ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дії простого механізму ‒ нерухомого блоку, і вміння аналітично описувати рух зв’язаних тіл за допомогою другого закону динаміки Ньютона.

Схематично зобразімо на рисунку сили тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{т1}\) і \(\overrightarrow{F}_\text{т2}\) й сили натягу нитки \(\overrightarrow{T},\) що діють на кожний зі шматків жерсті масами \(m_1\) і \(m_2,\) а також напрямки прискорень \(\overrightarrow{a}_1\) і \(\overrightarrow{a}_2\) й вибраний напрямок осі координат \(Oy.\)

Запишімо для обох предметів другий закон динаміки Ньютона у векторному вигляді:

Запишімо систему рівнянь у проєкціях на вісь \(Oy:\) $$ \left\{ \begin{array}{l} m_1a_1=-F_\text{т1}+T\\ -m_2a_2=-F_\text{т2}+T \end{array} \right. $$

Пояснімо, чому за модулем $$ a_1=a_2=a $$ й сила натягу нитки за модулем однакова.

Відповідно до умови кінематичного зв’язку, що випливає з нерозтяжності нитки, за будь-який інтервал часу ліва ділянка нитки подовжується саме на стільки, на скільки скорочується права. Таким чином, переміщення обох шматків жерсті весь час однакові за модулем. Звідси випливає, що в шматків однакові й модулі швидкостей, і модулі прискорень, тому $$ a_1=a_2=a. $$

Якщо масами нитки та блока, а також тертям в осі блока можна знехтувати (а це можна зробити, тому що в умові завдання даних про це немає), то сила натягу нитки \(\overrightarrow{T}\) в усіх її перерізах однакова. Отже, нитка діє на обидва тягарці з однаковою силою \(\overrightarrow{T},\) напрямленою вгору (див. рисунок).

Узявши до уваги попередні пояснення

і віднявши від першого рівняння системи друге, дістанемо: \begin{gather*} m_1a_1+m_2a_2=-m_1g+m_2g,\\[6pt] a=\frac{g(m_2-m_1)}{m_2+m_1}. \end{gather*}

В умові є інформація про матеріал і розміри шматків жерсті, тож виразімо їхні маси через густину \(\mathbf{\rho}\) й об’єм \(V:\)

Шматки жерсті виготовлено з однакового матеріалу, тому $$ \mathbf{\rho}_1=\mathbf{\rho}_2=\mathbf{\rho}. $$

Товщина \(h\) шматків однакова, а сторона \(a\) квадратного шматка жерсті вдвічі більша за сторону іншого:

Отже,

Підставимо отримані вирази для мас у формулу для прискорення:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили пружності. Закон Гука.

Завдання скеровано на перевірку розуміння дії тіла на підвіс і застосування знань про з’єднання пружин.

На нижній динамометр діє сила тяжіння, а він підвішений до двох верхніх динамометрів за допомогою гачка, з’єднаного з його пружиною. Отже, у підвісі (тобто в пружині) сила пружності виникає завдяки силі, яку називають вагою. Нижній динамометр покаже значення сили тяжіння, яка за модулем дорівнює силі пружності і протилежно до неї напрямлена, а оскільки динамометр перебуває в стані спокою, то вага дорівнюватиме за модулем силі тяжіння.

Вагу нижнього динамометра розподілено порівну між верхніми динамометрами, оскільки динамометри за умовою однакові. Унаслідок дії нижнього динамометра пружини верхніх динамометрів однаково розтягуються. Отже, верхні динамометри показують значення сил пружності: $$ F_\text{пруж1}=F_\text{пруж2}=4\ \text{Н}. $$

Оскільки пружини верхніх динамометрів з’єднані паралельно стержнем, до якого підвішений нижній динамометр, то жорсткості цих пружин додають: $$ k=k_1+k_2. $$

Отже, та сила пружності, що виникає в нижньому динамометрі, дорівнюватиме сумі сил пружності, що виникають у верхніх динамометрах: $$ F_\text{пруж}=F_\text{пруж1}+F_\text{пруж2}=8\ \text{Н}. $$

А нижній динамометр покаже значення сили тяжіння, яка за модулем дорівнює силі пружності: $$ F_\text{тяж}=F_\text{пруж}=8\ \text{Н}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон додавання швидкостей.

Закон додавання швидкостей полягає в тому, що швидкість \(\overrightarrow{v}_\text{м(З)}\) руху м’ячика в нерухомій системі відліку (відносно Землі) дорівнює геометричній сумі швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) руху м’ячика в рухомій системі відліку (відносно автомобіля) та швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{a(З)}\) руху рухомої системи відліку (автомобіля) відносно нерухомої (Землі): $$ \overrightarrow{v}_\text{м(З)}=\overrightarrow{v}_\text{м(a)}+\overrightarrow{v}_\text{a(З)}. $$

Визначімо знаки проєкцій цих векторів у відповідних системах відліку (див. рисунок).

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(З)}\) руху м’ячика в нерухомій системі відліку (відносно Землі) збігається з напрямком побудованої осі \(Ox.\)

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{a(З)}\) руху автомобіля відносно нерухомої системи відліку (Земля) є протилежним до напрямку осі \(Ox,\) отже, проєкція цієї швидкості від’ємна:

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) руху м’ячика в рухомій системі відліку (відносно автомобіля) протилежний до напрямку руху автомобіля, отже, напрямок вектора \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) співпадає з напрямком осі \(Ox,\) відповідно проєкція швидкості руху м᾽ячика дорівнюватиме: $$ v_\text{м(a)}=5\ \text{м/с}. $$

Визначімо за законом додавання швидкостей модуль швидкості м’ячика відносно Землі:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Радіоактивність. Період піврозпаду.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування основного закону радіоактивного розпаду.

Період піврозпаду \(T_{1/2}\) ‒ це фізична величина, що характеризує радіонуклід і дорівнює часу, протягом якого розпадається половина наявної кількості ядер цього радіонукліда.

Фізичну величину, яка чисельно дорівнює кількості розпадів, що відбуваються в певному радіоактивному джерелі за одиницю часу, називають активністю радіоактивного джерела.

Нехай \(A_0\) – початкова активність радіоактивного елемента. За умовою через час \(t=15\ \text{діб}\) активність зменшилася у \(8\ \text{разів}:\) $$ \frac{A_0}{A}=8. $$

Це означає, що відбулося три піврозпади: унаслідок першого розпаду кількість ядер зменшилася у \(2\ \text{рази}\) (і активність відповідно також), після другого розпаду кількість ядер зменшилася ще у \(2\ \text{рази},\) тобто вже в \(4\ \text{рази}\) порівняно з початковою кількістю, і після третього розпаду ‒ ще у \(2\ \text{рази},\) тобто загалом у \(8\ \text{разів}.\)

Отже, за час \(t\) відбулося \(3\) піврозпади \(T_{1/2}:\)

Отже, період піврозпаду радіоактивного елемента становить \(5\ \text{діб}.\)

Відповідь: 5.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Фотоефект і його експериментально встановлені закони. Рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

Завдання скеровано на перевірку знання, розуміння і застосування фізичних характеристик, рівняння Ейнштейна для фотоефекту, його законів.

Унаслідок поглинання фотона металом енергія фотона \(h\mathbf{\nu}\) може бути повністю передана електрону й витратитися на здійснення роботи виходу \(A_\text{вих}\) й надання електрону кінетичної енергії \(E_{kmax}.\)

Запишімо рівняння Ейнштейна для фотоефекту за початкових умов (до зміни довжини хвилі \(\mathbf{\lambda}\)): \begin{gather*} h\mathbf{\nu}_1=A_\text{вих}+E_{kmax},\\[6pt] \text{де}\ E_{kmax}=eU_3,\\[6pt] \mathbf{\nu}_1=\frac{c}{\mathbf{\lambda}_1}. \end{gather*}

Тоді рівняння для фотоефекту таке: \begin{gather*} h\frac{c}{\mathbf{\lambda}_1}=A_\text{вих}+eU_{\text{з}1}, \end{gather*} де \(h\) ‒ стала Планка, \(\mathbf{\nu}\) ‒ частота світла, \(c\) ‒ швидкість світла у вакуумі, \(E_{kmax}\) ‒ максимальна кінетична енергія фотоелектрона, \(eU_{\text{з}}\) ‒ робота електростатичного поля (\(e\) ‒ модуль заряду електрона, \(U_\text{з}\) ‒ затримувальна (запірна) різниця потенціалів ‒ затримувальна напруга, з досягненням якої навіть найшвидші електрони не дістануться анода, а отже, фотострум припиниться).

Запишімо рівняння Ейнштейна для фотоефекту, якщо довжина хвилі світла збільшиться у \(2\) рази. Робота виходу \(A_\text{вих}\) характеризує метал і дорівнює енергії, яку треба передати електрону для того, щоб він зміг подолати сили, які утримують його на поверхні металу, отже, робота виходу електрона з металу не зміниться. А затримувальна напруга (а отже, й початкова швидкість фотоелектронів) зменшиться внаслідок збільшення довжини світлової хвилі, яка падає на катод: \begin{gather*} h\mathbf{\nu}_2=A_\text{вих}+eU_{\text{з}2},\\[6pt] h\frac{c}{\mathbf{\lambda}_2}=A_\text{вих}+eU_{\text{з}2}. \end{gather*}

За умовою завдання $$ \mathbf{\lambda}_2=2\mathbf{\lambda}_1. $$

Розв’яжімо систему рівнянь, поділивши рівняння одне на одне:

Підставимо числові значення й обчислимо затримувальну різницю потенціалів, зваживши на те, що $$ A_\text{вих}=4\ \text{еВ}=4\ \text{еВ}\cdot e\ \text{Дж}. $$ де \(e\) ‒ модуль заряду електрона: $$ U_{\text{з}2}=\frac{e\cdot 5\ \text{В}-4\ \text{еВ}\cdot e}{2e}=0,5\ \text{В}. $$

Відповідь: 0,5.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Трансформатор.

Завдання скеровано на перевірку розуміння будови трансформатора й уміння описувати його роботу аналітично, через відношення фізичних величин.

Первинна обмотка трансформатора підключена до джерела змінного струму, напруга на виході якого \(u_1.\) Під час проходження струму в обмотці виникає ЕРС (електрорушійна сила) самоіндукції \(e_1.\) Опір обмотки вважатимемо нехтовно малим. І в будь-який момент часу для діючих значень напруги й ЕРС правильною є рівність $$ U_1\approx \mathbf{\varepsilon}_1. $$

У вторинній обмотці струм не йде (вона розімкнена), тому напруга на кінцях вторинної обмотки за модулем дорівнює ЕРС індукції, отже, відповідно маємо рівність: $$ U_2=\mathbf{\varepsilon}_2. $$

Отже, у режимі холостого ходу справджується рівність \begin{gather*} \frac{U_2}{U_1}=\frac{\mathbf{\varepsilon}_2}{\mathbf{\varepsilon}_1}=\frac{N_2}{N_1}=k, \end{gather*} де \(N_1\) і \(N_2\) ‒ кількість витків у першій і другій обмотках відповідно, \(k\) ‒ коефіцієнт трансформації.

У разі підключення обмоток першим способом ЕРС індукції в першій обмотці дорівнює фактично напрузі на джерелі: \begin{gather*} \mathbf{\varepsilon}_1=U. \end{gather*}

А ЕРС індукції у вторинній обмотці за умовою дорівнює \(16\ \text{В}:\) $$ \mathbf{\varepsilon}_2=16\ \text{В}. $$

Якщо ж поміняти місцями обмотки й підключити вторинну обмотку до джерела, то \begin{gather*} \mathbf{\varepsilon}_2=U. \end{gather*}

А ЕРС індукції в первинній обмотці, яка тепер стала вторинною, за умовою дорівнює \(4\ \text{В}:\) $$ \mathbf{\varepsilon}_1=4\ \text{В}. $$

Коефіцієнт трансформації для першого способу підключення $$ k=\frac{\mathbf{\varepsilon}_2}{U}=\frac{16}{U}. $$

А для другого способу з’єднання коефіцієнт трансформації буде такий самий: $$ k=\frac{U}{\mathbf{\varepsilon}_1}=\frac U4. $$

Прирівняємо праві частини цих рівностей: $$ \frac{16}{U}=\frac U4. $$

Обчислимо напругу джерела:

Відповідь: 8.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Повне відбивання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння оптичного явища ‒ повного внутрішнього відбивання.

Явище, коли заломлення світла немає, тобто світло повністю відбивається від межі поділу із середовищем меншої оптичної густини, називають явищем повного внутрішнього відбивання.

Найменший кут падіння, починаючи з якого вся світлова енергія повністю відбивається від межі поділу двох прозорих середовищ, називають граничним кутом повного внутрішнього відбивання \(\mathbf{\alpha}_0.\) За кута падіння \(\mathbf{\alpha}=\mathbf{\alpha}_0\) кут заломлення \(\mathbf{\gamma}\) дорівнює \(90^\circ\) (див. рисунок).

За умовою завдання світло переходитиме з речовини, яка оптично густіша за повітря. На рисунку нижче зображена ситуація, коли промінь йде по межі двох середовищ. Якщо далі збільшувати кут падіння, то промінь повністю відбиватиметься в речовині, не заломлюватиметься і не виходитиме в повітря.

Оскільки промені від точкового джерела розходяться в усі боки, то виберемо з них ті, які падають під кутом \(\mathbf{\alpha}\) на межу поділу середовищ. Вони утворюватимуть конус, основою якого є коло радіуса \(40\ \text{см},\) як сказано в умові завдання. Схематично це зображено на рисунку.

Для двох середовищ відношення синуса кута падіння \(\mathbf{\alpha}\) до синуса кута заломлення \(\mathbf{\gamma}\) дорівнює оберненому відношенню показників заломлення середовищ: $$ \frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\sin\mathbf{\gamma}}=\frac{n_\text{повітря}}{n_\text{речовини}}. $$

Показник заломлення повітря дорівнює \(1.\) Кут заломлення \(\mathbf{\gamma}\) дорівнює \(90^\circ,\) оскільки в умові розглядають явище повного відбивання. Підставимо ці значення і спростимо формулу:

Щоб визначити \(\sin\mathbf{\alpha},\) розглянемо на рисунку прямокутний трикутник \(SOA.\)

Якщо один катет $$ SO=30\ \text{см}=0,3\ \text{м}, $$ а другий катет $$ OA=40\ \text{см}=0,4\ \text{м}, $$ то гіпотенуза $$ SA=50\ \text{см}=0,5\ \text{м}, $$ як гіпотенуза єгипетського трикутника (у якого сторони відносяться як \(3:4:5\)) або за теоремою Піфагора.

Тоді \begin{gather*} \sin\mathbf{\alpha}=\frac{OA}{SA}=\frac{0,4}{0,5}=0,8. \end{gather*}

Підставимо це значення в формулу для показника заломлення і обчислимо його: $$ n_\text{речовини}=\frac{1}{0,8}=1,25. $$

Відповідь: 1,25.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна та його максимальне значення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формул для визначення коефіцієнта корисної дії теплового двигуна.

Коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) теплового двигуна (теплової машини) можна визначити за формулою \begin{gather*} \mathbf{\eta}=\frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}, \end{gather*} де \(T_\text{н}\) - температура нагрівника; \(T_\text{х}\) ‒ температура холодильника.

За умовою нагрівником є резервуар із водою, яка кипить. Температура кипіння дорівнює \(100\ ^\circ\mathrm{C},\) тобто $$ T_\text{н}=100\ ^\circ\mathrm{C}=373\ \text{К}. $$

Холодильником є ємність із льодом, який тане. Температура танення льоду \(0\ ^\circ\mathrm{C},\) тобто \begin{gather*} T_\text{х}=0\ ^\circ\mathrm{C}=273\ \text{К}. \end{gather*}

З іншого боку коефіцієнт корисної дії теплової машини дорівнює відношенню корисної роботи \(A,\) виконуваної машиною, до кількості теплоти \(Q_\text{н},\) одержуваної від нагрівника: \begin{gather*} \mathbf{\eta}=\frac{A}{Q_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}. \end{gather*}

Частина теплоти \(Q_\text{н}\) від нагрівника піде на виконання корисної роботи \(A,\) а залишок буде переданий холодильнику \(Q_\text{х},\) унаслідок чого розтане лід: $$ Q_\text{н}=A+Q_\text{х}. $$

Прирівняймо ці два вирази для визначення коефіцієнта корисної дії:

Порція теплоти, яка буде передана холодильнику, може розплавити лід масою \(m_\text{л}:\) $$ Q_\text{х}=\mathbf{\lambda}m_\text{л}, $$ де \(\mathbf{\lambda}\) ‒ питома теплота плавлення льоду.

Тобто \begin{gather*} \frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}=\frac{A}{A+\mathbf{\lambda}m_\text{л}}. \end{gather*}

Підставимо числові значення величин з умови завдання і визначимо масу льоду:

Відповідь: 910.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Джоуля ‒ Ленца.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон Джоуля ‒ Ленца й тлумачити показання приладів за певної послідовності підключення їх.

Кількість теплоти \(Q,\) що виділятиметься в резисторі опором \(R\) за час \(t\) протікання в ньому електричного струму силою \(I\) від фотоелемента, визначмо за законом Джоуля ‒ Ленца: $$ Q=I^2Rt. $$

Електричний опір резистора і час протікання струму відомі, а силу струму в резисторі можна визначити за законом Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}. $$

Фотоелемент є джерелом струму. Коли до полюсів фотоелемента приєднали вольтметр (ще без навантаження ‒ резистора), вольтметр показав електрорушійну силу \(\mathbf{\varepsilon}\) фотоелемента.

Коли ж до полюсів приєднали замість вольтметра амперметр, який за умовою є ідеальним, тобто його опір \(R_A\) майже дорівнює нулю, то фактично замкнули фотоелемент сам на себе (закоротили). За такого з’єднання амперметр показав силу струму \(I_\text{к.з.}\) короткого замикання:

Звідси визначмо внутрішній опір фотоелемента, необхідний для визначення сили струму в резисторі: $$ r=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{I_\text{к.з.}}=\frac{5\ \text{В}}{0,1\ \text{А}}=50\ \text{Ом}. $$

Обчислімо силу струму в резисторі:

Визначимо кількість теплоти, яка виділиться в резисторі:

Відповідь: 125.