ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку знання рівняння стану ідеального газу і вміння за допомогою його описувати стан газу.

1. За умовою випарувалася половина зрідженого гелію, тобто

Відповідно можна обчислити кількість речовини \(\mathbf{\nu}\) гелію: $$ \mathbf{\nu}=\frac mM=\frac{\mathbf{\rho}V}{M}. $$

Попередньо виразімо значення густини \(\mathbf{\rho}\) гелію в одиницях SI ‒ у кілограмах на метр кубічний \((\text{кг/м}^3):\)

Обчислімо кількість речовини \(\mathbf{\nu}\) гелію, що випарувався:

Опишімо рівнянням стану ідеального газу (рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона) стан гелію в резервуарі до того, як туди закачали гелій, що випарувався: $$ p_1V_1=\mathbf{\nu}_1RT_1, $$ де \(p_1\) ‒ початковий тиск газу в резервуарі, \(V_1\) ‒ об’єм гелію, який вже міститься в резервуарі (це і є об’єм резервуара), \(\mathbf{\nu}_1\) ‒ кількість речовини в резервуарі, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(T_1\) ‒ температура гелію в резервуарі.

Знайдімо із цього рівняння, початкову кількість речовини \(\mathbf{\nu}\) гелію в резервуарі:

Тепер можна визначити кількість речовини газу в резервуарі після того, як у нього закачали гелій, зібраний після випаровування:

Відповідь: 1062,5.

2. Опишімо стан газу в резервуарі після закачування гелію ‒ зміниться кількість речовини \(\mathbf{\nu}_2\) (збільшиться), отже, збільшиться тиск \(p_2,\) абсолютна температура гелію в резервуарі залишиться сталою \((T_2=T_1=const),\) об’єм, який займатиме гелій, теж не зміниться \((V_2=V_1):\) $$ p_2V_2=\mathbf{\nu}_2RT_2. $$

Обчислімо тиск, який установиться в резервуарі:

Щоб визначити зміну тиску в резервуарі у відсотках, складімо пропорцію:

Отже, \(\Delta p\ (\text{%})=106,25\ \text{%}-100\ \text{%}=6,25\ \text{%}.\)

Відповідь: 6,25.

Відповідь: 1. 1062,5. 2. 6,25.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння кінематичних рівнянь, що описують прямолінійний рівноприскорений рух і вміння застосовувати їх.

Обчислімо модуль переміщення \(s:\) $$ s=\frac{v^2-v^2_0}{2g}, $$ де \(v_0\) ‒ проєкція початкової швидкості в момент початку відліку часу \(t,\ v\) ‒ проєкція кінцевої швидкості через деякий інтервал часу \(t,\ g\) ‒ прискорення вільного падіння;

Можна також спочатку визначити проміжок часу, за який швидкість руху зміниться від \(v_0=6\ \text{м/с}\) до \(v=24\ \text{м/с}\) за формулою для визначення проєкції швидкості руху на вертикальну вісь \(Oy,\) напрямлену вниз (вектори початкової, кінцевої швидкостей і вектор прискорення вільного падіння будуть напрямлені вниз уздовж осі \(Oy\)):

Знаючи проміжок часу, за який відбулася зазначена в умові зміна швидкості, можна визначити модуль переміщення:

Відповідь: 27.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження механічної енергії.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони збереження імпульсу й енергії під час непружного удару тіл.

Якщо після зіткнення частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію та нагрівання тіл), таке зіткнення називають непружним. Після такого удару тіла рухаються як єдине ціле (див. рисунок).

Опишімо рух куль до і після удару за допомогою закону збереження імпульсу у векторному вигляді та в проєкціях на вісь \(Ox:\) \begin{gather*} m_1\overrightarrow{v}_1=(m_1+m_2)\overrightarrow{v},\\[7pt] m_1v_1=(m_1+m_2)v, \end{gather*} де \(m_1\) ‒ маса пластилінової кульки, що рухалася зі швидкістю \(\overrightarrow{v}_1,\ m_2\) ‒ маса нерухомої до удару кульки, \(\overrightarrow{v}\) ‒ швидкість руху обох кульок після удару.

Обчислімо швидкість руху куль після удару:

Запишімо закон збереження енергії для цієї умови: $$ \frac{m_1v^2_1}{2}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}+Q, $$ де \(Q\) ‒ утрачена кінетична енергія після удару кульок.

Обчислімо її:

Відповідь: 22.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії (рівняння стану ідеального газу). Властивості газів, рідин і твердих тіл (теплота згоряння палива).

Завдання скеровано на перевірку вміння описувати стан газу за допомогою рівняння стану ідеального газу, визначати кількість теплоти згоряння палива.

Кількість теплоти \(Q,\) що виділиться внаслідок згоряння всього метану, який міститься в автомобільному газовому балоні, можна обчислити за формулою $$ Q=\mathbf{\lambda}m, $$ де \(\mathbf{\lambda}\) ‒ питома теплота згоряння палива, \(m\) ‒ маса метану.

Визначімо масу метану в балоні. Для цього опишімо за допомогою рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона) стан метану в балоні: $$ pV=\frac mMRT, $$ де \(p\) ‒ тиск газу в балоні, \(V\) ‒ об’єм метану в балоні (а це і є об’єм балона), \(m\) ‒ маса метану, \(M\) ‒ молярна маса метану, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(T\) ‒ температура метану в балоні.

Виразімо з рівняння стану масу: $$ m=\frac{pVM}{RT}. $$

Переведімо значення всіх величин у систему SI:

Підставимо ці значення у формулу для обчислення маси:

Підставимо значення маси у формулу для визначення кількості теплоти згоряння метану:

Відповідь: 400.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для ділянки кола. Послідовне і паралельне з’єднання провідників. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння послідовного з’єднання провідників, а також уміння визначати характеристики елементів електричного кола.

Для визначення опору \(R_\text{р}\) резистора необхідно використати формулу закону Ома для ділянки кола: \begin{gather*} I_\text{p}=\frac{U_\text{p}}{R_\text{p}},\\[6pt] \text{звідки}\ R_\text{p}=\frac{U_\text{p}}{I_\text{p}}, \end{gather*} де \(I_\text{p}\) ‒ сила струму, що проходить крізь резистор, \(U_\text{p}\) ‒ напруга на резисторі.

Крізь резистор проходитиме така сама сила струму, як і крізь світлодіоди, оскільки вони за схемою з’єднані послідовно, тобто $$ I_\text{p}=20\ \text{мА}=20\cdot 10^{-3}\ \text{А}. $$

Для визначення спаду напруги на резисторі скористаймося законом Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}. $$

Сила струму \(I\) в повному електричному колі дорівнює відношенню електрорушійної сили \(\mathbf{\varepsilon}\) (ЕРС) джерела струму до повного опору кола \((R+r),\) де \(R\) ‒ загальний опір навантаження, підключеного до джерела струму, \(r\) ‒ внутрішній опір джерела струму (тут – батареї гальванічних елементів).

За умовою внутрішнім опором батареї можна знехтувати, а резистор і світлодіоди з’єднані послідовно (їхні напруги додають). Тому електрорушійна сила дорівнюватиме сумі спадів напруги на резисторі \(U_\text{p}\) і світлодіодах \((U_1=U_2=U_3\ -\ \text{за умовою):}\)

Звідси обчислімо напругу на резисторі:

Отже, тепер можна визначити опір резистора:

Відповідь: 30.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Магнітний потік. Закон електромагнітної індукції.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття індукційного струму, електрорушійної сили (ЕРС) індукції, магнітного потоку й уміння застосувати аналітичні зв'язки між цими поняттями.

Силу індукційного струму \(I_\text{i}\) в контурі опором \(R\) визначають за законом Ома: $$ I_\text{i}=\frac{\mathbf{\varepsilon}_\text{i}}{R}. $$

За законом електромагнітної індукції визначімо електрорушійну силу (ЕРС) індукції \(\mathbf{\varepsilon}_\text{i}.\) ЕРС індукції дорівнює швидкості зміни магнітного потоку \(\text{Ф},\) який пронизує поверхню, обмежену контуром: $$ \mathbf{\varepsilon}_\text{i}=-\frac{\Delta \text{Ф}}{\Delta t}. $$

Знак мінус відображає правило Ленца: індукційний струм, який виникає в замкненому провідному контурі, має такий напрямок, що створений цим струмом магнітний потік перешкоджає зміні магнітного потоку, який спричинив появу індукційного струму.

Потік магнітної індукції (магнітний потік) \(\text{Ф}\) ‒ це фізична величина, яка дорівнює добуткові магнітної індукції \(B\) на площу \(S\) поверхні та на косинус кута \(\mathbf{\alpha}\) між вектором магнітної індукції і нормаллю \(n\) до поверхні: $$ \text{Ф}=BS\cos\mathbf{\alpha}. $$

В умові кут між вектором магнітної індукції й горизонтом \(\mathbf{\varphi}=30^\circ .\) Тоді кут $$ \mathbf{\alpha}=90^\circ-\mathbf{\varphi}=90^\circ-30^\circ=60^\circ, $$ оскільки нормаль \(n\) ‒ це перпендикуляр до поверхні.

За умовою завдання магнітне поле, у якому перебуває контур (горизонтальне кільце), змінюється, тому маємо: $$ \mathbf{\varepsilon}_\text{i}=\frac{\Delta BS\cos\mathbf{\alpha}}{\Delta t}. $$

Тоді силу індукційного струму \(I_\text{i}\) в контурі можна визначити за формулою

Відповідь: 0,6.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик механічних коливань, уміння читати рівняння гармонічних коливань і брати з них потрібну інформацію.

Кількість \(N\) коливань за одиницю часу \(t\) ‒ це частота коливань \(\mathbf{\nu}:\) \begin{gather*} \mathbf{\nu}=\frac Nt,\ \text{звідки}\ N=\mathbf{\nu}t. \end{gather*}

Частоту \(\mathbf{\nu}\) можна визначити з рівняння гармонічних коливань. Коливання, під час яких координата \(x\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), називають гармонічними коливаннями: \begin{gather*} x=A\cos(\mathbf{\omega}t+\mathbf{\varphi}_0), \end{gather*} де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза; $$ \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}=2\mathbf{\pi}\mathbf{\nu}, $$ де \(T\) ‒ період коливань, звідки $$ \mathbf{\nu}=\frac{\mathbf{\omega}}{2\mathbf{\pi}}. $$

Циклічну частоту визначімо з рівняння в умові завдання ‒ це множник перед \(t:\) \begin{gather*} x=0,06\cos 4\mathbf{\pi}t,\\[7pt] \mathbf{\omega}=4\mathbf{\pi}. \end{gather*}

Отже,

Визначімо тепер кількість коливань за \(10\ \text{с:}\) $$ N=\mathbf{\nu}t=2\ \text{Гц}\cdot 10\ \text{с}=20. $$

Відповідь: 20.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формули тонкої лінзи й побудови зображень у тонкій лінзі.

Оптичну силу \(D\) лінзи (об’єктива) ‒ фізичну величину, яка характеризує заломні властивості лінзи й обернена до її фокусної відстані \(F\) можна визначити за формулою: $$ D=\frac 1F. $$

Математична залежність між відстанню d від предмета до лінзи, відстанню f від зображення предмета до лінзи і фокусною відстанню F лінзи представлена формулою тонкої лінзи: \begin{gather*} \frac 1F=\frac 1d+\frac 1f. \end{gather*}

Розгляньмо схематичну побудову зображення \(A_1B_1\) дерева \(AB\) в збиральній лінзі об’єктива фотоапарата: дерево \(AB\) розташоване за подвійним фокусом об’єктива, тому зображення \(A_1B_1\) виходить дійсним, зменшеним, перевернутим.

За умовою об᾽єктив фотоапарата дає зображення дерева, зменшене в \(600\) разів, тобто (див. рисунок) $$ \frac{A_1B_1}{AB}=\frac Hh=\frac{1}{600}. $$

Відношення лінійного розміру \(H\) зображення предмета до розміру \(h\) самого предмета називають лінійним збільшенням \(\text{Г}\) лінзи: $$ \text{Г}=\frac Hh=\frac fd $$ (це співвідношення можна отримати з подібних трикутників \(OAB\) і \(OA_1B_1).\)

Відстань \(d\) від дерева до лінзи дано в умові ‒ \(15\ \text{м.}\) А відстань \(f\) від зображення дерева до лінзи можна визначити із співвідношення

Тепер можна визначити оптичну силу об᾽єктива фотоапарата:

Відповідь треба округлити до цілого числа (до одиниць), отже, $$ D=40,0(6)\ \text{м}\approx 40\ \text{м}. $$

Відповідь: 40.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

Для описання фотоефекту скористаймося рівнянням Ейнштейна: $$ h\mathbf{\nu}=A_\text{вих}+E_{kmax}. $$

Унаслідок поглинання фотона металом енергія фотона $$ E_\text{ф}=h\mathbf{\nu}, $$ де \(h\) ‒ стала Планка, \(\mathbf{\nu}\) ‒ частота випромінювання може бути повністю передана електрону й витратитися на здійснення роботи виходу \(A_\text{вих}\) й надання електрону кінетичної енергії \(E_{kmax}.\)

Запишімо рівняння до підвищення частоти за умови, що \(E_{k1max}=\frac 12A_\text{вих}:\)

Після підвищення частоти випромінювання максимальна кінетична енергія фотоелектронів збільшилася в \(7\) разів:

Визначімо, у скільки разів збільшилася частота випромінювання:

Отже, частота випромінювання збільшилася в \(3\) рази.

Відповідь: 3.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Вільне падіння.

Завдання скеровано на перевірку розуміння вільного падіння тіл.

Якщо б у трубці було повітря, то найважче тіло (дробинка) упало б на дно трубки найшвидше. За умовою завдання повітря з трубки відкачано, тіла падають вільно з однакової висоти.

Вільним називають падіння тіл у безповітряному просторі, тобто це падіння лише під дією сили тяжіння.

Експериментально було доведено, що швидкість будь-якого тіла, яке вільно падає, щосекунди збільшується приблизно на \(9{,}8\ \text{м/с}\). Тож усі тіла, що рухаються вертикально вгору або вниз, рухатимуться прямолінійно рівноприскорено із прискоренням вільного падіння \(9{,}8\ \text{м/с}^2.\)

Тобто в безповітряному просторі (вакуумі) усі тіла ‒ дробинка, корок і пташине перо ‒ незалежно від їхньої маси, об’єму, форми ‒ упадуть на дно трубки одночасно.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу за рівномірного й рівноприскореного рухів.

Завдання скеровано на перевірку вміння інтерпретувати графіки, переходити від однієї до другої залежності величин.

Розгляньмо щосекунди наведений в умові завдання графік залежності координати \(x\) тіла від часу \(t.\)

Ділянка графіка від початку відліку часу до першої секунди: це графік прямолінійного рівноприскореного руху. Адже графіком є частина параболи (вітки вниз), початкова координата \(x_0=0,\) кінцева координата \(x=-2\ \text{м}.\) На графіку точка початку відліку є вершиною параболи ‒ точкою розвороту. Тож до початку відліку часу тіло рухалося вздовж осі \(Ox.\) Із початком відліку часу тіло розвернулося (початкова швидкість \(v_0=0)\) і протягом \(1\ \text{с}\) прискорювало свій рух, рухаючись у протилежному до осі \(Ox\) напрямку. Запишімо рівняння координати й визначмо прискорення руху тіла: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}. $$

Оскільки \(x_0=0\) і \(v_0=0,\) то \(x=\frac{at^2}{2}.\) Звідси $$ a=\frac{2x}{t^2}=\frac{2\cdot(-2)\ \text{м}}{1\ \text{с}^2}=-4\ \text{м/с}^2. $$

Знаючи прискорення руху тіла, знайдімо кінцеву швидкість руху тіла наприкінці першої секунди: $$ v=v_0+at=-4\ \text{м/с}^2\cdot 1\ \text{с}=-4\ \text{м/с}. $$

Знак «мінус» указує на те, що тіло рухалося в напрямку, протилежному до напрямку осі \(Ox.\)

Значення початкової і кінцевої швидкості руху тіла за першу секунду відповідають лише варіанту відповіді A. Щоб упевнитися в правильності варіанта відповіді A, проаналізуймо рух тіла в наступні секунди.

Від 1-ї до 2-ї секунди: ділянка графіка залежності координати тіла від часу прямолінійна, отже, рух рівномірний, швидкість стала.

Від 2-ї до 3-ї секунди: це графік прямолінійного рівноприскореного руху, оскільки графіком є частина параболи (вітки вгору), тіло гальмує, швидкість руху тіла зменшується до нуля, тіло зупиняється.

Від 3-ї до 4-ї секунди: координата тіла не змінюється, отже, швидкість тіла дорівнює нулю ‒ тіло не рухається.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закономірностей прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів.

Розгляньмо рух парашутиста і рух монети.

За умовою завдання парашутист опускався зі сталою швидкістю \(v=5\ \text{м/с,}\) оскільки дія сили тяжіння була скомпенсована дією сили опору повітря. Отже, відстань \(h=100\ \text{м}\) він подолав за \(20\ \text{с:}\) $$ t_{\text{пар}}=\frac hv=\frac{100\ \text{м}}{5\ \text{м/с}}=20\ \text{с}. $$

Монета пройшла той самий шлях \(h=100\ \text{м},\) але рухалася рівноприскорено. Власна початкова швидкість монети, що просто випала з кишені, дорівнювала нулю. Але до того монета була в кишені парашутиста, який рухався зі швидкістю \(5\ \text{м/с},\) тому початкова швидкість монети \(v_0\) становила \(5\ \text{м/с}.\) За умовою впливом опору повітря на монету нехтуємо, тож можемо визначити час її падіння з кінематичного рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2}, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння (усі векторні величини записано в проєкціях на вісь \(Oy,\) напрямлену вертикально вниз, так само, як і вектор прискорення вільного падіння).

Підставмо значення величин у рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2} \Rightarrow 100=5t+\frac{10t^2}{2}. $$

Поділімо ліву і праву частину рівняння на \(5\) і дістанемо зведене квадратне рівняння: $$ t^2+t-20=0. $$

За теоремою Вієта визначмо корені рівняння: $$ t_1=-5,\ \ t_2=4. $$

Час не може бути від’ємним, тому умову задовольняє корінь \(t_2=4\ \text{с},\) тобто монета впала за \(4\ \text{с},\) а парашутист, відповідно, приземлився на \(16\ \text{с}\) пізніше: $$ \Delta t = t_\text{пар}-t_2=20\ \text{с}-4\ \text{с}=16\ \text{с}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Імпульс тіла. Кінетична енергія.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для визначення імпульсу й кінетичної енергії тіла.

Імпульс тіла \(\overrightarrow{p}\) – це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси \(m\) тіла на швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху: $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. $$

Обчислімо значення імпульсу автомобіля: $$ p=1000\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}=10^4\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Кінетична енергія \(E_k\) ‒ це фізична величина, якою характеризують механічний стан рухомого тіла. Кінетична енергія дорівнює половині добутку маси \(m\) тіла на квадрат швидкості \(v\) його руху: \begin{gather*} E_k=\frac{mv^2}{2}. \end{gather*}

Обчислімо значення кінетичної енергії автомобіля: $$ E_k=\frac{1000\ \text{кг}\cdot (10\ \text{м/с})^2}{2}=5\cdot 10^4\ \text{Дж}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Умови плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов плавання тіл.

Розгляньмо два варіанти плавання бруска: у гасі й у воді. Силу тяжіння \(F_\text{тяж},\) що діє на брусок, урівноважує сила Архімеда \(F_А\) (за модулем).

Варіант перший – брусок плаває у гасі: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АГ},\\[7pt] mg=\mathbf{\rho}_\text{Г}gV_\text{Гзан}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса бруска, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\mathbf{\rho}_\text{Г}\) ‒ густина гасу, \(V_\text{Гзан}\) ‒ об’єм зануреної в гас частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: $$ m=\mathbf{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}, $$ де \(S\) ‒ площа основи (нижньої грані) бруска, \(h_\text{Г}\) ‒ глибина занурення бруска в гас.

Варіант другий – брусок плаває у воді: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АВ},\\[7pt] mg=\mathbf{\rho}_\text{В}gV_\text{Взан}, \end{gather*} де \(\mathbf{\rho}_\text{В}\) ‒ густина води, \(V_\text{Взан}\) ‒ об’єм зануреної у воду частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: \begin{gather*} m=\mathbf{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}, \end{gather*} де \(h_\text{В}\) – глибина занурення бруска у воду.

Прирівняймо вирази для визначення маси \(m\) бруска: \begin{gather*} \mathbf{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}=\mathbf{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}. \end{gather*}

Визначмо й обчислімо шукану величину \(h_\text{В}\) ‒ глибину занурення бруска у воду: \begin{gather*} h_\text{В}=\frac{\mathbf{\rho}_\text{Г}h_\text{Г}}{\mathbf{\rho}_\text{В}},\\[6pt] h_\text{В}=\frac{800\ \text{кг/м}^3\cdot 60\ \text{мм}}{1000\ \text{кг/м}^3}=48\ \text{мм}. \end{gather*}

Відповідь: Б.