Математика

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. \(AC=16\) см, \(BD=12\) см.

Радіус основи ціліндра \(OK=AD\), \(S_\text{бічн.}=400\pi\) см\(^2.\)

У ромбі діагоналі \(AC\ \perp\ BP\) й діляться точкою перетину \(P\) навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні циліндра \(S_\text{бічн.}=2\pi RH\), де \(R=OK=AD=10\) см, \(H=OO_1=AA_1\) (за умовою задачі).

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбінаторні задачі, задачі на перестановки, комбінаторні правила добутку.

Є \(6\) рядів для \(6\) різних типів саджанців. Оскільки \(4\) ряди кісточкових мають бути поруч, їх можна розглядати як один елемент.

Разом із плодовими маємо \(3\) елементи, які можна переставляти між собою.

За формулою перестановок: \(P_n=n!\) отримаємо $$ 3!=1\cdot 2\cdot 3=6 $$ варіантів розташування цих елементів.

Усередині блоку із \(4\) кісточкових саджанців також можливі перестановки, їх буде $$ 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\ \text{варіанти}. $$

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість варіантів висадити саджанці: $$ 6\cdot 24=144\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовностей.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця, – це \(a_1=1300\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(50\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=-50\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(12\) місяців – це \(S_{12}.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів прогресії маємо:

Загальна сума, яку повинен повернути позичальник – \(12300\) грн.

Відповідь: \(12300.\)

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

\(AN=8\), \(\Delta ABC=\Delta CMN\), \(AC=CN=\frac 12AN=4\) см, \(AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}\) см.

1. Відстань від \(B\) до \(BC\) – це довжина висоти \(BK\ \Delta ABC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника: \(BK\) – висота та медіана. \(KC=\frac 12 AC=2\) см.

За теоремою Піфагора в \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}\)

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо \(MP\ \perp\ CN\) у \(\Delta CMN.\)

\(KBMP\) – прямокутник.

\(KC=CP\) в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. \(ABMN\) – рівнобічна трапеція, а \(DE\) – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання властивостей числових проміжків і властивостей логарифмів.

1. \(2e\cdot \frac 1e=2\), \(P(2).\) Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(\ln 1=0\), \(M(0).\) За властивістю логарифма: \(\log_a 1=0.\) Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=x^2\) – парна \(y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x).\) Отже, правильна відповідь – А.

2. \(y=x^3+1\), \(y'=3x^2.\) На проміжку \((-\infty; 0)\) похідна є додатною. Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=\log_2 x\) має область визначення проміжок \((0; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – B.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей, правил визначення визначеного інтеграла.

За правилом інтегрування:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростімо за формулою зведення:

Підставмо у вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

Підставмо значення \(x\) у друге рівняння системи й визначмо \(y\mathord{:}\)

\((4\mathord{,}5; -3)\) – розв'язок системи.

Відповідь: B.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину діагоналі \(OK\) можна визначити за формулою відстані між двома точками:

де \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) – координати кінців відрізку.

Відповідь: A.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, нерівності трикутника, суми кутів трикутника.

I. Твердження неправильне. Сума будь-яких двох сторін більша за третю. Це нерівність трикутника.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника може бути меншою або дорівювати \(90^\circ.\) Наприклад, у тупокутному трикутнику один кут більший за \(90^\circ\) (тупий), а сума двох інших кутів менша за \(90^\circ.\)

III. Твердження правильне. За наслідком із теореми синусів навпроти найбільшої сторони лежить найбільший кут, навпроти найменшої сторони – найменший кут.

Відповідь: В.

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

Функція \(y=a^x\) за \(a\gt 1\) є зростаючою, тому

$$ x\in [6; +\infty). $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати площі трикутників.

\(ABCD\) – квадрат, \(AC=12\) см.

Сторону квадрата визначмо з \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: $$ AC^2=AB^2+BC^2. $$ За умови, що \(AB=BC\mathord{:}\)

У \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

Отже,

Відповідь: Д.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати властивості степенів, формули скороченого множення.

За властивістю степенів: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. $$ Спростімо вираз:

Знаменник спростили за формулою квадрата суми.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Ярослав зробив \(2150\) кроків, кожний довжиною \(d\) метрів. Відстань \(s\), яку він пройшов, можна визначити:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Дотична до графіка функції паралельна до осі \(x\) у точках максимуму та мінімуму \(x_0=-2\), \(x_0=1.\)

З наведених варіантів відповіді – це \(x_0=1.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Корінь рівняння належить проміжку \((-2; 0).\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила суми.

Кількість різних варіантів замовлення одного десерту – \(10\), а однієї чашки кави – \(12.\)

За комбінаторним правилом суми кількість способів замовити або один десерт, або одну чашку кави дорівнює:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За властивістю паралельних площин: через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну заданій, і до того ж тільки одну.

Через точку \(S\) можна провести одну площину, паралельну основі піраміди.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

За діаграмою влітку на плетіння однієї сітки використовують \(50\) зелених стрічок, а восени – \(20.\) Обчислімо різницю: $$ 50-20=30\ \text{стрічок}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

Прирівняймо чисельники рівних дробів:

\(x_1=6\mathord{,}5\) не буде коренем рівняння за умови:

Рівняння має один корінь \(x_2=-3.\)

\(x_2=-3\) не буде коренем рівняння за умови, що

Рівняння має один корінь \(x_1=6{,}5.\)

Отже, рівняння має один корінь за \(a=19\mathord{,}5\) або \(a=-9.\)

У відповіді запишімо їхню суму: $$ 19\mathord{,}5+(-9)=10\mathord{,}5. $$

Відповідь: \(10\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею \(260\pi.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У прямокутному \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).\) \(MO\) – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: \(MO=\frac 12AB.\) \(MO=13\), тому \(AB=26.\)

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту \(AO=H\) визначаємо з \(\Delta AOB\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(800.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Дарина має \(4\) різні листівки і \(2\) кольори конвертів. Кожну листівку можна використати лише один раз (бо їх усього \(4\) штуки).

Оскільки адресатів чотири і вибір для кожного є незалежним, кількість способів роздати \(4\) листівки \(4\) різним адресатам обчислюємо за формулою перестановок:

Для кожного з \(4\) адресатів є два варіанти конверту (жовтий/синій), незалежно, тобто маємо \(2^4=16.\)

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(384.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідні функцій, похідну суми двох функцій, визначати способи задання функцій.

\(f(-4)=10\), тому що \(x=-4\lt-2.\)

При \(x=2\mathord{:}\)

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

\(ABCD\) – ромб, \(\Delta DCK\) – рівносторонній, \(CD=DK=CK=8.\) \(MN\) – середня лінія.

1. Висота \(CH\) трикутника \(CDK\) – це висота ромба \(ABCD.\)

У \(\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

2. \(\Delta DCK\) – рівносторонній, \(CK=CD=DK=8\), \(\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.\)

\(BC\ ||\ DK\), \(CD\) – січна. \(\angle KDC=\angle DCB=60^\circ\) як внутрішні різносторонні.

У ромбі \(ABCD\) гострий кут \(C\) дорівнює \(60^\circ.\) \(\Delta CBD\) – рівносторонній, тому \(BC=CD=BD=8.\) Менша діагональ ромба \(BD=8.\)

Правильна відповідь – Б.

3.\(BC=8\), \(AK=AD+DK=8+8=16.\)

Середнія лінія

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=4x+7\) – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

На проміжку \([-2; 6]\) найменше значення функції за \(x=-2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=x^2+1\) – квадратична функція. Найменшого значення функція набуває за \(x=0.\) $$ y(0)=0^2+1=1. $$

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=2^{x+5}\) – показникова функція. Вона зростає на всій області визначення.

На проміжку \([-2; 6]\) найменшого значення функція набуває за \(x=-2.\) $$ y(-2)=2^{-2+5}=2^3=8. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1. \(\sqrt[3]{-27}=-3.\)
\(-3\) – є цілим від'ємним числом. Отже, правильна відповідь – A.

2. \( \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{100\cdot 3}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{10}=\frac 15. \)
\(\frac 15\) є раціональним нецілим числом. Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростімо за формулами:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

За властивістю логарифмів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрату:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їхніх основних властивостей, властивостей медіани, висоти та бісектриси трикутника.

I. Твердження неправильне. Медіана збігається з бісектрисою, яку проведено до основи, тільки в рівнобедреному трикутнику. В умові трикутник довільний.

II. Твердження неправильне. Бісектриса довільного трикутника не збігається з медіаною.

III. Твердження правильне. Центр описаного кола – точка перетину бісектрис у будь-якому трикутнику.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань між точками з координатами \((x_1; y_1; z_1)\) i \((x_2; y_2; z_2)\) можна визначити за формулою

Відстань між точками \((0; 0; 0)\) i \((0; -6; 8)\mathord{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки, уміння визначати число за значенням його відсотка.

\(2\ \text{%}\) від заробітної плати становлять \(605\) грн. Складімо пропорцію:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

$$ x\in (-9; +\infty). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів та коренів, дії з ними.

Застосуймо властивості степенів:

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди \(SO\) перпендикулярна до основи \(ABCD.\) За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо \(SO\ \perp\ (ABC)\), то \(SO\) перпендикулярна до будь-якої прямої в площині \((ABC)\), а площина \((ABC)\) містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За \(x_0=-2\), \(x_0=-1\), \(x_0=5\) та \(x_0=4\) функція набуває додатного значення.

І лише за \(x_0=3\) від'ємного: \(f(3)=-1.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати ознаки подільності чисел, розв’язувати текстові задачі.

Сирні кульки фасують по \(4\) штуки в коробку. Щоб усі вони були повністю розфасовані по таких коробках, кількість кульок повинна бути кратна \(4.\)

З наведених варіантів чисел – це \(112.\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та його елементів.

Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Периметр ромба – це сума довжин усіх його сторін:

За умовою, довжина сторони \((a)\) є цілим числом (наприклад \(1\), \(2\), \(3\), \(4\ \text{...}\)). Тому, периметр \((P)\) буде завжди добутком цілого числа на \(4\), що дає числа, які кратні \(4{:}\)

З запропонованих чисел лише \(56\) – кратне \(4.\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знань про коло та його елементи.

Якщо точки \(A\), \(B\), \(C\) поділяють коло на три рівні частини, то

Звідси

Відповідь: Г.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

\begin{gather*} 18-12=6\ \text{год}. \end{gather*} Отже, густина пилу перевищувала рівень \(25\) мкг/м\(^3\) протягом \(6\) годин.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та квадратні рівняння, рівняння з параметром.

Замінімо змінну. Нехай \(3^x=t.\) Оскільки показникова функція завжди набуває лише додатних значень: \(t\gt 0.\) Рівняння набуває вигляду:

Помножмо все на \(t\ (t\ne 0){:}\)

Оскільки \(D\gt 0\), маємо два корені:

Щоб рівняння не мало коренів, необхідно, щоб \(t_1\le 0\) i \(t_2\le 0{:}\)

Спільна умова: \(a\le -2{,}5.\)

Найбільше значення \(a\) з проміжку \((-\infty; -2{,}5]\) це \(-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини ву просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми.

1. Визначмо більшу діагональ основи \((AC).\)

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу: \(S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1.\)

Звідси визначмо більшу діагональ:

2. Визначмо меншу діагональ ромба \((BD).\)

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

3. Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}).\)

Обчислімо площу ромба через його діагоналі: \begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2, \end{gather*} \(d_1\), \(d_2\) – діагоналі ромба.

4. Обчислімо об'єм \((V)\) призми за формулою:

Відповідь: \(3600.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

Виберімо \(2\) білі троянди з \(12\) наявних.

Використаймо формулу:

Виберімо \(1\) червону троянду з \(25\) наявних.

Тут усе просто: вибрати \(1\) об’єкт із \(25\) можна \(25\) способами: \begin{gather*} C_{25}^1=25. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати \(2\) білі й \(1\) червону троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(1650.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Якщо \(x\lt -2,\ f(x)=30.\) Отже, \(f(-3)=30.\)

Якщо \(x\ge -2,\ f(x)=2x^4+x.\)

Обчислимо

Відповідь: \(-35.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка \(O\) – середина діагоналі \(AC\), то

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – Д.

3.

Нехай \(BC=x.\)

Оскільки \(AB=BC\), то \(AB=x.\)

Проведімо висоту з точки \(B\) на основу \(AD.\) Нехай це буде \(BK\). У прямокутній трапеції висота \(BK=CD=24\) см. Відрізок \(AK=AD-KD.\)

Оскільки \(BCDK\) – прямокутник, то \(KD=BC=x.\) Отже, \(AK=32-x.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\) за теоремою Піфагора:

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня із цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля числа:

Отже, 1 – Д.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

Тобто

Отже, 2 – A.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=\sin x\) непарна функція.

Функція \(y=\sin x\) є непарною, бо для неї виконується рівність \(\sin (-x)=\sin (x)\), її графік є симетричним відносно початку координат. Отже, правильна відповідь – В.

3. \(y=\frac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо \begin{gather*} 2x-2\ne 0,\\[7pt] 2x\ne 2,\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка \(O\) – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} \(O\) – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(60^\circ.\) За формулою довжини дуги

де \(L\) – довжина кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

Відповідь: A.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати багаточлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різниця квадратів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв’яжімо першу нерівність:

Ця нерівність справедлива для всіх дійсних чисел \(x\in R.\)

Розв’яжімо другу нерівність:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбнiцa для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла:

де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігури згори, а \(g(x)\) – функція графік якої обмежує фігуру знизу.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=2\), то \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки \(AM\) – медіана, точка \(M\) ділить сторону \(CB\) навпіл. Отже, \(BM=MC.\) Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників \(\Delta ABM\) і \(\Delta ACM\) рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: \(S=ah_a.\)

У трикутників \(ABM\) та \(ACM\) основи рівні \((BM = MC)\), а висота \(AH\), проведена з вершини \(A\) до прямої \(CB\), у них спільна.

Отже, \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Застосували властивість: \(\sqrt[3]{a^3}=a.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо \(K(x_1; y_1; z_1)\), \(L(x_2; y_2; z_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

Нехай початкова сума грошей на картці \(x\) грн. Тоді першого разу зняли \(40\ \%\) від \(x\), або \(0{,}4x.\) Другий раз зняли \(500\) грн, після цього залишилася половина від початкової суми, тобто \(0{,}5x.\)

Складімо рівняння:

Початкова сума на картці була \(5000\) грн. На картці залишилася половина від початкової суми: \begin{gather*} 5000:2=2500\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Якщо функція набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\), її графік має повністю лежати вище від осі \(Ox\) і не дотикатися її.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Висота конуса \((H)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса із центром його основи. Твірна конуса \((L)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса з будь-якою точкою кола основи.

Оскільки висота й твірна конуса мають спільну точку (перетинаються у вершині), вони, за визначенням, лежать в одній площині.

За аксіомою стереометрії, якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_3x=2. \end{gather*} За означенням логарифма: \begin{gather*} x=3^2,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності. Підприємство за рік виготовляє
\(3x\) столів,
\(4x\) стільців.

Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців була \begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Кількість виробів може бути числом, кратним \(7.\) З наведених чисел це може бути \(91.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: \begin{gather*} \angle KBC=\angle A+\angle C,\\[7pt] \angle C=\angle KBC-\angle A,\\[7pt] \angle C=162^\circ-90^\circ,\\[7pt] \angle C=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

На діаграмі наведено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали \(5\) зал кінотеатру.

Біла зала – \(55\),
синя зала – \(40\),
жовта зала – \(35\),
зелена зала – \(20\),
чорна зала – \(45.\)

Знаходимо різницю між кількістю глядачів, які відвідали білу й зелену зали:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

Якщо \(a=2\), рівняння не має коренів \((x\cdot 0=7).\)

Якщо \(a\ne 2\), корінь є. Його визначають так: $$ x=\frac{a+5}{a-2}. $$

Корінь рівняння буде додатним, якщо $$ \frac{a+5}{a-2}\gt 0. $$

Розв'яжімо методом інтервалів:

На проміжку \(a\in [-9; 9]\) рівняння має розв'язок, якщо \(a\in [-9; -5)\cup (2; 9].\)

Цілі значення \(a\) із цього проміжку: \(-9\), \(-8\), \(-7\), \(-6\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9.\) Тобто цілих значень \(a\) \(11.\)

Відповідь: \(11.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

Радіус основи конуса \(O_1B=CO\) – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У \(\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)\).

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

Відповідь: \(125.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язку комбінаторних задач.

На ринку є \(10\) моделей кольорових принтерів. Вибрати \(2\) з них можна \(\mathrm{C}_{10}^2\) варіантами.

Вибрати \(3\) принтери з \(8\) монохромних моделей можна \(\mathrm{C}_8^3\) варіантами.

Підприємство планує купити і \(2\) кольорові, і \(3\) монохромні. Кількість варіантів такого вибору визначають за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(2520.\)

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбница для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b \left(f(x)-g(x)\right) dx, $$ де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Відповідь: \(5\mathord{,}1.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Площа круга із центром у точці \(O_1\) дорівнює \(625\mathbf{\pi}\) см\(^2.\)

1. Відстань від \(O_2\) до сторони \(BC{:}\) $$ O_2K=\frac 12BA=\frac 12\cdot 30=15\ \text{см}. $$

\(O_2K\ \perp\ BC\), а \(KP\) – діаметр кола.

Правильна відповідь – B.

2. Центр кола \(O_1\), описаного навколо прямокутника \(ABCD\), лежить на середині діагоналі \(BD.\)

У \(\Delta ABD\) \((\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Д.

3. Відстань $$ O_1O_2=FO_1-FO_2, $$ де \(FO_2\) – радіус кола із центром у точці \(O_2.\)

Правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A.

ТЕМА: Дійсні числа. Раціональні, ірраціональні, тригонометричні й логарифмічні числа.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. За властивістю степенів: $$ a^n:a^m=a^{n-m}, $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За властивістю логарифмів:

Отже,

Правильна відповідь – Б.

3. Спростiмо вираз за формулою різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$ \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) – табличне значення.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=-x^3\) набуває всіх значень із проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=\sqrt{x}\) має лише одну спільну точку з колом \(x^2+y^2=9\) (центра кола \((0; 0)\) і радіус \(3\)).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\cos x.\) З тригонометричних функцій \(y=\sin x\), \(y=\cos x\), \(y=\operatorname{tg}\ x\), \(y=\operatorname{ctg}\ x\) тільки одна функція парна – це \(y=\cos x\). Всі інші тригонометричні функції – непарні.

Функція \(y=\cos(x)\) є парною, бо для неї виконується рівність \(\cos(-x)=\cos(x)\), її графік є симетричним відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати первісну, використовуючи її основні властивості.

За таблицею первісних: функція \(f(x)=e^x\) має первсну \(F(x)=e^x + C\), функція \(f(x)=1\) має первісну \(F(x)=x+C\), де \(C\) – стала.

Визначмо загальний вигляд первісних для функції \(f(x)=2e^x+1\mathord{:}\) $$ F(x)=2e^x+x+\mathrm{C}. $$

Відповідь: Б.