Коментар

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поступально-обертального руху.

Визначаючи лінійну швидкість верхнього кінця стержня, треба врахувати те, що сам стержень у той момент, коли його кінці ковзають із певними лінійними швидкостями відносно взаємно перпендикулярних поверхонь підлоги й стіни, здійснює обертальний рух із певною кутовою швидкістю.

Кутова швидкість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) ‒ це фізична величина, яка чисельно дорівнює куту \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) повороту радіуса за одиницю часу \(t:\) $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}}{t}. $$

За час, що дорівнює періоду \((t=T),\) радіус виконує один оберт \((\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}),\) тому кутову швидкість можна обчислити за формулою: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{T}. $$

Стержень довжиною \(l\) у заданий момент часу обертатиметься навколо певної миттєвої осі обертання \(O\) ‒ навколо якої стержень у цей момент часу обертається. Побудуємо її. Для цього проведемо перпендикуляри до векторів лінійних швидкостей руху \(\overrightarrow{v}_\text{н}\) і \(\overrightarrow{v}_\text{в}\) обох кінців стержня – нижнього і верхнього, і на їхньому перетині отримаємо місце розташування миттєвої осі обертання, яку позначимо точкою \(O.\)

Лінійну швидкість \(\overrightarrow{v}\) рівномірного руху тіла по колу визначаємо за періодом \(T\) обертання та радіусом \(R\) колової траєкторії: $$ v=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{T} - $$ за час оберту \(t=T\) тіло долає відстань, що дорівнює довжині кола $$ L=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R. $$

Кутова і лінійна швидкості пов’язані співвідношенням: $$ v=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}R. $$

Кутова швидкість кожної точки стержня буде та сама. Тому виразімо кутову швидкість для верхнього і нижнього кінців стержня через їхні відповідні лінійні швидкості й радіуси та прирівняємо ці вирази:

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{н}=\frac{v_\text{н}}{OA},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{в}=\frac{v_\text{в}}{OB},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{н}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{в}\Rightarrow \frac{v_\text{н}}{OA}=\frac{v_\text{в}}{OB},\\[6pt] v_\text{в}=\frac{v_\text{н}\cdot OB}{OA}. \end{gather*}

Виразімо \(OA\) і \(OB\) з прямокутного трикутника \(AOB:\)

\begin{gather*} OA=l\sin 60^\circ,\\[7pt] OB=l\cos 60^\circ. \end{gather*}

Визначмо швидкість руху верхнього кінця стержня:

Відповідь: Б.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичної величини переміщення.

Якщо спочатку турист рухався на захід, а потім ‒ на північ, це означає, що він, пройшовши \(3\ \text{км},\) повернув на \(90^\circ\) і далі рухався під прямим кутом до попереднього напрямку ще \(4\ \text{км}\) (див. рисунок).

Якщо з’єднаємо початкову точку \(1,\) з якої турист стартував, і кінцеву точку \(2\) його маршруту, то вектор \(\overrightarrow{s}\) ‒ це і є переміщення, яке здійснив турист.

Визначмо модуль цього переміщення ‒ довжину відрізка, що з’єднує точки \(1\) і \(2.\) Цей відрізок ‒ це гіпотенуза утвореного прямокутного трикутника з катетами \(3\) і \(4\ \text{км}.\) За теоремою Піфагора обчислімо гіпотенузу:

Отже, модуль переміщення дорівнюватиме \(5\ \text{км}.\)

А можна без обчислень одразу сказати, чому дорівнюватиме гіпотенуза (модуль переміщення) цього прямокутного трикутника. Якщо сторони прямокутного трикутника співвідносяться як \(3 : 4 : 5,\) то такий трикутник називають єгипетським. Катети утвореного туристом маршруту дорівнюють \(3\) і \(4\ \text{км},\) відповідно гіпотенуза становитиме \(5\ \text{км}.\)

Відповідь: Г.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження імпульсу і вміння за його допомогою описувати конкретну систему тіл.

У замкненій системі тіл векторна сума імпульсів тіл до взаємодії дорівнює векторній сумі імпульсів тіл після взаємодії. Запишімо закон збереження імпульсу для системи тіл, як векторну суму імпульсів \(\overrightarrow{p}_\text{п}\) і \(\overrightarrow{p}_\text{н}\) порожнього і навантаженого вагонів відповідно до взаємодії, і векторну суму імпульсів \(\overrightarrow{p}'_\text{п}\) і \(\overrightarrow{p}'_\text{н}\) цих вагонів після взаємодії: $$ \overrightarrow{p}_\text{п}+\overrightarrow{p}_\text{н}=\overrightarrow{p}'_\text{п}+\overrightarrow{p}'_\text{н}. $$

Оскільки порожній вагон штовхне навантажений і вони разом, зчепившись, продовжать рух у тому самому напрямку, що й порожній, то можемо записати закон збереження імпульсу в проєкціях: $$ p_\text{п}+p_\text{н}=p'_\text{п}+p'_\text{н}. $$

Навантажений вагон до зіткнення з порожнім стояв нерухомо, його швидкість дорівнювала нулю. Тож і його імпульс дорівнював нулю, оскільки імпульс тіла ‒ це добуток маси тіла на швидкість його руху: $$ p_\text{н}=0. $$

З графіка залежності імпульсу порожнього вагона від часу можна визначити, що до зіткнення імпульс порожнього вагона $$ p_\text{п}=0,1\ \text{кг}\cdot \ \text{м/с}, $$ а після зіткнення імпульс порожнього вагона $$ p'_\text{п}=0,04\ \text{кг}\cdot \ \text{м/с}. $$

Отже, можемо визначити імпульс навантаженого вагона після поштовху порожнього вагона: $$ p'_\text{н}=p_\text{п}-p'_\text{п}, $$

Запишімо формулу для імпульсу навантаженого вагона: $$ p'_\text{н}=m_\text{н}v, $$ де \(m_\text{н}\) ‒ маса навантаженого вагона, яка дорівнює сумі мас порожнього вагона \(m_\text{п}=1\ \text{кг}\) і вантажу \(m_\text{в}:\) $$ m_\text{н}=m_\text{п}+m_\text{в}. $$

А швидкість руху \(v\) ‒ це спільна швидкість руху порожнього і навантаженого вагонів після їхнього зчеплення. Визначити її можна з формули імпульсу порожнього вагона після зчеплення:

\begin{gather*} p'_\text{п}=m_\text{п}v,\\[6pt] v=\frac{p'_\text{п}}{m_\text{п}},\\[6pt] v=\frac{0,04\ \text{кг}\cdot \ \text{м/с}}{1\ \text{кг}}=0,04\ \text{м/с}. \end{gather*}

Визначмо тепер масу вантажу \(m_\text{в}:\)

Відповідь: Г.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку уміння визначати потужність.

Потужність \(P\) (або \(N\)) ‒ це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи й дорівнює відношенню роботи \(A\) до інтервалу часу \(t,\) за який цю роботу виконано: $$ P=\frac At. $$

Робота рівнодійної всіх сил, які діють на тіло, дорівнює зміні кінетичної енергії \(\Delta E_k\) тіла ‒ це теорема про кінетичну енергію: $$ A=E_k-E_{k0}=\Delta E_k. $$

У результаті дії сил опору автомобіль зупиниться, тобто через час \(t\) його кінцева швидкість дорівнюватиме нулю: $$ v_\text{к}=0. $$

Тобто \(E_k=0,\) а теорема про кінетичну енергію зводиться до рівності $$ A=E_{k0}=\frac{mv^2_0}{2}, $$ де \(m\) ‒ маса автомобіля, \(v_0\) ‒ швидкість його руху на початку проміжку часу \(20\ \text{с}:\)

$$ v_0=36\frac{\text{км}}{\text{год}}=36\cdot\frac{1000\ \text{м}}{3600\ \text{с}}=10\ \text{м/с}. $$

За умовою завдання автомобіль змінює швидкість, сповільнюється. Тому середня потужність двигуна ‒ це середнє арифметичне потужностей у певні моменти часу (так би мовити миттєвих потужностей), що дорівнюють добутку модуля сили тяги двигуна на модуль його миттєвої швидкості.

Оскільки всю енергію двигуна буде витрачено на подолання сил опору, то середня потужність двигуна дорівнюватиме середній потужності сил опору.

Отже, визначмо середню потужність сил опору:

Відповідь: Г.

Коментар

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Стала Авогадро.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння кількості речовини й числа Авогадро.

У будь-якій речовині кількістю один моль міститься та сама кількість \((6,02\cdot 10^{23})\) її структурних частинок – атомів, йонів або молекул. Кількість речовини не залежить від її густини. Цю кількість частинок називають сталою Авогадро: $$ N_A\approx 6,02\cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}. $$

За умовою завдання кількість речовини обох металів однакова – \(1\ \text{моль},\) тож і кількість атомів в металі кількістю речовини \(1\ \text{моль}\) та сама: $$ N_1=N_2. $$

Відповідь: Б.

Коментар

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Атмосферний тиск. Тиск нерухомої рідини на дно та стінки посудини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття тиску ‒ атмосферного й гідростатичного.

Тиск на поверхні води дорівнює атмосферному тиску ‒ \(p_\text{атм}.\)

А тиск \(p_\text{глиб}\) в озері на глибині \(h=30\ \text{м}\) складається з атмосферного тиску і гідростатичного тиску \(p\) стовпа рідини висотою \(30\ \text{м}:\) \begin{gather*} p_\text{глиб}=p_\text{атм}+p,\\[7pt] p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh, \end{gather*} де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) ‒ густина води, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Запишімо відношення тисків:

Отже, тиск на глибині більший за тиск на поверхні води в \(4\ \text{рази}.\)

Відповідь: Г.

Коментар

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Відносна вологість повітря та її вимірювання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття відносної вологості й уміння користуватися показами гігрометра й психрометричною таблицею.

Відносна вологість ‒ це фізична величина, яка показує, наскільки водяна пара близька до насичення.

Для прямого вимірювання вологості найчастіше використовують гігрометр психрометричний ‒ психрометр (його фрагмент зображено в умові завдання ліворуч від психрометричної таблиці). Дія цього приладу базується на двох фактах:

1) швидкість випаровування рідини то вища, що нижча відносна вологість повітря;

2) рідина під час випаровування охолоджується.

Складниками психрометра є два термометри ‒ сухий, яким вимірюють температуру довкілля, і вологий ‒ його колбу обгорнуто тканиною, кінчик якої опущено в посудину з водою (див. рисунок).

Вода з тканини випаровується, тому вологий термометр показує нижчу температуру, ніж сухий. Що нижча відносна вологість повітря, то швидше випаровується рідина й більша різниця показів сухого і вологого термометрів. Відносну вологість визначають за допомогою психрометричної таблиці (фрагмент такої таблиці подано в умові завдання).

Сухий термометр з умови (ліворуч) показує вищу температуру \((17\ ^\circ\mathrm{C}),\) а вологий (праворуч) – нижчу \((14\ ^\circ\mathrm{C}).\)

Сухий термометр не може показувати меншу температуру, ніж вологий, це нереальна ситуація. Він може показувати таку саму температуру, як і вологий, у ситуації, коли відносна вологість дорівнює \(100\ \text{%}\) (див. психрометричну таблицю), за дощової погоди, наприклад.

Отже, різниця температур сухого і вологого термометрів $$ \Delta t=(17-14)\ ^\circ\mathrm{C}=3\ ^\circ\mathrm{C}. $$

У психрометричній таблиці (верхній рядок) знаходимо різницю показів сухого і вологого термометрів \((3\ ^\circ\mathrm{C}).\) А в стовпчику «Покази сухого термометра» – числове значення температури \((17\ ^\circ\mathrm{C}).\) На перетині цих рядка та стовпчика наведено числове значення відносної вологості \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}:\) $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=72\ \text{%}. $$

Відповідь: B.

Коментар

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Кількість теплоти.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття кількості теплоти, а також вміння здобувати інформацію з графіків.

Кількість теплоти, яка поглинається внаслідок нагрівання речовини (або виділяється внаслідок її охолодження), обчислюють за формулою $$ Q=cm\Delta T=cm\Delta t, $$ де \(c\) ‒ питома теплоємність речовини; \(m\) ‒ маса речовини; \(\Delta T=\Delta t=T-T_0=t-t_0\) ‒ зміна температури за шкалами Кельвіна і Цельсія відповідно (зміна температури за шкалою Кельвіна дорівнює зміні температури за шкалою Цельсія \(\Delta T=\Delta t,\) тобто ціна поділки шкали Кельвіна дорівнює ціні поділки шкали Цельсія: \(1\ ^\circ\mathrm{C}=1\ \mathrm{K}).\)

Скористаймося графіками з умови завдання, щоб визначити відношення мас двох порцій води.

Загальна формула для визначення маси така: $$ m=\frac{Q}{c\Delta t}. $$

Питома теплоємність води однакова в обох її порціях. Зручно взяти також однакову кількість теплоти ‒ \(8\ \text{кДж},\) отриману обома порціями води. А різниця температур буде різна.

Графік 1: зважаючи на те, що одиничний відрізок по вертикальній осі температур становить \(10\ ^\circ\mathrm{C},\) визначимо, що початкова температура $$ t_{01}=10\ ^\circ\mathrm{C}. $$

Після отримання теплоти \(8\ \text{кДж}\) кінцева температура $$ t_1=40\ ^\circ\mathrm{C}. $$

Тоді різниця температур $$ \Delta t_1=30\ ^\circ\mathrm{C}. $$

Графік 2: початкова температура $$ t_{02}=10\ ^\circ\mathrm{C}. $$

Після отримання теплоти \(8\ \text{кДж}\) кінцева температура $$ t_2=20\ ^\circ\mathrm{C}. $$

Тоді різниця температур $$ \Delta t_2=10\ ^\circ\mathrm{C}. $$

Запишімо формули для визначення мас й обчислімо відношення їх:

\begin{gather*} m_1=\frac{Q}{c\Delta t_1},\\[6pt] m_2=\frac{Q}{c\Delta t_2},\\[6pt] \frac{m_2}{m_1}=\frac{Qc\Delta t_1}{c\Delta t_2Q}=\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2},\\[6pt] \frac{m_2}{m_1}=\frac{30\ ^\circ\mathrm{C}}{10\ ^\circ\mathrm{C}}=3. \end{gather*}

Отже, маса порції води \(m_2\) більша за масу порції води \(m_1\) утричі.

Відповідь: B.

Коментар

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Послідовне і паралельне з’єднання провідників.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати загальний опір послідовного, паралельного й мішаного з’єднання провідників.

Загальний опір послідовно з’єднаних провідників \(R_\text{посл}\) дорівнює сумі опорів цих провідників (варіант відповіді В):

Це значення загального опору ділянки електричного кола набагато більше за \(6\ \text{Ом},\) таке з’єднання резисторів не задовольняє умову завдання.

Коли всі резистори з’єднано паралельно (варіант відповіді Г), загальний опір \(R_\text{пар}\) визначаємо так: величина, обернена до загального опору розгалуженої ділянки кола, дорівнює сумі величин, кожна з яких обернена до опору відповідної вітки цього розгалуження: $$ \frac{1}{R_\text{пар}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}. $$

У разі однакового опору резисторів (як в умові завдання) формулу можна спростити:

\begin{gather*} \frac{1}{R_\text{пар}}=\frac 1R+\frac 1R+\frac 1R=\frac 3R,\\[6pt] R_\text{пар}=\frac R3=\frac 43\ \text{Ом}. \end{gather*}

Це значення загального опору ділянки електричного кола набагато менше за \(6\ \text{Ом},\) таке з’єднання резисторів теж не задовольняє умову завдання.

Розгляньмо мішане з’єднання резисторів (варіанти відповіді А і Б).

У варіанті А два резистори з’єднано послідовно:

Паралельно до цих двох резисторів приєднано третій такий самий резистор опором \(R,\) отже, загальний опір \(R_\text{заг}\) такого мішаного з’єднання резисторів

У варіанті Б два резистори з’єднано паралельно: $$ R_\text{пар}=\frac R2=\frac 42\ \text{Ом}=2\ \text{Ом}. $$

Послідовно до цих двох резисторів приєднано третій такий самий резистор опором \(R,\) отже, загальний опір \(R_\text{заг}\) такого мішаного з’єднання резисторів

Отже, щоб отримати ділянку електричного кола з опором 6 Ом, потрібно з’єднати два резистори паралельно, а третій приєднати послідовно до них (за умови, що всі резистори однакові).

Відповідь: Б.

Коментар

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції полів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння напруженості електричного поля, уміння застосовувати принцип суперпозиції електричних полів.

Напруженість електричного поля \(\overrightarrow{E}\) в певній точці ‒ це векторна фізична величина, яка характеризує електричне поле.

За напрямок вектора напруженості в точці електричного поля беруть напрямок сили, яка діяла б на пробний позитивний заряд, якби він був поміщений у цю точку поля. На рисунку це точка C: поле створив позитивний точковий заряд \(Q^+\) (рис. a); поле створив негативний точковий заряд \(Q^‒\) (рис. б).

Якщо ж поле утворено кількома зарядами, то результувальна сила, яка діє на пробний заряд із боку системи зарядів, є геометричною сумою сил, із якими діють ці заряди на пробний заряд:

$$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\dots +\overrightarrow{F}_n. $$

Звідси випливає принцип суперпозиції (накладання) електричних полів: напруженість електричного поля системи зарядів у певній точці простору дорівнює векторній сумі напруженостей полів, створених цими зарядами в цій точці:

$$ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_1+\overrightarrow{E}_2+\dots +\overrightarrow{E}_n. $$

Якщо ж точка \(O\) розташована на одній прямій із двома однаковими зарядами, рівновіддалена від них, то напруженість у цій точці дорівнюватиме нулю ‒ вектори напруженостей будуть однакові, але протилежно напрямлені, і сума їхня дорівнюватиме нулю (див. рисунок):

За умовою заряд рівномірно розподілений по всій довжині дротин, із яких виготовлені рамки. Дротяні фігури є симетричними, тому можна в кожній із них знайти симетричні пари точок, відносно яких за принципом суперпозиції електричних полів напруженість дорівнюватиме нулю. І таких пар точок нескінченно багато.

У рівносторонньому трикутнику, наприклад, три рівновіддалені від його центра точки. Центр рівностороннього трикутника є центром описаного і вписаного кіл. Визначаємо геометрично за правилом паралелограма суму двох векторів напруженостей (на рисунку ‒ вектор, що позначає їхню суму, напрямлений вертикально вниз). Якщо додати геометрично вектори, що на рисунку напрямлені вертикально, їхня сума дорівнюватиме нулю. І так для безлічі рівновіддалених точок.

Отже, напруженість дорівнюватиме нулю в геометричному центрі кожної дротяної фігури, про яку йдеться в умові.

Відповідь: Б.