прямої та ламаної \(ABCA\) – безліч, правильна відповідь – Д.

2. Спільних точок параболи \((y=1-x^2)\) та ламаної \(ABCA\) – три: \((0; 1),\ (1; 0),\ (-1; 0),\) правильна відповідь – Г.

3. Спільних точок функції \(y=\cos x\) та ламаної \(ABCA\) – лише одна \((0, 1).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1Д 2Г 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутного трикутника, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

При \(n=0\ \ x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{12}.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосували властивості логарифмів: $$ \log_a b^n=n\log_a b,\ \ log_{a^k}b=\frac 1k\log_ab. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

За формулою \(n\text{-го}\) члена

Обчислимо значення виразу \begin{gather*} a_6-a_4=a_1+5d-(a_1+3d)=\\[7pt] =a_1+5d-a_1-3d=2d. \end{gather*}

При \(d=-6,\ \ 2d=2\cdot(-6)=-12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних та показникових нерівностей.

Розв'яжемо систему нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 25,\\ 2-x\lt 8, \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 5^2,\\ x\gt -6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\lt 2,\\ x\gt -6. \end{array} \right. \end{gather*}

\(x\in (-6; 2).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання про паралелограм, ромб, квадрат та їх властивості.

I. Твердження неправильне. Сума двох сусідніх сторін паралелограма не може дорівнювати його діагоналі, тому що за нерівністю трикутника \(AB+AD\gt BD.\)

II. Твердження правильне. Існує паралелограм, в якому один з кутів вдвічі більше за інший. Наприклад, з кутами \(60^\circ\) i \(120^\circ.\)

III. Твердження правильне. Існує паралелограм – ромб, у якого діагоналі перпендикулярні.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Сторона основи піраміди \(8\ \text{см},\) а апофема на \(2\ \text{см}\) більше, тому її довжина \(10\ \text{см}.\)

За формулою $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}\) – периметр основи \(m\) – апофема, знаходимо площу бічної поверхні:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Застосувавши елементарні перетворення графіків функцій, \(y=f(x)\) переміщуємо вправо вздовж осі \(Ox\) на \(4\) одиничних відрізки.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Порція салату містить банани, апельсини та яблука у відношенні \(1:2:3.\) Отже, апельсини складають \(\frac 26=\frac 13\) від усіх фруктів.

Микола використав \(24\) фрукти, а це \(\frac 13\cdot 24=8\) апельсинів.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня, використовуючи означення та властивості модуля.

\begin{gather*} |3x+2|=2\\[7pt] 3x+2=2\\[7pt] 3x=0\\[7pt] x=0\\[7pt] \text{або}\\[7pt] 3x+2=-2\\[7pt] 3x=-4\\[6pt] x=-\frac 43. \end{gather*}

З наведених чисел \(-\frac 43\) є коренем рівняння.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних елементів циліндра.

Твірна циліндра – відрізок, який сполучає відповідні точки кіл кругів, які є основами циліндра.

З-поміж наведених – це \(AB.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

За формулою скороченого множення \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) розкладемо на множники:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника:

Отже, \(\angle B=100^\circ-20^\circ=80^\circ.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Проміжок, упродовж якого густина пилу зменшувалась, – це проміжок спадання фукнції. Із-поміж наведених – це \([20; 24].\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\(x^2-(2m-4)x+16=0,\ \ x_1\gt x_2\ \text{на}\ 6.\)

Знайдемо дискримінант рівняння:

Додатнє значення \(m,\) при якому рівняння має два різних кореня \(m\gt 6.\)

За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:

Підставимо значення \(x_2\) у друге рівняння:

Корені рівняння:

Отже, додатнє значення \(m=7.\)

Відповідь: 7.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.\)

Відповідь: 64.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє здатність застосування формул комбінаторики, зокрема сполук, до розв’язування комбінаторних задач.

Склад музичного квартету – \(4\) будь-які учасники (хлопці чи дівчата). Отже, вибирають з \(6\) учасників, порядок вибору неважливий, тому застосуємо формулу сполук: $$ \mathrm{C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}}. $$

Відповідь: 15.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

Математичною моделлю задачі є задача на арифметичну прогресію: $$ a_1=6,\ \ d=2,\ \ S_{25}\ -\ ? $$

Отже, за \(25\) днів студент запам'ятав \(750\) ієрогліфів.

Відповідь: 750.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.

\(P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.\)

1 – Г. \(P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.\)

2 – B. Висота \(BH\perp AC,\ \ BH\) – медіана, \(AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.\) \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.\)

3 – A. \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.\) За наслідком із теореми синусів:

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.

Спростимо вирази:

1. – В. \(\frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3.\)

2. – A. \(|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3.\) Вираз \(3-\sqrt{10}\lt 0,\) тому \(|3-\sqrt{10}|=-(3-\sqrt{10})=-3+\sqrt{10}.\)

3. – Г. \(\log_5125=\log_55^3=3\log_55=3.\)

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

Графіки функцій схематично виглядають таким чином:

1. \(y=\sqrt{x+1}\) зростає на всій області визначення – Г.

2. \(y=4-x^2\) має точку локального максимуму при \(x=0,\ f_{max}(0)=4\) – A.

3. \(y=3^{-x}\) функція набуває лише додатних значень – Д.

Відповідь: 1Г 2А 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжемо тригонометричну нерівність \(\log_{0,3}(x+3)\gt \log_{0,3}4.\)

Функція є спадною, бо основа логарифма \(0,3\lt 1.\) Отже, \(x+3\lt 4\) та за ОДЗ \(x+3\gt 0.\)

Розв'язком нерівності буде розв'язок системи лінійних нерівностей:

\(x\in (-3;\ 1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Застосували формули скороченого множення $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$ та тригонометрії

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання прямокутника та трикутника, їхніх властивостей.

\(AB=4\ \text{см},\ \angle AOB=60^\circ.\)

\(\Delta AOB\) – рівносторонній. \(AB=BO=OA=4\ \text{см}.\) За властивістю прямокутника \(AC=BD=2BO=8\ \text{см}.\)

Площа прямокутника $$ S=\frac 12\cdot d^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 8^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). $$

Або іншим способом:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання означення первісної функції.

За означенням первісної функції \(F'(x)=f(x).\)

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I.   Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки.

II.  \(AB\perp CD.\) \(\Delta COD\) – рівнобедрений, \(OC=OD.\) Отже, висота \(OK,\) проведена до основи, є медіаною. \(K\) – середина хорди \(CD.\)

III. Діаметри кола проходять через центр кола, а отже, мають завжди спільну точку – центр кола.

Правильні твердження лише І та ІІ, тому відповідь Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

\(\left(\frac 14\right)^{-2}=\left(\frac 41\right)^2=16.\) Значення виразу належить проміжку \((10;\ +\infty).\)

Використали властивість степенів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\) \(S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.\) Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою \(H=a.\)

Отже, \(V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння.

Розв'яжемо рівняння застосувавши основну властивість пропорції:

Корінь рівняння належить проміжку \([0;\ 4).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.

Точка перетину графіка функції з віссю \(x\) має координати \((3;\ 0).\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжемо лінійне рівняння \(0,01x=-1,\) \begin{gather*} x=-1:0,01;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\(\angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ.\)

\(\angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Набір із двох ручок коштує \(10\) гривень. На \(58\) гривень можна купити \(5\) наборів. На це буде витрачень \(50\) гривень. На \(8\) гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за \(6\) гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити, \(11.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.

На рисунку відображено інформацію про результати опитування пасажирів.

Оцінку, вищу за \(8\) балів, поставили \(75\) та \(25\) опитуваних, які визначили якість на \(9\) та \(10\) балів.

Отже, правильна відповідь Б – \(75+25=100\ \text{опитуваних}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

Дано рівняння \(x^2-4ax+4a^2-25=0.\) Корені квадратного рівняння задовольняють умову \(x_1\lt 1\lt x_2.\)

Знайдемо \(a,\) при яких

Цілі значення \(a\in (-2;\ 3)\) це \(a=-1;\ 0;\ 1;\ 2.\)

Таких значень \(4.\)

Відповідь: 4.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми, побудови перерізів.

\(ABCD\) – ромб, \(AB=20,\) \(P_{AA_1C_1C}=58,\) \(AA_1=5.\) \(AA_1=CC_1=5,\) то \(A_1C_1=AC=(58-2\cdot 5):2=24.\)

За властивістю ромба \(AC\perp BD,\ AO=OC,\ BO=OD.\) Отже, у \(\Delta COD\ (\angle O=90^\circ)\) \(CD=20,\ OC=12\) за теоремою Піфагора

Площу ромбу можна знайти за формулою

Отже,

Відповідь: 1920.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Розв'яжемо задачу з комбінаторики: вибираємо з \(8\) збірників \(2,\) а з \(10\) науково-популярних книг \(3.\)

Книги різні, тому застосуємо формулу сполук, щоб знайти кількість варіантів вибору книг кожного виду та правило добутку:

Відповідь: 3360.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

Число \(27\) – член арифметичної прогресії, \(d=5.\)

Члени арифметичної прогресії:

Отже, числа з проміжку \(60;\ 75\) – це \(62;\ 67;\ 72.\)

Сума цих чисел: \(62+67+72=201.\)

Відповідь: 201.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1 – Г. У \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) \(\angle B+\angle A=90^\circ,\) \(\angle B=24^\circ,\) тому \(\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.\) \(\angle BAC=66^\circ.\)

2 – B. \(\Delta ABK\) – рівнобедрений, \(AK=KB\) за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle B=66^\circ.\)

$$ \angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ. $$

3 – A. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO -\) медіана \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника \(KO - \) висота, \(KO\perp AB.\) \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} \(\Delta ACB - \) прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних та степеневих виразів.

1. Якщо \(\frac na=3,\) то \(a=\frac n3\) – Д.

2. Якщо \(1+\log_3n=\log_3a,\) то \(\log_33+\log_3n=\log_3a,\) \(\log_3(3n)=\log_3a,\ 3n=a\) – A.

3. Якщо \(3^n\cdot 3=3^a,\) то \(3^{n+1}=3^a,\ n+1=a.\) – Б.

Застосували властивості логарифмів та степенів:

Відповідь: 1Д, 2А, 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

Схематично графіки функцій виглядають таким чином:

1. \(E(y)=[0;\ +\infty)\) – B.

2. Графік симетричний відносно осі \(y\) – A.

3. Функція спадна, тому найменше значення функція набуває при найбільшому значенні аргумента – Г.

Відповідь: 1В 2А 3Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

Розв'яжемо тригонометричне рівняння:

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Спростимо вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного трикутника, знаходження площі паралелограма, до розв'язування планіметричних задач.

За умовою \(AD=3BK,\) де \(BK\) – висота паралелограма.

У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\) за властивістю катета, який лежить напроти кута \(30^\circ,\) \(AB=2BK,\) \(BK=6\ \text{см}.\) $$ AD=3BK=3\cdot 6=18\ (\text{см}). $$

Площа паралелограма \(S=ah_a,\) де \(a=AD, h_a=BK.\) $$ S=18\cdot 6=108\ (\text{см}^2). $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом \(x(t)=6t^2.\) За фізичним змістом похідної $$ v(t)=x'(t)=(6t^2)'=12t. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних та раціональних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3y}=\frac 2x, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Застосуємо основну властивість пропорції до першого рівняння:

Методом підстановки маємо:

\((36;\ 6)\) – розв'язок системи, тому \(36+6=42\) – правильна відповідь.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердження.

I.   Середня лінія трапеції не проходить через точку перетину її діагоналей.

II.  Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники \(\Delta ABC\ne \Delta ACD.\)

III. \(AC=BD\) (властивість рівнобічної трапеції). \(\Delta ABC=\Delta DCB\) (І ознака).

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Застосували властивості:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

\(ABCD\) – квадрат.

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

Плата зросла на \(161-140=21\ (\text{грн}).\)

\(21\) гривня становить від \(140\) гривень: $$ \frac{21}{140}\cdot 100\text{%}=15\text{%}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

Нулем функції називається таке значення аргумента, при якому значення функції дорівнює нулю.

На графіку функції це точка перетину з віссю \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Застосуємо правильно додавання векторів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Розв'яжемо лінійну нерівність: \begin{gather*} x+3\le0,\\[7pt] x\le -3. \end{gather*} Зобразимо розв'язок на координатній прямій:

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Найбільша за довжиною хорда – діаметр кола.

Отже, \(AB=32,\) тому що радіус кола дорівнює \(16\ (d=2R).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Застосувавши розподільний закон множення, розкриємо дужки:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом.

Столи і стільці було придбано у співвідношенні \(1:3\) відповідно. Отже, столи становлять \(\frac 14\) всіх меблів, а стільці – решту, \(\frac 34\).

Правильно відображено розподіл на рисунку Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\(\log_2^2x-(a-1)\log_2x-a=0.\)

ОДЗ: \(x\gt 0.\)

Зробимо заміну: \(\log_2x=t.\)

Корені квадратного рівняння: