ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Напруженість електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття силової характеристики електричного поля ‒ напруженості.

Розгляньмо поле зарядженої сфери за умови рівномірного розподілу заряду \(q\) по її поверхні. Із симетрії системи випливає, що всі силові лінії напрямлені радіально (див. рисунок). Вочевидь поле не відрізняється від поля точкового заряду \(q,\) розташованого в центрі сфери. Отже, якщо заряд розподілений по поверхні сфери, то всередині сфери електричного поля немає, тобто напруженість поля дорівнюватиме нулю, як на рисунку Г.

Біля поверхні сфери напруженість буде максимальною (на відстані радіуса R від центру сфери), про що говорить стрибок значення напруженості на графіку \(E(r)\) варіанта відповіді Г.

Залишається визначити поле ззовні від сфери.

Напруженість є силовою характеристикою електричного поля. Напруженість \(\overrightarrow{E}\) електричного поля чисельно дорівнює силі \(\overrightarrow{F},\) з якою поле в даній точці діє на одиничний позитивний заряд \(q_1:\) $$ \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q_1}. $$

За законом Кулона модуль сили дорівнює $$ F=k\frac{|q|\cdot |q_1|}{r^2}. $$ де \(k\) – коефіцієнт пропорційності, \(q\) – нерухомий точковий позитивний заряд, що є джерелом електричного поля, \(r\) – відстань між зарядами.

Маємо $$ E=k\frac{|q|}{r^2}. $$

Тобто напруженість поля точкового заряду \(q\) спадає нелінійно, обернено пропорційно квадрату відстані від джерела поля до заряду \(q_1,\) поміщеного в поле. Що далі від поверхні сфери, то слабша дія електричного поля сфери.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування рівняння стану ідеального газу.

Запишімо рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва – Клапейрона): $$ pV=\frac mM RT, $$ де \(p\) – тиск, \(V\) − обʼєм, \(m\) – маса газу, \(M\) – молярна маса газу, \(R\) – універсальна газова стала, \(T\) – абсолютна температура.

Перетворімо це рівняння, щоб можна було визначити густину \(\mathbf{\rho}\) газу в балоні: \begin{gather*} \mathbf{\rho}=\frac mV,\\[6pt] \mathbf{\rho}=\frac mV=\frac{pM}{RT}. \end{gather*}

Запишімо температуру в градусах Кельвіна й обчислімо густину газу:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку розуміння рівняння стану ідеального газу та вміння за його допомогою визначати макроскопічні параметри газу.

За допомогою рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва – Клапейрона) $$ pV=\frac mM RT $$ можна встановити зв’язок між макроскопічними параметрами газу (\(p\) – тиск, \(V\) − обʼєм, \(T\) – абсолютна температура) у разі його переходу з одного стану в інший. Тобто якщо газ тієї ж маси \(m\) і молярної маси \(M,\) то можемо скористатися рівнянням Клапейрона: $$ \frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}, $$ тобто для газу деякої маси відношення добутку тиску на об’єм до температури газу є незмінним: $$ \frac{pV}{T}=\text{const.} $$

Запишімо рівняння Клапейрона для кожної ділянки циклу.

Процес \(1−2\) відбувається за незмінного об’єму (відповідно до графіка), тобто \begin{gather*} V=\text{const},\\[6pt] \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2},\\[6pt] \frac{p}{T_1}=\frac{2p}{T_2}, \end{gather*} \(T_2=2T_1\) – температура під час процесу \(1−2\) підвищилася в \(2\) рази порівняно з початковою температурою \(T_1.\)

Процес \(2−3\) відбувається за незмінного тиску (див. графік), тобто \begin{gather*} p=\text{const},\\[6pt] \frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3},\\[6pt] \frac{V}{T_2}=\frac{2V}{T_3}, \end{gather*} \(T_3=2T_2=4T_1\) – температура під час процесу \(2−3\) підвищилася в \(4\) рази порівняно з початковою температурою \(T_1.\)

Процес \(3−4\) відбувається за незмінного об’єму (відповідно до графіка), тобто \begin{gather*} V=\text{const},\\[6pt] \frac{p_3}{T_3}=\frac{p_4}{T_4},\\[6pt] \frac{2p}{T_3}=\frac{p}{T_4}, \end{gather*} \(T_4=\frac 12 T_3=\frac 12\cdot 4T_1=2T_1\) – температура під час процесу \(3−4\) підвищилася в \(2\) рази порівняно з початковою температурою \(T_1.\)

Процес \(4−1\) відбувається за незмінного тиску (відповідно до графіка), тобто \begin{gather*} p=\text{const},\\[6pt] \frac{V_4}{T_4}=\frac{V_1}{T_1},\\[6pt] \frac{2V}{T_4}=\frac{V}{T_1}, \end{gather*} \(T_4=2T_1\) – температура під час процесу \(4−1\) дійсно підвищилася в \(2\) рази порівняно з початковою температурою \(T_1,\) що вже було математично доведено на ділянці циклу \(3−4.\)

Отже, температура підвищилася найбільше під час процесу \(2−3\) – у \(4\) рази.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження повної механічної енергії, а також залежності в цьому законі величин, які описують тіло або систему тіл, від часу.

Тіло, кинуте під кутом до горизонту, рухається по параболі, тож кінетична енергія тіла переходить у потенціальну, а потім, під час падіння, навпаки – потенціальна в кінетичну.

У замкненій системі тіл, які взаємодіють тільки консервативними силами, повна механічна енергія залишається незмінною (зберігається).

Закон збереження повної механічної енергії виконується тільки в тому разі, якщо в системі немає тертя.

За умовою на опір повітря не зважаємо, тому закон збереження повної механічної енергії справедливий.

Якщо повна механічна енергія \(E\) із часом залишається сталою, то графіком її залежності від часу \(t\) буде пряма, паралельна до осі часу ‒ варіант В:

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Сполучені посудини.

Завдання скеровано на перевірку знання, розуміння і вміння застосовувати властивості сполучених посудин.

Відповідно до основної властивості сполучених посудин у відкритих сполучених посудинах вільні поверхні однорідної нерухомої рідини (за умовою – води) встановлюються на одному рівні. Тож поки в посудинах була лише вода, її рівень в обох посудинах однаковий.

Після того, як обережно (не змішуючи) в одну з посудин (праворуч) долили важчу за воду рідину (густина \(\mathbf{\rho}_\text{рідини}\) за умовою більша за густину \(\mathbf{\rho}_\text{води}),\) рівень води в другій посудині (ліворуч) підвищився, а в посудині, що праворуч, знизився (див. рисунок). Різниця рівнів води в правій і лівій посудинах становить \(\Delta h.\)

В однорідній рідині (тут – у воді) тиск на одному горизонтальному рівні є однаковим. На рівні \(AB\) в обох колінах міститься вода, тому на цьому рівні тиски, створені атмосферою \(p_\text{атм}\) і рідинами, однакові. Для визначення гідростатичних тисків води \(p_\text{води}\) і рідини \(p_\text{рідини}\) треба знати їхні густини \(\mathbf{\rho}_\text{води}\) і \(\mathbf{\rho}_\text{рідини}.\)

Визначімо висоту стовпчика води \(h_\text{води}.\) Для цього дізнаємося тиск у точках \(A\) і \(B:\)

Оскільки \(p_A=p_B,\) маємо:

або $$ \mathbf{\rho}_\text{води}gh_\text{води}=\mathbf{\rho}_\text{рідини}gh_\text{рідини}. $$

Звідси дізнаймося висоту стовпчика води:

Якщо нульовим рівнем уважати рівень води в посудині праворуч, різниця рівнів води дорівнюватиме висоті стовпчика води в посудині ліворуч:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дії простого механізму ‒ нерухомого блоку, і вміння аналітично описувати рух зв’язаних тіл за допомогою другого закону динаміки Ньютона.

Схематично зобразімо на рисунку сили тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{т1}\) і \(\overrightarrow{F}_\text{т2}\) й сили натягу нитки \(\overrightarrow{T},\) що діють на кожний зі шматків жерсті масами \(m_1\) і \(m_2,\) а також напрямки прискорень \(\overrightarrow{a}_1\) і \(\overrightarrow{a}_2\) й вибраний напрямок осі координат \(Oy.\)

Запишімо для обох предметів другий закон динаміки Ньютона у векторному вигляді:

Запишімо систему рівнянь у проєкціях на вісь \(Oy:\) $$ \left\{ \begin{array}{l} m_1a_1=-F_\text{т1}+T\\ -m_2a_2=-F_\text{т2}+T \end{array} \right. $$

Пояснімо, чому за модулем $$ a_1=a_2=a $$ й сила натягу нитки за модулем однакова.

Відповідно до умови кінематичного зв’язку, що випливає з нерозтяжності нитки, за будь-який інтервал часу ліва ділянка нитки подовжується саме на стільки, на скільки скорочується права. Таким чином, переміщення обох шматків жерсті весь час однакові за модулем. Звідси випливає, що в шматків однакові й модулі швидкостей, і модулі прискорень, тому $$ a_1=a_2=a. $$

Якщо масами нитки та блока, а також тертям в осі блока можна знехтувати (а це можна зробити, тому що в умові завдання даних про це немає), то сила натягу нитки \(\overrightarrow{T}\) в усіх її перерізах однакова. Отже, нитка діє на обидва тягарці з однаковою силою \(\overrightarrow{T},\) напрямленою вгору (див. рисунок).

Узявши до уваги попередні пояснення

і віднявши від першого рівняння системи друге, дістанемо: \begin{gather*} m_1a_1+m_2a_2=-m_1g+m_2g,\\[6pt] a=\frac{g(m_2-m_1)}{m_2+m_1}. \end{gather*}

В умові є інформація про матеріал і розміри шматків жерсті, тож виразімо їхні маси через густину \(\mathbf{\rho}\) й об’єм \(V:\)

Шматки жерсті виготовлено з однакового матеріалу, тому $$ \mathbf{\rho}_1=\mathbf{\rho}_2=\mathbf{\rho}. $$

Товщина \(h\) шматків однакова, а сторона \(a\) квадратного шматка жерсті вдвічі більша за сторону іншого:

Отже,

Підставимо отримані вирази для мас у формулу для прискорення:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили пружності. Закон Гука.

Завдання скеровано на перевірку розуміння дії тіла на підвіс і застосування знань про з’єднання пружин.

На нижній динамометр діє сила тяжіння, а він підвішений до двох верхніх динамометрів за допомогою гачка, з’єднаного з його пружиною. Отже, у підвісі (тобто в пружині) сила пружності виникає завдяки силі, яку називають вагою. Нижній динамометр покаже значення сили тяжіння, яка за модулем дорівнює силі пружності і протилежно до неї напрямлена, а оскільки динамометр перебуває в стані спокою, то вага дорівнюватиме за модулем силі тяжіння.

Вагу нижнього динамометра розподілено порівну між верхніми динамометрами, оскільки динамометри за умовою однакові. Унаслідок дії нижнього динамометра пружини верхніх динамометрів однаково розтягуються. Отже, верхні динамометри показують значення сил пружності: $$ F_\text{пруж1}=F_\text{пруж2}=4\ \text{Н}. $$

Оскільки пружини верхніх динамометрів з’єднані паралельно стержнем, до якого підвішений нижній динамометр, то жорсткості цих пружин додають: $$ k=k_1+k_2. $$

Отже, та сила пружності, що виникає в нижньому динамометрі, дорівнюватиме сумі сил пружності, що виникають у верхніх динамометрах: $$ F_\text{пруж}=F_\text{пруж1}+F_\text{пруж2}=8\ \text{Н}. $$

А нижній динамометр покаже значення сили тяжіння, яка за модулем дорівнює силі пружності: $$ F_\text{тяж}=F_\text{пруж}=8\ \text{Н}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон додавання швидкостей.

Закон додавання швидкостей полягає в тому, що швидкість \(\overrightarrow{v}_\text{м(З)}\) руху м’ячика в нерухомій системі відліку (відносно Землі) дорівнює геометричній сумі швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) руху м’ячика в рухомій системі відліку (відносно автомобіля) та швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{a(З)}\) руху рухомої системи відліку (автомобіля) відносно нерухомої (Землі): $$ \overrightarrow{v}_\text{м(З)}=\overrightarrow{v}_\text{м(a)}+\overrightarrow{v}_\text{a(З)}. $$

Визначімо знаки проєкцій цих векторів у відповідних системах відліку (див. рисунок).

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(З)}\) руху м’ячика в нерухомій системі відліку (відносно Землі) збігається з напрямком побудованої осі \(Ox.\)

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{a(З)}\) руху автомобіля відносно нерухомої системи відліку (Земля) є протилежним до напрямку осі \(Ox,\) отже, проєкція цієї швидкості від’ємна:

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) руху м’ячика в рухомій системі відліку (відносно автомобіля) протилежний до напрямку руху автомобіля, отже, напрямок вектора \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) співпадає з напрямком осі \(Ox,\) відповідно проєкція швидкості руху м᾽ячика дорівнюватиме: $$ v_\text{м(a)}=5\ \text{м/с}. $$

Визначімо за законом додавання швидкостей модуль швидкості м’ячика відносно Землі:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Радіоактивність. Період піврозпаду.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування основного закону радіоактивного розпаду.

Період піврозпаду \(T_{1/2}\) ‒ це фізична величина, що характеризує радіонуклід і дорівнює часу, протягом якого розпадається половина наявної кількості ядер цього радіонукліда.

Фізичну величину, яка чисельно дорівнює кількості розпадів, що відбуваються в певному радіоактивному джерелі за одиницю часу, називають активністю радіоактивного джерела.

Нехай \(A_0\) – початкова активність радіоактивного елемента. За умовою через час \(t=15\ \text{діб}\) активність зменшилася у \(8\ \text{разів}:\) $$ \frac{A_0}{A}=8. $$

Це означає, що відбулося три піврозпади: унаслідок першого розпаду кількість ядер зменшилася у \(2\ \text{рази}\) (і активність відповідно також), після другого розпаду кількість ядер зменшилася ще у \(2\ \text{рази},\) тобто вже в \(4\ \text{рази}\) порівняно з початковою кількістю, і після третього розпаду ‒ ще у \(2\ \text{рази},\) тобто загалом у \(8\ \text{разів}.\)

Отже, за час \(t\) відбулося \(3\) піврозпади \(T_{1/2}:\)

Отже, період піврозпаду радіоактивного елемента становить \(5\ \text{діб}.\)

Відповідь: 5.