Національний мультитест з математики – Варіант 44

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Перетворімо мішане число \(1\dfrac 23\) на неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac 23=\frac{1\cdot 3+2}{3}=\frac 53. \end{gather*}

Запишімо пропорцію:

\begin{gather*} \frac 2x=\frac 53. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c.\\[6pt] 5\cdot x=2\cdot 3;\\[6pt] 5x=6;\\[7pt] x=\frac 65. \end{gather*}

Виділімо цілу частину:

\begin{gather*} x=1\frac 15. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання ознаки паралельності прямої та площини, а також властивостей призми.

Пряма \(AB_1\) є діагоналлю лівої грані куба \(ABB_1A_1.\)

Протилежна й паралельна їй грань – це \(DCC_1D_1.\) Відповідна паралельна діагональ у цій грані – пряма \(DC_1\) (чотирикутник \(ADC_1B_1\) є паралелограмом, тому \(AB_1\!\parallel\!DC_1\)).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, її кутів і сторін, а також вміння застосовувати умови існування чотирикутників і вписаних у них кіл.

I. Існує трапеція, у якій сума довжин основ дорівнює довжині її висоти.

Не існує геометричних обмежень щодо співвідношення між сумою основ і висотою. Наприклад, якщо основи трапеції дорівнюють \(a=1\) та \(b=2\), а висота \(h=3\), то \(a+b=h=3.\) Така трапеція існує. Твердження правильне.

II. Існує прямокутна трапеція, у якій суми градусних мір протилежних кутів рівні.

Сума кутів чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\) Якщо суми протилежних кутів рівні, то кожна з них дорівнює \(180^\circ.\) У прямокутній трапеції два кути вже дорівнюють \(90^\circ\), тому для виконання умови інші два кути також мають бути по \(90^\circ.\) Проте фігура, у якої всі чотири кути прямі, є прямокутником, а не трапецією. Твердження неправильне.

III. Існує прямокутна трапеція, у якій сума довжин бічних сторін дорівнює сумі довжин її основ.

Рівність суми бічних сторін і суми основ – умова існування вписаного в чотирикутник кола. Прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло, існує. Наприклад, якщо основи \(a=3\) і \(b=6\), а висота (перша бічна сторона) \(h=4\), то друга бічна сторона \(c=\sqrt{4^2+(6-3)^2}=5.\) Сума основ: \(3+6=9\), сума бічних сторін: \(4+5=9.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником і його властивостей.

Запишімо десяткові дроби в степені числа \(2{:}\)

Використали властивості степенів з натуральним показником:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y};\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції та визначати значення аргумента x, за яких функція набуває додатних значень.

Вираз функція набуває додатних значень означає, що \(f(x)\gt 0.\)

Нерівність \(f(x)\gt 0\) виконується для тих значень аргумента, за яких графік функції розташований у верхній півплощині (вище від осі \(Ox\)). Функція набуває додатних значень на проміжку \(x\in [-2; 1).\)

Серед запропонованих варіантів лише значення \(x=0\) входить у цей проміжок. У точці \(x=1\) функція дорівнює нулю \(f(1)=0\), що не задовольняє строгу нерівність.

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використаймо властивість логарифмів:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(6{:}\)

\begin{gather*} 6\cdot \frac x3\lt 6\cdot \frac x2+6\cdot 3;\\[6pt] 2x\lt 3x+18. \end{gather*}

Перенесімо доданок \(3x\) у ліву частину зі зміною знака:

\begin{gather*} 2x-3x\lt 18;\\[7pt] -x\lt 18. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} x\gt -18. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

Отже, \(x\in (-18; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Завдання перевіряє вміння обчислювати градусну міру центрального кута кола.

Повний оберт навколо центра кола становить \(360^\circ.\)

Оскільки точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) ділять коло на п'ять рівних частин, градусна міра кожної утвореної дуги дорівнює:

\begin{gather*} \frac{360^\circ}{5}=72^\circ. \end{gather*}

Кут \(AOE\) є центральним кутом, що спирається на дугу \(AE.\) За властивістю центрального кута його градусна міра дорівнює градусній мірі відповідної дуги:

\begin{gather*} \angle AOE=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Застосуймо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), звідки \(\sin^2 x=1-\cos^2 x.\)

Підставмо відоме значення \(\cos^2 x=0{,}4{:}\)

\begin{gather*} -2\cdot 0{,}4=-0{,}8. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами й визначати модуль (довжину) вектора.

Оскільки \(O(0; 0; 0)\) – початок координат, то координати векторів \(\overrightarrow{OA}\) і \(\overrightarrow{OB}\) збігаються з координатами точок \(A\) і \(B{:}\)

\begin{gather*} \overrightarrow{OA}(1; -2; 5);\\[7pt] \overrightarrow{OB}(-9; -7; 7). \end{gather*}

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB};\\[7pt] \vec c(1+(-9); -2+(-7); 5+7);\\[7pt] \vec c(-8; -9; 12). \end{gather*}

Модуль вектора обчислімо за формулою

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності.

Завдання перевіряє вміння визначати різницю арифметичної прогресії, заданої формулою її \(n\)-го члена.

Обчислімо перші два члени прогресії:

\begin{gather*} a_1=3-9\cdot 1=-6;\\[7pt] a_2=3-9\cdot 2=-15. \end{gather*}

За визначенням різниці \(d=a_2-a_1{:}\)

\begin{gather*} d=-15-(-6)=-15+6=-9. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості подібних трикутників, утворених перетином діагоналей трапеції, для обчислення довжин її невідомої основи й середньої лінії.

Оскільки основи трапеції паралельні \((BC\!\parallel\!AD)\), трикутники \(BOC\) та \(AOD\) подібні \((\Delta BOC\sim \Delta AOD)\) за двома кутами.

Відношення відповідних висот подібних трикутників дорівнює відношенню їхніх відповідних сторін (коефіцієнту подібності):

\begin{gather*} \frac{h_1}{h_2}=\frac{BC}{AD}=\frac 25. \end{gather*}

Підставмо \(BC=14\) см:

\begin{gather*} \frac{14}{AD}=\frac 25;\\[6pt] AD=\frac{14\cdot 5}{2}=35\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} \frac{(a+5)^2}{13}=\frac{1}{13}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини на \(13{:}\)

\begin{gather*} (a+5)^2=1. \end{gather*}

Звідси \(a+5=1\), або \(a+5=-1\), отже, отримаємо корені \(a_1=1-5=-4\) й \(a_2=-1-5=-6.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, раціональних і логарифмічних виразів.

1. \(3^{-5}:3^n=1.\)

\begin{gather*} 3^{-5-n}=3^0;\\[7pt] -5-n=0;\\[7pt] n=-5. \end{gather*}

Застосували властивості степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\ \text{i}\ a^0=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(\dfrac{2n}{3}=1.\)

Помножмо обидві частини рівняння на \(3{:}\)

\begin{gather*} 2n=3;\\[6pt] n=\frac 32. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(\log_9 3+\log_9 n=1.\)

\begin{gather*} \log_9 (3n)=1. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[7pt] 3n=9^1;\\[7pt] 3n=9;\\[7pt] n=3. \end{gather*}

Використали властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=\sin x.\)

Функція \(y=\sin x\) є непарною за означенням, оскільки для всіх дійсних \(x\) виконується рівність \(\sin(-x)=-\sin x.\) Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Отже, правильна відповідь – B.

2. \(y=-\sqrt{x}.\)

Графік функції \(y=-\sqrt{x}\) має з графіком рівняння \(x^2+y^2=4\) лише одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(y=(x-1)^3.\)

Областю значень кубічної функції є вся числова пряма, тобто \(E(y)=(-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та трикутника.

1. \(KM.\)

У трикутнику \(\Delta ADC\) відрізок \(KM\) є середньою лінією, оскільки точки \(K\) і \(M\) – середини сторін \(AD\) і \(DC.\)

За властивістю середньої лінії трикутника:

\begin{gather*} KM=\frac 12 AC=\frac 12\cdot 32=16\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(BO.\)

Нехай \(P\) – точка перетину діагоналей ромба \(AC\) і \(BD.\) Діагоналі ромба перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл, тому \(BP=DP.\) Оскільки \(KM\!\parallel\!AC\) є середньою лінією \(\Delta ADC\), відрізок \(KM\) ділить висоту \(DP\) навпіл у точці \(O{:}\)

\begin{gather*} DP=2\cdot DO=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси \(BP=DP=12\) см. Оскільки \(PO=DO=6\) см, маємо:

\begin{gather*} BO=BP+PO=12+6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta APB\ (\angle APB=90^\circ):\)

\begin{gather*} AB=\frac 12 AC=\frac{32}{2}=16\ \text{см};\\[6pt] BP=12\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну функції, обчислювати значення функції та її похідної в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення функції \(f(-2){:}\)

Запишімо функцію у вигляді многочлена й визначмо її похідну \(f'(x){:}\)

\begin{gather*} f(x)=x(5-x)=5x-x^2;\\[7pt] f'(x)=(5x-x^2)'=5-2x. \end{gather*}

Обчислімо значення похідної в точці \(x=4{:}\)

\begin{gather*} f'(4)=5-2\cdot 4=5-8=-3. \end{gather*}

Обчислімо значення шуканого виразу:

\begin{gather*} f(-2)\cdot f'(4)=(-14)\cdot (-3)=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події та вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kN, \end{gather*}

де \(N=8n\) – загальна кількість місць у залі (у залі \(n\) рядів по \(8\) місць у кожному), а \(k=3\cdot 8=24\) – кількість сприятливих місць (у перших \(3\) рядах). Ймовірність вибору місця в перших трьох рядах дорівнює \(\dfrac{24}{8n}\), за умовою задачі ця ймовірність дорівнює \(\dfrac{1}{16}.\) Складімо пропорцію

\begin{gather*} \frac{24}{8n}=\frac{1}{16};\\[6pt] \frac 3n=\frac{1}{16};\\[6pt] 1\cdot n=3\cdot 16;\\[7pt] n=48. \end{gather*}

Відповідь: \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей призми й циліндра, уміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб із діагоналями \(6\) см і \(8\) см.

\(AO=OC=4\) см, \(BO=OD=3\) см. \(AC\!\perp\!BD.\) \(\Delta AOD\) – прямокутний. За теоремою Піфагора

2. Радіус основи циліндра \(R=AD=5\) см.

3. Площа поверхні циліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\pi RH;\\[7pt] 2\pi\cdot 5\cdot H=100\pi;\\[7pt] H=10\ \text{см}. \end{gather*}

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра \(H=10\) см.

5. Площа бічної поверхні призми:

Відповідь: 200.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом і рівняння з параметром.

Перше рівняння \((x-1)^2+(y+2)^2=16\) задає коло із центром у точці \(C(1; -2)\) радіуса \(R=4.\) Друге рівняння \(y=3a-(x-1)^2\) задає параболу, вітки якої напрямлені вниз, а вершина – у точці \((1; 3a).\)

Обидва графіки симетричні відносно вертикальної прямої \(x=1.\)

Щоб система мала єдиний розв'язок, єдина точка перетину графіків обов'язково повинна лежати на осі симетрії \(x=1\) (будь-яка точка поза віссю \(x=1\) через симетрію давала б парну кількість точок перетину).

Підставмо \(x=1\) у перше рівняння:

\begin{gather*} (x-1)^2+(y+2)^2=16;\\[7pt] (y+2)^2=16. \end{gather*}

Отримуємо дві точки кола, що лежать на осі симетрії:

1. \(y+2=4.\)

\(y_1=2\) (найвища точка кола).

2. \(y+2=-4.\)

\(y_2=-6\) (найнижча точка кола).

Оскільки ордината вершини параболи дорівнює \(y=3a\), вона має збігатися з однією із цих точок:

\begin{gather*} 1.\ 3a=2;\\[6pt] a=\frac 23. \end{gather*}

Вершина параболи розташована в найвищій точці кола \((1; 2).\) Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, вона перетинає коло ще у двох точках нижче. Усього система матиме \(3\) розв'язки (не підходить).

\begin{gather*} 2.\ 3a=-6;\\[6pt] a=-2. \end{gather*}

Вершина параболи розташована в найнижчій точці кола \((1; -6).\) Оскільки вітки напрямлені вниз, а все коло лежить у півплощині \(y\ge -6\), інших точок перетину немає. Система має єдиний розв'язок \((1; -6).\)

Відповідь: \(-2.\)