ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів збереження в механіці й уміння їх застосовувати.

Кульку, що нерухомо висить на нитці, позначмо \(1,\) а кульку, яку відхилили на \(90^\circ ,\ ‒\ 2.\) Спочатку розгляньмо перетворення механічної енергії кульки \(2.\) За нульовий рівень виберемо положення кульки \(1.\) Тоді відхилена на \(90^\circ\) кулька \(2\) перебуватиме на висоті \(L,\) що дорівнює довжині нитки. А отже, володітиме потенціальною енергією: $$ E_{p2}=mgL, $$ де \(m\) ‒ маса кульки (і першої, і другої), \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Після того як кульку \(2\) відпустили, вона, рухаючись по дузі кола, набрала швидкість і перед зіткненням з кулькою \(1\) мала найбільшу швидкість \(v_{max}\) ‒ уся потенціальна енергія перейшла в кінетичну. Опишімо цей рух кульки \(2\) законом збереження енергії:

Відповідно до умови зіткнення кульок \(2\) і \(1\) ‒ непружне. Це означає, що після такої взаємодії частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію і нагрівання тіл). А після зіткнення кульки рухатимуться як одне ціле й піднімуться на певну висоту \(h.\)

Опишімо взаємодію двох кульок законом збереження імпульсу: $$ \overrightarrow{p}_{01}+\overrightarrow{p}_{02}=\overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_2, $$ де \(\overrightarrow{p}_{01}\) і \(\overrightarrow{p}_{02}\) ‒ імпульси кульок до взаємодії, \(\overrightarrow{p}_1\) і \(\overrightarrow{p}_2\) ‒ імпульси кульок після взаємодії. Оскільки після взаємодії кульки разом продовжать рухатися в той самий бік, що й кулька \(2,\) то всі проєкції імпульсів будуть зі знаком плюс:

Знову запишімо закон збереження енергії для кульок, які рухаються разом:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Додавання сил. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку вміння описати систему зв’язаних тіл за допомогою другого закону Ньютона.

Зробимо схематичний рисунок, який ілюструватиме умову цього завдання. І на рисунку позначимо всі сили, що діють на обидва тіла.

І на перше, і на друге тіло діятимуть сила тяжіння \((m_1\overrightarrow{g}\ \text{і}\ m_2\overrightarrow{g})\) i сила нормальної реакції опори \((\overrightarrow{N}_1\ \text{і}\ \overrightarrow{N}_2)\) відповідно. Тіла з’єднані ниткою, у якій виникатиме сила натягу \(\overrightarrow{T},\) яка однаково діятиме і на перше, і на друге тіло. Визначити треба силу \(\overrightarrow{F},\) завдяки дії якої система тіл може рухатися з прискоренням \(\overrightarrow{a},\) оскільки іншого в умові не зазначено.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона для кожного з тіл у проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox.\) Маємо систему рівнянь:

Обчислімо горизонтальну силу \(F:\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови рівноваги.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння умов рівноваги тіла, а також вміння застосовувати правило моментів.

За умовою важіль \(1\) може обертатися (має нерухому вісь обертання \(2\)). Відповідно до правила моментів важіль перебуватиме в рівновазі, якщо алгебрична сума моментів \(M_1\) і \(M_2\) сил (їх два, тому що є дві точки прикладання сил до важеля ‒ там, де підвішені важки, і там, де підвішений вантаж \(3\)), що діють на тіло, дорівнює нулю: $$ M_1+M_2=0. $$

Момент сили \(M_1=F_1d_1\) є додатним (сила \(\overrightarrow{F}_1\) повертає важіль проти годинникової стрілки). Момент сили \(M_2=-F_2d_2\) є від’ємним (сила \(\overrightarrow{F}_2\) повертає важіль за годинниковою стрілкою) \begin{gather*} F_1d_1-F_2d_2=0,\\[7pt] F_1d_1=F_2d_2. \end{gather*}

У цьому разі на важки і на вантаж діють сили тяжіння \(F_1\) і \(F_2:\) $$ F_1=2mg, $$ де \(m=100\ \text{г}=0,1\ \text{кг}\) ‒ маса одного важка, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння); $$ F_2=Mg, $$ де \(M\) ‒ маса вантажу \(3\) ‒ шукана величина.

Плече \(d\) сили \(F\) ‒ це найменша відстань від осі обертання \(2\) тіла до лінії, вздовж якої діє сила \(\overrightarrow{F}.\) Отже, плече \(d_1=4d,\) а плече \(d_2=d\) (де \(d\) ‒ одиничний відрізок).

Визначимо масу вантажу \(3:\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу під час рівномірного і рівноприскореного руху.

Завдання скеровано на перевірку вміння читати графіки залежності кінематичних величин від часу під час рівномірного і рівноприскореного рухів.

Залежність проєкції швидкості \(v\) тіла від часу \(t\) для прямолінійного рівноприскореного руху $$ v=v_0+at $$ є лінійною, тому графік проєкції швидкості ‒ це відрізок прямої, нахиленої під певним кутом до осі часу (\(v_0\) ‒ проєкція початкової швидкості руху тіла, \(a\) ‒ проєкція прискорення).

Що більше прискорення руху тіла, то більший кут нахилу графіка проєкції швидкості до осі часу.

Розгляньмо рисунок. Найменший кут нахилу графіка ‒ на ділянці від \(10\) до \(20\ \text{с.}\)

Перевірити правильність відповіді можна за допомогою розрахунків, скориставшись формулою для прискорення $$ a=\frac{v-v_0}{t}. $$

Інтервал часу від \(0\) до \(10\ \textbf{с:}\) $$ a_{0-10}=\frac{15-0}{10}\ \text{м/с}^2=1,5\ \text{м/с}^2. $$

Інтервал часу від від \(10\) до \(20\ \textbf{с:}\) $$ a_{10-20}=\frac{20-15}{10}\ \text{м/с}^2=0,5\ \text{м/с}^2. $$

Інтервал часу від від \(20\) до \(30\ \textbf{с:}\) $$ a_{20-30}=\frac{0-20}{10}\ \text{м/с}^2=-2\ \text{м/с}^2. $$ (знак мінус указує на гальмування тіла, але модуль прискорення дорівнює \(2\ \text{м/с}^2\)).

Інтервал часу від від \(30\) до \(40\ \textbf{с:}\) $$ a_{30-40}=\frac{10-0}{10}\ \text{м/с}^2=1\ \text{м/с}^2. $$

Як бачимо, мінімальне прискорення відповідає інтервалу часу від \(10\) до \(20\ \text{с.}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Взаємозв’язок маси та енергії.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння зв’язку маси та енергії як важливого результату спеціальної теорії відносності, коли тіла (частинки) рухаються зі швидкістю порядку швидкості світла у вакуумі.

З погляду спеціальної теорії відносності, якщо тіло масою \(m\) рухається зі швидкістю \(v\) відносно якоїсь системи відліку, то енергія \(E\) тіла в цій системі відліку становить: $$ E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, $$ де \(c\) ‒ швидкість світла у вакуумі.

Будь-яке тіло (будь-яка частинка), що має масу, несе із собою запас енергії. Дійсно, навіть якщо швидкість руху тіла (частинки) зменшується до нуля \((v=0),\) то згідно із цією формулою тіло все одно має енергію \(E_0:\) $$ E_0=mc^2. $$

Цю енергію називають енергією спокою.

Тоді формула для повної енергії матиме такий вигляд: $$ E=\frac{E_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. $$

Підставімо значення відповідних величин з умови завдання й обчислімо повну енергію електрона:

Відповідь: 136.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Фотоефект.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння, що таке фотострум, і фізичного змісту сили струму.

Фотоефектом називають явище взаємодії світла з речовиною, яке супроводжується випромінюванням (емісією) електронів.

Запишімо формулу для визначення сили струму \(I:\) \begin{gather*} I=\frac Qt=\frac{e\cdot N_S}{t}, \end{gather*} де \(Q\) ‒ загальний заряд електронів, що вилетіли з поверхні за час \(t,\ e\) ‒ елементарний заряд, \(N_S\) ‒ кількість електронів, що вилетіли з поверхні площею \(S.\)

Обчислімо кількість електронів, що вилетіли з поверхні площею \(S=1\ \text{м}^2:\) \begin{gather*} N_S=\frac{It}{e},\\[6pt] N_S=\frac{2\cdot 10^{-5}\ \text{А}\cdot 1\ \text{с}}{1,6\cdot 10^{-19}\ \text{Кл}}=1,25\cdot 10^{14}. \end{gather*}

В \(1\ \text{м}^2\) міститься \(10^{6}\ \text{мм}^2.\) Отже, поділімо кількість електронів \(N_S\) на кількість міліметрів квадратних і визначмо кількість електронів, що вилітають з поверхні площею \(1\ \text{мм}^2:\)

Відповідь: 125.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння механічних коливань тіла на пружині.

Запишімо формулу для визначення періоду \(T\) пружинного маятника: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac mk}, $$ де \(m\) ‒ маса тіла (дана в умові), \(k\) ‒ жорсткість пружини (необхідно визначити).

Під час максимальної деформації пружини на тіло, прикріплене до неї, діятиме максимальна сила пружності \(F_\text{пр max}\) з боку пружини: $$ F_\text{пр max}=kA, $$ де \(A\) ‒ максимальне відхилення тіла від положення рівноваги ‒ амплітуда.

Отже, \begin{gather*} k=\frac{F_\text{пр max}}{A}. \end{gather*}

Амплітудне значення відхилення тіла можна визначити, скориставшись повною енергією тіла. Оскільки в крайній точці тіло не рухатиметься, тобто кінетична енергія дорівнюватиме нулю, то повна (максимальна) енергія тіла ‒ це потенціальна енергія \(E_p\) пружно деформованого тіла: \begin{gather*} E_p=\frac{kA^2}{2}. \end{gather*}

Визначімо амплітуду \(A,\) скориставшись для цього методом підстановки: \begin{gather*} E_p=\frac{kA\cdot A}{2}=\frac{F_\text{пр max}\cdot A}{2},\\[6pt] A=\frac{2E_p}{F_\text{пр max}},\\[6pt] A=\frac{2\cdot 60\cdot 10^{-6}\ \text{Дж}}{3\cdot 10^{-3}\ \text{Н}}=40\cdot 10^{-3}\ \text{м}. \end{gather*}

Тепер можемо визначити жорсткість пружини \(k:\) \begin{gather*} k=\frac{F_\text{пр max}}{A}=\frac{3\cdot 10^{-3}\ \text{Н}}{40\cdot 10^{-3}\ \text{м}}=\frac{3}{40}\ \text{Н/м}. \end{gather*}

Обчислімо період коливань тіла \(T:\)

Результат округлімо до сотих: $$ T=1,256\ \text{с}\approx 1,26\ \text{с}. $$

Відповідь: 1,26.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу тонкої лінзи.

Якщо лінза дає дійсне зображення, то це збиральна лінза.

Запишімо формулу тонкої лінзи: $$ \frac 1F=\frac 1d+\frac 1f, $$ де \(F\) ‒ фокусна відстань лінзи, \(d\) ‒ відстань від предмета до лінзи, \(f\) ‒ відстань від лінзи до предмета. Тоді за умовою відстань між предметом і його зображенням дорівнює $$ d+f=80\ \text{см}=0,8\ \text{м}. $$

Скористаймося ще відношенням розмірів і відстаней. Відношення лінійного розміру \(H\) зображення предмета до розміру \(h\) самого предмета називають лінійним збільшенням \(\textbf{Г}\) лінзи: $$ \textbf{Г}=\frac Hh=\frac fd. $$

За умовою зображення предмета втричі більше за предмет: \begin{gather*} \frac Hh=\frac{3h}{h}=3,\\[6pt] d=0,8\ \text{м}-f. \end{gather*}

Отже, $$ \frac Hh=\frac fd\Rightarrow 3=\frac{f}{0,8-f}. $$

Визначімо відстань \(f\) від лінзи до зображення:

Тоді відстань \(d\) від предмета до лінзи дорівнюватиме:

Обчислімо фокусну відстань цієї лінзи:

Відповідь: 15.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Енергія електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати характеристики батарей конденсаторів у разі їхнього паралельного і послідовного з’єднання, а також уміння визначати енергію електричного поля конденсаторів.

Енергію електричного поля \(W_1\) конденсатора \(1\) обчислюємо так: \begin{gather*} W_1=\frac{q^2_1}{2C}, \end{gather*} де \(q_1\) ‒ заряд конденсатора \(1,\ C\) ‒ електроємність конденсатора \(1\) (за умовою всі три конденсатори мають однакову електроємність).

Конденсатор \(1\) з’єднаний послідовно з ділянкою кола, де конденсатори \(2\) і \(3\) з’єднані паралельно. У цьому разі заряд конденсатора \(1\) дорівнює заряду послідовно з’єднаної з ним ділянки кола: $$ q_1=q_2+q_3. $$

Оскільки в разі паралельного з’єднання конденсаторів напруга на них однакова й за умовою електроємність конденсаторів однакова, то й заряди конденсаторів \(2\) і \(3\) будуть однакові: \begin{gather*} q=UC,\\[7pt] q_2=q_3. \end{gather*}

Отже, \begin{gather*} q_1=2q_2,\\[6pt] q_2=\frac{q_1}{2}. \end{gather*}

Запишімо формулу для енергії електричного поля конденсатора \(2:\) $$ W_2=\frac{q^2_2}{2C}=\frac{q^2_1}{8C}. $$

Визначімо, у скільки разів енергія електричного поля конденсатора \(1\) більша за енергію електричного поля конденсатора \(2:\)

Відповідь: 4.