ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів збереження в механіці й уміння їх застосовувати.

Кульку, що нерухомо висить на нитці, позначмо \(1,\) а кульку, яку відхилили на \(90^\circ ,\ ‒\ 2.\) Спочатку розгляньмо перетворення механічної енергії кульки \(2.\) За нульовий рівень виберемо положення кульки \(1.\) Тоді відхилена на \(90^\circ\) кулька \(2\) перебуватиме на висоті \(L,\) що дорівнює довжині нитки. А отже, володітиме потенціальною енергією: $$ E_{p2}=mgL, $$ де \(m\) ‒ маса кульки (і першої, і другої), \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Після того як кульку \(2\) відпустили, вона, рухаючись по дузі кола, набрала швидкість і перед зіткненням з кулькою \(1\) мала найбільшу швидкість \(v_{max}\) ‒ уся потенціальна енергія перейшла в кінетичну. Опишімо цей рух кульки \(2\) законом збереження енергії:

Відповідно до умови зіткнення кульок \(2\) і \(1\) ‒ непружне. Це означає, що після такої взаємодії частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію \(витрачається на деформацію і нагрівання тіл\). А після зіткнення кульки рухатимуться як одне ціле й піднімуться на певну висоту \(h.\)

Опишімо взаємодію двох кульок законом збереження імпульсу: $$ \overrightarrow{p}_{01}+\overrightarrow{p}_{02}=\overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_2, $$ де \(\overrightarrow{p}_{01}\) і \(\overrightarrow{p}_{02}\) ‒ імпульси кульок до взаємодії, \(\overrightarrow{p}_1\) і \(\overrightarrow{p}_2\) ‒ імпульси кульок після взаємодії. Оскільки після взаємодії кульки разом продовжать рухатися в той самий бік, що й кулька \(2,\) то всі проєкції імпульсів будуть зі знаком плюс:

Знову запишімо закон збереження енергії для кульок, які рухаються разом:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин та газів. Закон Паскаля для рідин та газів. Атмосферний тиск. Тиск нерухомої рідини на дно і стінки посудини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння атмосферного і гідростатичного тисків, а також вміння визначати тиск у будь-якій точці сполучених посудин.

У точці \(A,\) яка позначена у відкритому коліні \(U\text{-подібної трубки,}\) діє атмосферний тиск: $$ p_\text{А}=p_\text{атм}. $$

Точка \(B\) позначена в правому запаяному коліні трубки. У верхній частині цього коліна міститься повітря, тиск \(p_\text{п}\) якого напевно відрізняється від атмосферного і є однаковим у будь-якій точці цієї частини трубки. Тож у точці (позначимо точку буквою \(K\)) біля поверхні води тиск повітря теж становить \(p_\text{п}.\) За законом Паскаля тиск, створюваний на нерухому рідину, передається рідиною однаково в усіх напрямках. А ще в сполучених посудинах на одному горизонтальному рівні тиск стовпчиків рідин є однаковим. Отже, у точці \(L\) (на тому самому рівні, що і точка \(K\)) тиск теж буде \(p_\text{п}.\) Визначмо його: $$ p_\text{В}=p_\text{п}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_\text{В}, $$ де \(\mathbf{\rho}gh_\text{В}\) ‒ гідростатичний тиск стовпчика рідини висотою \(h_\text{В}.\)

У точці \(C\) тиск складатиметься з атмосферного й гідростатичного тиску стовпчика рідини висотою \(h_\text{С}:\) $$ p_\text{С}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_\text{С}. $$

У точці \(D\) відповідно до закону Паскаля і тієї властивості, що на одному рівні тиск стовпчиків рідин є однаковим, тиск складатиметься з атмосферного і гідростатичного тиску стовпчика рідини висотою \(h_\text{D}\) \(див. рисунок\): $$ p_\text{D}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_\text{D}. $$

Найменшим буде тиск у точці \(A.\) Він збільшуватиметься зі збільшенням висоти стовпчика води:

Відповідь: A.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Ізопроцеси в газах.

Завдання скеровано на перевірку вміння описати стан газу за допомогою рівняння стану газу \(Менделєєва ‒ Клапейрона\).

Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона для стану \(1\) і \(2\) ідеального газу (\(p\) ‒ тиск, \(V\) ‒ об’єм, \(T\) ‒ абсолютна температура): \begin{gather*} \frac{p_1V_1}{T_1}=\frac mMR,\\[6pt] \frac{p_2V_2}{T_2}=\frac mMR. \end{gather*}

Права частина однакова, оскільки записуємо рівняння для того самого ідеального газу масою \(m,\) молярна маса якого \(M,\) універсальна газова стала \(R.\)

Уважатимемо сторону клітинки за одиничний відрізок: \begin{gather*} p_1=2p,\ \ T_1=3T,\\[7pt] p_2=4p,\ \ T_2=6T. \end{gather*}

Запишімо рівняння Клапейрона: \begin{gather*} \frac{2pV_1}{3T}=\frac{4pV_2}{6T}. \end{gather*}

Рівність виконуватиметься, якщо \begin{gather*} V_1=V_2. \end{gather*} (тобто об’єм залишається сталим: \(V=\mathrm{const}\)).

Процес змінювання стану даного газу деякої маси, що відбувається за незмінного об’єму, називають ізохорним процесом: $$ \frac pT=\mathrm{const}=\frac mM\cdot \frac RV. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння першого закону термодинаміки і вміння застосовувати його до ізопроцесів.

Під час ізобарного процесу виконується робота і змінюється внутрішня енергія газу, тому рівняння першого закону термодинаміки має вигляд: $$ Q=\Delta U+A. $$

Під час ізобарного процесу передана газу кількість теплоти \(Q\) йде і на збільшення внутрішньої енергії газу \(\Delta U,\) і на виконання механічної роботи \(A.\)

Визначімо зміну внутрішньої енергії: $$ \Delta U=Q-A. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці

Завдання скеровано на перевірку розуміння роботи в термодинаміці і вміння визначати її під час різних ізопроцесів.

Розгляньмо окремо кожну ділянку графіка. З’ясуємо, чому дорівнюватиме загальна робота \(A,\) яку виконуватиме ідеальний газ під час процесів \(1‒2‒3:\) $$ A=A_{1-2}+A_{2-3}. $$

Процес \(1‒2:\) тиск \(p\) збільшується, об’єм \(V\) залишається сталим (див. ділянку графіка \(1‒2\)) ‒ процес ізохорний. Під час цього процесу газ роботу \(A_{1-2}\) не виконує: \begin{gather*} A_{1-2}=p\Delta V,\\[7pt] \Delta V=0\Rightarrow A_{1-2}=0. \end{gather*}

Під час ізохорного процесу вся передана газу кількість теплоти витрачається на збільшення внутрішньої енергії газу.

Процес \(2‒3:\) тиск \(p\) залишається сталим, об’єм \(V\) збільшується (див. ділянку графіка \(2‒3\)) ‒ процес ізобарний. У ході ізобарного процесу виконується робота і змінюється внутрішня енергія газу:

Отже, робота виконуватиметься лише під час ізобарного процесу:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Напруженість електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння напруженості електричного поля.

Напруженість електричного поля \(\overrightarrow{E}\) в точці ‒ векторна фізична величина, яка характеризує електричне поле й дорівнює відношенню сили \(\overrightarrow{F},\) з якою електричне поле діє на пробний заряд, поміщений у цю точку поля, до значення \(q\) цього заряду: $$ \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q}. $$

Визначмо модуль сили, з якою діє електричне поле Землі на краплю води:

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Електроємність плоского конденсатора.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристики конденсатора ‒ електроємності, а також від яких параметрів і як вона залежить.

Електроємність \(C\) плоского конденсатора обчислюють за формулою: $$ C=\frac{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{\varepsilon}_0S}{d}, $$ де \(\mathbf{\varepsilon}_0\) ‒ електрична стала; \(\mathbf{\varepsilon}\) ‒ діелектрична проникність діелектрика; \(S\) ‒ площа пластини конденсатора; \(d\) ‒ відстань між пластинами.

З формули видно, що електроємність прямо пропорційна діелектричній проникності діелектрика: \begin{gather*} C\sim \mathbf{\varepsilon}. \end{gather*}

Оскільки в умові питають, як зміниться електроємність системи конденсаторів, то йдеться про загальну електроємність. Отже, після того, як повітряні конденсатори (діелектрична проникність повітря дорівнює практично \(1\)) занурили в гліцерин, їхня загальна електроємність збільшилася в \(42\) рази, оскільки діелектрична проникність гліцерину ‒ \(42.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Залежність опору металів від температури.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння електричного опору в металевих провідниках і їхньої залежності від температури.

Опір металевого провідника залежить не тільки від його геометричних розмірів і речовини, з якої він виготовлений, а й від температури: якщо температура \(t\) металу є не надто низькою і не надто високою, опір металевого провідника залежить від температури майже лінійно (графік А є неправильним ‒ залежність очевидно нелінійна): $$ R=R_0(1+\mathbf{\alpha}t), $$ де \(R_0\) ‒ електричний опір провідника за температури \(0\ ^\circ\mathrm{C};\) \(R\) ‒ опір провідника за температури \(t;\) \(\mathbf{\alpha}\) ‒ температурний коефіцієнт електричного опору.

Як видно з формули, із підвищенням температури опір металу збільшується, і навпаки, зі зниженням температури опір металу зменшується. Отже, графік Г неправильний ‒ він відображає зменшення опору зі зростанням температури.

Розкриймо у формулі дужки: $$ R=R_0+R_0\mathbf{\alpha}t. $$

Отже, за температури \(0\ ^\circ\mathrm{C}\) опір не дорівнює нулю, а має певне значення ‒ \(R_0.\) Тому графік Б ‒ неправильний.

Якщо температура металу знижується, наближаючись до абсолютного нуля \((0\ \text{К},\ –273\ ^\circ\mathrm{С}),\) або збільшується, наближаючись до температури плавлення, то залежність \(R(t)\) вже не буде лінійною (графік В).

Отже, графік В задовольняє всім вищезазначеним умовам залежності електричного опору металу від температури.

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Джоуля‒Ленца.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння залежності кількості теплоти від характеристик електричного струму і часу.

Закон Джоуля ‒ Ленца: кількість теплоти \(Q,\) яка виділяється в провіднику зі струмом, прямо пропорційна квадрату сили струму \(I,\) опору \(R\) провідника та часу \(t\) проходження струму: $$ Q=I^2Rt. $$

До зміни сили струму кількість теплоти становила: $$ Q_1=I^2_1Rt. $$

Після збільшення сили струму в \(4\) рази кількість теплоти становитиме:

Визначмо, у скільки разів змінилася кількість теплоти: $$ \frac{Q_2}{Q_1}=\frac{16Q^2_1Rt}{I^2_1Rt}=16. $$

Отже, після збільшення сили струму в \(4\) рази кількість теплоти збільшиться в \(16\) разів: $$ Q_2\gt Q_1\ \text{у 16 разів.} $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Індуктивність.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичного змісту індуктивності.

Індуктивність \(L\) ‒ фізична величина, яка характеризує провідник і чисельно дорівнює ЕРС самоіндукції \(\mathbf{\varepsilon}_{is},\) що виникає в провіднику в разі зміни сили струму \(\Delta I\) на \(1\) ампер за \(1\) секунду: $$ L=\frac{|\mathbf{\varepsilon}_{is}|}{|\Delta I|/\Delta t}. $$

Одиниця індуктивності в SІ ‒ генрі: $$ [L]=1\ \text{Гн (Н)}; $$ названа на честь американського фізика Джозефа Генрі \(1797–1878\), який 1831 р. відкрив явище самоіндукції. Індуктивність провідника дорівнює \(1\) генрі, якщо в ньому виникає ЕРС самоіндукції \(1\ \text{В}\) у разі зміни сили струму на \(1\ \text{А}\) за \(1\ \text{с:}\) $$ 1\ \text{Гн}=\frac{1\ \text{В}}{1\ \text{А/с}}. $$

Одиниця сили струму ампер (А) і одиниця часу секунда (с) є одиницями SI.

Розпишімо одиницю електрорушійної сили самоіндукції ‒ вольт (В) ‒ через одиниці SI:

Виразимо одиницю індуктивності через основні одиниці SI:

Відповідь: A.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання. Зміщення, амплітуда, період, частота і фаза гармонічних коливань.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння періоду коливань.

За умовою завдання зміщення тіла фіксували протягом половини періоду: $$ T_{1/2}=1\ \text{с}. $$

Із наведених варіантів відповіді єдиний, який задовольняє умову, це варіант Б ‒ послідовність моментів часу від \(\) до \(1\ \text{с.}\)

Усі інші числові дані в завданні є зайвими за поданого формулювання умови.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Звукові хвилі. Висота тону і тембр звуку.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння суб’єктивних (фізіологічних) характеристик звуку.

Висоту звуку визначає, переважно, частота звукової хвилі: що більша її частота, то вищий тон звуку. Наприклад, ноті ля першої октави відповідає частота \(440\ \text{Гц;}\) ноті ля другої октави ‒ частота \(880\ \text{Гц.}\) Властивість людського вуха розрізняти звуки за їхньою частотою також залежить від інтенсивності звуків. У разі збільшення інтенсивності звуку його висота здається нижчою.

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Перетворення енергії в коливальному контурі.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження енергії під час електромагнітних коливань в коливальному контурі і вміння його застосовувати.

Під час електромагнітних коливань в коливальному контурі відбувається періодичне перетворення енергії: енергія електричного поля конденсатора переходить в енергію магнітного поля, і навпаки.

Запишімо закон збереження енергії для ідеального (вважаємо, що енергія не витрачається на нагрівання підвідних проводів, обмотки котушки, на поляризацію діелектрика, тощо) коливального контуру відповідно до умови завдання: $$ \frac{CU^2_{max}}{2}=\frac{CU^2}{2}+\frac{Li^2}{2}=\frac{LI^2_{max}}{2}, $$ де \(C\) ‒ електроємність конденсатора, \(U\) ‒ напруга на конденсаторі, \(L\) ‒ індуктивність котушки, \(I\) ‒ сила струму в котушці.

Помножмо цю рівність на \(2\) й визначмо модуль напруги на конденсаторі після зменшення сили струму в котушці:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Оптика. Закони відбивання світла. Побудова зображень, які дає плоске дзеркало.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону відбивання світла і вміння застосовувати його до побудови зображення світлового променя, які дає плоске дзеркало.

Закони відбивання світла:

1. Промінь, що падає, промінь відбитий і перпендикуляр до поверхні відбивання, проведений із точки падіння променя, лежать в одній площині.

2. Кут відбивання дорівнює куту падіння: \(\mathbf{\beta}=\mathbf{\alpha}.\)

Як бачимо з рисунка, даного в умові, кут \(COA\) між променем, що падає \(CO\) бажаним відбитим променем \(OA\) становитиме \(90^\circ\) \(рис. 1\):

За другим законом кут відбивання \(B'OA\) має дорівнювати куту падіння \(COB'\) \(див. рисунок 2\). \(OB'\) ‒ бісектриса кута \(COA\) \(рис. 2\).

За означенням променя, що падає, і за першим законом відбивання \(OB'\) ‒ перпендикуляр до поверхні плоского дзеркала, повернутого на певний кут. Тобто перпендикуляр \(OB\) до поверхні горизонтально розташованого дзеркала \(рис. 1\) повернеться разом із дзеркалом на той самий кут, що й дзеркало:

Відповідь: A.