ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Формула Томсона.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формули для визначення довжини хвилі й періоду коливань коливального контуру.

Довжину \(\mathbf{\lambda}\) радіохвилі визначімо за формулою $$ \mathbf{\lambda}=c\cdot T, $$ де \(c\) ‒ швидкість поширення світла у вакуумі (також швидкість поширення всіх електромагнітних хвиль, якими є радіохвилі), \(T\) ‒ період поширення хвилі.

Період поширення електромагнітної хвилі визначімо за формулою Томсона: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки коливального контуру, що є джерелом електромагнітних хвиль, \(C\) ‒ електроємність конденсатора, що також є складником коливального контуру.

Запишімо формули для обчислення обох зазначених в умові довжин радіохвиль:

Поділімо ліві і праві частини цих формул і визначімо шукану величину:

Отже, електроємність конденсатора \(C_2\) треба збільшити в \(9\) разів, щоб налаштувати радіоприймач на довжину хвилі, утричі більшу за початкову.

Відповідь: B.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Нитяний маятник, період коливань нитяного маятника.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формули періоду коливань нитяного маятника, розуміння того, від яких фізичних величин залежить період коливань цього маятника.

Маленька мавпочка на довгій, нерозтяжній і невагомій ліані є фізичною моделлю нитяного маятника.

Період \(T_1\) коливань нитяного маятника, коли мавпочка гойдалася на ліані довжиною \(L,\) обчислімо за формулою: $$ T_1=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac Lg}, $$ де \(L\) ‒ довжина маятника; \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Коли ж мавпочка піднялася по ліані вгору на відстань \(l,\) то період коливань \(T_2\) змінився: \begin{gather*} T_2=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac {L-l}{g}}, \end{gather*} а саме зменшився пропорційно до \(\sqrt{L-l}:\) $$ T_2\sim\sqrt{L-l}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дії магнітного поля на рух зарядженої частинки в магнітному полі.

Сила Лоренца завжди перпендикулярна до швидкості руху частинки, тому вона не виконує роботу і не змінює кінетичну енергію частинки, бо під дією сили Лоренца заряджена частинка рухається рівномірно. Проте траєкторія руху частинки буде різною ‒ залежно від того, під яким кутом частинка влетіла в магнітне поле і чи є магнітне поле однорідним.

За умовою електрон влітає в однорідне магнітне поле зі швидкістю, паралельною до вектора магнітної індукції (див. рисунок).

У цьому разі кут \(\mathbf{\alpha}\) між вектором швидкості \(\overrightarrow{v}\) і вектором магнітної індукції \(\overrightarrow{B}\) дорівнює нулю \((\text{або}\ 180^\circ).\) Оскільки \(\sin\mathbf{\alpha}=0,\) то дорівнює нулю і сила Лоренца: $$ F_\text{Л}=|q|Bv\sin\mathbf{\alpha}=0. $$

Отже, магнітне поле не діє на електрон, тому, якщо немає інших сил, електрон рухатиметься рівномірно прямолінійно вздовж ліній магнітної індукції і траєкторією руху електрона буде пряма лінія.

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичної природи електричного струму в різних середовищах, а також залежності сили струму від температури.

Згідно з класичною електронною теорією модель внутрішньої будови металу – це утворена позитивно зарядженими йонами кристалічна ґратка, яка перебуває в «газі» вільних електронів. Якщо в металевому провіднику створити електричне поле, то на хаотичний рух електронів накладеться дрейф електронів у напрямку сили, що діє на електрони з боку електричного поля. Цей дрейф електронів і є електричним струмом у металах. Якщо підвищувати температуру металевого провідника, то йони у вузлах кристалічної ґратки коливатимуться з більшою амплітудою, хаотичність руху електронів збільшиться, і вони частіше зіштовхуватимуться з йонами. Відповідно опір (питомий опір) збільшуватиметься (див. графік), а сила струму зменшуватиметься за законом Ома для ділянки кола: $$ I=\frac UR, $$ де \(I\sim \frac 1R\) ‒ сила струму \(I,\) що обернено пропорційна до електричного опору \(R.\)

Електроліти ‒ тверді або рідкі речовини, які мають йонну провідність. Якщо в розчин або розплав помістити електроди, приєднані до різнойменних полюсів джерела струму, то, подібно до вільних електронів у металах, йони дрейфуватимуть у певному напрямку: позитивні йони (катіони) ‒ до негативного електрода (катода); негативні йони (аніони) ‒ до позитивного електрода (анода). Тобто в розчині виникне електричний струм. З підвищенням температури кількість йонів в електроліті значно збільшується, тому, незважаючи на збільшення кількості ефективних зіткнень, опір електроліту зменшується (див. графік), відповідно сила струму збільшується.

Напівпровідники, як це випливає з їхньої назви, за своєю провідністю посідають проміжне місце між провідниками й діелектриками. Серед валентних електронів обов’язково є електрони, кінетична енергія яких є достатньою, щоб покинути зв’язки і стати вільними. Якщо напівпровідниковий кристал помістити в електричне поле, то вільні електрони почнуть рухатися до позитивного полюса джерела струму й у напівпровіднику виникне електричний струм. Якщо напівпровідник нагріти або опромінити світлом, кількість вільних електронів і дірок збільшиться, відповідно збільшиться і провідність напівпровідника. На відміну від металевих провідників питомий опір напівпровідників зазвичай зменшується з підвищенням температури (див. графік), а отже, сила струму збільшується.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування закону Ома для повного кола.

Скористаймося законом Ома для повного кола: сила струму \(I\) в повному електричному колі дорівнює відношенню електрорушійної сили \(\mathbf{\varepsilon}\) (ЕРС) джерела струму до повного опору кола \((R+r):\) $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}, $$ де \(R\) ‒ активний опір зовнішнього кола (опір резистора), \(r\) ‒ внутрішній опір джерела.

Виразімо з формули шукану величину й обчислімо її:

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Конденсатори.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння залежності між зарядом конденсатора й напругою на його обкладках.

Зарядом конденсатора називають модуль заряду однієї з його обкладок. Відношення заряду q конденсатора до різниці потенціалів \((\mathbf{\varphi_1}-\mathbf{\varphi_2})\) між його обкладками не залежить ані від \(q,\) ані від \((\mathbf{\varphi_1}-\mathbf{\varphi_2}),\) тож може слугувати характеристикою конденсатора. Таку характеристику називають електроємністю конденсатора \(C.\)

Електроємність конденсатора визначають за формулами: \begin{gather*} C=\frac{q}{\mathbf{\varphi_1}-\mathbf{\varphi_2}},\\[6pt] \text{або}\ C=\frac{q}{U}, \end{gather*} де \(U\) ‒ напруга між обкладками, яка тут дорівнює різниці потенціалів між ними.

Отже, заряд конденсатора прямо пропорційний напрузі, прикладеній до його пластин: $$ q=C\cdot U\Rightarrow q\sim U. $$

Графіком такої залежності є пряма ‒ графік А.

Наприклад, під час розряджання конденсатора напруга між його обкладками спадатиме прямо пропорційно заряду \(q\) від первинного значення \(U\) до \(0.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон збереження електричного заряду.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон збереження електричного заряду.

Закон збереження електричного заряду: повний заряд електрично замкненої системи тіл залишається незмінним під час усіх взаємодій, які відбуваються в цій системі: $$ q_1+q_2+\cdots +q_n=\mathrm{const}, $$ де \(q_1,\ q_2,\ \cdots ,\ q_n\) ‒ заряди тіл, які утворюють систему; \(n\) ‒ кількість тіл.

За умовою \begin{gather*} q_1=-q.\\[7pt] q_2=+3q, \end{gather*} Отже, після дотику заряд перерозподілиться порівну між кульками, і заряд кульки \(1\) дорівнюватиме заряду кульки \(2:\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Сила поверхневого натягу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття поверхневого натягу й чинників, які на нього впливають.

Сили поверхневого натягу намагаються ніби стягнути поверхню. Якщо по один бік від соломинки налили мильного розчину, то цим послабили силу поверхневого натягу, як порівняти із чистою водою. Отже, рівнодійна \(F\) дорівнюватиме різниці сил поверхневого натягу чистої води \(F_\text{пн води}\) і мильного розчину \(F_\text{пн розчину}\). І напрямлена буде в бік чистої води:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Закон збереження енергії в теплових процесах (перший закон термодинаміки).

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння першого закону термодинаміки й уміння застосовувати його в конкретних ситуаціях.

У термодинаміці розглядають системи, механічна енергія яких під час переходу з одного термодинамічного стану в інший не змінюється. У такому разі, якщо зовнішні сили виконали роботу \(A'\) й водночас системі передано певну кількість теплоти \(Q,\) то вся енергія йде на зміну внутрішньої енергії системи \(\Delta U.\)

Закон збереження та перетворення енергії в такому разі називають першим законом (началом) термодинаміки.

На практиці частіше розглядають не роботу зовнішніх сил \(A',\) а роботу \(A,\) яку виконує дана система проти зовнішніх сил.

З огляду на те, що $$ A'=-A, $$ перший закон (начало) термодинаміки можна сформулювати так:
кількість теплоти \(Q,\) передана системі, йде на зміну внутрішньої енергії системи \(\Delta U\) та на виконання системою роботи \(A\) проти зовнішніх сил: $$ Q=\Delta U+A. $$

Якщо система одержує певну кількість теплоти, то в наведеній формулі \(Q\) беремо зі знаком + (плюс), якщо внутрішня енергія системи зменшилася, то записуємо \(\Delta U\) зі знаком – (мінус): $$ Q=-\Delta U+A. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Середня квадратична швидкість теплового руху молекул.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття середньої квадратичної швидкості руху молекул.

Запишімо основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії, яке показує залежність тиску \(p\) ідеального газу від маси \(m_0\) його молекул і середнього квадрата швидкості \(\overline{v^2}\) їхнього руху: $$ p=\frac 13m_0n\overline{v^2}. $$

Зауважмо, що \(m_0\) ‒ це маса однієї молекули, а \(n\) ‒ це концентрація молекул газу, що дорівнює кількості \(N\) молекул в одиниці об’єму \(V:\) $$ n=\frac NV. $$

Отже, \begin{gather*} p=\frac 13m_0\cdot \frac NV\cdot \overline{v^2}=\frac{m\cdot \overline{v^2}}{3V}, \end{gather*} де \(m=m_0\cdot N\) ‒ маса газу.

Середня квадратична швидкість пов’язана із середнім квадратом швидкості таким співвідношенням: \begin{gather*} \overline{v}_\text{кв}=\sqrt{\overline{v^2}}. \end{gather*}

Звідси \begin{gather*} \overline{v^2}=(\overline{v}_\text{кв})^2. \end{gather*}

Підставімо цей вираз для середнього квадрату швидкості в основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії і визначімо середню квадратичну швидкість:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин та газів. Гідростатичний тиск. Атмосферний тиск.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння атмосферного і гідростатичного тисків та їхніх властивостей.

На повітря під ртуттю тисне повітря (позначмо цей тиск як \(p_\text{атм}\)), що заходить через відкритий верхній кінець, і стовпчик ртуті, гідростатичний тиск якого позначмо \(p_\text{гідр1}.\) Тиск повітря під ртуттю позначмо \(p_\text{п1}.\) Прирівняймо ці тиски: $$ p_\text{п1}=p_\text{атм}+p_\text{гідр1}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_1, $$ де \(\mathbf{\rho}\) ‒ густина ртуті, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(h_1\) ‒ висота стовпчика ртуті.

Повітря під ртуттю за умовою має надлишковий тиск \(p_\text{надл}.\) Можемо зробити висновок, що надлишковий тиск повітря під ртуттю дорівнюватиме гідростатичному тиску стовпчика ртуті: $$ p_\text{надл}=p_\text{гідр1}. $$

Обчислімо тиск повітря під ртуттю: $$ p_\text{п1}=1\ \text{атм}+0,2\ \text{атм}=1,2\ \text{атм}. $$

Коли ж нахилити трубку, зміниться гідростатичний тиск ртуті, який залежить від висоти (див. рисунок) стовпчика рідини в посудині: $$ p_\text{гідр2}=\mathbf{\rho}gh_2=\mathbf{\rho}gh_1\cos 60^\circ. $$

Тоді тиск повітря під стовпчиком ртуті дорівнюватиме:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння застосовувати закон збереження імпульсу.

Скористаймося законом збереження імпульсу для системи тіл криголам ‒крижина: $$ \overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_2=\overrightarrow{p'}_1+\overrightarrow{p'}_2, $$ де \(\overrightarrow{p}_1\) і \(\overrightarrow{p}_2\) ‒ імпульси криголама і крижини до зіткнення, \(\overrightarrow{p'}_1\) і \(\overrightarrow{p'}_2\) ‒ імпульси криголама і крижини після зіткнення відповідно.

Спроєктуймо вектори імпульсів цього рівняння на горизонтальну вісь, що напрямлена вздовж напрямку руху криголама й, відповідно, руху криголама разом із крижиною після зіткнення: $$ p_1=p'_1+p'_2, $$ \(p_2=0,\) оскільки до зіткнення крижина була нерухома за умовою.

Візьмімо до уваги, що після зіткнення криголам масою \(m_1\) і крижина масою \(m_2\) рухатимуться разом, тобто з однаковою швидкістю \(v':\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку другого закону Ньютона.

Відповідно до другого закону Ньютона тіло масою \(m\) внаслідок дії сили набуває прискорення, модуль якого обчислімо за формулою:

Отже, під дією сили тіло буде рухатися рівноприскорено, із прискоренням \(2\ \text{м/с}^2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик рівномірного руху по колу.

За періодом \(T\) обертання та радіусом \(R\) колової траєкторії легко визначити лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу. Дійсно, за час \(t\) одного оберту \((t=T)\) тіло долає відстань, що дорівнює довжині кола \(l\): $$ l=2\mathbf{\pi}R. $$

Оскільки \(v=\frac <,\) маємо: $$ v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}. $$

Запишімо відповідні формули для визначення лінійних швидкостей стрілок годинника:

За умовою хвилинна стрілка вдвічі довша за годинну. Оскільки йдеться про рух кінців цих стрілок, то довжини стрілок – це радіуси обертання кінців стрілок – хвилинної \(R_\text{хв}\) і годинної \(R_\text{год}:\) $$ R_\text{хв}=2R_\text{год}. $$

Тоді період обертання хвилинної стрілки становитиме \(1\) годину: $$ T_\text{хв}=60\ \text{хв}=1\ \text{год}. $$

А період обертання годинної стрілки – \(12\) годин: $$ T_\text{год}=12\ \text{год}. $$

Запишімо відношення лінійних швидкостей стрілок годинника і обчислімо його:

Отже, лінійна швидкість хвилинної стрілки \(v_\text{хв}\) більша за лінійну швидкість годинної стрілки \(v_\text{год}\) у \(24\) рази.

Відповідь: Г.