ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Температура. Рівняння стану ідеального газу. Ізопроцеси.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття середньої кінетичної енергії хаотичного руху молекул, а також розуміння процесів, що відбуваються з газом.

Середня кінетична енергія \(\overline{E}_k\) поступального руху молекул ідеального газу (кінетична енергія поступального руху, що в середньому припадає на одну молекулу масою \(m_0\)) дорівнює: $$ \overline{E}_k=\frac{m_0\overline{v^2}}{2}, $$ де \(\overline{v^2}\) ‒ середній квадрат швидкості.

Також середня кінетична енергія поступального руху молекул ідеального газу прямо пропорційна абсолютній температурі \(T:\) $$ \overline{E}_k=\frac 32kT, $$ де \(k\) ‒ стала Больцмана.

Під час ізохорного охолодження температура зменшуватиметься, відповідно середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу теж зменшуватиметься.

Ізотермічне стискання відбувається за сталої температури. Отже, середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу не зростатиме.

У ході адіабатного розширення, відповідно до першого закону термодинаміки, газ виконує додатну роботу внаслідок зменшення внутрішньої енергії, а температура газу зменшується. Тобто середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу зменшуватиметься.

Під час ізобарного розширення передана газу кількість теплоти витрачається і на збільшення внутрішньої енергії газу, і на виконання механічної роботи. Якщо збільшується внутрішня енергія, то й температура збільшуватиметься. Тому середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу зростатиме.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття механічної роботи й умов виконання її.

Механічна робота (робота сили) \(A\) ‒ це фізична величина, яка характеризує зміну механічного стану тіла й дорівнює добутку модуля сили \(F,\) модуля переміщення \(s\) і косинуса кута \(\mathbf{\alpha}\) між вектором сили і вектором переміщення: $$ A=Fs\cos\mathbf{\alpha}. $$

І з формули, і з рисунка випливає, що робота дорівнюватиме нулю, якщо кут між векторами сили й переміщення становить \(90^\circ,\) відповідно cos \(90^\circ=0,\) а отже, і добуток всіх величин, що визначають роботу, дорівнює нулю.

За всіх інших значень кута \(\mathbf{\alpha}\) між вектором сили й вектором переміщення сила тяжіння виконує роботу.

На книгу, що лежить на столі, сила тяжіння діє вертикально вниз, але книга перебуває в стані спокою відносно стола й переміщення не здійснює, тому що дія сили тяжіння скомпенсована дією сили нормальної реакції з боку стола. Тобто сила тяжіння роботу не виконує.

Крапелька води падає під час дощу, тобто здійснює переміщення саме під дією сили тяжіння, отже, сила тяжіння в цій ситуації виконує роботу.

Коли дерев’яна колода плаває на поверхні озера, дія сили тяжіння скомпенсована дією сили Архімеда, і колода у вертикальному напрямку не переміщається ‒ сила тяжіння роботу не виконує. Однак в умові зазначено, що колода плаває, тобто є горизонтальне переміщення, зумовлене не силою тяжіння. Тоді кут між векторами сили тяжіння і вектором переміщення становитиме \(90^\circ\) ‒ робота сили тяжіння дорівнює нулю.

Єдина сила, яка діє на супутник під час руху коловою орбітою навколо Землі – це гравітаційна сила притягання Землі – сила тяжіння, що спрямована до центра Землі. Це означає, що супутник здійснює рівномірний рух по колу, його швидкість постійна, що дає змогу підтримувати незмінною відстань між супутником і центром Землі.

Згідно з теоремою про потенціальну енергію (робота всіх консервативних сил, які діють на тіло, дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, узятій із протилежним знаком) зміни відстані між супутником і Землею не відбувається. Отже, зміна потенціальної енергії дорівнює нулю, сила тяжіння роботу не виконує.

Можна міркувати так: до вектора швидкості руху супутника в кожній точці колової орбіти, а також до вектора переміщення в кожній точці колової орбіти вектор сили тяжіння перпендикулярний, а \(\cos 90^\circ=0.\)

Отже, правильний варіант відповіді ‒ Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку вміння описувати рух аналітично.

За умовою швидкість під час прямолінійного руху тіла протягом усього часу збільшується, тобто тіло рухається прискорено.

Запишімо рівняння залежності координати \(x\) від часу \(t\) в загальному вигляді для прямолінійного рівноприскореного руху: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x_0\) ‒ початкова координата, \(v_0\) ‒ початкова швидкість, \(a\) ‒ прискорення.

Варіанти відповіді \(x=5+3t\) і \(x=5-3t\) описують прямолінійний рівномірний рух, тому що немає доданку \(\frac{at^2}{2},\) тобто прискорення дорівнює нулю.

Розгляньмо рівняння \(x=5t-2t^2:\) початкова координата \(x_0=0,\) початкова швидкість \(v_0=5\ \text{м/с},\) прискорення \(a=-4\ \text{м/с}^2\) (знак мінус тут означає, що тіло гальмує, вектори швидкості й прискорення напрямлені протилежно, що суперечить умові завдання).

Розгляньмо рівняння \(x=5-2t^2:\) початкова координата \(x_0=5\ \text{м},\) початкова швидкість \(v_0=0,\) прискорення \(a=-4\ \text{м/с}^2.\) Тобто тіло розганяється зі стану спокою, але в напрямку, протилежному до напрямку осі \(Ox,\) тому прискорення від’ємне. Це правильна відповідь.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Траєкторія. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння змісту понять шляху й переміщення.

Шлях \(l\) ‒ це фізична величина, яка дорівнює довжині траєкторії або довжині її певної ділянки.

Переміщення \(\overrightarrow{s}\) ‒ це векторна величина, яку графічно подають у вигляді напрямленого відрізка прямої, який з’єднує початкове 1 і кінцеве 2 положення матеріальної точки.

Згідно з умовою шлях утричі більший за модуль переміщення: $$ \frac ls=3. $$

Розгляньмо кожен варіант відповіді.

A півколо

Шлях у цьому разі дорівнюватиме довжині півкола радіуса \(R:\) $$ l=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2}=\mathbf{\pi}R. $$

Модуль переміщення дорівнюватиме подвійному радіусу ‒ діаметру цього кола:

Б дві сторони квадрата

Шлях у цьому разі дорівнюватиме сумі довжин двох сторін \(a\) квадрата: $$ l=2a. $$

Модуль переміщення дорівнюватиме довжині діагоналі квадрата зі стороною \(a\) ‒ тобто гіпотенузі прямокутного рівнобедреного трикутника:

B відрізок

Шлях у цьому разі дорівнює модулю переміщення:

Г три сторони квадрата

Шлях у цьому разі дорівнюватиме сумі довжин трьох сторін \(a\) квадрата: $$ l=3a. $$

Модуль переміщення дорівнюватиме довжині сторони квадрата зі стороною \(a.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Радіоактивність.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування основного закону радіоактивного розпаду.

Скористаймося основним законом радіоактивного розпаду: $$ N=N_0\cdot 2^{-\frac tT}, $$ де \(N\) ‒ кількість ядер радіонукліда, що залишились у зразку через час \(t;\) \(N_0\) ‒ початкова кількість ядер; \(T\) ‒ період піврозпаду; \(t\) ‒ час розпаду.

Виразимо кількість ядер радіонукліда, що залишились у зразку, через початкову кількість ядер відповідно до умови завдання: $$ N=N_0-0,75N_0=0,25N_0. $$

Підставимо всі дані у формулу:

За радіоактивним розпадом речовини спостерігали \(20\) годин.

Відповідь: 20.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку розуміння гармонічних коливань і знання базового поняття механічного руху ‒ переміщення.

Запишімо рівняння гармонічних коливань у загальному вигляді: $$ x=A\cos(\mathbf{\omega}t+\mathbf{\varphi}_0), $$ де \(x\) ‒ координата тіла, що змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), \(A\) ‒ амплітуда коливань \((A=x_\text{max}=0,04\ \text{м}),\) \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань \((\mathbf{\omega}=0,1\mathbf{\pi}),\) \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань \((\mathbf{\varphi}_0=0).\)

Модуль переміщення \(s\) дорівнює модулю різниці кінцевої \(x\) і початкової \(x_0\) координат тіла: \begin{gather*} s=|x-x_0|. \end{gather*}

На початку відліку часу, коли \(t=0,\) початкова координата тіла дорівнює

Через \(30\ \text{с}\) після початку коливань кінцева координата дорівнюватиме:

Відповідь: 8.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Робота і потужність електричного струму.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування формули для потужності електричного струму.

Потужності нагрівальних елементів однакові: $$ P_1=P_2. $$

Запишемо потужності через добуток напруги \(U\) й сили струму \(I:\) $$ U_1I_1=U_2I_2. $$

За законом Ома для ділянки кола виразимо силу струму через відношення напруги і опору і підставимо у рівність потужностей:

Визначимо опір нагрівального елемента, розрахованого на іншу напругу, але тієї ж потужності:

Відповідь: 16.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Кількість теплоти.

Завдання скеровано на перевірку розуміння переходу одного виду енергії в інший.

Рухоме тіло володіє кінетичною енергією \(E_k:\) $$ E_k=\frac{mv^2}{2}, $$ де \(m\) ‒ маса тіла, \(v\) ‒ швидкість руху тіла.

Оскільки, улучивши в дошку, куля втратила частину механічної енергії, то визначимо частку енергії \(Q,\) яку отримала куля:

Відповідь: 19,5.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування закону Архімеда.

Для того, щоб пліт із вантажем утримувався на плаву (пліт буде максимально навантажений так, щоб вантаж на намокав), потрібно, щоб силу тяжіння \(F_\text{тяж},\) яка діє на пліт і вантаж, компенсувала виштовхувальна сила ‒ сила Архімеда \(F_\text{А}:\) \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{А},\\[7pt] (m_\text{вантажу}+m_\text{плоту})g=\mathbf{\rho}_\text{води}gV_\text{плоту}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса вантажу і плоту, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(V_\text{плоту}\) ‒ об’єм десяти соснових колод, \(\mathbf{\rho}_\text{води}\) ‒ густина води.

\begin{gather*} m_\text{вантажу}+\mathbf{\rho}_\text{сосни}V_\text{плоту}=\mathbf{\rho}_\text{води}V_\text{плоту},\\[7pt] V_\text{плоту}=10\cdot V_1, \end{gather*} де \(V_1\) ‒ об’єм однієї колоди.

Відповідь: 2000.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання, розуміння і застосування другого закону Ньютона.

За другим законом Ньютона прискорення \(\overrightarrow{a},\) якого набуває тіло внаслідок дії сили \(\overrightarrow{F},\) прямо пропорційне цій силі та обернено пропорційне масі \(m\) тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}. $$

Оскільки на тіло діє кілька сил, то сила \(\overrightarrow{F}\) ‒ це рівнодійна сил, які діють на тіло, і вона дорівнює геометричній сумі всіх сил: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\overrightarrow{F}_3. $$

Знайдемо рівнодійну сил за допомогою додаткових побудов (див. рисунок). Побудуємо паралелограм спочатку на векторах \(\overrightarrow{F}_2\) i \(\overrightarrow{F}_3,\) їхньою сумою буде вектор \(\overrightarrow{F}_{23}.\) Далі побудуємо паралелограм на векторах \(\overrightarrow{F}_1\) і \(\overrightarrow{F}_{23}.\) Їхньою сумою, а отже, і рівнодійною всіх трьох сил є вектор \(\overrightarrow{F}.\) Якщо розглянути прямокутний трикутник, у який входить вектор \(\overrightarrow{F},\) то можна побачити, що трикутник є єгипетським, тобто його сторони пропорційні до чисел \(3 : 4 : 5.\) За модулем довжина вектора дорівнює \(5\) клітинок. За умовою сторона клітинки відповідає \(1\ \text{Н,}\) отже, рівнодійна сил, що діють на тіло, становить \(5\ \text{Н}.\)

Обчислимо тепер модуль прискорення, набутого тілом під дією цих сил:

Відповідь: 2,5.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Фотоефект та експериментально встановлені його закони.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівняння Ейнштейна для зовнішнього фотоефекту та його законів.

Доберімо до початку твердження його продовження відповідно до законів зовнішнього фотоефекту.

1 Кількість електронів, що вилітають із поверхні металу під дією електромагнітного випромінювання, пропорційна інтенсивності опромінювання (В).

Більша інтенсивність світла означає більшу кількість фотонів, які падають на катод. Поглинаючись електронами речовини, фотони сприяють випромінюванню електронів.

2 Максимальна кінетична енергія фотоелектронів –залежить від частоти опромінювання і не залежить від його інтенсивності (Б).

Електрон може поглинути тільки один фотон (більше − лише за дуже великої інтенсивності світла), тому максимальна кінетична енергія електрона визначається тільки енергією фотона, а отже, частотою світла і не залежить від кількості фотонів.

3 Мінімальна частота або максимальна довжина світлової хвилі, за якої ще можливий фотоефект – визначена речовиною освітленого катода (Д).

Для кожної речовини існує максимальна довжина світлової хвилі \(\mathbf{\lambda}_\text{max} = \mathbf{\lambda}_\text{черв}\) (червона межа фотоефекту) або мінімальна частота, за якої починається фотоефект. Опромінення речовини світловими хвилями, які мають більшу довжину (або меншу частоту), фотоефекту не викликає.

4 Енергія кванта світла, яка спричиняє фотоефект, − дорівнює сумі роботи виходу електрона з металу й кінетичної енергії фотоелектрона (Г).

Це вербально описане рівняння Ейнштейна для зовнішнього фотоефекту.

Відповідь: 1В, 2Б, 3Д, 4Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Закони збереження в механіці. Потенціальна і кінетична енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння характеру прямолінійного рівноприскореного руху тіла, кинутого вертикально вгору, а також під час цього руху перехід механічної енергії з одного виду в інший.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору, − це прямолінійний рівноприскорений рух.

Прискорення, із яким рухається тіло, − це прискорення вільного падіння \(g=10\ \text{м/с}^2,\) напрямок якого під час підйому тіла буде протилежним до напрямку швидкості руху тіла. А коли тіло падатиме, напрямки прискорення і швидкості збігатимуться. Із закону, за яким змінюється швидкість руху тіла, випливає, що початкова швидкість, із якою кинули вгору тіло, дорівнює \(20\ \text{м/с.}\)

Розглянемо кожний момент часу.

1) \(t=0.\) Це момент кидання тіла, швидкість максимальна, отже, кінетична енергія теж максимальна:

Потенціальна енергія дорівнює нулю, оскільки тіло ще не встигло піднятися на хоч якусь висоту від нульового рівня:

Отже, моменту часу \(1\) відповідає варіант А.

2) \(t=1\ \text{с.}\) Визначімо швидкість руху тіла через \(1\ \text{с:}\)
\(v=20-10t=20-10\cdot 1=10\ (\text{м/с})\) − піднімаючись, тіло сповільнюється.

Кінетичну енергію в цей момент часу обчислюють за формулою:

Тоді потенціальна енергія тіла за законом збереження механічної енергії дорівнюватиме різниці максимальної кінетичної енергії (під час старту тіла в момент часу \(t=0\)) і проміжного значення кінетичної енергії в момент часу \(t=1\ \text{с:}\)

Отже, моменту часу \(2\) відповідає варіант Г.

3) \(t=2\ \text{с.}\) Визначімо швидкість руху тіла через \(2\ \text{с:}\)
\(v=20-10t=20-10\cdot 2=0\ (\text{м/с})\) – тіло піднялося на максимально можливу висоту і на мить зупинилося.

Кінетична енергія в цей момент часу дорівнює нулю:

Тоді потенціальна енергія тіла за законом збереження механічної енергії дорівнює максимальній кінетичній енергії під час старту тіла в момент часу \(t=0,\) тобто вся кінетична енергія перейде в потенціальну:

Отже, моменту часу \(3\) відповідає варіант Д.

4) \(t=3,5\ \text{с.}\) Визначімо швидкість руху тіла через \(3,5\ \text{с:}\)

Кінетична енергія в цей момент часу дорівнює:

Тоді потенціальна енергія тіла за законом збереження механічної енергії дорівнює різниці максимальної кінетичної енергії (під час старту тіла в момент часу \(t=0)\) і проміжного значення кінетичної енергії в момент часу \(t=3,5\ \text{с:}\)

Отже, моменту часу \(4\) відповідає варіант В.

Відповідь: 1А, 2Г, 3Д, 4В.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Альфа-, бета- і гамма-випромінювання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння радіоактивних перетворень.

Запишемо рівняння ядерної реакції відповідно до умови завдання: $$ X\rightarrow \mathrm{3^4_2He} + 4^{\ \ \ 0}_{-1}e+Y. $$

Порядковий номер елемента в періодичній системі хімічних елементів відповідає кількості протонів у ядрі (зарядовому або протонному числу \(Z\)). Знайдемо, на скільки \((\Delta Z)\) відрізнятимуться в періодичній системі порядкові номери цих елементів.

Пригадаємо правила зміщення:

1. Під час \(\mathbf{\alpha}\text{-розпаду}\) кількість нуклонів у ядрі зменшується на \(4,\) протонів ‒ на \(2,\) тому утворюється ядро елемента \(Y,\) порядковий номер якого на \(2\) одиниці менший від порядкового номера елемента \(X.\)

2. Під час \(\mathbf{\beta}\text{-розпаду}\) кількість нуклонів у ядрі не змінюється, а кількість протонів збільшується на \(1,\) тому утворюється ядро елемента \(Y,\) порядковий номер якого на одиницю більший за порядковий номер елемента \(X.\)

Відповідно до цих правил і згідно з умовою обчислимо, на скільки будуть відрізнятися в періодичній системі порядкові номери цих елементів:
\(\Delta Z=3\cdot 2+4\cdot(-1)=2\) – номер утвореного елемента \(Y\) буде на два менший за номер елемента \(X.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Релятивістський закон додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону додавання швидкостей у класичній і релятивістській механіці.

Швидкість світла \(c\) – це найбільша швидкість, яка може бути досягнута в космічному вакуумі. Тому електрон не може набути швидкості, більшої за швидкість світла, тобто варіант відповіді, у якій швидкість руху електрона дорівнюватиме \(1,08c,\) неправильний.

Також швидкість руху електрона в системі відліку, пов’язаній із космічним кораблем, що за умовою віддаляється в протилежний від електрона бік, не може бути менша за \(0,72c,\) оскільки космічний корабель віддаляється від Землі зі швидкістю \(0,72c.\) Отже, варіанти відповіді, що менші за \(0,72c,\) теж неправильні.

Залишається єдина можлива із запропонованих швидкість руху електрона – \(0,90c.\)

Відповідь: B.