ТЕМА: Квантова фізика. Атом і атомне ядро.

Завдання скеровано на перевірку розуміння будови атома й уміння інтерпретувати рівняння ядерних реакцій.

Атом складається із позитивно зарядженого ядра й негативно заряджених електронів. Ядро ж складається із частинок двох видів – позитивно заряджених протонів і нейтральних нейтронів. Заряди протона й електрона однакові за модулем. Атом – це нейтральна частинка, тому кількість електронів у ньому дорівнює кількості протонів. Кількість нейтронів може відрізнятися від кількості протонів чи електронів.

Для того, щоб описати нуклон, поруч із хімічним символом елемента зазначають лівий надрядковий індекс – кількість нуклонів у ядрі (сумарна кількість протонів і нейтронів) – і лівий підрядковий індекс – кількість протонів.

Оскільки в атомі зарядженими частинками є електрони й протони, кількість яких однакова, то сумарна кількість заряджених частинок дорівнює $$ 30\cdot 2=60. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на оцінку розуміння фізичних понять, що стосуються рівномірного руху по колу.

Переміщення – це векторна величина, яку графічно подають у вигляді напрямленого відрізка прямої, який з’єднує початкове й кінцеве положення матеріальної точки.

Шлях – це фізична величина, що чисельно дорівнює довжині траєкторії руху матеріальної точки за певний інтервал часу.

Швидкість – це векторна фізична величина, яка дорівнює відношенню переміщення \(s\) до інтервалу часу \(t\), за який це переміщення відбулося: $$ \overline{v}=\frac{\overline{s}}{t}. $$

Кутова швидкість – це фізична величина, яка чисельно дорівнює куту повороту \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) радіуса за час \(t\): $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}}{t}. $$

Під час переміщення з точки 1 у точку 2 тіло пройшло півкола, тобто \(180^\circ\) чи \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{рад}\). У такому разі модуль переміщення, тобто відстань між початковою і кінцевою точкою, дорівнює \(2R\).

Шлях у цьому випадку – це довжина дуги, яку пройшло тіло. Її можна розрахувати за формулою: $$ l=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R\cdot\frac {\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}}{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R\cdot\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R. $$

Модуль швидкості можна розрахувати, якщо модуль переміщення \(s\) поділити на \(t\): $$ v=\frac st=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{t}. $$

Кутову швидкість можна розрахувати за формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}}{t}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{t}. $$

Відповідь: 1Г, 2В, 3Б, 4А.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння будови речовин у різних агрегатних станах.

1. У рідинах молекули перебувають одна від одної на відстані, що приблизно дорівнює їхньому розміру. На таких відстанях сили відштовхування і притягання, що виникають між молекулами, урівноважують одні одних. Якщо молекули спробувати зблизити, то сили відштовхування переважатимуть над силами притягання і навпаки. Саме тому зменшити об’єм рідини так складно. Тож м’яч, заповнений водою, неможливо стиснути, бо між молекулами рідини діють сили відштовхування.

2. Люди відчувають запах тої чи тої речовини, бо її молекули потрапляють на рецептори в носі. Запах свіжої випічки поширюється в повітрі завдяки дифузії молекул запашних речовин у повітрі. Дифузія – процес взаємного проникнення молекул однієї речовини між молекулами іншої, який відбувається внаслідок теплового руху цих молекул.

3. Хоча молекули рідин і перебувають одна від одної на відстанях, що приблизно дорівнюють їхнім розмірам, але вони не утворюють чіткої структури на відміну від твердих тіл. Між молекулами є невеликі проміжки, які і займають атоми чи молекули розчинених речовин, наприклад, цукру. Оскільки ці молекули зазвичай займають проміжки, що й так існували між молекулами рідини, то після розчинення об’єм рідини загалом майже не змінюється.

4. Сили притягання також діють між молекулами твердих тіл, якщо вони перебувають достатньо близько одна від одної. Тому, якщо під час тертя скло і дзеркальце зможуть бути у прямому контакті, то між їхніми молекулами почнуть діяти сили притягання, унаслідок чого дзеркальце прилипне до віконного скла.

Відповідь: 1А, 2Д, 3Б, 4Г.

ТЕМА: Сила пружності. Механічні коливання. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичних величин, пов’язаних із механічними коливаннями.

1. Потенціальна енергія тіла, що здійснює коливання на пружині (зокрема горизонтальні), залежить від жорсткості пружини і її абсолютного видовження: $$ E_{\text{пот}}=\frac{kx^2}{2}. $$

2. Період коливань математичного маятника залежить лише від його довжини й прискорення вільного падіння: $$ T_{\text{мат}}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac lg}. $$

3. Кінетична енергія тіла (зокрема того, що коливається), залежить від його швидкості й маси: $$ E_{\text{кін}}=\frac{mv^2}{2}. $$

4. Період коливання тіла, що здійснює коливання на пружин, і залежить від жорсткості пружини й маси тіла: $$ T_{\text{пруж}}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac mk}. $$

Відповідь: 1А, 2Д, 3Г, 4Б.

ТЕМА: Атом і атомне ядро.

Завдання скероване на перевірку розуміння історично важливих фізичних експериментів і вміння пов’язувати їх із фізичними відкриттями.

1. Анрі Беккерель проводив дослідження із використанням солей Урану й випадково поклав породу разом із фотопластинкою в темну шухляду. Наступного разу, коли він повернувся до фотопластинок, вони виявилися засвіченими, хоча ніяких джерел світла в шухляді не було. Так у нього виникла ідея про те, що саме Уран був джерелом якогось випромінювання. Це випромінювання і було радіоактивним випромінюванням, що утворювалось під час розпаду нестабільних ядер Урану.

2. Планетарну модель атома розробив Ернест Резерфорд після того, як експеримент із перевірки пудингової моделі Томсона мав неочікувані результати. За уявленнями Томсона позитивний заряд в атомі займав увесь його об’єм, як тісто в пудингу чи кексі, а негативно заряджені електрони застрягали в цьому позитивному заряді (як родзинки). Якщо атом і справді мав таку будову, то під час зустрічі з ним інші (менші) частинки мали би пролітати наскрізь. Адже самі електрони мали би занадто малу масу, щоби викликати якусь серйозну зміну траєкторії, а хмара позитивного заряду могла спричинити відхилення лише на невеликі кути. Щоби перевірити це експериментально, Резерфорд бомбардував альфа-частинками тонку фольгу золота, товщина якої становила лише кілька атомів. Деякі альфа-частинки відбивалися від фольги майже у протилежному напрямку. Таке відбивання було можливе лише за умови, що в атомі існувала велика важка частинка. Тож Резерфорд припустив, що атом більше схожий на Сонячну систему, ніж на пудинг: у його центрі є велика позитивна частинка – ядро, навколо якого обертаються електрони, як планети навколо Сонця.

3. Фотоефект – це явище взаємодії світла з речовиною, супроводжуване випромінюванням (емісією) електронів. Закони фотоефекту були відкриті під час опромінення металів світлом.

4. α-промені – це потік позитивно заряджених частинок, що складаються із двох протонів і двох нейтронів (ядра атомів Гелію), β-промені – це потік негативно заряджених електронів, γ-промені – це електромагнітне випромінювання надзвичайно високої частоти, що утворюється під час ядерних реакцій. Ернест Резерфорд виявив, що під дією магнітного поля пучок радіоактивного випромінювання ділиться на три частини. Поділ відбувається тому, що під дією магнітного поля заряджені частинки відхиляються від своєї початкової прямолінійної траєкторії. Нейтральний γ-промінь не відхилявся під дією магнітного поля, а позитивно заряджені α-частинки й негативно заряджені β-частинки відхилялися й утворювали два пучки по обидва боки від пучка γ-променів. Адже різнойменно заряджені частинки в магнітному полі відхиляються у протилежні боки.

Відповідь: 1Г, 2А, 3В, 4Б.

ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Звукові хвилі. Ехолокація.

Завдання скеровано на оцінку розуміння принципів ехолокації і вміння розв’язувати відповідні розрахункові задачі.

Дано:
\(l=170\ \text{м}\)
\(c\ (\text{звуку})=340\ \text{м/с}\)
\(v\ (\text{кажана})=20\ \text{м/с}\)

1. Знайти:
\(t\ (\text{с})\ -\ ?\)

Звук – це механічна хвиля, що має частоту \(20\ –\ 20\ 000\ \text{Гц}\). Кажан, що випустив ультразвуковий сигнал, не має впливу на швидкість поширення цього сигналу в середовищі, тому можна визначити час, який знадобиться сигналу для того, щоби досягти перепони з визначення швидкості: \begin{gather*} c\ (\text{звуку})=\frac lt\rightarrow \\[6pt] t=\frac{l}{c\ (\text{звуку})}=\frac{170\ \text{м}}{340\ \text{м/с}}=0,5\ \text{с}. \end{gather*}

2. Знайти:
\(l'\ (\text{м})\ -\ ?\)

Нехай кажан отримає зворотний сигнал на відстані \(l'\) від перепони в момент часу \(t'\). Тоді за цей час звукова хвиля пройде відстань від кажана в початковій точці до перепони \(l\) і відстань від перепони до кажана \(l'\): $$ l_{\text{звуку}}=l+l'. $$

Кажан пройде відстань, що дорівнює різниці початкової і кінцевої відстані до перепони: $$ l_{\text{кажана}}=l-l'. $$

Кажан і звукова хвиля долають відповідні відстані за однаковий час, тому:

Відповідь: 1. 0,5. 2. 151.

ТЕМА: Теплота згоряння палива. Рівняння теплового балансу палива. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані з рівняннями теплового балансу.

1. Дано:
\(V=4\cdot 10^8\ \text{м}^3\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=1\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(q=40\ \text{МДж/кг}\)

1. Знайти:
\(Q\ (\text{Дж})\ -\ ?\)

Кількість теплоти, що виділяється під час згоряння палива, можна розрахувати за формулою: $$ Q=qm, $$ де \(q\) – питома теплота згорання палива, \(m\) – маса палива.

Маса палива пов’язана з його об’ємом \(V\) й густиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\): $$ m=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}V. $$

Тож можна розрахувати виділену кількість теплоти:

2. Дано:
\(m_{\text{пов}}=8\cdot 10^{13}\ \text{кг}\)
\(c_{\text{пов}}=1000\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\ \cdot\ ^\circ\mathrm{C}}\)
\(q=40\ \text{МДж/кг}\)

2. Знайти:
\(\triangle t\ (^\circ\mathrm{C})\ -\ ?\)

Для того, щоб оцінити, як зміниться температура тропосфери, потрібно записати рівняння теплового балансу $$ Q=cm\triangle t, $$ де \(Q\) – отримана (або віддана) кількість теплоти, \(c\) – питома теплоємність тіла, \(m\) – маса тіла. \(\triangle t\) – зміна температури тіла.

Якщо кількість теплоти \(Q=16\ \text{ПДж}\) повністю передається тропосфері, то саме ця \(Q\) є отриманою кількість теплоти в лівій частині рівняння теплового балансу. Тож можна розрахувати зміну температури:

Відповідь: 1. 16. 2. 0,2.

ТЕМА: Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Основи електростатики. Закон Кулона.

Завдання скеровано на оцінку вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані із силою Кулона.

1. Дано:
\(T_1=1\ \text{мН}\)
\(T_2=1,5\ \text{мН}\)

1. Знайти:
\(F\ (\text{мН})\ -\ ?\)

Спочатку на кульку діяли лише сили натягу підвісу й сила тяжіння (рис. 1, а). Кулька перебуває у стані спокою, тому рівнодійна цих сил дорівнює 0: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_1}+m\overrightarrow{g}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: \begin{gather*} T_1-mg=0;\\[7pt] T_1=mg. \end{gather*}

Після того, як до першої кульки наблизили другу, окрім сили натягу підвісу й сили тяжіння на кульку діє сила Кулона (рис. 1, б). Але навіть у такому разі тіло перебуває у стані спокою, тобто рівнодійна цих сил дорівнює нулю: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_2}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\text{Кл}}}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: $$ T_2-mg-F_{\text{Кл}}=0. $$

Зважаючи на те, що \(T_1=mg\), можна розрахувати силу Кулона: $$ F_{\text{Кл}}=T_2-T_1=1\ \text{мН}-1\ \text{мН}=0,5\ \text{мН}. $$

Рис. 1. Схематичне зображення сил: а) для одної кульки, б) для двох кульок

2. Дано:
\(r_1=\frac{r_1}{2}\)

2. Знайти:
\(T_3\ (\text{мН})\ -\ ?\)

Силу Кулона визначають за формулою $$ F=k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}. $$

Тоді можна записати силу взаємодії до того, як кульки наблизили одну до одної: $$ F_{\text{Кл1}}=k\frac{|q_1||q_2|}{r^2_1}. $$

Ця сила взаємодії дорівнює \(0,5\ \text{мН}\), як було розраховано раніше.

Сила взаємодії після зближення дорівнюватиме

Як і до зближення, підвішена кулька перебуватиме у стані спокою, а рівнодійна всіх сил, що діють на неї, дорівнюватиме нулю: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_3}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\text{Кл2}}}=0. $$

Цей векторний вираз можна спроєктувати на вертикальну вісь: $$ T_3-mg-F_{\text{Кл2}}=0. $$

Тож можна розрахувати силу натягу підвісу. Оскільки \(T_1=mg,\ F_{\text{Кл2}}=4F_{\text{Кл1}}\), то

Відповідь: 1. 0,5. 2. 3.

ТЕМА: Оптика. Закони заломлення світла.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на закони заломлення світла, зокрема з використанням явища повного внутрішнього відбивання.

Дано:
\(n=1,5\)
\(c=3\cdot 10^8\ \text{м/с}\)

1. Знайти:
\(v\ (\text{тис. км/с})\ -\ ?\)

Абсолютний показник заломлення \(n\) – це відношення швидкості c світла у вакуумі до швидкості \(v\) світла в середовищі: $$ n=\frac cv. $$

Тоді можна розрахувати швидкість поширення світла у склі:

2. Знайти:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\delta}\ -\ ?\)

Вираз закону заломлення світла на межі двох середовищ: $$ n_1\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=n_2\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta} $$ де \(n_1\) і \(n_2\) – коефіцієнти заломлення середовищ, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – кут падіння променю на межу середовищ, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут заломлення променю.

Промінь, що падає на призму, заломлюється двічі – на кожній поверхні призми.

Усі кути в законі заломлення відраховуються від перпендикуляр до поверхні. Оскільки падний промінь перпендикулярний до лівої поверхні призми, то кут між перпендикуляром і кутом падіння дорівнює \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}'=0^\circ\).

Оскільки \begin{gather*} n_{\text{пов}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}'=n_{\text{скла}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta},\\[7pt] \text{а}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}'=0^\circ,\ \text{то}\\[7pt] n_{\text{скла}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=0\rightarrow \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=0^\circ. \end{gather*}

Тож заломлений промінь також перпендикулярний до поверхні призми. На другій поверхні призми кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) – кут падіння променю. Його можна визначити з геометричних міркувань (рис. 1).

Рис. 1. Визначення кута \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\)

Зважаючи на те, що кути при основі призми дорівнюють \(60^\circ\), третій кут призми дорівнює \(180^\circ -60^\circ -60^\circ =60^\circ\). Трикутник, який промінь відсікає в призмі, прямокутний, один із його гострих кутів – це кут призми, що дорівнює \(60^\circ\). Тобто останній кут цього трикутника дорівнює \(30^\circ\).

Кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) відраховують від перпендикуляра, що на рисунку 1 зображений синім пунктиром. Тому

$$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=90^\circ - 30^\circ = 60^\circ. $$

Перед тим, як застосовувати закон заломлення світла вдруге, потрібно перевірити, чи не відбувається в цьому разі повне внутрішнє відбивання. Повне внутрішнє відбивання – це явище відбивання світла на межі двох середовищ. Воно відбувається для всіх кутів, більших за критичний кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0\), який визначають із умови $$ n\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0=1. $$

У цьому разі $$ \sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0=\frac{1}{n_{\text{скла}}}=\frac{1}{1,5}=\frac 23. $$

Це значення синуса не є табличним, тому визначити кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0\) точно без спеціальних таблиць неможливо. Але для кутів, менших за \(90^\circ\) (а у випадку заломлення світлових промені йдеться саме про такі кути) синус кута збільшується разом зі значенням кута, тобто: $$ \sin x\gt \sin y\rightarrow x\gt y. $$

Із таблиці можна дізнатися, що $$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Для порівняння \(\sqrt{3}/2\) і \(2/3\) їх потрібно звести до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{6};\\[6pt] \frac 23=\frac 46. \end{gather*}

Тепер залишається порівняти чисельники цих дробів.\(\sqrt{3}\) – ірраціональне число, тому його значення треба оцінити.

Якщо \(3\sqrt{3}\gt 4\), то \(\sqrt{3}\gt 4/3\), тобто \(\sqrt{3}\gt 1,(3)\). Для того, щоби перевірити це, потрібно вибрати число, що однозначно більше за \(1,(3)\), наприклад, \(1,5\). \begin{gather*} \sqrt{2,25}=1,5;\\[7pt] 1,5\gt 1,(3)\rightarrow \sqrt{2,25}\gt 1,(3). \end{gather*}

Відомо, що \(\sqrt{2,25}\lt\sqrt{3}\), тому $$ \sqrt{3}\gt\frac 43\rightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}\gt\frac 23\rightarrow 60^\circ\gt \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}_0. $$

Оскільки кут падіння променю на другу поверхню призми більший, ніж кут повного внутрішнього відбивання, то заломлення не відбудеться, і промінь відбиватиметься від другої поверхні призми (рис. 2).

Рис. 2. Повне внутрішнє відбивання променю світла

Кут падіння завжди дорівнює куту відбивання і в цьому разі становить \(60^\circ\). Тепер треба визначити кут, під яким відбитий промінь потрапляє на нижню поверхню призми. Для цього потрібно розглянути трикутник, який відбитий промінь відсікає у призмі (рис. 3). Кут, який відбитий промінь утворює з боковою поверхнею призми, дорівнює \(90^\circ – 60^\circ = 30^\circ\). Кут при основі призми відомий за умовою задачі – \(60^\circ\).

Рис. 3. Визначення кута падіння на нижню поверхню призми

Тоді кут, під яким відбитий промінь падає на нижню поверхню, дорівнює: \(180^\circ –30^\circ – 60^\circ = 90^\circ\). Промінь, що падає на поверхню розділу під прямим кутом, не заломлюється (як це було доведено на початку розв’язку), тому промінь вийде, не змінюючи свого напрямку.

Тому кут відхилення від початкового ходу \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\delta}\) можна визначити з геометричних міркувань (рис. 4).

Рис. 4. Визначення відхилення променю від початкового напрямку

На рисунку кут падіння на другу поверхню призми, рівний до нього кут відбивання від цієї поверхні й шуканий кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\delta}\) утворюють розгорнутий кут, тому $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\delta}=180^\circ -2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=180^\circ -2\cdot 60^\circ=60^\circ. $$

Відповідь: 1. 200. 2. 60.