Коливання і хвилі. Механічні коливання і хвилі. Нитяний маятник, період коливань нитяного маятника.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння параметрів, від яких залежить період коливань нитяного маятника.

Період коливань \(T\) нитяного (математичного) маятника визначають за формулою $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac lg}, $$ де \(l\) ‒ довжина маятника; \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

За умовою довжини обох ниток однакові: $$ l_1=l_2. $$

У формулу також входить прискорення вільного падіння, але в умові не зазначено, що кульки в різних місцях, тому вважаємо, що прискорення вільного падіння однакове для обох кульок.

З формули зрозуміло, що період коливань нитяного маятника не залежить від маси тіла. Тож ні від густини (у металу й дерева значення густини різні), ні від об’єму (за умовою радіуси кульок однакові) період коливань також не залежить.

Період коливань математичного маятника не залежить від маси маятника, а визначається лише довжиною нитки та прискоренням вільного падіння в тому місці, де розташований цей маятник.

Отже, періоди малих коливань кульок із різних матеріалів на нитках однакової довжини будуть однакові: $$ T_1=T_2. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку знання суті і розуміння закономірностей коливань тіла на пружині, сил, що діють на тіло в певній ситуації.

Позначмо на рисунку сили, які діють на кульку, що підвішена до пружини й поки не коливається на ній (див. рисунок ліворуч). На кульку діє сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{тяж}\) і сила пружності \(\overrightarrow{F}_\text{пруж с}.\) Кулька перебуває в положенні рівноваги: у середній точці, сили врівноважені, рівнодійна сил дорівнює нулю.

Коли кулька переміститься у верхню точку (див. рисунок посередині), сила пружності \(\overrightarrow{F}_\text{пруж в}\) зменшиться (може зменшитися навіть до нуля), натомість сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{тяж}\) змін не зазнає. У цьому разі рівнодійна обох сил буде відмінна від нуля і напрямлена вертикально вниз.

У нижній точці навпаки: сила пружності \(\overrightarrow{F}_\text{пруж н}\) збільшиться (можливо, що й до максимального значення), а сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{тяж}\) не зміниться. Рівнодійна сил, відмінна від нуля, буде напрямлена вгору.

Отже, сили, що діють на кульку, будуть урівноважені лише в положенні рівноваги, тобто в середній точці.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Електромагнітні коливання і хвилі. Вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі.

Завдання скеровано на перевірку знання суті і розуміння закономірностей коливального процесу в коливальному контурі, а також уміння описувати цей процес відповідним рівнянням.

Коливання в коливальному контурі (у котушці зокрема) відбуваються за гармонічним законом (законом косинуса або синуса): \begin{gather*} i=I_{max}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}t,\\[7pt] \text{або}\\[7pt] i=I_{max}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}t, \end{gather*} де \(i\) – миттєве значення сили струму, \(I_{max}\) – амплітудне значення сили струму, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) – циклічна частота змінного струму, \(t\) – час.

У будь-якій реальній коливальній системі завжди є втрати енергії. Під час електромагнітних коливань – на нагрівання провідників, випромінювання електромагнітних хвиль. Частина енергії електромагнітного поля під час кожного коливання перетворюється на внутрішню (теплову) енергію тощо. Унаслідок цього амплітуда коливань із часом зменшується. А через певний інтервал часу, якщо немає надходжень енергії від зовнішнього джерела, коливання припиняються (згасають). Тому вільні коливання завжди є згасними. Але в умові зазначено, що амплітуда коливань не змінюється, отже, вважатимемо коливання незгасними.

В умові не задано амплітудне значення сили струму, тож зосередимося на визначенні циклічної частоти \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}:\) $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{T}, $$ де \(T\) – період коливань.

Період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначають за формулою Томсона: $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) – індуктивність котушки, \(C\) – електроємність конденсатора.

Отже, за цих умов єдиним рівнянням, що описує залежність сили струму \(i\) в котушці від часу \(t,\) може бути рівняння $$ i=0,15\sin250t. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Побудова зображень, які дає тонка лінза.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів поширення променя в збиральній лінзі, уміння схематично зобразити його хід.

Спочатку добудуймо фокальну площину, яка проходить через фокус лінзи точку \(F,\) перпендикулярно до головної оптичної осі, що перпендикулярна до лінзи.

Далі побудуймо додаткову оптичну вісь, що проходить так само, як і головна, крізь оптичний центр лінзи точку \(O,\) але паралельно променям, що падають на лінзу. Пам’ятаймо, що промінь, який проходить крізь оптичний центр лінзи, не заломлюється.

Отримуємо точку перетину додаткової оптичної осі і фокальної площини (див. схематичний рисунок). Ця точка збіглася з точкою \(2\) з умови. Це є додатковий фокус.

Будь-який пучок паралельних променів, навіть якщо ці промені не паралельні головній оптичній осі, після заломлення в збиральній лінзі завжди перетинаються в одній точці ‒ у головному фокусі \(F\) або додатковому (лежить на фокальній площині).

Тож після проходження крізь збиральну лінзу промені перетнуться в точці \(2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Прямолінійність поширення світла в однорідному середовищі.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону прямолінійного поширення світла, а також понять повної тіні й півтіні.

Джерело світла, яке випромінює світло однаково в усіх напрямках і розмірами якого, зважаючи на відстань до місця спостереження, можна знехтувати, називають точковим джерелом світла.

Найкращим прикладом точкових джерел світла є зорі, адже ми спостерігаємо їх із Землі, тобто з відстані, що в мільйони разів перевищує розміри самих зір.

Джерела світла, що не є точковими, називають протяжними джерелами світла.

Повна тінь ‒ це область простору, у яку не потрапляє світло від джерела.

Якщо джерело світла є точковим, тінь від предмета буде чіткою. У цьому разі утворюється тільки повна тінь.

Якщо тіло освітлене протяжним джерелом світла, то утворюється тінь із нечіткими контурами, тобто утворюється не тільки повна тінь, а ще й півтінь.

Півтінь ‒ це область простору, освітлена деякими з наявних точкових джерел світла або частиною протяжного джерела.

Повну тінь і півтінь пояснюють відповідно до закону прямолінійного поширення світла.

Отже, правильна відповідь ‒ Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Кванти світла (фотони).

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття імпульсу фотона.

Імпульс \(p\) фотона дорівнює відношенню його енергії \(E\) до швидкості руху \(c\) й обернено пропорційний довжині хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) фотона: $$ p=\frac{E}{c}=\frac{h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}{c}=\frac{h}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) ‒ частота випромінювання, \(h\) ‒ стала Планка.

Модуль імпульсу фотона видимого світла $$ p_1=\frac{h}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_1}. $$

Модуль імпульсу фотона рентгенівського випромінювання $$ p_2=\frac{h}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}_2}. $$

Визначімо співвідношення \(p_1\) і \(p_2:\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Закони відбивання заломлення світла.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів поширення світла.

Кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) між променем, що падає, і перпендикуляром, проведеним із точки падіння, називають кутом падіння; кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) між відбитим променем і цим перпендикуляром називають кутом відбивання. А кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma},\) утворений заломленим променем і перпендикуляром до межі поділу двох середовищ, проведеним із точки падіння променя, називають кутом заломлення (див. рисунок).

З огляду на визначення, кути \(1,\ 4,\ 7\) ‒ це кути падіння. А кути \(3,\ 6,\ 9\) ‒ це кути заломлення.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів. Адіабатний процес.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння першого закону термодинаміки й уміння застосовувати його до адіабатного та ізопроцесів.

Перший закон (начало) термодинаміки: кількість теплоти \(Q,\) передана системі, йде на зміну внутрішньої енергії системи \(\Delta U\) та на виконання системою роботи \(A\) проти зовнішніх сил: $$ Q=\Delta U+A. $$

1. Ізотермічний процес. Під час цього процесу температура, а отже, і внутрішня енергія газу не змінюються \((\Delta U=0),\) тому рівняння першого закону термодинаміки має вигляд $$ Q=A. $$

Під час ізотермічного процесу вся передана газу кількість теплоти йде на виконання механічної роботи.

Варіант відповіді – Г.

2. Адіабатний процес. Це процес, який відбувається без теплообміну з навколишнім середовищем. Під час адіабатного процесу кількість теплоти \(Q,\) передана системі, дорівнює нулю, тому перший закон термодинаміки має вигляд $$ \Delta U+A=0,\ \text{або}\ A=-\Delta U. $$

Під час адіабатного розширення газ виконує додатну роботу за рахунок зменшення внутрішньої енергії, а температура газу зменшується.

Відповідний варіант відповіді – В.

3. Ізохорний процес. Під час цього процесу об’єм газу не змінюється \((\Delta V=0)\) і газ роботу не виконує \((A=0),\) тому рівняння першого закону термодинаміки має вигляд \begin{gather*} Q=\Delta U. \end{gather*}

Під час ізохорного процесу вся передана газу кількість теплоти витрачається на збільшення внутрішньої енергії газу.

Варіант відповіді – А.

4. Ізобарний процес. Під час цього процесу виконується робота і змінюється внутрішня енергія газу, тому рівняння першого закону термодинаміки має вигляд $$ Q=\Delta U+A. $$

Під час ізобарного процесу передана газу кількість теплоти йде і на збільшення внутрішньої енергії газу, і на виконання механічної роботи.

Варіант відповіді – Б.

Відповідь: 1Г, 2В, 3А, 4Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Ампера.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння сили, що діє на провідник із струмом із боку магнітного поля – сили Ампера, уміння визначати її напрямок.

Сила Ампера − це сила, із якою магнітне поле діє на провідник зі струмом.

Напрямок сили Ампера визначають за правилом лівої руки (див. рисунок): якщо ліву руку розташувати так, щоб лінії магнітної індукції \(\overrightarrow{B}\) входили в долоню, а чотири витягнуті пальці вказували напрямок струму \(I\) в провіднику, то відігнутий на \(90^\circ\) великий палець укаже напрямок сили Ампера \(\overrightarrow{F}_A.\)

Розгляньмо кожний зображений варіант. Ліву руку орієнтуватимемо відносно сторінки з рисунком. Пригадаймо позначення:

На рисунку 1 вектор магнітної індукції напрямлений перпендикулярно до площини рисунка від вас (позначено хрестиком). Отже, зорієнтуймо ліву руку долонею до себе (лінії магнітної індукції входять в долоню), чотири пальці напрямлені вертикально вгору за напрямком струму, тоді великий палець, відігнутий на \(90^\circ,\) буде напрямлений ліворуч у площині рисунка – варіант А.

На рисунку 2 вектор магнітної індукції напрямлений вертикально вниз, отже долоню зорієнтуймо торцем (перпендикулярно) до площини рисунка, а чотири пальці руки спрямуймо праворуч за напрямком сили струму. Тоді великий палець, відігнутий на \(90^\circ,\) буде напрямлений перпендикулярно до площини рисунка від вас – варіант В.

На рисунку 3 сила Ампера не діятиме, оскільки напрямок сили струму збігається з напрямком вектора магнітної індукції та неможливо зорієнтувати ліву руку відповідно до правила визначення сили Ампера. За формулою сила Ампера також дорівнює нулю. Оскільки кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) між напрямком струму в провіднику й вектором магнітної індукції дорівнює \(0^\circ,\) синус кута \(0^\circ\) дорівнює нулю, відповідно й сила Ампера дорівнює нулю: $$ F_A=BIl\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}, $$ де \(l\) – довжина провідника; $$ F_A=BIl\sin0^\circ=BIl\cdot 0=0. $$ Отже, сила Ампера не діятиме на провідник – варіант Д.

На рисунку 4 вектор магнітної індукції напрямлений перпендикулярно до площини рисунка до вас (позначено точками). Отже, зорієнтуймо ліву руку долонею від себе (лінії магнітної індукції входять в долоню), чотири пальці напрямлені вертикально вгору за напрямком струму, тоді великий палець, відігнутий на \(90^\circ,\) буде напрямлений праворуч у площині рисунка – варіант Б.

Відповідь: 1А, 2В, 3Д, 4Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Шкала електромагнітних хвиль. Властивості електромагнітного випромінювання різних діапазонів.

Завдання скеровано на перевірку знань про різні види електромагнітного випромінювання і їхні джерела.

Під час розпаду радіонуклідів у ядерному реакторі виникає радіоактивне випромінювання, один із видів якого – гамма-промені.

Будь-які тіла, температура яких вища від абсолютного нуля, випромінюють інфрачервоні промені. Саме на цьому ґрунтується застосування їх у тепловізорах – приладах нічного бачення. Тому гарячий чай є джерелом інфрачервоного (теплового) випромінювання.

Радіохвилі – від наддовгих із довжиною понад \(10\ \text{км}\) до ультракоротких і мікрохвиль із довжиною менш ніж \(0,1\ \text{мм}\) – породжує змінний електричний струм. Електромагнітні хвилі радіодіапазону породжені високочастотним змінним струмом, який створюють генератори високочастотних електромагнітних коливань. У цьому завданні джерелом радіохвиль є супутник зв’язку.

Люмінофор – речовина, яка здатна світитися за збудження, тобто люмінесціювати. Люмінофори широко використовують в електроніці, наприклад, ними вкривають екран телевізора, електропроменевої трубки, де їхнє світіння за бомбардування електронами формує зображення, у сцинтиляційних лічильниках тощо. Людське око сприймає це світіння, отже це діапазон видимого світла.

Відповідь: 1В, 2А, 3Г, 4Д.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дослідів або спостережень, що сприяли відкриттям із розділів «Елементи теорії відносності», «Світлові кванти» й «Атом та атомне ядро».

1. Явище радіоактивності – засвічення фотопластинки солями Урану (Г).

Анрі Антуан Беккерель (1852–1908) − французький фізик, знаючи, що рентгенівські промені, на відміну від світлових, проходять крізь чорний папір, узяв загорнуту в чорний папір фотопластинку, поклав на неї крупинки уранової солі й на кілька годин виніс фотопластинку на яскраве сонячне світло. Після проявлення на фотопластинці виявилися темні плями саме в тих місцях, де лежала уранова сіль. Таким чином було з’ясовано, що уранова сіль дійсно випускає випромінювання, яке має велику проникну здатність і діє на фотопластинку. Беккерель вирішив продовжити дослідження і підготував дослід, який дещо відрізнявся від попереднього. Проте науковцю завадила похмура погода, і він із жалем поклав готову до досліду фотопластинку з урановою сіллю та мідним хрестом між ними в шухляду стола. Через кілька днів, так і не дочекавшись появи сонця, Беккерель вирішив про всяк випадок проявити фотопластинку. Результат був несподіваним: на пластинці з’явився контур хреста. Тож сонячне світло тут ні до чого, і сіль Урану сама, без впливу зовнішніх чинників, випускає невидиме випромінювання, якому не є перешкодою навіть шар міді! Пізніше таке випромінювання назвали радіоактивним випромінюванням (від латин. radio − випромінюю, activus − дієвий); здатність речовин до радіоактивного випромінювання – радіоактивністю. Це був 1896 рік.

2. Планетарна модель атома − бомбардування альфа-частинками золотої фольги (А).

Вузький пучок \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\text{-частинок}\) зі свинцевого контейнера спрямовувався на тонку золоту фольгу, а далі потрапляв в екран, покритий шаром кристалів цинк сульфіду. Якщо в такий екран улучала \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\text{-частинка},\) то в місці її влучання відбувався слабкий спалах світла. Переважна більшість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\text{-частинок}\) проходила крізь золоту фольгу, не змінюючи напрямку руху, деякі відхиляються від початкової траєкторії. Приблизно одна з \(20000\) частинок відскакувала від фольги, начебто натикаючись на якусь перешкоду. Після зазначених дослідів Ернест Резерфорд (1871–1937), видатний англійський фізик, у 1911 р. запропонував ядерну модель будови атома: атом складається з позитивно зарядженого ядра, оточеного негативно зарядженими частинками − електронами; саме в ядрі зосереджена мало не вся маса атома.

Ядерна (планетарна) модель атома, запропонована Резерфордом, була розвинена в роботах видатного данського фізика Нільса Бора (1885–1962). Саме на ядерній моделі ґрунтується сучасне уявлення про будову атома.

3. Закони фотоефекту – опромінювання металів світлом (В).

Розрізняють зовнішній фотоефект, за якого фотоелектрони вилітають за межі тіла, і внутрішній фотоефект, за якого електрони, «вирвані» світлом із молекул і атомів, залишаються всередині тіла.

Зовнішній фотоефект відкрив німецький фізик Г. Герц 1887 р., а детально дослідив О. Столєтов (1839–1896) у 1888–1890 рр. Для вивчення фотоефекту О. Столєтов використав пристрій, сучасне зображення якого схематично наведено на рисунку. Усередині камери, з якої викачано повітря, розташовані два електроди (катод К і анод А), на які подається напруга від джерела постійного струму.

4. Три типи радіоактивних променів – дія магнітного поля на випромінювання урану (Б).

Досліди з вивчення природи радіоактивного випромінювання показали, що радіоактивні речовини можуть випромінювати промені трьох видів: позитивно заряджені частинки (\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) (альфа)-випромінювання), негативно заряджені частинки (\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) (бета)-випромінювання) і нейтральні промені (\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) (гамма)-випромінювання). На рисунку зображено схему одного з таких дослідів: пучок радіоактивного випромінювання потрапляє спочатку в сильне магнітне поле постійного магніту, а потім на фотопластинку. Після проявлення фотопластинки на ній чітко видно три темні плями. Найбільший внесок у вивчення \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\text{-випромінювання}\) зробив Е. Резерфорд. Він одним із перших з’ясував, що \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\text{-випромінювання}\) − це потік ядер атомів Гелію. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\text{-випромінювання},\) як і \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\text{-випромінювання},\) відхиляється магнітним полем, але в протилежний бік. Виявлено, що \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\text{-випромінювання}\) − це потік електронів, які летять із величезною швидкістю (наближеною до швидкості поширення світла). Вивчення \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\text{-випромінювання}\) показало, що це електромагнітні хвилі надзвичайно високої частоти (понад \(10^{18}\) Гц).

Відповідь: 1Г, 2А, 3В, 4Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сила пружності. Закон Гука.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону Гука.

1. Сила пружності \(\overrightarrow{F}_\text{пруж}\) − це сила, яка виникає під час деформації тіла і намагається повернути тіло в недеформований стан. За законом Гука в разі малих пружних деформацій розтягнення або стиснення сила пружності прямо пропорційна видовженню тіла: $$ \overrightarrow{F}_\text{пруж}=-k\overrightarrow{x}. $$

Знак мінус показує, що сила пружності напрямлена в бік, протилежний видовженню.

Запишімо закон Гука для модулів: $$ F_\text{пруж}=k|x|=k|\Delta l|, $$ де \(x=\Delta l\) – видовження, \(k\) – жорсткість пружини.

\begin{gather*} k=\frac{F_\text{пруж}}{|x|},\\[6pt] k=\frac{45\ \text{Н}}{0,15\ \text{м}}=300\frac{\text{Н}}{\text{м}}. \end{gather*}

Відповідь: 300.

2. Визначімо силу пружності \(F_\text{пруж1}\) у разі видовження тієї самої пружини \((k=300\ \text{Н/м})\) на \(|x_1|=10\ \text{см}=0,1\ \text{м}:\)

Відповідь: 30.

Відповідь: 1. 300. 2. 30.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння повітроплавання тіл, уміння описувати його за допомогою формул.

Позначмо всі сили, що діють на систему тіл у повітрі: повітряна куля з гелієм ‒ вантаж. Це сила тяжіння \(m_\text{в}\overrightarrow{g},\) що діє на вантаж, сила тяжіння \((m_\text{об}+m_\text{He})\overrightarrow{g},\) що діє на повітряну кулю (оболонка плюс гелій), виштовхувальна сила (сила Архімеда) \(\overrightarrow{F}_A,\) що діє з боку повітря на цю систему тіл (див. рисунок).

За другим законом Ньютона векторна сума всіх сил дорівнюватиме нулю, оскільки в умові зазначено, що система не рухається: $$ m_\text{в}\overrightarrow{g}+(m_\text{об}+m_\text{He})\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_A=0. $$

Запишімо це рівняння в проєкціях: $$ (m_\text{в}+m_\text{об}+m_\text{He})g=F_A. $$

Розпишімо силу Архімеда: $$ F_A=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{пов}gV, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{пов}\) ‒ густина повітря, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(V\) ‒ об’єм системи куля ‒ вантаж. В умові зазначено, що об’єм вантажу малий, тож ним можна знехтувати. Оболонка кулі є тонкою, тобто нехтуємо її товщиною, яка не впливатиме на шуканий об’єм. Також в умові відмічено, що газонепроникна оболонка кулі не чинить опору зміні об’єму кулі, тобто тиск \(p\) повітря ззовні кулі дорівнюватиме тиску, який чинить зсередини гелій. Отже, оскільки куля має неправильну форму, і ми не зможемо обчислити її об’єм, визначімо об’єм гелію \(V_\text{He}\) з рівняння стану ідеального газу ‒ рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона (ідеальність гелію і повітря теж зазначено в умові): $$ pV_\text{He}=\frac{m_\text{He}}{M_\text{He}}RT, $$ де \(m_\text{He}\) ‒ маса гелію, \(M_\text{He}\) ‒ молярна маса гелію, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(T\) ‒ абсолютна температура.

Тобто $$ V_\text{He}=\frac{m_\text{He}\cdot RT}{p\cdot M_\text{He}}. $$

Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона для повітря: $$ pV_\text{пов}=\frac{m_\text{пов}}{M_\text{пов}}RT. $$

Звідси визначімо густину повітря: $$ \frac{pM_\text{пов}}{RT}=\frac{m_\text{пов}}{V_\text{пов}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{пов}. $$

Підставімо вирази для густини повітря і для об’єму гелію у формулу виштовхувальної сили:

Повернімося до запису другого закону Ньютона в проєкціях і визначімо шукану величину ‒ масу гелію:

Відповідь: 100.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплової машини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття коефіцієнта корисної дії.

З одного боку коефіцієнт корисної дії \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\eta}\) теплової машини − фізична величина, яка характеризує економічність теплової машини і дорівнює відношенню роботи \(A,\) виконуваної машиною за цикл, до кількості теплоти \(Q,\) одержуваної від нагрівника: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\eta}=\frac AQ\cdot 100\ \text{%}. $$

З іншого боку коефіцієнт корисної дії ідеальної теплової машини дорівнює: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\eta}=\frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(T_\text{н}\)− температура нагрівника; \(T_\text{х}\) − температура холодильника

Прирівняємо ці два вирази для коефіцієнта корисної дії: \begin{gather*} \frac AQ\cdot 100\ \text{%}=\frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}. \end{gather*}

Визначімо із цієї рівності кількість теплоти \(Q,\) яку має передати нагрівник робочому тілу \((T_\text{н}=527\ ^\circ\mathrm{C}+273=800\ \text{К},\) \(T_\text{х}=7\ ^\circ\mathrm{C}+273=280\ \text{К}):\)

Відповідь: 8.