Пояснення

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку уміння визначати потужність.

Потужність \(P\) (або \(N\)) ‒ це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи й дорівнює відношенню роботи \(A\) до інтервалу часу \(t,\) за який цю роботу виконано: $$ P=\frac At. $$

Робота рівнодійної всіх сил, які діють на тіло, дорівнює зміні кінетичної енергії \(\Delta E_k\) тіла ‒ це теорема про кінетичну енергію: $$ A=E_k-E_{k0}=\Delta E_k. $$

У результаті дії сил опору автомобіль зупиниться, тобто через час \(t\) його кінцева швидкість дорівнюватиме нулю: $$ v_\text{к}=0. $$

Тобто \(E_k=0,\) а теорема про кінетичну енергію зводиться до рівності $$ A=E_{k0}=\frac{mv^2_0}{2}, $$ де \(m\) ‒ маса автомобіля, \(v_0\) ‒ швидкість його руху на початку проміжку часу \(20\ \text{с}:\)

$$ v_0=36\frac{\text{км}}{\text{год}}=36\cdot\frac{1000\ \text{м}}{3600\ \text{с}}=10\ \text{м/с}. $$

За умовою завдання автомобіль змінює швидкість, сповільнюється. Тому середня потужність двигуна ‒ це середнє арифметичне потужностей у певні моменти часу (так би мовити миттєвих потужностей), що дорівнюють добутку модуля сили тяги двигуна на модуль його миттєвої швидкості.

Оскільки всю енергію двигуна буде витрачено на подолання сил опору, то середня потужність двигуна дорівнюватиме середній потужності сил опору.

Отже, визначмо середню потужність сил опору:

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження імпульсу і вміння за його допомогою описувати конкретну систему тіл.

У замкненій системі тіл векторна сума імпульсів тіл до взаємодії дорівнює векторній сумі імпульсів тіл після взаємодії. Запишімо закон збереження імпульсу для системи тіл, як векторну суму імпульсів \(\overrightarrow{p}_\text{п}\) і \(\overrightarrow{p}_\text{н}\) порожнього і навантаженого вагонів відповідно до взаємодії, і векторну суму імпульсів \(\overrightarrow{p}'_\text{п}\) і \(\overrightarrow{p}'_\text{н}\) цих вагонів після взаємодії: $$ \overrightarrow{p}_\text{п}+\overrightarrow{p}_\text{н}=\overrightarrow{p}'_\text{п}+\overrightarrow{p}'_\text{н}. $$

Оскільки порожній вагон штовхне навантажений і вони разом, зчепившись, продовжать рух у тому самому напрямку, що й порожній, то можемо записати закон збереження імпульсу в проєкціях: $$ p_\text{п}+p_\text{н}=p'_\text{п}+p'_\text{н}. $$

Навантажений вагон до зіткнення з порожнім стояв нерухомо, його швидкість дорівнювала нулю. Тож і його імпульс дорівнював нулю, оскільки імпульс тіла ‒ це добуток маси тіла на швидкість його руху: $$ p_\text{н}=0. $$

З графіка залежності імпульсу порожнього вагона від часу можна визначити, що до зіткнення імпульс порожнього вагона $$ p_\text{п}=0,1\ \text{кг}\cdot \ \text{м/с}, $$ а після зіткнення імпульс порожнього вагона $$ p'_\text{п}=0,04\ \text{кг}\cdot \ \text{м/с}. $$

Отже, можемо визначити імпульс навантаженого вагона після поштовху порожнього вагона: $$ p'_\text{н}=p_\text{п}-p'_\text{п}, $$

Запишімо формулу для імпульсу навантаженого вагона: $$ p'_\text{н}=m_\text{н}v, $$ де \(m_\text{н}\) ‒ маса навантаженого вагона, яка дорівнює сумі мас порожнього вагона \(m_\text{п}=1\ \text{кг}\) і вантажу \(m_\text{в}:\) $$ m_\text{н}=m_\text{п}+m_\text{в}. $$

А швидкість руху \(v\) ‒ це спільна швидкість руху порожнього і навантаженого вагонів після їхнього зчеплення. Визначити її можна з формули імпульсу порожнього вагона після зчеплення:

\begin{gather*} p'_\text{п}=m_\text{п}v,\\[6pt] v=\frac{p'_\text{п}}{m_\text{п}},\\[6pt] v=\frac{0,04\ \text{кг}\cdot \ \text{м/с}}{1\ \text{кг}}=0,04\ \text{м/с}. \end{gather*}

Визначмо тепер масу вантажу \(m_\text{в}:\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичної величини переміщення.

Якщо спочатку турист рухався на захід, а потім ‒ на північ, це означає, що він, пройшовши \(3\ \text{км},\) повернув на \(90^\circ\) і далі рухався під прямим кутом до попереднього напрямку ще \(4\ \text{км}\) (див. рисунок).

Якщо з’єднаємо початкову точку \(1,\) з якої турист стартував, і кінцеву точку \(2\) його маршруту, то вектор \(\overrightarrow{s}\) ‒ це і є переміщення, яке здійснив турист.

Визначмо модуль цього переміщення ‒ довжину відрізка, що з’єднує точки \(1\) і \(2.\) Цей відрізок ‒ це гіпотенуза утвореного прямокутного трикутника з катетами \(3\) і \(4\ \text{км}.\) За теоремою Піфагора обчислімо гіпотенузу:

Отже, модуль переміщення дорівнюватиме \(5\ \text{км}.\)

А можна без обчислень одразу сказати, чому дорівнюватиме гіпотенуза (модуль переміщення) цього прямокутного трикутника. Якщо сторони прямокутного трикутника співвідносяться як \(3 : 4 : 5,\) то такий трикутник називають єгипетським. Катети утвореного туристом маршруту дорівнюють \(3\) і \(4\ \text{км},\) відповідно гіпотенуза становитиме \(5\ \text{км}.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поступально-обертального руху.

Визначаючи лінійну швидкість верхнього кінця стержня, треба врахувати те, що сам стержень у той момент, коли його кінці ковзають із певними лінійними швидкостями відносно взаємно перпендикулярних поверхонь підлоги й стіни, здійснює обертальний рух із певною кутовою швидкістю.

Кутова швидкість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) ‒ це фізична величина, яка чисельно дорівнює куту \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) повороту радіуса за одиницю часу \(t:\) $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}}{t}. $$

За час, що дорівнює періоду \((t=T),\) радіус виконує один оберт \((\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}),\) тому кутову швидкість можна обчислити за формулою: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{T}. $$

Стержень довжиною \(l\) у заданий момент часу обертатиметься навколо певної миттєвої осі обертання \(O\) ‒ навколо якої стержень у цей момент часу обертається. Побудуємо її. Для цього проведемо перпендикуляри до векторів лінійних швидкостей руху \(\overrightarrow{v}_\text{н}\) і \(\overrightarrow{v}_\text{в}\) обох кінців стержня – нижнього і верхнього, і на їхньому перетині отримаємо місце розташування миттєвої осі обертання, яку позначимо точкою \(O.\)

Лінійну швидкість \(\overrightarrow{v}\) рівномірного руху тіла по колу визначаємо за періодом \(T\) обертання та радіусом \(R\) колової траєкторії: $$ v=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{T} - $$ за час оберту \(t=T\) тіло долає відстань, що дорівнює довжині кола $$ L=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R. $$

Кутова і лінійна швидкості пов’язані співвідношенням: $$ v=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}R. $$

Кутова швидкість кожної точки стержня буде та сама. Тому виразімо кутову швидкість для верхнього і нижнього кінців стержня через їхні відповідні лінійні швидкості й радіуси та прирівняємо ці вирази:

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{н}=\frac{v_\text{н}}{OA},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{в}=\frac{v_\text{в}}{OB},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{н}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{в}\Rightarrow \frac{v_\text{н}}{OA}=\frac{v_\text{в}}{OB},\\[6pt] v_\text{в}=\frac{v_\text{н}\cdot OB}{OA}. \end{gather*}

Виразімо \(OA\) і \(OB\) з прямокутного трикутника \(AOB:\)

\begin{gather*} OA=l\sin 60^\circ,\\[7pt] OB=l\cos 60^\circ. \end{gather*}

Визначмо швидкість руху верхнього кінця стержня:

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичних величин, що визначають прямолінійний рівноприскорений рух і вміння їх визначати.

1. В умові дано прискорення, отже, розглядається прямолінійний рівноприскорений рух.

З формули (записаної в проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox\)) для прискорення \(a\) прямолінійного рівноприскореного руху визначімо час \(t,\) затрачений велосипедистом для досягнення вказаної швидкості \(v:\) $$ a=\frac{v-v_0}{t}, $$ де \(v_0=0\) (за умовою) − швидкість руху тіла в момент початку відліку часу (початкова швидкість); \(v\) − швидкість руху тіла через деякий інтервал часу \(t.\)

\begin{gather*} t=\frac{v-v_0}{a},\\[6pt] v=18\frac{\text{км}}{\text{год}}=18\cdot\frac{1000\ \text{м}}{3600\ \text{с}}=5\ \text{м/с},\\[6pt] t=\frac{(5-0)\ \text{м/с}}{1\ \text{м/с}^2}=5\ \text{с}. \end{gather*}

Відповідь: 5.

2. Для визначення шляху, подоланого велосипедистом за час \(t=5\ \text{с},\) скористаймося одним із рівнянь залежності проєкції переміщення \(s\) від часу для прямолінійного рівноприскореного руху (проєкції шляху і переміщення співпадають під час прямолінійного руху): \begin{gather*} s=v_0t+\frac{at^2}{2},\\[6pt] s=0\cdot 5\ \text{с}+\frac{1\ \text{м/с}^2\cdot (5\ \text{с})^2}{2}=12,5\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: 12,5.

Відповідь: 1. 5. 2. 12,5.