ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв᾽язувати задачі, коли на тіло діє кілька сил.

Позначмо сили, які діють на тіло, занурене в олію, а потім – у воду.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона в проєкціях на вертикальну вісь, напрямлену вниз: $$ \left\{ \begin{array}{l} F_\text{т}=F_{\text{пр}_\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}\\ F_\text{т}=F_{\text{пр}_\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}}, \end{array}\right. $$ де \(F_\text{т}\) ‒ сила тяжіння, що не залежить від рідини, у яку занурено тіло, \(F_{\text{пр}_\text{олія}}\) і \(F_{\text{пр}_\text{вода}}\) ‒ сили пружності, \(F_{\text{A}_\text{олія}}\) і \(F_{\text{A}_\text{вода}}\) ‒ сили Архімеда.

Усі тіла внаслідок гравітаційного притягання стискають або прогинають опору або розтягують підвіс. Силу, яка характеризує таку дію тіл, називають вагою і позначають \(\overrightarrow{P}.\) Отже, за третім законом Ньютона \(F_\text{пр}=P.\) $$ \left\{ \begin{array}{l} F_\text{т}=P_{\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}\\ F_\text{т}=P_{\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}}, \end{array}\right. $$

Прирівняємо праві частини цих формул: \begin{gather*} P_{\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}=P_{\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}},\\[7pt] P_{\text{олія}}-P_{\text{вода}}=F_{\text{A}_\text{вода}}-F_{\text{A}_\text{олія}},\\[7pt] \Delta P=F_{\text{A}_\text{вода}}-F_{\text{A}_\text{олія}}, \end{gather*} де \(\Delta P\) ‒ це та різниця у вазі, яку показав динамометр під час зважування у воді й олії.

Запишімо, чому дорівнює сила Архімеда у воді та олії: \begin{gather*} \Delta P=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{вода}gV_\text{т}-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{олія}gV_\text{т}, \end{gather*} де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{вода}\) і \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{олія}\) ‒ густини, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(V_\text{т}\) ‒ шуканий об᾽єм тіла.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати кінематичні характеристики (швидкість руху) під час вільного падіння.

Спосіб 1. Для визначення швидкості руху м᾽яча на певній висоті скористаймося кінематичним рівнянням, яким описують вільне падіння вздовж вертикальної осі \(Oy:\) $$ \Delta h=\frac{v^2-v^2_0}{2g}, $$ де \(\Delta h\) ‒ різниця висот, яку пройшов м᾽яч \((\Delta h=30-3=27\ \text{м}),\ v\) ‒ шукана швидкість руху на висоті \(3\ \text{м},\) \(v_0\) ‒ початкова швидкість, із якою кинули м᾽яч із висоти \(30\ \text{м},\ g\) ‒ прискорення вільного падіння:

Спосіб 2. Для визначення швидкості руху м᾽яча на певній висоті можна також скористатися законом збереження механічної енергії: сума потенціальної і кінетичної енергій на висоті \(h=30\ \text{м}\) дорівнює сумі потенціальної і кінетичної енергій на висоті \(h_1=3\ \text{м}:\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Вага тіла.

Завдання скеровано на перевірку розуміння сили, яку називають вагою.

Усі тіла внаслідок гравітаційного притягання стискають або прогинають опору або розтягують підвіс. Силу, яка характеризує таку дію тіл, називають вагою і позначають \(\overrightarrow{P}.\)

Вантаж і нижній динамометр підвішені до верхнього динамометра й розтягують його пружину. Отже, верхній динамометр покаже загальну вагу вантажа та нижнього динамометра: \begin{gather*} P=P_\text{вантажа}+P_\text{динамометра},\\[7pt] P=120\ \text{Н}+10\ \text{Н}=130\ \text{Н}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Нерівномірний рух. Середня і миттєва швидкості.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичного змісту середньої швидкості.

Середня швидкість \(v_\text{сер}\) дорівнює відношенню всього шляху \(l\) до інтервалу часу \(t,\) за який цей шлях подолано:

Перша частина шляху \(l_1=900\ \text{м}\), її велосипедист подолав зі швидкістю \(v_1=15\ \text{м/с.}\) Обчислімо час $$ t_1=\frac{l_1}{v_1}=\frac{900\ \text{м}}{15\ \text{м/с}}=60\ \text{с.} $$

Друга частина шляху \(l_2=400\ \text{м}.\) Її велосипедист подолав зі швидкістю \(v_2=36\ \text{км/год}=10\ \text{м/с}.\) Обчислимо час

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Матеріальна точка.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння однієї з фізичних моделей ‒ матеріальної точки.

Матеріальна точка ‒ це фізична модель тіла, розмірами якого в умові задачі можна знехтувати. Те саме тіло в умовах однієї задачі можна вважати матеріальною точкою, а в умовах іншої ‒ ні.

Це визначення можна застосувати до ведмедя і бджоли. Наприклад, розглядаючи будову тіла бджоли, не можна знехтувати розмірами її тіла. А під час вивчення її руху – можна.

Те саме стосується і ведмедя. Коли вивчають анатомію тварини, розміри важливі. Коли ж спостерігають за міграцією ведмедя, розмірами можна знехтувати.

Отже, чи можна знехтувати розмірами тіла, чи ні, визначають умови, за яких це тіло розглядаємо.

Відповідь: B.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Радіоактивність.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону радіоактивного розпаду й уміння працювати з формулою, якою описано цей закон.

Період піврозпаду \(T\) ‒ це фізична величина, якою характеризують радіонуклід. Період піврозпаду дорівнює часу, протягом якого розпадається половина наявної кількості ядер певного радіонукліда.

Основний закон радіоактивного розпаду: \begin{gather*} N=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}, \end{gather*} де \(N\) ‒ кількість ядер радіонукліда, що залишились у зразку через час \(t;\) \(N_0\) ‒ початкова кількість ядер; \(T\) ‒ період піврозпаду; \(t\) ‒ час розпаду.

Виразимо кількість \(N\) ядер речовини через фізичні величини, дані в умові завдання ‒ масу \(m\) нукліда і його молярну масу \(M.\)

Початкова кількість \(N_0\) ядер нукліда Натрію: $$ N_0(\mathrm{Na})=\frac{m_1(\mathrm{Na})}{M(\mathrm{Na})}N_A; $$ кінцева кількість \(N\) ядер нукліда Натрію: $$ N(\mathrm{Na})=\frac{m_2(\mathrm{Na})}{M(\mathrm{Na})}N_A, $$ де \(N_A\) ‒ стала Авоґадро.

Підставмо ці вирази у формулу закону радіоактивного розпаду:

Підставмо числові дані з умови й обчислімо шуканий проміжок часу \(t:\)

Відповідь: 13.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Лінза. Оптична сила лінзи. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрахувати оптичну силу лінзи, виконавши необхідні геометричні побудови.

Оберненою до фокусної відстані лінзи фізичну величину, якою характеризують лінзу, називають оптичною силою лінзи. Оптичну силу лінзи позначають символом \(D\) й обчислюють за формулою $$ D=\frac 1F, $$ де \(F\) ‒ фокусна відстань.

Отримане зображення (див. рисунок в умові) дійсне, зменшене й перевернуте. Таке зображення могла дати лише збиральна лінза. Оптична сила збиральної лінзи є додатною. Тому формула тонкої лінзи така: $$ D=\frac 1F=\frac 1d+\frac 1f, $$ де \(d\) ‒ відстань від предмета до лінзи, \(f\) ‒ відстань від лінзи до зображення.

Отже, потрібно дізнатися місцеположення лінзи. За правилами побудови зображень у тонкій лінзі з’єднаймо точку \(A\) з її зображенням – точкою \(A_1.\) Промінь \(AA_1\) проходить без заломлення через оптичний центр лінзи.

З’єднаймо точку \(B\) з її зображенням точку \(B_1.\) Промінь \(BB_1\) є горизонтальним, теж без заломлення проходить через оптичний центр лінзи й збігається з головною оптичною віссю лінзи.

Отже, на перетині променів \(AA_1\) і \(BB_1\) лежить оптичний центр лінзи – точка \(O\) (див. рисунок).

За рисунком можна визначити відстань \(d\) від предмета до лінзи:

Визначмо відстань \(f\) від лінзи до зображення:

Обчислімо оптичну силу лінзи:

Відповідь: 6,25.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Перетворення енергії в коливальному контурі.

Завдання скеровано на перевірку розуміння перетворення енергії в коливальному контурі, уміння обчислювати необхідну фізичну характеристику електромагнітних коливань у будь-який момент часу.

Якщо на обкладках конденсатора накопичиться максимальний електричний заряд \(q_{\mathrm{max}},\) то повна енергія \(W\) коливального контуру дорівнюватиме максимальній енергії електричного поля \(W_{\text{ел}}\) між обкладками конденсатора: $$ W=W_{\text{ел}\ \mathrm{max}}=\frac{q^2_{\mathrm{max}}}{2C}, $$ де \(C\) ‒ електроємність конденсатора.

У той момент, коли конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля дорівнюватиме нулю \((W_\text{ел}=0),\) сила струму сягне максимального значення \(I_\mathrm{max},\) а повна енергія \(W\) коливального контуру дорівнюватиме максимальній енергії \(W_\text{маг}\) магнітного поля: \begin{gather*} W=W_{\text{маг.}\ \mathrm{max}}=\frac{LI^2_\mathrm{max}}{2}, \end{gather*} де \(L\) ‒ індуктивність котушки.

Повну енергію \(W\) коливального контуру в довільний момент часу \(t\) можна обчислити за формулою $$ W=W_{\text{ел}}+W_{\text{маг}}=\frac{q^2}{2C}+\frac{LI^2}{2}. $$

Виконаймо необхідні математичні перетворення, щоб визначити шукану силу струму: $$ \frac{q^2_\mathrm{max}}{2C}=\frac{LI^2_\mathrm{max}}{2}=\frac{q^2}{2C}+\frac{LI^2}{2}. $$

Помножмо всі вирази на \(2\) й поділімо на \(L:\) $$ \frac{q^2_\mathrm{max}}{LC}=I^2_\mathrm{max}=\frac{q^2}{LC}+I^2. $$

Обчислімо добуток \(LC\) в одиницях СІ:

Підставмо це значення добутку \(LC\) у формулу із шуканою величиною:

Відповідь: 4.

Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Енергія магнітного поля.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрахувати енергію магнітного поля.

Енергію \(W_\text{маг}\) магнітного поля можна обчислити за формулою $$ W_\text{маг}=\frac{LI^2}{2}, $$ де \(L\) – індуктивність котушки, \(I\) ‒ сила струму.

$$ W_\text{маг}=\frac{3\ \text{Гн}\cdot 0,5^2\ \text{А}^2}{2}=0,375\ \text{Дж}. $$

Відповідь: 0,375.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Послідовне і паралельне з’єднання провідників.

Завдання скеровано на перевірку вміння еквівалентно перетворювати схеми й розв’язувати розрахункові задачі, у яких ідеться про послідовне і паралельне з’єднання провідників.

Спочатку еквівалентно перебудуємо електричну схему з умови завдання, щоб було чітко видно, які з резисторів з’єднані паралельно, які ‒ послідовно, на яких саме резисторах вольтметром вимірюють напругу.

Вольтметр покаже суму напруг на послідовно з’єднаних резисторах 1 і 2. Визначмо їх.

Запишімо вирази для напруги \(U\) на ділянці кола: $$ U=U_1+U_{23}\ \text{або}\ U=U_1+U_4, $$ оскільки за паралельного з’єднання провідників \(U_{23}=U_4.\)

Резистори 2 та 3 з’єднано послідовно, тому $$ U_{23}=U_2+U_3. $$

Визначмо загальну силу струму на ділянці кола: $$ I=I_1=\frac{U_1}{R}\Rightarrow U_1=IR. $$

Резистор 4 приєднаний паралельно до резисторів 2 та 3. Тому струм розділиться на частини \(I_{23}\) і \(I_4\) так: загальний опір вітки з резисторами 2 та 3 вдвічі перевищуватиме опір резистора 4 (за послідовного з’єднання о́пори додають: \(R_{23}=R+R=2R,\ R_4=R;\) пам’ятаймо, що за умовою всі резистори однакові, тобто з однаковим опором).

Віткою 23 пройде струм удвічі менший за струм, який пройде через резистор 4 (із закону Ома для ділянки кола \(I=\frac UR\) сила струму обернено пропорційна опору провідника).

Запишімо, з огляду на це й закон Ома для ділянки кола, вирази для напруги на резисторах 2, 3 й 4: \begin{gather*} U_{23}=U_2+U_3=\frac 13 IR+\frac 13 IR=\frac 23 IR,\\[6pt] U_4=\frac 23 IR. \end{gather*}

Підставивши вирази для напруг на окремих резисторах у формулу для напруги на ділянці кола, маємо: $$ U=U_1+U_{23}=IR+\frac 23 IR=\frac 53 IR. $$

Розв’яжімо системи рівнянь:

Поділімо ліві і праві частини рівнянь:

Визначмо із цих відношень величини \(U_1\) і \(U_2:\) \begin{gather*} U_1=\frac{3U}{5}=\frac{3\cdot 100\ \text{В}}{5}=60\ \text{В},\\[6pt] U_2=\frac U5=\frac{100\ \text{В}}{5}=20\ \text{В}. \end{gather*}

Отже, вольтметр покаже напругу на резисторах 1 і 2: $$ U_{12}=U_1+U_2=60\ \text{В}+20\ \text{В}=80\ \text{В}. $$

Відповідь: 80.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна та його максимальне значення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння коефіцієнта корисної дії (ККД) й уміння обчислити температуру нагрівача.

Аналізуючи роботу теплових двигунів, французький інженер Саді Карно (1796–1832) 1824 р. дійшов висновку, що найефективнішим (із максимально можливим ККД \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\eta}_{\mathrm{max}}\) є так званий ідеальний тепловий двигун, який працює за циклом із двох ізотермічних і двох адіабатних процесів. Карно довів, що ККД такого двигуна можна обчислити за формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\eta}=\frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}=\left(1-\frac{T_\text{х}}{T_\text{н}}\right)\cdot 100\ \text{%}, $$ де \(T_\text{н}\) ‒ температура нагрівника; \(T_\text{х}\) ‒ температура холодильника.

Переведімо температуру холодильника в кельвіни: $$ T_\text{х}=(21+273)\ \text{К}=294\ \text{К}. $$

Обчислімо температуру нагрівача:

\begin{gather*} 30\ \text{%}=\left(1-\frac{294\ \text{К}}{T_\text{н}}\right)\cdot 100\ \text{%},\\[6pt] \frac{294\ \text{К}}{T_\text{н}}=1-0,3,\\[6pt] T_\text{н}=\frac{294\ \text{К}}{0,7}=420\ \text{К}. \end{gather*}

Відповідь: 420.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку вміння описати стан газів рівнянням Менделєєва ‒ Клапейрона й обчислити необхідну величину.

Запишімо рівняння стану для гелію \((\mathrm{He})\) і для азоту \((\mathrm{N}_2):\) \begin{gather*} p(\mathrm{He})V(\mathrm{He})=\frac{m(\mathrm{He})}{M(\mathrm{He})}RT(\mathrm{He}),\\[6pt] p(\mathrm{N}_2)V(\mathrm{N}_2)=\frac{m(\mathrm{N}_2)}{M(\mathrm{N}_2)}RT(\mathrm{N}_2), \end{gather*} де \(p\) ‒ тиск газу, \(V\) ‒ об’єм газу, \(m\) ‒ маса газу, \(M\) ‒ молярна маса газу, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(T\) ‒ температура газу.

Поршень встановиться нерухомо на певній висоті за однакового тиску на поршень зверху й знизу: $$ p(\mathrm{He})=p(\mathrm{N}_2). $$

За умовою і температура, і маса газів однакові в обох частинах посудини. Поділімо ліві і праві частини рівнянь, щоб скоротити однакові величини:

Відношення висот тих частин циліндричної посудини, які займає кожен газ, становить \(7\) до \(1.\) Одну частину висоти посудини позначмо \(x.\) Тоді \begin{gather*} h(\mathrm{He})=7x,\\[7pt] h(\mathrm{N}_2)=x;\\[7pt] h(\mathrm{He})+h(\mathrm{N}_2)=1,2\ \text{м},\\[7pt] 7x+x=1,2\ \text{м},\\[7pt] 8x=1,2\ \text{м},\\[6pt] x=\frac{1,2\ \text{м}}{8}=0,15\ \text{м}. \end{gather*}

За умовою в нижній частині посудини міститься азот, \begin{gather*} h(\mathrm{N}_2)=x=0,15\ \text{м}, \end{gather*} тож поршень встановиться на висоті \(0,15\ \text{м}.\)

Відповідь: 0,15.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сила тертя.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати сили тертя і рівнодійну сил, прикладених до тіл.

Щоб натягнути нитку, якою зв’язано бруски, треба зрушити з місця другий брусок, подолати максимальну силу тертя спокою, протилежно напрямлену до прикладеної горизонтальної сили \(\overrightarrow{F}.\) Обчислімо максимальну силу тертя спокою, яка діє на другий брусок:

Обчислімо силу натягу нитки \(T:\) \begin{gather*} T=F-F_{2\mathrm{max}\ \text{тер. спокою}}=8\ \text{Н}-6\ \text{Н}=2\ \text{Н}. \end{gather*}

Перевірімо, чи рухатиметься за таких умов перший брусок і, відповідно, уся система тіл. Для цього обчислімо максимальну силу тертя спокою, яка мала б діяти на перший брусок, якби він зрушив із місця:

Нитку натягнуто із силою \(2\ \text{Н},\) тож перший брусок залишиться на місці. Для того, щоб зрушити обидва зв’язані бруски, треба було б прикласти силу, що дорівнює сумі максимальних сил тертя спокою обох брусків, тобто \(11\ \text{Н}.\)

Відповідь: 2.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Магнітний потік. Закон електромагнітної індукції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення магнітного потоку й електрорушійної сили індукції.

1. Зміна потоку магнітної індукції (магнітного потоку) \(\text{Φ}\) дорівнює добутку зміни магнітної індукції \(B,\) площі \(S\) поверхні й косинуса кута \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) між вектором магнітної індукції і нормаллю \(n\) до поверхні, обмеженої контуром, тобто до площини, яку обмежує квадратна рамка: $$ \Delta\text{Φ}=\Delta BS\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

За умовою вектор магнітної індукції перпендикулярний до площини рамки \(\overrightarrow{B}\perp S,\) тож кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) між вектором магнітної індукції та нормаллю (перпендикуляром) до площини рамки дорівнює \(0^\circ\ (\overrightarrow{B}\ ||\ n),\ \cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\cos 0^\circ=1.\)

Обчислімо зміну магнітного потоку:

Відповідь: 0,1.

2. За законом електромагнітної індукції електрорушійна сила індукції \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_i\) дорівнює швидкості зміни магнітного потоку \(\Delta\text{Φ},\) який пронизує поверхню, обмежену контуром \((\Delta t\ ‒\ \text{проміжок часу}):\) $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_i=\left |-\frac{\Delta\text{Φ}}{\Delta t}\right |. $$

(Знак «мінус» відображає правило Ленца для визначення напрямку індукційного струму.)

Обчислімо ЕРС індукції: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_i=\frac{0,1\cdot 10^{-3}\ \text{Вб}}{2\cdot 10^{-3}\ \text{с}}=0,05\ \text{В}. $$

Відповідь: \(0,05.\)

Відповідь: 1. 0,1. 2. 0,05.