ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон Кулона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону Кулона, а також вміння шукати рівнодійну сил.

Закон Кулона: сила \(F\) взаємодії двох нерухомих точкових зарядів \(q_1\) і \(q_2\) прямо пропорційна добутку модулів цих зарядів й обернено пропорційна квадрату відстані \(r\) між ними: $$ F=k\cdot \frac{|q_1|\cdot |q_2|}{r^2}, $$ де \(k\) ‒ коефіцієнт пропорційності.

Сили, з якими взаємодіють точкові заряди, називають силами Кулона. Сили Кулона напрямлені вздовж умовної прямої, яка з’єднує точкові заряди, що взаємодіють.

З боку кульки \(2\) на кульку \(1\) діятиме сила притягання \(\overrightarrow{F}_{21}\) (різнойменні тіла притягуються), а з боку кульки \(3\) діятиме сила відштовхування \(\overrightarrow{F}_{31}\) (однойменні тіла відштовхуються). Парні сили взаємодії до вже позначених сил не позначено на рисунку, щоб його не захаращувати, але зрозуміло, що кулька \(1\) теж діє з відповідними силами на кульки \(2\) і \(3.\)

Відповідно до закону Кулона сила, що діє з боку кульки \(3\) буде меншою за модулем за силу з боку кульки \(2,\) оскільки сила взаємодії обернено залежить від квадрату відстані між кульками (це схематично зображено на рисунку): $$ F\sim\frac{1}{r^2}. $$

Тож рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) сил $$ F=F_{21}-F_{31} $$ буде напрямлена ліворуч.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Питома теплоємність речовини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичного змісту питомої теплоємності речовини.

Питома теплоємність речовини \(c\) ‒ це фізична величина, що характеризує речовину й чисельно дорівнює кількості теплоти \(Q,\) яку необхідно передати речовині масою \(m=1\ \text{кг},\) щоб нагріти її на \(\Delta T=1\ \text{K}:\) $$ c=\frac{Q}{m\Delta T}. $$

Застосуймо цю формулу для ситуації, про яку йдеться в умові завдання. Дані візьмемо з графіка умови завдання:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння термодинамічних процесів і зміни внутрішньої енергії.

Внутрішня енергія тіла змінюється зі зміною його температури: зі збільшенням температури тіла його внутрішня енергія збільшується, а зі зменшенням температури ‒ зменшується. Також внутрішня енергія змінюється зі зміною агрегатного стану речовини: під час зміни агрегатного стану речовини змінюється взаємне розташування її частинок, тобто змінюється потенціальна енергія їхньої взаємодії.

Нагрівання – це природний чи штучний фізичний процес підвищення температури. Це може відбуватися за рахунок внутрішньої енергії або підведення енергії ззовні. Під час нагрівання тіла поглинають порції теплоти, внутрішня енергія збільшується.

Плавлення ‒ це процес переходу речовини з твердого стану в рідкий. Під час плавлення температура речовини не змінюється. Уся енергія, що надходить від нагрівача, витрачається на руйнування кристалічної ґратки. У цей інтервал часу триває збільшення внутрішньої енергії речовини.

Кристалізація ‒ це процес переходу речовини з рідкого стану у твердий кристалічний. За температури кристалізації швидкість руху молекул зменшується настільки, що молекули вже не перестрибують із місця на місце. Вони поступово займають фіксовані положення, а на момент завершення кристалізації вже всі молекули коливаються у вузлах кристалічної ґратки. Внутрішня енергія речовини зменшується.

Пароутворенням називають процес переходу речовини з рідкого стану в газуватий. Пароутворення відбувається за будь-якої температури, і воно то інтенсивніше, що вища температура рідини. Крім того, під час пароутворення виконується робота проти сил міжмолекулярного притягання і проти сил зовнішнього тиску, тому процес випаровування супроводжується поглинанням енергії, внутрішня енергія речовини збільшується.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Взаємодія тіл. Маса. Сила. Третій закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння основних понять динаміки, третього закону Ньютона.

Пружним називають зіткнення, унаслідок якого сумарна кінетична енергія тіл зберігається. Отже, утрат енергії немає.

Центральним називають зіткнення, під час якого швидкості руху тіл до і після нього (пружного чи непружного) напрямлені вздовж прямої, що проходить крізь центри мас цих тіл.

Під час пружного центрального зіткнення тіла однакової маси обмінюються швидкостями.

За третім законом Ньютона кулі взаємодіятимуть із силами, що мають одну природу, напрямлені вздовж однієї прямої, рівні за модулем і протилежні за напрямком: $$ F_1=F_2. $$

Різним тілам властиво по-різному реагувати на ту саму дію. Властивість тіла, яка полягає в тому, що для зміни швидкості руху тіла під дією сили потрібен деякий час, називають інертністю.

Якщо на два тіла масами \(m_1\) і \(m_2\) діють однакові сили, то порівняти маси цих тіл можна, якщо визначити прискорення, набуті тілами в результаті дії цих сил: $$ \frac{m_1}{m_2}=\frac{a_2}{a_1}. $$

Отже, визначимо співвідношення між модулями прискорень цих куль:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Прості механізми.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння принципу дії простих механізмів.

Давнє золоте правило механіки стверджує: «У скільки разів ми виграємо в силі, у стільки ж разів програємо у відстані».

Важіль ‒ це тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі ‒ осі обертання. Лом, лопата, лінійка ‒ все це приклади важелів. Найчастіше як важіль використовують довгий стержень із закріпленою віссю обертання. За допомогою важеля можна отримати виграш у силі: так, прикладаючи досить малу силу, можна підняти порівняно важке тіло. Однак виграш у силі завжди супроводжується програшем у відстані: плече меншої сили є більшим, тому, коли людина за допомогою важеля підіймає важке тіло навіть на невелику висоту, рука долає значну відстань. І навпаки, діючи на коротке плече важеля, програє в силі, проте у стільки ж разів виграє у відстані.

Похила площина ‒ це простий механізм, за допомогою якого можна піднімати важкі предмети, прикладаючи до них відносно невелику силу. Що пологіший ухил площини, то легше виконати роботу. Для втягування тіла вгору похилою площиною потрібна значно менша сила, ніж для підняття цього самого тіла вертикально. Властивість похилої площини давати виграш у силі та змінювати напрямок дії цієї сили застосовують у конструкціях сходів, ескалаторів, конвеєрів, пандусів тощо.

Блок – це простий механізм, що має форму колеса із жолобом по ободу, через який перекинуто мотузку (канат). Розрізняють рухомий і нерухомий блоки. Нерухомий блок подібний до важеля з однаковими плечима, і тому він не дає виграшу в силі, проте дає змогу змінювати напрямок дії сили.

Рухомий блок подібний до важеля, у якого відношення плечей становить \(1:2,\) і тому він дає виграш у силі вдвічі (у \(2\) рази). Але це супроводжується програшем у відстані вдвічі (у \(2\) рази). Рухомий блок також застосовують і для отримання виграшу у відстані (виграшу у швидкості руху).

Отже, з усіх названих простих механізмів лише нерухомий блок змінює напрямок сили, не даючи виграшу в ній.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння додавання швидкостей і вміння застосовувати цей закон до будь-яких ситуацій.

Скористаймося законом додавання швидкостей:
швидкість \(\overrightarrow{v}_{12}\) руху першого човна в нерухомій системі відліку (відносно другого човна) дорівнює \(\overrightarrow{v}_{12}\) швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{1 бер}\) руху першого човна в рухомій системі відліку (відносно берега) й швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{бер 2}\) руху рухомої системи відліку відносно нерухомої (ніби берега відносно другого човна): $$ \overrightarrow{v}_{12}=\overrightarrow{v}_\text{1 бер}+\overrightarrow{v}_\text{бер 2} $$ (рух і спокій є відносними, тож в наведеному в умові прикладі як нерухому систему відліку ми вибрали систему відліку, пов’язану з другим човном. У такому разі система відліку, пов’язана з берегом, буде рухомою, а напрямок її руху буде протилежним напрямку руху першого човна).

Модуль швидкості \(\overrightarrow{v}_{12}\) руху першого човна відносно другого човна знайдемо за теоремою Піфагора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Період піврозпаду.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону піврозпаду.

Основний закон радіоактивного розпаду: $$ N=N_0\cdot 2^{-\frac tT}, $$ де \(N\) ‒ кількість ядер радіонукліда, що залишились у зразку через час \(t;\) \(N_0\) ‒ початкова кількість ядер; \(T\) ‒ період піврозпаду.

Визначімо, скільки ядер ізотопу залишилося: \begin{gather*} N=8\cdot 10^{10}\cdot 2^{-\frac{3\ \text{год}}{1\ \text{год}}},\\[6pt] N=8\cdot 10^{10}\cdot \frac 18=1\cdot 10^{10}. \end{gather*}

Можемо визначити, скільки ядер розпалося:

За умовою під час розпаду кожного з цих ядер вивільнилася енергія \(W_1=5\ \text{МеВ},\) отже, можна визначити загальну енергію \(W,\) яка виділилася протягом \(3\ \text{год}:\)

Відповідь: 56.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Електромагнітні коливання і хвилі. Формула Томсона.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і вміння застосувати формулу Томсона до різних електричних схем з різними з’єднаннями пристроїв.

Період \(T\) вільних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначаємо за формулою Томсона: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки, \(C\) ‒ електроємність конденсатора (батареї конденсаторів).

Запишімо формулу для обчислення періоду коливань, коли ключ \(K\) розімкнутий, і коли його замкнули.

Коли ключ розімкнутий, то струм проходитиме лише через конденсатор з електроємністю \(C_1\) і котушку: $$ T_1=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC_1}. $$

Коли ж ключ замкнути, то струм піде і через конденсатор з електроємністю \(C_2,\) і через конденсатор з електроємністю \(C_3.\) У цьому разі треба визначити загальну електроємність \(C_\text{заг}\) батареї конденсаторів, що з’єднані на поданій в умові схемі паралельно:

Формула для періоду коливань матиме вигляд: $$ T_2=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC_\text{заг}}. $$

Запишімо відношення періодів коливань для визначення, у скільки разів збільшився період коливань після того, як ключ замкнули:

\(T_2=3T_1\) ‒ після замикання ключа період коливань збільшився в \(3\) рази.

Відповідь: 3.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Опір провідників.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття електричний опір провідника.

Опір провідника \(R,\) який має незмінний поперечний переріз, дорівнює: $$ R=\mathbf{\rho}\frac lS, $$ де \(\mathbf{\rho}\) ‒ питомий опір речовини, з якої виготовлений провідник; \(l\) ‒ довжина провідника; \(S\) ‒ площа поперечного перерізу провідника.

Запишімо, яким був опір мідного дроту до шліфування і після нього (зауважимо, що питомий опір матеріалу, з якого виготовлений дріт, і його довжина під час цього процесу не змінилися): \begin{gather*} R_1=\mathbf{\rho}\frac{l}{S_1}=\mathbf{\rho}\frac{l}{\mathbf{\pi}\left(\frac{d_1}{2}\right)^2},\\[6pt] R_2=\mathbf{\rho}\frac{l}{S_2}=\mathbf{\rho}\frac{l}{\mathbf{\pi}\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}=\mathbf{\rho}\frac{l}{\mathbf{\pi}\left(\frac{d_1}{4}\right)^2}, \end{gather*} де \(d_1\) ‒ діаметр дроту до шліфування, \(d_2\) ‒ діаметр дроту після шліфування, а \(S_1=\mathbf{\pi}\left(\frac{d_1}{2}\right)^2\) і \(S_2=\mathbf{\pi}\left(\frac{d_2}{2}\right)^2\) ‒ формули для визначення площі поперечного перерізу дроту.

Обчислімо опір дроту після шліфування:

Відповідь: 4.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Відносна вологість повітря і її вимірювання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння понять абсолютної і відносної вологості.

Відносна вологість \(\mathbf{\varphi}\) ‒ фізична величина, яка показує, наскільки водяна пара близька до насичення, і дорівнює поданому у відсотках відношенню абсолютної вологості \(\mathbf{\rho}_\text{а}\) до густини \(\mathbf{\rho}_\text{н.п}\) насиченої водяної пари за цієї температури: $$ \mathbf{\varphi}=\frac{\mathbf{\rho}_\text{а}}{\mathbf{\rho}_\text{н.п}}\cdot 100\ \text{%}. $$

За умовою густина насиченої пари становить \(20\ \text{г/м}^3.\) Це означає, що за цієї незмінної температури в \(1\ \text{м}^3\) може міститися водяна пара масою \(20\ \text{г}.\) Закритий балон має об’єм \(0,5\ \text{м}^3,\) тож у ньому у вигляді пари може міститися водяна пара масою \(10\ \text{г}.\)

Отже, якщо в балоні залишили відкриту посудину з водою і з неї випарувалася вода лише масою \(6\ \text{г}\) (до насичення пари), то в балоні вже була водяна пара масою \(4\ \text{г}:\) \begin{gather*} 10\ \text{г}-6\ \text{г}=4\ \text{г}. \end{gather*}

Тоді можемо сказати, що початкова абсолютна вологість у балоні становила \(8\ \text{г/м}^3,\) адже абсолютна вологість \(\mathbf{\rho}_\text{а}\) ‒ це фізична величина, яка характеризує вміст водяної пари в повітрі й чисельно дорівнює масі водяної пари, що міститься в повітрі об’ємом \(1\ \text{м}^3.\)

Обчислимо початкову відносну вологість повітря в балоні:

Відповідь: 40.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати знання з різних розділів механіки ‒ руху тіла по колу, другого закону Ньютона й закону збереження механічної енергії.

У нижній точці в положенні рівноваги кульці надають мінімально необхідну швидкість (тобто кулька має кінетичну енергію \(E_{k min}\)), щоб кулька змогла зробити повний оберт у вертикальній площині. Це означає, що кулька підніметься на висоту двох радіусів \(2R\) від початкового положення (тобто володітиме потенціальною енергією \(E_p\)). А також коли вона підніметься у верхню точку, у неї повинна бути певна швидкість, необхідна їй для того, щоб не впасти вертикально вниз, а зробити оберт (тобто у верхній точці у кульки також буде певна кінетична енергія \(E_k\)).

Запишімо закон збереження механічної енергії для кульки на нитці:

\begin{gather*} E_{k min}=E_p+E_k,\\[6pt] \frac{mv^2_{min}}{2}=mg2R+\frac{mv^2}{2},\\[6pt] \frac{mv^2_{min}}{2}=g2R+\frac{v^2}{2},\\[6pt] v^2_{min}=4gR+v^2. \end{gather*}

Оскільки кулька рухається по колу, то модуль швидкості руху кульки у верхній точці можна визначити за формулою $$a_\text{д}=\frac{v^2}{R},$$ де \(a_\text{д}\) ‒ модуль доцентрового прискорення.

Отже,

\begin{gather*} v^2=a_\text{д}R. \end{gather*}

За другим законом Ньютона $$mg=ma_\text{д}\Rightarrow g=a_\text{д}.$$ Тоді \begin{gather*} v^2=a_\text{д}R=gR. \end{gather*}

Визначимо мінімально необхідну швидкість руху кульки:

\begin{gather*} v^2_{min}=4gR+v^2=4gR+gR=5gR,\\[7pt] v_{min}=\sqrt{5gR},\\[7pt] v_{min}=\sqrt{5\cdot 10\ \text{м/с}^2\cdot 0,5\ \text{м}}=5\ \text{м/с}. \end{gather*}

Відповідь: 5.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіла під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати рівнодійну всіх сил, що діють на тіло під час руху.

На аеростат і під час опускання, і під час підйому діятимуть дві сили ‒ сила тяжіння і сила Архімеда (за умовою опором повітря можна знехтувати). Зобразимо ці сили на рисунках ‒ спочатку опускання, а потім, після скидання баласту, підйому.

Запишімо другий закон Ньютона у векторній формі і в проєкціях на вісь \(Oy\) для опускання:

\begin{gather*} M\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}_\text{т опускання}+\overrightarrow{F}_A,\\[7pt] Ma=Mg-F_A, \end{gather*} де \(M\) ‒ маса аеростата, \(a\) ‒ прискорення, з яким опускається аеростат, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(F_A\) ‒ сила Архімеда.

Запишімо другий закон Ньютона у векторній формі і в проєкціях на вісь \(Oy\) для піднімання:

\begin{gather*} (M-m)\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}_\text{т опускання}+\overrightarrow{F}_A,\\[7pt] (M-m)a=-(M-m)g+F_A, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса баласту.

Модуль сили Архімеда залишиться сталим після скидання баласту, тому що об᾽єм \(V\) аеростата під час цього не змінюється: $$F_a=\mathbf{\rho}_\text{повітря}gV=\mathrm{const}.$$

Тож виразімо силу Архімеда в обох ситуаціях і прирівняємо її, так зможемо визначити масу баласту:

розкриємо дужки й виразімо \(m:\)

\begin{gather*} Mg-Ma=Ma+Mg-ma-mg,\\[7pt] m(g+a)=2Ma,\\[6pt] m=\frac{2Ma}{g+a},\\[6pt] m=\frac{2\cdot 250\ \text{кг}\cdot 0,2\ \text{м/с}^2}{9,8\ \text{м/с}^2+0,2\ \text{м/с}^2}=10\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: 10.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння особливостей протікання електричного струму в різних середовищах.

1. Електричний струм у розчинах і розплавах електролітів є напрямленим рухом вільних йонів.

Під час проходження електричного струму через електроліт відбувається перенесення хімічних складників електроліту, вони виділяються на електродах − осідають твердим шаром або виділяються в газуватому стані – відбувається електроліз (1 − В).

2. Напівпровідники за своєю провідністю посідають проміжне місце між провідниками і діелектриками.

Якщо напівпровідник нагріти або опромінити світлом, кількість вільних електронів і дірок збільшиться, відповідно збільшиться і провідність напівпровідника, а питомий опір більшості напівпровідників зменшиться зі збільшенням освітленості (2 − А).

3. Опір металевого провідника залежить не тільки від його геометричних розмірів і речовини, з якої він виготовлений, а й від температури.

Зі зниженням температури хаотичність теплового руху електронів зменшується, амплітуда коливань йонів у вузлах кристалічної ґратки, з якими зіштовхувалися електрони, теж зменшується, а отже, зростає провідність, а опір зменшується.

За температур, близьких до абсолютного нуля, питомий опір стрибком падає до нуля. Це явище назвали надпровідністю (3 ‒ Б).

4. Гази складаються з електрично нейтральних атомів і молекул і за звичайних умов майже не містять вільних носіїв струму, тобто є діелектриками.

А от якщо якось змусити електрон залишити атом, то в газі утворяться позитивні йони й вільні електрони; деякі електрони також можуть приєднатися до нейтральних молекул і атомів ‒ утворяться негативні йони. Цей процес утворення йонів і вільних електронів називають йонізацією. Зокрема, є термічна йонізація, коли енергія, необхідна для йонізації, виділяється під час непружного зіткнення молекул, які за високої температури газу мають велику швидкість (4 ‒ Г)

Відповідь: 1В, 2А, 3Б, 4Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку вміння і розуміння, як знаходити напрямок швидкості руху тіла і напрямок прискорення тіл під час різних видів руху.

Напрямок руху тіла визначений напрямком швидкості руху тіла. А напрямок прискорення збігається з напрямком рівнодійної всіх сил, що діють на тіло.

1) Розгляньмо рух снаряда перед падінням на землю. На рисунку зображена відповідна частина траєкторії. Як бачимо, вектор швидкості \(\overrightarrow{v}\) напрямлений по дотичній до вітки параболи. А прискорення \(\overrightarrow{g}\) вільного падіння під час руху снаряда по параболі буде напрямлене завжди вертикально вниз.

Отже, прискорення напрямлене під гострим кутом до напрямку швидкості руху (див. рисунок) ‒ варіант відповіді Г.

2) Кінець годинникової стрілки рухається по колу. Швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху в кожній точці кола напрямлена по дотичній до кола. А доцентрове прискорення \(\overrightarrow{a}_\text{д}\) спрямоване до центра кола (див. рисунок).

Отже, у цьому разі доцентрове прискорення буде напрямлене під прямим кутом до напрямку швидкості руху ‒ варіант відповіді Д.

3) Напрямок рівнодійної \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на снаряд, який рухається всередині ствола гармати під час пострілу, а отже й напрямок прискорення \(\overrightarrow{a},\) збігається з напрямком швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху снаряда. Отже, кут між напрямком руху снаряда й напрямком прискорення становитиме нуль, тобто прискорення напрямлене в напрямку швидкості руху ‒ варіант відповіді В.

4) Після вимикання двигуна катер продовжить рухатися в попередньому напрямку і так само буде напрямлений вектор швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху катера. Але рівнодійна всіх сил, що діють на катер, діятиме протилежно до напрямку руху катера. Відповідно й прискорення \(\overrightarrow{a}\) матиме такий самий напрямок, як і рівнодійна сил. Рух катера сповільнюватиметься.

Отже, прискорення буде напрямлене протилежно до напрямку швидкості руху – варіант відповіді А.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3В, 4А.