Математика

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(f(x)=2^x\)

Б область значень \((0;\ +\infty).\)

2. \(f(x)=tg x\)

A функція непарна (графік симетричний осі \(y\)).

3. \(f(x)=2x+1\)

Д графік має лише дві точки перетину з осями координат.

Відповідь: 1Б, 2А, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

За властивістю логарифма числа

\begin{gather*} \log_a{b^n}=n\cdot \log_a{b},\\[7pt] \log_{a^k}{b}=\frac 1k\log_a{b},\\[7pt] \log_2{64}=\log_2{2^6}=6\cdot \log_2{2}=6,\\[7pt] \log_{64}{2}=\log_{2^6}{2}=\frac 16\log_2{2}=\frac 16. \end{gather*}

Отже, у порядку зростання числа $$ \log_{64}{2},\ \ \log_{2}{64},\ \ 11 $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжемо систему лінійний нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-5\lt 2x, & \\ 12-9x\le 3x, & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-2x\lt 5, & \\ -9x-3x\le -12, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ -12x\le -12 & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ x\ge 1. & \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, похідну суми.

Знаходимо похідну функції $$ y=2x+\cos x. $$

За правилом \((u+v)'=u'+v'\) \begin{gather*} y'=2-\sin x \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Розв'яжемо показникове рівняння: \begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}\\[6pt] 2x-1=-2,\ \ 2x=-2+1,\\[6pt] 2x=-1,\ \ x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=-0,5\) належить проміжку \((-1;\ 0].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трапеції, властивостей паралельних прямих.

I. \(\angle BAD+\angle ABC=180^\circ\) правильне твердження. За властивістю трапеції сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює \(180^\circ.\)

II. \(\angle BCA=\angle CAD\) правильне твердження. \(BC || AD,\ CA\) – січна. \(\angle BCA\) та \(\angle CAD\) – внутрішні різносторонні.

III. \(AC=BD\) неправильне твердження. Діагоналі довільної трапеції не рівні.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Спростимо вираз:

$$ 3(1-x)(1+x)=3(1-x^2)=3-3x^2. $$

Використали формулу різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=\sqrt{x}\) паралельно перенесли на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(x.\) Отримали функцію \(y=\sqrt{x+2}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

Число, \(25\text{%}\) якого дорівнює \(50,\) знаходимо \(50:25\cdot 100=200.\)

Або \begin{gather*} 25\text{%} - 50,\\[7pt] 100\text{%} - x. \end{gather*}

Отже, \begin{gather*} \frac{25}{100}=\frac{50}{x},\\[6pt] x=\frac{50\cdot 100}{25}=200. \end{gather*}

Або \(25\text{%}\) – це \(\frac 14\) від числа. Отже, число дорівнює \(50\cdot 4=200.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції.

Графіком квадратичної функції \(y=x^2\) є парабола, яка симетрична осі \(Oy.\) Отже, якщо точка \(P\) належить графіку, то симетрична їй точка \(N\) може належати цьому графіку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння обчислення об’єму циліндра.

Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(H=10\ \text{см},\ R=4\ \text{см}\). $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 4^2\cdot 10=160\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ (\text{см}^3). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 2x-3=4\\[7pt] 2x=4+3\\[7pt] 2x=7\\[7pt] x=3,5 \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів та паралелограма.

\(\angle ABM+\angle ABC=180^\circ\) за властивістю суміжних кутів.

За властивістю паралелограма $$ \angle B=\angle D=155^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, використовувати ознаки подільності чисел.

Нехай кількість бізе була \(x\) одиниць, тоді бісквітів – \(5x\) одиниць.

Отже, всього тістечок було $$ x+5x=6x. $$

Кількість тистечок може бути числом, кратним \(6\). З наведених чисел це може бути \(72.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події.

У кошику лежать 4 зелених і 5 жовтих яблук.

Імовірність того, що це яблуко буде жовтого кольору $$ P(A)=\frac 59, $$ \(A\) – вийняли жовте яблуко.

За формулою $$ P(A)=\frac mn, $$ де \(m=5\) – кількість жовтих яблук, \(n=9\) – кількість усіх яблук.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо \(a=0\).

2. Визначимо всі розв'язки системи:

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\(D\geq 0\) при будь-якому значенні \(a\).

Знайдемо значення \(y\): \begin{gather*} \text{якщо}\ x_2=-1,\ \text{то}\ 3^{y^2}=\frac{8-(-1)}{3}=3\\[6pt] y^2=1,\ \ y=1\ \text{або}\ y=-1. \end{gather*}

Отже, \((-1;\ 1),\ (-1;\ -1)\) – розв'язки системи при всіх значеннях \(a\).

якщо \(x_1=\frac 3a\), то

Якщо \(y^2\geq 0\), то \(3^{y^2}\geq 1\).

Отже, розв'язки \(\left(\frac 3a;\ \sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)\) та \(\left(\frac 3a;\ -\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)\) будуть розв'язками системи за умови \begin{gather*} \frac{8a-3}{3a}\geq 1,\ \ \frac{8a-3-3a}{3a}\geq 0,\\[6pt] \frac{5a-3}{3a}\geq 0,\ \ \frac{5(a-0,6)}{3a}\geq 0 \end{gather*}

розв'яжемо методом інтервалів:

Відповідь:
1. \((-1;\ -1)\ (-1;\ 1)\)
2. якщо \(a\in [0;\ 0,6)\), то розв'язком є \((-1;\ 1)\) i \((-1;\ 1)\)
якщо \(a\in (-\infty;\ 0)\cup [0,6;\ +\infty)\), то розв'язками системи є \((-1;\ 1);\ (-1;\ -1); \left(\frac 3a;\ \sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right);\) \(\left(\frac 3a;\ -\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)\).

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Розкладемо квадратний тричлен на множники:

що й треба було довести.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

\(ABCD\) - прямокутник, \(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta},\ \ AD=BC=d\). \(AK\) видно з точки \(D\) під кутом \(30^\circ\). Отже, \(\angle ADK=30^\circ\).

1. Вписаний кут \(AKD\) спирається на діаметр \(AD\), тому \(\angle AKD=90^\circ \).

2. У \(\triangle AKD\ (\angle K=90^\circ) \). \(AD=d,\ \angle D=30^\circ ,\)

Відповідь: 2. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\sqrt{3}}\right)\).

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру, знаходження об’єму.

1. \(ABCD\) – осьовий переріз, \(AD,\ BC\) – діаметри основ, \(AD=BC=d\).

2. Твірна \(AB\) перпендикулярна площині основи, тому й \(BC\), яка належить цій площині. \(AC\) – похила до площини основи, \(BC\) – проекція \(AC\) на площину. \(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут між \(AC\) й верхньої основи циліндра.

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(R=\frac 12 BC=\frac 12 d\), \(H=AB\).

Відповідь: \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію \(y=x^3-12x\)

1.

2. Точки перетину графіка \(y=x^3-12x\) із віссю \(x\):

3.

Використали правило знаходження похідної степеневої функції $$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}. $$

4. Нулі функції \(f'\) \begin{gather*} f'=3x^2-12=0,\ \ 3(x^2-4)=0,\\[7pt] x^2-4=0,\ \ x_1=2\ \text{або}\ x_2=-2. \end{gather*}

5. Знайдемо знаки похідної функції.

\(f'=0\) при \(x_1=2\) та \(x_2=-2\)

Точки екстремуму: \(x_{max}=-2\) (знак похідної змінюється з "+" на "–"),
\(x_{min}=2\) (знак похідної змінюється з "–" на "+").
\(f(x)\) зростає при \(x\in (-\infty;\ -2]\) та \([2;\ +\infty)\)
\(f(x)\) спадає при \(x\in [-2;\ 2]\).

Знайдемо екстремуми функції:

6.

Відповідь:

1. \(x=-1,\ \ y=11,\)
\(x=0,\ \ y=0,\)
\(x=2,\ \ y=-16\).
2. \((0;\ 0),\ (-2\sqrt{3};\ 0),\ (2\sqrt{3};\ 0)\).
3. \(f'(x)=3x^2-12\).
4. \(x_1=2;\ \ x_2=-2\).
5. Проміжки зростання: \((-\infty;\ -2],\ [2;\ +\infty)\)
проміжок спадання: \([-2;\ 2]\)
точки екстремуму: \(x_{max}=-2;\ \ x_{min}=2\).
екстремуми: \(f_{max}=16;\ \ f_{min}=-16\).

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення.

Кількість способів вибрати 3 смайлики з 15 знаходимо за формулою розміщень:

$$ A^k_n=\frac{n!}{(n-k)!} $$ Вибрані смайлики можуть розміщуватися по-різному.

Відповідь: 2730.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності з модулем.

Сума всіх цілих розв'язків: $$ 6+7+8+9+10+11+12=63 $$ Всі розв'язки містяться на проміжку \([-15;\ 15]\).

Відповідь: 63.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використаємо властивості степені та логарифмів

Відповідь: 25.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь.

Нехай доповідь триває \(x\) хвилин, тоді презентація – \((x+10)\) хвилин.
\(3\) доповіді тривали \(3x\) хвилин,
\(2\) презентації – \(2(x+10)\) хвилин.
Доповіді й презентації тривали \(40\) хвилин. Отже, складемо рівняння:

\begin{gather*} 3x+2(x+10)=40,\\[7pt] 3x+2x+20=40,\\[7pt] 5x=20,\\[7pt] x=4. \end{gather*} Доповідь тривала \(4\) хвилини.

Відповідь: 4.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події.

Нехай імовірність того, що переможе Антон буде \(p\). Тоді ймовірність перемоги Миколи – \(p\), а Наталі – \(2p\).

Оскільки сума ймовірностей дорівнює 1, то \begin{gather*} p+p+2p=1,\\[7pt] 4p=1,\\[6pt] p=\frac 14 = 0,25 \end{gather*}

Відповідь: 0,25.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію \(a_n\) задано формулою \(n-\text{го}\) члена: \(a_n=5-3,6n\).

1. \(a_6=5-3,6\cdot 6=5-21,6=-16,6.\)

2.

Відповідь: 1. -16,6. 2. -7,2.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

1. \begin{gather*} \overline{a}(2;\ -9;\ 3)\\[7pt] \overline{b}=-2\overline{a}(-4;\ 18;\ -6) \end{gather*} Сума координат \(-4+18+(-6)=8\).

2.

$$ \overline{a}(a_1;\ a_2;\ a_3),\ \overline{b}(b_1;\ b_2;\ b_3) $$ За формулою \(\overline{a}\cdot \overline{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) знаходимо скалярний добуток векторів:

Відповідь: 1. 8. 2. –188.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.

\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)

1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.

Площа круга \(S=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)

2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).

У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 20. 2. 240.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.

1. У 100 г морозива міститься:

2. Морозиво, з'їдене Ладою, становило \(30\ \text{%}\) від \(500\ \text{г}\). Маса з'їденого морозива $$ 500\cdot 0,3=150\ \text{г}. $$

У \(100\ \text{г}\) морозива енергетична цінність становить \(206\ \text{ккал}\).

У \(150\ \text{г}\) морозива енергетична цінність становить \(206\cdot 1,5=309\ \text{ккал}\), тому що \(150\ \text{г}\) у \(1,5\) рази більше, ніж \(100\ \text{г}\).

Відповідь: 1. 206. 2. 309.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма, ромба; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

1. На рис. 1 зображено ромб. За властивістю ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом. Отже, 1 – A.

2.

У \(\triangle ABK (\angle K=90^\circ )\) катет \(BK=4\) менше гіпотенузи вдвічі \(AB=8\), тому \(\angle A=30^\circ\ \left(\sin 30^\circ=\frac 12=\frac{BK}{AB}\right)\). Правильна відповідь - Б.

3.

За формулою \(S=ah_a\), де \(a=8,\ \ h_a=2\). Площа паралелограма \(S=8\cdot 2=16\). Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

1. Довжина діагоналі куба дорівнює \begin{gather*} B_1D^2=AD^2+DC^2+DD_1^2=\\[7pt] =2^2+2^2+2^2=12\\[7pt] B_1D=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \end{gather*} Отже, 1 - В.

2. Бічне ребро \(AA_1\perp (A_1B_1C_1)\), а отже, й прямій \(A_1C_1\), яка міститься в цій площині $$ AA_1=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}(A, A_1C_1)=2 $$ отже, 2 - A.

3. Осьовий переріз куба \(BB_1D_1D\) перпендикулярний площині основи. \(AO\perp BD\) за властивістю квадрата. Отже, \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}(A,\ (BB_1D_1))=AO\\[7pt] AC=2\sqrt{2},\\[7pt] AO=\frac 12 AC=\frac 12\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}. \end{gather*} отже, 3 - Д

Відповідь: 1В, 2А, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази, вирази з модулем та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $$ |x-\sqrt{5}|=|\sqrt{5}-1-\sqrt{5}|=|-1|=1 $$ Oтже, 1 - Б.

2. \begin{gather*} (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=\\[7pt] =5-1=4 \end{gather*} використали формулу $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ Отже, 2 - B.

3. \begin{gather*} x^2+2x+1=(x+1)^2=\\[7pt] =(\sqrt{5}-1+1)^2=(\sqrt{5})^2=5 \end{gather*} використали формулу $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ Отже, 3 - Г.

Відповідь: 1Б, 2В, 3Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо задані графіки функцій

1. \(y=\log_2 x\)

Не перетинає вісь \(y\). Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2+3\)

Має лише одну спільну точку з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\). Отже, 2 - Г.

3. \(y=\cos x\).

Розташований у всіх координатних чвертях. Отже, 3 - В.

Відповідь: 1А, 2Г, 3В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

\(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD\). Уздовж основи \(BC\) встановлено \(15\) стовпчиків на відстані \(1\) м. Отже, довжина сторони \(BC=14\ \text{м}\).

Відстань між паралельними сторонами \(BC\) та \(AD\) дорівнює \(5\) м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$

У \(\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Уздовж сторін \(AB\) й \(CD\) має бути по \(13\) стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41 $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо показникову нерівність:

Функція \(y=3^x\) зростає, отже, \begin{gather*} x\lt 3-x;\ \ 2x\lt 3;\ \ x\lt \frac 32.\\[7pt] x\in (-\infty;\ \frac 32). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(EF\) – апофема (висота бічної грані).

\(ABCD\) – квадрат зі стороною \(8\ \text{см}\). $$ S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208\ \text{см}^2 $$

За формулою

запишемо площу бічної поверхні (де \(m=EF\)) $$ S_{\text{основи}}=8^2=64\ (\text{см}^2) $$

Отже,

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання скеровано на перевірку знання геометричного змісту визначеного інтеграла.

Використаємо геометричний зміст визначеного інтеграла та формулу Ньютона-Лейбніца, знаходимо площу фігури: \begin{gather*} S=\int_{0}^{4}(3-f(x))dx \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником, логарифмічних виразів.

Запишемо числа \(a,\ b\) i \(c\) в іншому вигляді:

Правильна подвійна нерівність \begin{gather*} -1\lt 0,2\lt 2,\ \text{отже},\\[7pt] c\lt b\lt a \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння.

Розв'яжемо рівняння $$ \frac{x}{9-x}=\frac 12;\ \ x\ne 9 $$

Використаємо властивість пропорції

належить проміжку \((2;\ 5]\).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Використаємо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=1\) та спростимо вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Температуру породи на глибині, що на \(h\) м нижче від першого рівня, можна визначити за формулою: $$ t=12+\frac{3h}{100} $$ Початкова температура \(+12 ^\circ \mathrm{C}\).

Температура підвищується, отже, в формулі знак "\(+\)".

\(3\cdot \frac{h}{100}\) – підвищиться на \(3\ ^\circ \mathrm{C}\) кожні \(100\ \text{м}\).

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом планіметрії, нерівності трикутника, рівності трикутників.

Точки \(A,\ B,\ C,\ D\) лежать в одній площині.

I.

точка \(B\in CD\), отже, за аксіомами планіметрії \(CD=CB+BD\).

II.

точка \(A\notin CD\), то за нерівностю трикутників \(AC+AC\gt CD\).

III.

\(CD\cap AB =0\), \(CD\) – серединний перпендикуляр відрізка \(AB\), отже, будь-яка точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка. Отже, \(AC=CB\).

Правильними є твердження І та ІІІ.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція, графік якої проходить через початок координат, проходить через точку \((0;\ 0)\). З наведених функцій це \(y=x\).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника \(180^\circ\).

\(\angle B=40^\circ\), тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$

За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle C\). Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння другого степеня, знання теореми Вієта.

І спосіб: заходимо корні рівняння

ІІ спосіб: за теоремою Вієта: $$ x_1+x_2=-b=-3 $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання про сферу та її основні елементи, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Відстань між точками на сфері – це хорда.

Найбільша відстань між двома точками на сфері – найбільша за довжиною хорда – діаметр $$ R = 10\ \text{см},\ \ d = 20\ \text{см}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати інформацію, подану у графічній формі.

Кількість відвідувачів у червні становила \(\frac 14\) від сумарної кількості всіх відвідувачів.

На діаграмі Г правильно зображено розподіл відвідувачів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Отже, квартира №31 знаходиться на 5 поверсі.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо \(a=0\).

Підставимо у друге рівняння замість \(4^{\sqrt{y}}\) число 2.

Отже, за \(a=0\) розв'язком системи є \((-3;\ 0,25)\).

2. Нехай \(a\ne 0\).

Почленно додамо рівняння \begin{gather*} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}-2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=8\\[7pt] ax^2+3ax-2x-6=0,\\[7pt] ax^2+(3a-2)x-6=0. \end{gather*}

Отримаємо квадратне рівняння.

Система рівносильна сукупності систем:

Оскільки \(4^{\sqrt{y}}\geq 1\ \left(y\geq 0,\ \sqrt{y}\geq 0,\ 4^{\sqrt{y}}\geq 4^0\right)\), отримуємо

Тоді \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \sqrt{y}=\log_4\frac{a-2}{2a}, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ y=\log^2_4\frac{a-2}{2a}. & \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь:
1. \((-3;\ 0,25)\)
2. якщо \(a\in (-\infty;\ -2)\cup [0;\ +\infty)\), то розв'язком є \((-3;\ 0,25)\)
якщо \(a\in [-2;\ 0)\), то розв'язками є \((-3;\ 0,25)\) та \(\left(\frac 2a;\ \log^2_4\frac{a-2}{2a}\right)\).

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність.
I спосіб:

Отже, вирази рівні.

ІІ спосіб:

Розкладемо вираз \(2a^2+5a-3\) на множники:

Розклали за формулою: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), де \(x_1,\ x_2\) – корені квадратного тричлена.

Отримаємо, \begin{gather*} \frac{(2a-1)(a+3)}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\\[6pt] 2a-1=2a-1, \end{gather*} вирази рівні.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. Прямокутник \(ABCD\) - осьовий переріз циліндра.

\(AC=BD=d\). Точка \(K\) лежить на колі нижньої основи циліндра \(\smile AK=90^\circ\), тому \(\angle AOK=90^\circ\).

Пряма \(KD\) – пряма перетину площини \((KBD)\) з площиною нижньої основи.

\(\angle AKD=90^\circ\) (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то \(AK\perp KD\).

Таким чином, \(\angle AKB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) – лінійний кут двогранного кута між площинами (\(BKD)\) і площиною основи циліндра.

2. \(\triangle AKD\) – рівнобедрений (\(KO\) – медіана та висота) \(AD=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), тому за теоремою Піфагора:

Отже, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\right)\).

Відповідь: 2. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\right)\).

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.

1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник \(ABCD\)) зображено на рисунку:

2. Твірна \(CD\) перпендикулярна основі, \(CA\) – діагональ, \(AD\) – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, \(\angle CAD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\).

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(R=OA=OD\) – радіус основи циліндра, \(H=CD\) – висота.

Отже,

Відповідь: \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію \(y=x^3-3x\)

1.

2. Точки перетину графіка \(y=x^3-3x\) із віссю \(x\) знаходимо за умови \(y=0\): \begin{gather*} x^3-3x=0,\ \ x(x^2-3)=0,\\[7pt] x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x=\sqrt{3}& \\ x=-\sqrt{3}& \end{array}\right. \end{gather*} \((0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)\) – точки перетину з віссю \(x\).

3.

4. \begin{gather*} f'(x)=0,\ \ 3x^2-3=0,\\[7pt] 3(x^2-1)=0,\ \ 3(x-1)(x+1)=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x-1=0 & \\ x+1=0& \end{array}\right. \ \ \left [ \begin{array}{l l} x=1 & \\ x=-1& \end{array}\right. \end{gather*}

5. Визначимо проміжки зростання і спадання функції

При \(f'(x)\gt 0\) функція зростає, при \(f'(x)\lt 0\) – спадає. Отже,
\(f(x)\) зростає при \(x \in (-\infty;\ -1]\) i \([1;\ +\infty)\);
\(f(x)\) спадає при \(x\in [-1;\ 1]\).

Точки екстремуму: \(x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1\),
екстремуми функції: \(f_{max}=f(-1)=2;\ \ f_{min}=f(1)=-2\).

6.

Відповідь:

1. \(x=0,\ \ y=0,\)
\(x=-1,\ \ y=2,\)
\(x=2,\ \ y=2\).
2. \((0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)\).
3. \(f'(x)=3x^2-3\).
4. \(x=1;\ \ x=-1\).
5. Проміжки зростання: \((-\infty;\ -1],\ [1;\ +\infty)\)
проміжок спадання: \([-1;\ -1]\)
\(x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1\).
\(f_{max}=2;\ \ f_{min}=-2\).

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.

Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:

Кількість розміщень політичних новин в стрічці \(2!\), а суспільних новин – \(3!\). Спортивна новина 1 та йде останньою.

За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$ 2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12 $$

Відповідь: 12.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння \(x^4-x^2-20=0\) – біквадратне. Розв'яжемо заміною:

Повернемось до заміни:

Добуток його дійсних коренів: $$ x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5. $$

Відповідь: –5.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.

Вираз \(3a-4=3\cdot 0,7-4=2,1-4=-1,9\).

Отже, \(|3a-4|=-3a+4\).

Значення виразу $$ -6a+4=-6\cdot 0,7+4=-4,2+4=-0,2. $$

Відповідь: –0,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності. Дезінфікувальний розчин містить:
\(2x\ \text{г}\) – концентрату
\(7x\ \text{г}\) – води
\(\frac{7x}{10}\ \text{г}\) – ароматичної рідини. Разом \(485\ \text{г}\)

\begin{gather*} 2x+7x+0,7x=485\\[7pt] 9,7x=485\\[7pt] x=50. \end{gather*} Концентрату потрібно $$ 2x=2\cdot 50=100\ \text{г}. $$

Відповідь: 100.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.

У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$ P(A)=\frac{14}{25}=0,56 $$

Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.

Відповідь: 0,56.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію задано \(a_n=2,6n-7\)

1. \(a_7=2,6\cdot 7-7=18,2-7=11,2\)

2.

Отже,

Відповідь: 1. 11,2. 2. 7,8.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

1. \begin{gather*} A(x;\ y;\ z)\ \ \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ 0-z)\\[7pt] \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ -z)\\[7pt] \overline{AB}(-3;\ 8;\ 1)\\[7pt] 7-x=-3,\ x=10,\\[7pt] -2-y=8,\ y=-10,\\[7pt] -z=1,\ z=-1. \end{gather*} ордината \(\text{т.}\ A\ =\ -10\).

2.

За формулою скалярного добутку:

Відповідь: 1. –10. 2. –111.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)

1.

2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.

1. Повернуті гроші – це вартість квитка й половина вартості плацкарти. Крім того, стягнуть збір 18 грн.

2. Сума грошей \(P\) від вартості документа становить: $$ \frac{90}{240}\cdot 100\ \text{%}=37,5\ \text{%} $$

Відповідь: 1. 90. 2. 37,5.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

Усі грані цього прямокутного паралепіпеда – прямокутники.

1. \(CB\perp (AA_1B_1)\) – відстань від т.\(C\) до \((AA_1B_1),\ CB=4\), отже, 1 - B.

2. \(CC_1\perp (ABC),\ AC\subset\ (ABC)\rightarrow\) відстань від т.\(A\) до \(CC_1\) – це відрізок \(AC.\)
\(AC^2=AD^2+DC^2,\ AC=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Oтже, 2 - Г.

3. \((ABC)||(A_1B_1C_1)\). Отже, відстань між ними – це довжина бічного ребра. \(AA_1=2\). Отже, 3 – A.

Відповідь: 1B, 2Г, 3A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).

1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.

2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $$ a^2=\left(-2\frac 13\right)^2=\left(-\frac 73\right)^2=\frac{49}{9}=5\frac 49 $$ число більше від 5, отже, 1 - А.

2. \begin{gather*} a+|a|=a+(-a)=0,\ \text{оскільки}\ a\lt 0.\\[6pt] |a|= \left\{ \begin{array}{l l} a,\ \text{якщо}\ a\geq 0, & \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0,& \end{array}\right. \end{gather*} Отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} \log_5 5^a=a\log_5 5=a\cdot 1=a=-2\frac 13, \end{gather*} є від'ємним числом, отже, 3 - В.

Відповідь: 1A, 2Д, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність) функції.

1. \((x-3)^2+(y-4)^2=4,\ \ (3;\ 4)\) – центр кола, \(R=2\).

Графік функції не має спільних точок з колом. Отже, 1 - Г.

2.

Найменше значення функції на проміжку \([1;\ 3]\) дорівнює \(2\). Отже, 2 - Б.

3. Графік функції тричі перетинає пряму \(y=1\). Отже, 3 - Д.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

Катет \(KM\) протилеглий куту \(30^\circ\) дорівнює половині гіпотенузи \(KN\). $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат зі стороною 6 см.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Формула синуса подвійного кута \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) є в довідкових матеріалах.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція \(y=\log_{0,9}(3x)\) – спадна, отже, знак нерівності змінюємо на протилежний. Враховуючи ОДЗ, отримаємо: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 3x\gt 0 & \\ 3x\lt 0,9^2& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x\gt 0 & \\ 3x\lt 0,81& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x\gt 0 & \\ x\lt 0,27& \end{array}\right. \end{gather*}

\(x\in\ (0;\ 0,27)\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником.

Використовуємо властивості степенів: $$ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n;\ \ a^n:b^n=a^{n-m}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження первісної степеневої функції.

Знаходимо первісну степеневої функції:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Розв'яжемо ірраціональне рівняння: $$ \sqrt{x+12}=3 $$ піднесемо обидві частини рівняння до квадрату.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак ромба.

І. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°. Ця властивість у будь-якому ромбі не виконується. Отже, твердження неправильне.

ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба). Правильне твердження.

ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні (означення ромба). Правильне твердження.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Атмосферний тиск \(p= 760-\frac{10h}{100}\).

На висоті \(h\) метрів атмосферний тиск знижується на 10 мм рт. ст. кожні 100 м.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми кутів чотирикутника.

Сума кутів будь-якого чотирикутника 360°. Сума трьох кутів – 280°, тому четвертий кут: $$ 360^\circ-280^\circ=80^\circ $$

Якщо гострі кути паралелограма \(\angle A=\angle C=80^\circ\), то \(\angle B=\angle D=180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).

Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює 180° (як внутрішні односторонні при паралельних прямих і січної).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Дано: лінійна функція \(y=-2x+3\).

\(k=-2\), отже, функція спадна
\(b=3\), отже, точка перетину графіка з віссю \(Oy\) (0; 3).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеню.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 1-5x=0\\[7pt] -5x=-1\\[6pt] x=\frac{-1}{-5}\\[6pt] x=\frac 15 \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати дані, подані графіком або таблицею.

Температура двигуна була не більшою за 50 °C протягом 3 хвилин.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

3 грн – 6 конвертів, 12 грн – \(x\) конвертів. Прямо пропорційна залежність між величинами. $$ \frac{3}{12}=\frac 6x,\ \ x=\frac{12\cdot 6}{3}=24\ (\text{конверти}). $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти на розгортках елементи тіл обертання, знаходити їх основні елементи.

1. \(C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=36\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ =>\ R=18\), отже 1 - Б.

2.

отже 2 - А.

3. Радіусом сектора, що є розготкою бічної поверхні конуса, є твірна \(AB\).

отже 3 - В.

Відповідь: 1Б, 2А, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. \((a-2,7)=4,5-2,7=1,8\in\ (1;\ 2)\), отже 1 - В.

2. \(\sqrt[3]{3,5-4,5}=\sqrt[3]{-1}=-1\in\ (-2;\ 0)\), отже 2 - A.

3. \begin{gather*} \log_5 a=\log_5 4,5;\\[7pt] \log_5 1\lt\log_5 4,5\lt \log_5 5.\\[7pt] y=\log_5 x\ \text{зростаюча функція}\\[7pt] 0\lt\log_5 4,5\lt 1, \end{gather*} отже, 3 - Б

Відповідь: 1В, 2А, 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.

1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.

2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.

3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.

Відповідь: 1A, 2В, 3Д.