Тема: Фізичні величини. Вимірювання фізичних величин.

Завдання скеровано на перевірку розуміння побудови шкали приладів і вміння визначати за показами шкали приладів певні фізичні величини, зокрема об’єм.

Поділка ‒ це відстань між рисками (горизонтальними позначками, лініями) на вимірювальній шкалі.

Кількість поділок, на яку заповнено рідиною мірний циліндр, дорівнює \(20.\) За умовою ціна поділки мірного циліндра – \(5\ \text{мл}.\) Отже, об’єм рідини в циліндрі становитиме $$ 5\ \text{мл} \cdot 20=100\ \text{мл}. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Тиск світла.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття тиску, законів відбивання світлового потоку від різних поверхонь.

Дзеркальна поверхня відбиває все електромагнітне випромінювання. Отже, світло, падаючи на дзеркальну поверхню, створюватиме на неї максимальний тиск.

Чорна поверхня поглинає все електромагнітне випромінювання, тому світло на неї чинить мінімальний тиск.

Тиск − це фізична величина, яка характеризує результат дії сили і дорівнює відношенню сили, яка діє перпендикулярно до поверхні, до площі цієї поверхні: $$ p=\frac FS, $$ де \(p\) − тиск; \(F\) − сила тиску − сила, що діє на поверхню перпендикулярно до неї; \(S\) − площа цієї поверхні.

Тиск світла на поверхню \(p_\text{пов}\) залежить від зміни імпульсу фотонів \(\Delta p_\text{ф},\) яку вони передають поверхні: $$ p_\text{пов}\sim N\cdot |\Delta p_\text{ф}|. $$

Помножмо чисельник і знаменник на час \(t:\) $$ p=\frac{Ft}{St}. $$

Величину \(\overrightarrow{F}t\) називають імпульсом сили. Отже, імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла: $$ \overrightarrow{F}t=\Delta\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}_2-\overrightarrow{p}_1. $$

Щоб визначити модулі імпульсів початкового і кінцевого, виберімо уявну вісь \(Ox,\) напрямлену у бік відбитих від поверхні фотонів: $$ Ft=p_2-(-p_1). $$

Для дзеркальної поверхні

де \(N_\text{дз}=\frac 12 N_0\) (за умовою від дзеркальної поверхні відбилася половина світлового потоку) ‒ кількість відбитих фотонів, \(p_\text{ф}\) ‒ імпульс одного фотона, \(N_0\) ‒ загальна кількість фотонів, що впали на поверхню.

Для чорної (вкритої сажею) поверхні

де \(N_\text{ч}=0\) (як ми зазначили вище, чорна поверхня поглинає весь світловий потік, усі фотони) ‒ кількість відбитих фотонів, \(p_\text{ф}\) ‒ імпульс одного фотона, \(N_0\) ‒ загальна кількість фотонів, що впали на поверхню.

Порівняймо тиски:

Отже, світловий потік створює в \(1,5\) раза менший тиск на чорну поверхню, ніж на дзеркальну.

Відповідь: 1,5.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Закони відбивання світла. Побудова зображень, які дає плоске дзеркало.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів відбивання, правил побудови зображень, які дає плоске дзеркало.

За умовою промінь \(1,\) що падає на одне із дзеркал, є паралельним до променя \(2,\) що відбився від іншого дзеркала (див. рисунок).

Отже, \(AB\) i \(CD\) паралельні (за умовою), а \(BC\) – січна (за побудовою). Тоді кути \(ABC\) і \(BCD\) – внутрішні односторонні, а їхня сума дорівнює \(180^\circ.\)

За законами відбивання кут падіння дорівнює куту відбивання, отже, \begin{gather*} \mathbf{\alpha}_1=\mathbf{\beta}_1,\\[7pt] \mathbf{\alpha}_2=\mathbf{\beta}_2. \end{gather*}

Знайдімо суму кутів \(\mathbf{\beta}_1\) і \(\mathbf{\alpha}_2:\)

Тепер розгляньмо \(\Delta BOC.\) За побудовою кут \(CBO\) дорівнюватиме \((90^\circ−\mathbf{\beta}_1),\) а кут \(BCO\) – \((90^\circ−\mathbf{\alpha}_2).\) Тоді кут \(BOC\)

Отже, \(\Delta BOC\) – прямокутний. Кут між дзеркалами дорівнює \(90^\circ.\)

Відповідь: 90.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Енергія магнітного поля.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння того, якими величинами визначається енергія магнітного поля.

Енергія магнітного поля \(W_\text{м}\) провідника зі струмом дорівнює половині добутку індуктивності \(L\) провідника на квадрат сили струму \(I\) в провіднику: $$ W_\text{м}=\frac{LI^2}{2}. $$

Магнітний потік \(\textbf{Φ}\) прямо пропорційний силі струму в провіднику: $$ \textbf{Φ}=LI, $$ де індуктивність \(L\) є коефіцієнтом пропорційності.

Звідси $$ L=\frac{\textbf{Φ}}{I}. $$

Підставімо вираз для індуктивності у формулу енергії магнітного поля й обчислімо її:

Відповідь: 5.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Коефіцієнт корисної дії.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння змісту коефіцієнта корисної дії та вміння визначати його для різних пристроїв.

Коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) пристрою дорівнює відношенню роботи \(A,\) виконуваної пристроєм, до кількості теплоти \(Q,\) отриманої під час згоряння палива: $$ \mathbf{\eta}=\frac AQ\cdot 100\ \text{%}. $$

Роботу струму визначімо як добуток потужності \(P\) струму й часу \(t\) роботи генератора: \begin{gather*} A=Pt. \end{gather*}

Кількість теплоти під час згоряння палива визначімо як добуток питомої теплоти згоряння \(q\) і маси палива \(m:\) $$ Q=qm. $$

Підставімо вирази для роботи і кількості теплоти у формулу для коефіцієнта корисної дії та обчислімо його:

Відповідь: 16.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Електроємність. Конденсатори.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння будови конденсатора та його технічних характеристик.

Годинник зможе працювати від цього конденсатора, поки напруга на ньому буде не нижчою за \(1,3\ \text{В}.\) На початку конденсатор був заряджений до напруги \(1,5\ \text{В}.\) Електроємність \(C\) конденсатора визначають за формулою \begin{gather*} C=\frac qU, \end{gather*} де \(q\) – заряд конденсатора, \(U\) − напруга між обкладками.

Отже, за певний час заряд конденсатора зменшиться на \(\Delta q:\)

Сила струму \(I\) зможе підтримуватися незмінною, як зазначено в умові, лише певний час \(\Delta t,\) поки зміна заряду конденсатора не приведе до падіння напруги від \(1,5\ \text{В}\) до \(1,3\ \text{В}:\) $$ I=\frac{\Delta q}{\Delta t} $$

За нижчої напруги годинник не працюватиме.

Визначімо проміжок часу, у який працюватиме годинник:

Відповідь: 25.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Опір провідників. Послідовне і паралельне з’єднання провідників.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння того, від яких параметрів провідника залежить його електричний опір, а також застосування правил визначення характеристик електричного струму під час послідовного і паралельного з’єднання провідників.

Опір \(R\) провідника (дротини), який має незмінний поперечний переріз, можна обчислити за формулою $$ R=\frac{\mathbf{\rho}l}{S}, $$ де \(\mathbf{\rho}\) − питомий опір речовини, з якої виготовлений провідник; \(l\) − довжина провідника; \(S\) − площа поперечного перерізу провідника.

Виразімо питомий опір: $$ \mathbf{\rho}=\frac{RS}{l}. $$

Визначімо з умови опір \(R\) і площу поперечного перерізу \(S\) дротини (довжину \(l\) дротини дано в умові).

Покази вольтметра, що паралельно підключений до дротини (див. рисунок), становлять \(1\ \text{В}.\) Сила струму в колі дорівнює \(0,5\ \text{А}.\) Оскільки дротина й реостат з’єднані послідовно, сила струму, яку показує амперметр у колі, буде така сама і в дротині – \(0,5\ \text{А}.\)

Отже, можна визначити електричний опір дротини за законом Ома для ділянки кола: $$ R=\frac UI=\frac{1\ \text{В}}{0,5\ \text{А}}=2\ \text{Ом}. $$

Щоб визначити площу поперечного перерізу дротини, скористаймося методом рядів. На рисунку праворуч є ряд, утворений витками дротини. Довжина цього ряду \(L=12\ \text{мм}.\) Кількість витків у ряді \(N=24.\) Обчислімо діаметр \(d\) дротини: $$ d=\frac LN=\frac{12\ \text{мм}}{24}=0,5\ \text{мм}. $$

Ми свідомо не виразили значення діаметра дротини в метрах, оскільки вимога завдання – подати відповідь в \(\text{Ом}\cdot \text{мм}^2/\text{м}.\)

Тоді площу поперечного перерізу визначімо за формулою площі круга: $$ S=\mathbf{\pi}R^2=\frac{\mathbf{\pi}d^2}{4}. $$

Підставімо цей вираз для площі у формулу для питомого опору й обчислімо його:

Відповідь: 1,25.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплової машини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття коефіцієнта корисної дії.

З одного боку коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) теплової машини − фізична величина, яка характеризує економічність теплової машини і дорівнює відношенню роботи \(A,\) виконуваної машиною за цикл, до кількості теплоти \(Q,\) одержуваної від нагрівника: $$ \mathbf{\eta}=\frac AQ\cdot 100\ \text{%}. $$

З іншого боку коефіцієнт корисної дії ідеальної теплової машини дорівнює: $$ \mathbf{\eta}=\frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(T_\text{н}\)− температура нагрівника; \(T_\text{х}\) − температура холодильника

Прирівняємо ці два вирази для коефіцієнта корисної дії: \begin{gather*} \frac AQ\cdot 100\ \text{%}=\frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}. \end{gather*}

Визначімо із цієї рівності кількість теплоти \(Q,\) яку має передати нагрівник робочому тілу \((T_\text{н}=527\ ^\circ\mathrm{C}+273=800\ \text{К},\) \(T_\text{х}=7\ ^\circ\mathrm{C}+273=280\ \text{К}):\)

Відповідь: 8.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння повітроплавання тіл, уміння описувати його за допомогою формул.

Позначмо всі сили, що діють на систему тіл у повітрі: повітряна куля з гелієм ‒ вантаж. Це сила тяжіння \(m_\text{в}\overrightarrow{g},\) що діє на вантаж, сила тяжіння \((m_\text{об}+m_\text{He})\overrightarrow{g},\) що діє на повітряну кулю (оболонка плюс гелій), виштовхувальна сила (сила Архімеда) \(\overrightarrow{F}_A,\) що діє з боку повітря на цю систему тіл (див. рисунок).

За другим законом Ньютона векторна сума всіх сил дорівнюватиме нулю, оскільки в умові зазначено, що система не рухається: $$ m_\text{в}\overrightarrow{g}+(m_\text{об}+m_\text{He})\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_A=0. $$

Запишімо це рівняння в проєкціях: $$ (m_\text{в}+m_\text{об}+m_\text{He})g=F_A. $$

Розпишімо силу Архімеда: $$ F_A=\mathbf{\rho}_\text{пов}gV, $$ де \(\mathbf{\rho}_\text{пов}\) ‒ густина повітря, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(V\) ‒ об’єм системи куля ‒ вантаж. В умові зазначено, що об’єм вантажу малий, тож ним можна знехтувати. Оболонка кулі є тонкою, тобто нехтуємо її товщиною, яка не впливатиме на шуканий об’єм. Також в умові відмічено, що газонепроникна оболонка кулі не чинить опору зміні об’єму кулі, тобто тиск \(p\) повітря ззовні кулі дорівнюватиме тиску, який чинить зсередини гелій. Отже, оскільки куля має неправильну форму, і ми не зможемо обчислити її об’єм, визначімо об’єм гелію \(V_\text{He}\) з рівняння стану ідеального газу ‒ рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона (ідеальність гелію і повітря теж зазначено в умові): $$ pV_\text{He}=\frac{m_\text{He}}{M_\text{He}}RT, $$ де \(m_\text{He}\) ‒ маса гелію, \(M_\text{He}\) ‒ молярна маса гелію, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(T\) ‒ абсолютна температура.

Тобто $$ V_\text{He}=\frac{m_\text{He}\cdot RT}{p\cdot M_\text{He}}. $$

Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона для повітря: $$ pV_\text{пов}=\frac{m_\text{пов}}{M_\text{пов}}RT. $$

Звідси визначімо густину повітря: $$ \frac{pM_\text{пов}}{RT}=\frac{m_\text{пов}}{V_\text{пов}}=\mathbf{\rho}_\text{пов}. $$

Підставімо вирази для густини повітря і для об’єму гелію у формулу виштовхувальної сили:

Повернімося до запису другого закону Ньютона в проєкціях і визначімо шукану величину ‒ масу гелію:

Відповідь: 100.