ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Фотоефект.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння, що таке фотострум, і фізичного змісту сили струму.

Фотоефектом називають явище взаємодії світла з речовиною, яке супроводжується випромінюванням (емісією) електронів.

Запишімо формулу для визначення сили струму \(I:\) \begin{gather*} I=\frac Qt=\frac{e\cdot N_S}{t}, \end{gather*} де \(Q\) ‒ загальний заряд електронів, що вилетіли з поверхні за час \(t,\ e\) ‒ елементарний заряд, \(N_S\) ‒ кількість електронів, що вилетіли з поверхні площею \(S.\)

Обчислімо кількість електронів, що вилетіли з поверхні площею \(S=1\ \text{м}^2:\) \begin{gather*} N_S=\frac{It}{e},\\[6pt] N_S=\frac{2\cdot 10^{-5}\ \text{А}\cdot 1\ \text{с}}{1,6\cdot 10^{-19}\ \text{Кл}}=1,25\cdot 10^{14}. \end{gather*}

В \(1\ \text{м}^2\) міститься \(10^{6}\ \text{мм}^2.\) Отже, поділімо кількість електронів \(N_S\) на кількість міліметрів квадратних і визначмо кількість електронів, що вилітають з поверхні площею \(1\ \text{мм}^2:\)

Відповідь: 125.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння механічних коливань тіла на пружині.

Запишімо формулу для визначення періоду \(T\) пружинного маятника: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac mk}, $$ де \(m\) ‒ маса тіла (дана в умові), \(k\) ‒ жорсткість пружини (необхідно визначити).

Під час максимальної деформації пружини на тіло, прикріплене до неї, діятиме максимальна сила пружності \(F_\text{пр max}\) з боку пружини: $$ F_\text{пр max}=kA, $$ де \(A\) ‒ максимальне відхилення тіла від положення рівноваги ‒ амплітуда.

Отже, \begin{gather*} k=\frac{F_\text{пр max}}{A}. \end{gather*}

Амплітудне значення відхилення тіла можна визначити, скориставшись повною енергією тіла. Оскільки в крайній точці тіло не рухатиметься, тобто кінетична енергія дорівнюватиме нулю, то повна (максимальна) енергія тіла ‒ це потенціальна енергія \(E_p\) пружно деформованого тіла: \begin{gather*} E_p=\frac{kA^2}{2}. \end{gather*}

Визначімо амплітуду \(A,\) скориставшись для цього методом підстановки: \begin{gather*} E_p=\frac{kA\cdot A}{2}=\frac{F_\text{пр max}\cdot A}{2},\\[6pt] A=\frac{2E_p}{F_\text{пр max}},\\[6pt] A=\frac{2\cdot 60\cdot 10^{-6}\ \text{Дж}}{3\cdot 10^{-3}\ \text{Н}}=40\cdot 10^{-3}\ \text{м}. \end{gather*}

Тепер можемо визначити жорсткість пружини \(k:\) \begin{gather*} k=\frac{F_\text{пр max}}{A}=\frac{3\cdot 10^{-3}\ \text{Н}}{40\cdot 10^{-3}\ \text{м}}=\frac{3}{40}\ \text{Н/м}. \end{gather*}

Обчислімо період коливань тіла \(T:\)

Результат округлімо до сотих: $$ T=1,256\ \text{с}\approx 1,26\ \text{с}. $$

Відповідь: 1,26.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу тонкої лінзи.

Якщо лінза дає дійсне зображення, то це збиральна лінза.

Запишімо формулу тонкої лінзи: $$ \frac 1F=\frac 1d+\frac 1f, $$ де \(F\) ‒ фокусна відстань лінзи, \(d\) ‒ відстань від предмета до лінзи, \(f\) ‒ відстань від лінзи до предмета. Тоді за умовою відстань між предметом і його зображенням дорівнює $$ d+f=80\ \text{см}=0,8\ \text{м}. $$

Скористаймося ще відношенням розмірів і відстаней. Відношення лінійного розміру \(H\) зображення предмета до розміру \(h\) самого предмета називають лінійним збільшенням \(\textbf{Г}\) лінзи: $$ \textbf{Г}=\frac Hh=\frac fd. $$

За умовою зображення предмета втричі більше за предмет: \begin{gather*} \frac Hh=\frac{3h}{h}=3,\\[6pt] d=0,8\ \text{м}-f. \end{gather*}

Отже, $$ \frac Hh=\frac fd\Rightarrow 3=\frac{f}{0,8-f}. $$

Визначімо відстань \(f\) від лінзи до зображення:

Тоді відстань \(d\) від предмета до лінзи дорівнюватиме:

Обчислімо фокусну відстань цієї лінзи:

Відповідь: 15.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Енергія електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати характеристики батарей конденсаторів у разі їхнього паралельного і послідовного з’єднання, а також уміння визначати енергію електричного поля конденсаторів.

Енергію електричного поля \(W_1\) конденсатора \(1\) обчислюємо так: \begin{gather*} W_1=\frac{q^2_1}{2C}, \end{gather*} де \(q_1\) ‒ заряд конденсатора \(1,\ C\) ‒ електроємність конденсатора \(1\) (за умовою всі три конденсатори мають однакову електроємність).

Конденсатор \(1\) з’єднаний послідовно з ділянкою кола, де конденсатори \(2\) і \(3\) з’єднані паралельно. У цьому разі заряд конденсатора \(1\) дорівнює заряду послідовно з’єднаної з ним ділянки кола: $$ q_1=q_2+q_3. $$

Оскільки в разі паралельного з’єднання конденсаторів напруга на них однакова й за умовою електроємність конденсаторів однакова, то й заряди конденсаторів \(2\) і \(3\) будуть однакові: \begin{gather*} q=UC,\\[7pt] q_2=q_3. \end{gather*}

Отже, \begin{gather*} q_1=2q_2,\\[6pt] q_2=\frac{q_1}{2}. \end{gather*}

Запишімо формулу для енергії електричного поля конденсатора \(2:\) $$ W_2=\frac{q^2_2}{2C}=\frac{q^2_1}{8C}. $$

Визначімо, у скільки разів енергія електричного поля конденсатора \(1\) більша за енергію електричного поля конденсатора \(2:\)

Відповідь: 4.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати перший закон термодинаміки до ізопроцесів, зокрема до ізобарного.

За умовою ідеальному одноатомному газу передали енергію кількістю \(Q\) за сталого тиску – процес ізобарний. У ході цього процесу виконується робота \(A\) і змінюється внутрішня енергія \(\Delta U\) газу, тому рівняння першого закону термодинаміки має вигляд: $$ Q=\Delta U + A. $$

За умовою газ ідеальний одноатомний, то робота газу дорівнює $$ A=p\Delta V, $$ де \(p\) – тиск, \(\Delta V\) – зміна об’єму.

А зміна його внутрішньої енергії $$ \Delta U=\frac 32p\Delta V. $$

Тоді кількість енергії, передана газу, дорівнює: $$ Q=\frac 32p\Delta V+p\Delta V=\frac 52p\Delta V. $$

Використавши рівняння Менделєєва – Клапейрона $$ p\Delta V=\frac mM R\Delta T=\mathbf{\nu}R\Delta T, $$ де \(\mathbf{\nu}=\frac mM\) – кількість речовини, що дорівнює відношенню маси газу до його молярної маси, \(R\) – універсальна газова стала, \(\Delta T\) – зміна температури, вираз для переданої ідеальному одноатомному газу енергії можна подати так: $$ Q=\frac 52p\Delta V=\frac{5}{2}\frac mM R\Delta T=\frac 52\mathbf{\nu}R\Delta T. $$

Виразімо і обчислімо зміну температури газу:

(Зміна температури за шкалою Кельвіна дорівнює зміні температури за шкалою Цельсія: \(\Delta T=\Delta t,\) тобто ціна поділки шкали Кельвіна дорівнює ціні поділки шкали Цельсія: \(1\ ^\circ\mathrm{C}=1\ \text{K}.\))

Відповідь: 40.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон Ома для повного кола.

Запишімо закон Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}, $$ де \(I\) ‒ сила струму, \(\mathbf{\varepsilon}\) ‒ електрорушійна сила джерела струму, \(R\) – опір резистора, \(r\) – внутрішній опір джерела струму.

Коли вимикач розімкнутий, то вольтметр показує значення електрорушійної сили джерела струму: $$ \mathbf{\varepsilon}=12\ \text{В}. $$

Перетворімо цю формулу закону й визначмо внутрішній опір джерела струму: \begin{gather*} \mathbf{\varepsilon}=IR+Ir. \end{gather*}

За законом Ома для ділянки кола $$ IR=U, $$ це напруга на резисторі.

Отже, $$ \mathbf{\varepsilon}=IR+Ir=U+Ir, $$ звідки

Відповідь: 2,5.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на рух тіла під дією кількох сил.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат

де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(\overrightarrow{a}\) – прискорення, з яким зісковзує тіло з похилої площини, \(\overrightarrow{F}_\text{Т}\) – сила тяжіння, \(\overrightarrow{N}\) – сила нормальної реакції опори, \(\overrightarrow{F}_\text{тер}\) – сила тертя ковзання, \(\mathbf{\mu}\) – коефіцієнт тертя ковзання.

Виразімо силу нормальної реакції опори з рівняння (2) і підставимо в рівняння (1):

Обидві частини отриманого рівняння скоротімо на масу \(m\) тіла: $$ a=g\sin\mathbf{\alpha}-\mathbf{\mu}g\cos\mathbf{\alpha}. $$

Виразімо й обчислімо коефіцієнт тертя ковзання: $$ \mathbf{\mu}=\frac{g\sin\mathbf{\alpha}-a}{g\cos\mathbf{\alpha}}. $$

За умовою $$ \mathbf{\alpha}=\arcsin\mathbf{\alpha}. $$

Відповідно

Відповідь: 0,5.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закономірностей прямолінійного рівномірного й рівноприскореного рухів.

Розгляньмо рух парашутиста й монети.

Парашутист за умовою опускається зі сталою швидкістю \(v=5\ \text{м/с},\) оскільки дія сили тяжіння скомпенсована дією сили опору повітря. Отже, відстань \(h=10\ \text{м}\) він пройде за \(2\ \text{с}:\) $$ t_\text{пар}=\frac hv=\frac{10}{5}=2\ \text{с}. $$

Монета пройде той самий шлях \(h=10\ \text{м},\) але рухатиметься рівноприскорено. Власна початкова швидкість монети дорівнює нулю, оскільки вона просто випала з кишені. Але ж вона випала з кишені парашутиста, який рухався зі швидкістю \(v=5\ \text{м/с},\) тому початкова швидкість монети $$ v_0=5\ \text{м/с}. $$

Вплив опору повітря на монету за умовою до уваги не беремо, тож знайдемо час її падіння з кінематичного рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2}, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння; усі векторні величини записано в проєкціях на вісь \(Oy,\) що, як і вектор прискорення вільного падіння, напрямлена вертикально вниз.

Підставімо значення величин у рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2}\Rightarrow 10=5t+\frac{10t^2}{2}. $$

Поділімо ліву і праву частину рівняння на \(5\) й дістанемо зведене квадратне рівняння: $$ t^2+t-2=0. $$

За теоремою Вієтта знайдімо корені рівняння: $$ t_1=-2,\ \ t_2=1. $$

Час не може бути від’ємним, тому умову задовольняє корінь \(t_2=1\ \text{с},\) тобто монета впала за \(1\ \text{с},\) а парашутист приземлився на \(1\ \text{с}\) пізніше: $$ \Delta t=t_\text{пар}-t_2=2\ \text{с}-1\ \text{с}=1\ \text{с}. $$

Відповідь: 1.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичних характеристик рівномірного руху по колу – доцентрового прискорення, лінійної швидкості, кутової швидкості.

1. Запишімо формулу для визначення доцентрового прискорення \(a_\text{дц}:\) $$ a_\text{дц}=\mathbf{\omega}^2r, $$ де \(\mathbf{\omega}\) – кутова швидкість, \(r\) – радіус кола.

За умовою кутова швидкість для всіх точок стала й однакова, а модуль доцентрового прискорення прямо пропорційний радіусу кола. Отже, модуль доцентрового прискорення \(a_1\) буде найменшим для точок диска, що перебувають на найменшій відстані від центра диска – це точки на внутрішньому отворі диска діаметром \(d_1=1,5\ \text{см}.\) Тоді найбільшим буде модуль доцентрового прискорення \(a_3\) для точок на зовнішньому краю диска – це коло діаметром \(d_3=12\ \text{см}:\) \begin{gather*} a_1=\mathbf{\omega}^2r_1=\mathbf{\omega}^2\cdot \frac{d_1}{2},\\[6pt] a_3=\mathbf{\omega}^2r_3=\mathbf{\omega}^2\cdot \frac{d_3}{2}. \end{gather*}

Визначімо відношення максимального і мінімального модулів доцентрових прискорень: \begin{gather*} \frac{a_3}{a_1}=\frac{\mathbf{\omega}^2\cdot d_3\cdot 2}{2\mathbf{\omega}^2\cdot d_1}=\frac{d_3}{d_1},\\[6pt] \frac{a_3}{a_1}=\frac{12\ \text{см}}{1,5\ \text{см}}=8. \end{gather*}

Відповідь: 8.

2. Формула для визначення лінійної швидкості ϑ рівномірного руху тіла по колу: \begin{gather*} v=\mathbf{\omega}R. \end{gather*}

За умовою кутова швидкість для всіх точок стала й однакова, а лінійна швидкість прямо пропорційна радіусу кола. Отже, найбільшою буде лінійна швидкість \(v_3\) зовнішнього краю диска \(R_3=6\ \text{см},\) а найменшою \(v_2\) – внутрішнього краю області диска, на якому вже можна записувати / зчитувати інформацію – \(R_2=2\ \text{см:}\) \begin{gather*} v_3=\mathbf{\omega}R_3,\\[7pt] v_2=\mathbf{\omega}R_2. \end{gather*}

Визначімо, у скільки разів максимальна швидкість записування / зчитування інформації більша за мінімальну: \begin{gather*} \frac{v_3}{v_2}=\frac{\mathbf{\omega}R_3}{\mathbf{\omega}R_2}=\frac{R_3}{R_2},\\[6pt] \frac{v_3}{v_2}=\frac{6\ \text{см}}{2\ \text{см}}=3. \end{gather*}

Відповідь: 3.

Відповідь: 1. 8. 2. 3.