Механіка – Механіка

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон збереження механічної енергії під час розв’язування задач про рух тіла під дією кількох сил.

Якщо тілу надати певної швидкості, то воно матиме кінетичну енергію \(E_\mathrm{k}.\) Цієї енергії повинно вистачити, щоб тіло змогло піднятися вздовж похилої площини (кінетична енергія перейде в потенціальну енергію \(E_\mathrm{p}\)), долаючи під час цього силу тертя ковзання. Запишімо закон збереження механічної енергії для руху: $$ E_\mathrm{k}-A=E_\mathrm{p}, $$ де \(A\) ‒ робота сили тертя ковзання, яка є від’ємною, тому що напрямок сили тертя ковзання протилежний до напрямку руху тіла. Робота сили тертя ковзання дорівнює добутку модуля сили тертя ковзання \(F_\text{тер ковз}\) і модуля переміщення \(l\) (де \(l\) ‒ довжина дошки): $$ A=F_\text{тер ковз}\cdot l=\mathbf{\mu}N\cdot l=\mathbf{\mu}mg\cos\mathbf{\alpha}\cdot l, $$ де \(\mathbf{\mu}\) ‒ коефіцієнт тертя, \(N\) ‒ модуль сили нормальної реакції опори, \(m\) ‒ маса тіла, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут нахилу похилої площини (під час руху похилою площиною сила нормальної реакції опори дорівнює проєкції сили тяжіння на вісь \(Oy\)). Щоб унаочнити умову завдання і дібрати спосіб розв’язання, скористаймося схематичним рисунком.

Отже,

Відповідь: 6.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закон всесвітнього тяжіння. Сила тяжіння. Рух штучних супутників. Перша космічна швидкість.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і застосування закону всесвітнього тяжіння, а також розуміння руху штучних супутників.

1. Для того, щоб об’єкт рухався біля планети коловою орбітою, йому необхідно надати швидкість, яку називають першою космічною швидкістю.

Візьмемо до уваги, що саме сила тяжіння \(F_\text{тяж}\) надає тілу масою \(m\) доцентрового прискорення \(a_\text{доц}\) (див. рисунок).

За другим законом Ньютона \(F_\text{тяж}=ma_\text{доц,}\) де за законом всесвітнього тяжіння $$ F_\text{тяж}=G\frac{mM}{(R + h)^2}, $$ отже, $$ a_\text{доц}=\frac{GM}{(R + h)^2} $$ (\(G\) ‒ гравітаційна стала, \(M\) ‒ маса планети, \(R\) ‒ радіус планети, \(h\) ‒ висота над поверхнею планети). Позначмо буквою \(r\) відстань від центра планети до супутника \((R+h)\) і запишімо формули для визначення доцентрового прискорення обох супутників: \begin{gather*} a_{1\text{доц}}=\frac{GM}{r^2_1},\\[6pt] a_{2\text{доц}}=\frac{GM}{r^2_2}. \end{gather*}

Обчислімо, у скільки разів прискорення руху першого супутника більше за прискорення руху другого супутника, урахувавши співвідношення їхніх радіусів: $$ \frac{a_{1\text{доц}}}{a_{2\text{доц}}}=\frac{GM}{r_1^2}:\frac{GM}{r^2_2}=\frac{GM\cdot 16r^2_1}{r^2_1\cdot GM}=16. $$

Отже, \(a_\text{1доц}\gt a_\text{2доц}\) у \(16\) разів.
Відповідь: 16.

2. Формули для обчислення перших космічних швидкостей руху супутників виведемо з формул для їхніх доцентрових прискорень: \begin{gather*} a_\text{1доц}=\frac{v^2_1}{r_1}\Rightarrow v^2_1=a_\text{1доц}\cdot r_1,\\[6pt] a_\text{2доц}=\frac{v^2_2}{r_2}\Rightarrow v^2_2=a_\text{2доц}\cdot r_2. \end{gather*}

Обчислімо, у скільки разів швидкість \(v_1\) руху першого супутника більша за швидкість \(v_2\) руху другого супутника:

Отже, \(v_1\gt v_2\) у \(2\) рази.
Відповідь: 2.

Відповідь: 1. 16. 2. 2.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати напрямок рівнодійної сил і напрямок швидкості руху тіл під час різних видів руху.

Розгляньмо приклад A. Коли автобус гальмує, то рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на автобус, буде напрямлена протилежно до напрямку руху, тобто до напрямку швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху автобуса (див. рисунок). Отже, ситуації А відповідає опис 1 рівнодійної сил.

Коли футбольний м’яч, спрямований воротарем на іншу половину футбольного поля, піднімається, то рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на м’яч, напрямлена вертикально вниз, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху м’яча ‒ по дотичній до траєкторії руху м’яча вгору, тож кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) – тупий. Отже, жоден опис 1–4 не відповідає прикладу Б.

Напрямок рівнодійної \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на снаряд, який рухається всередині ствола гармати під час пострілу, збігається з напрямком швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху снаряда. Отже, прикладу B відповідає опис 2 рівнодійної сил.

Коли електрон улітає в магнітне поле під певним кутом до ліній магнітної індукції, то траєкторією його руху є гвинтова лінія. Рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) сил, що діють на електрон, буде напрямлена до центру витків гвинтової лінії, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху електрона ‒ по дотичній до траєкторії руху, тому кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) прямий. Отже, Прикладу Г відповідає опис 3 рівнодійної сил.

У прикладі з падінням камінця, кинутого під кутом до горизонту, рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на камінець, напрямлена вертикально вниз, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху камінця ‒ по дотичній до його траєкторії руху вниз. Тобто кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) гострий. Прикладу Д відповідає опис 4 рівнодійної сил.

Відповідь: 1А, 2В, 3Г, 4Д.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин та газів. Тиск. Закон Паскаля для рідин та газів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу роботи гідравлічного преса.

Гідравлічний прес ‒ це найпростіша гідравлічна машина, яку використовують для створення великих сил тиску (див. рисунок).

Якщо до поршня меншого циліндра прикласти силу \(\overrightarrow{F}_1,\) то ця сила чинитиме на поверхню рідини певний додатковий тиск \(p:\) $$ p=\frac{F_1}{S_1}, $$ де \(S_1\) ‒ площа меншого поршня.

За законом Паскаля цей тиск передаватиметься в усі точки рідини, якою заповнені сполучені циліндри. Тож рідина почне тиснути з певною силою \(\overrightarrow{F}_2\) на поршень більшого циліндра: $$ F_2=p\cdot S_2, $$ де \(S_2\) ‒ площа більшого поршня; \(p\) ‒ додатковий тиск.

Отже, сила, що діє з боку рідини на великий поршень, більша від сили, що діє на малий поршень, у стільки разів, у скільки разів площа великого поршня більша за площу малого: $$ \frac{F_2}{F_1}=\frac{S_2}{S_1}, $$ де \(\frac{F_2}{F_1}\) ‒ це виграш у силі.

Використанням гідравлічного преса забезпечено виграш у силі й, водночас, програш у відстані та, відповідно, швидкості. Час опускання меншого поршня такий самий, як і час піднімання більшого поршня. А відстань \(h_1,\) яку проходить менший поршень, більша за відстань \(h_2,\) яку долає більший поршень (див. рисунок). Тоді менший поршень мусить рухатися з більшою швидкістю \(v_1,\) щоб за той самий час подолати більшу відстань:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Кінетична і потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння графіків функціональної залежності фізичних величин, що ними описано прямолінійний рівноприскорений рух.

Кінетична енергія \(E_\text{к}\) ‒ це фізична величина, яка є характеристикою механічного стану рухомого тіла й дорівнює половині добутку маси \(m\) тіла на квадрат швидкості \(v\) його руху: $$ E_\text{к}=\frac{mv^2}{2}. $$

Отже, кінетична енергія пропорційна квадрату швидкості \(E_\text{к}\sim v^2.\) Рух тіла, кинутого вертикально вгору, є рівноприскореним, тому швидкість руху визначмо за відповідним кінематичним рівнянням (у проєкціях на вертикальну, напрямлену вгору вісь \(Oy\)): $$ v=v_0->. $$

З рівняння випливає, що швидкість руху тіла прямо пропорційна часу: $$ v\sim t, $$ відповідно квадрат швидкості пропорційний квадрату часу: $$ v^2\sim t^2. $$

Тож і кінетична енергія пропорційна квадрату часу: $$ E_\text{к}\sim t^2. $$

Графіком залежності кінетичної енергії від часу (квадратичної функції) є парабола. З огляду на це варіанти відповіді А і Г неправильні.

Оскільки тіло піднімається, то кінетична енергія зменшуватиметься, тіло сповільнюватиметься, а потенціальна енергія зростатиме. Такому рухові відповідатиме парабола, вітки якої напрямлені вгору: із плином часу кінетична енергія зменшуватиметься до нуля у максимальній точці підняття, а коли тіло почне падати, кінетична енергія почне зростати до початкового значення, оскільки за умовою опором повітря нехтуємо, утрат механічної енергії немає.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу рівномірного й рівноприскореного рухів.

Завдання скеровано на перевірку вміння читати графіки й описувати їх кінематичними рівняннями.

Оскільки графіками залежності координати \(x\) від часу \(t\) є ділянки прямих, то за характером руху та за формою траєкторії це рівномірний прямолінійний рух. Для рівномірного прямолінійного руху рівняння координати таке: $$ x=x_0+v_\mathrm{x}t, $$ де \(x_0\) ‒ початкова координата, \(v_\mathrm{x}\) ‒ проєкція швидкості на горизонтальну вісь, уздовж якої рухається тіло.

Розгляньмо кожен момент часу, коли змінюються графіки.

Запишімо рівняння координати для ділянок від \(0\) до \(1,5\ \text{с}\) кожного графіка, скорочено позначивши дані щодо кольору графіків: чорний ‒ «ч» і сірий ‒ «с» відповідно:

Отже, у момент часу \(1\) с швидкості руху тіл різні.

Розгляньмо ділянки від \(1,5\) до \(2,5\ \text{с}\) обох графіків і запишімо рівняння координати для цих ділянок:

Отже, у момент часу \(2\ \text{с}\) швидкості руху обох тіл однакові \(v_{2\text{ч}}=v_{2\text{с}}.\) Знак «мінус» указує на те, що тіла рухались у напрямку, протилежному до напрямку вибраної горизонтальної осі.

Розгляньмо ділянки від \(2,5\ \text{с}\) обох графіків і запишімо рівняння координати для цих ділянок:

Отже, у моменти часу \(3\ \text{с}\) і \(4\ \text{с}\) швидкості руху тіл різні.

Можна, не обчислюючи значення швидкості для кожного моменту часу, визначити, які ділянки графіків відповідатимуть однаковим швидкостям.

Рівняння координати \(x=x_0+v_\mathrm{x}t\) відповідає лінійній математичній функції \(y=b+kx\) (рис. 1). Коефіцієнт \(k\) називають кутовим коефіцієнтом цієї функції.

Рис. 1. Графік лінійної функції, яка зростає

Від коефіцієнта \(k\) залежить кут, який побудована пряма утворює з додатним напрямком осі \(Ox.\) На рисунку 2 показано паралельні прямі з однаковим кутовим коефіцієнтом \(k.\)

Рис. 2. Прямі з однаковим кутовим коефіцієнтом \(k\)

Отже, використавши геометричний зміст графіків, наведених в умові, можна без обчислень дійти висновку, що швидкості руху будуть однакові, якщо ділянки графіків нахилені під однаковим кутом до осі \(Ox,\) тобто паралельні між собою. Це відповідає моменту часу \(2\ \text{с}.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати другий закон Ньютона.

Другий закон Ньютона: прискорення \(\overrightarrow{a},\) якого набуває тіло внаслідок дії сили \(\overrightarrow{F},\) прямо пропорційне цій силі та обернено пропорційне масі \(m\) тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}. $$

Виразімо з формули шукану величину масу й запишімо її у проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox,\) уздовж якої рухається тіло: $$ m=\frac Fa. $$

Визначмо прискорення як відношення зміни швидкості руху тіла до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася (теж у проєкціях на вісь \(Ox\)): $$ a=\frac{v-v_0}{t}, $$ де \(v_0\) ‒ початкова швидкість руху тіла в момент початку відліку часу, \(v\) ‒ швидкість руху тіла через деякий інтервал часу \(t.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Система відліку.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття «система відліку» і розуміння відносності механічного руху.

Механічний рух ‒ зміна із часом положення тіла (або частин тіла) у просторі відносно інших тіл. Доки не вибрано систему відліку, неможливо стверджувати, рухається тіло чи перебуває в стані спокою.

Якщо людина підніматиметься по ескалатору зі швидкістю \(2,5\ \text{м/с,}\) то, за законом додавання швидкостей, вона рухатиметься відносно Землі з подвійною швидкістю \(5\ \text{м/с.}\)

Якщо людина стоятиме на ескалаторі, то відносно Землі вона рухатиметься з тією самою швидкістю, що й ескалатор, тобто \(2,5\ \text{м/с.}\)

Якщо ж людина спускатиметься по ескалатору з такою самою швидкістю, із якою він піднімається, то відносно ескалатора людина рухатиметься зі швидкістю \(2,5\ \text{м/с,}\) а відносно системи відліку, пов’язаної із Землею, людина не змінюватиме своє положення із часом, тобто перебуватиме в стані спокою.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна і його максимальне значення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу дії теплових двигунів і вміння визначати різними способами коефіцієнт корисної дії та фізичні величини, які на нього впливають.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) \(\mathbf{\eta}\) ‒ фізична величина, якою характеризують економічність теплового двигуна. Він дорівнює відношенню корисної роботи \(A,\) виконуваної двигуном за цикл, до кількості теплоти \(Q,\) одержуваної від нагрівника: $$ \mathbf{\eta}=\frac AQ. $$

Корисна робота двигуна полягає в подоланні сили опору руху візка \(F:\) $$ A=F\cdot s=F\cdot vt, $$ де \(s\) ‒ шлях, який долає візок, за час \(t,\ v\) ‒ швидкість руху візка.

Також коефіцієнт корисної дії такого двигуна можна визначити за формулою $$ \mathbf{\eta}=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}}, $$ де \(T_\text{Н}\) ‒ температура нагрівника; \(T_\text{Х}\) ‒ температура холодильника.

Прирівняймо ці два вирази для обчислення коефіцієнта корисної дії: \begin{gather*} \frac AQ=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}},\\[6pt] \frac{F\cdot vt}{Q}=\frac{T_\text{Н}-T_\text{Х}}{T_\text{Н}}. \end{gather*}

Виразімо звідси модуль швидкості руху візка й обчислімо його:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння характеру руху тіл.

Позначимо сталу – модуль швидкості руху потягу – \(v.\) Тоді відстань \(s_\text{п},\) яку пройшов потяг за час \(t\) від моменту відчеплення до моменту зупинки вагона, можна визначити за формулою для обчислення відстані під час прямолінійного рівномірного руху: $$ s_\text{п}=v\cdot t. $$

Час руху потяга на цьому відрізку шляху такий самий, як і час руху відчепленого останнього вагона до зупинки. Вагон рівномірно сповільнюватиметься. Його початковою швидкістю \(v_0\) буде швидкість руху потягу \(v,\) а кінцева швидкість \(v_\text{к}\) дорівнюватиме нулю.

Отже, $$ s_\text{в}=\frac{v_0+v_\text{к}}{2}\cdot t=\frac v2\cdot t, $$ де \(s_\text{в}\) ‒ відстань, яку пройшов вагон до зупинки.

Виразімо із цієї формули час руху вагона \(t\) і підставімо цей вираз у формулу для відстані, яку пройшов потяг:

Відповідь: 400.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони збереження імпульсу і енергії.

1. За умовою удар куль був непружний, центральний.

Якщо швидкості руху тіл до і після зіткнення (пружного чи непружного) напрямлені вздовж прямої, що проходить через центри мас цих тіл, таке зіткнення називають центральним.

Якщо після зіткнення частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію та нагрівання тіл), таке зіткнення називають непружним. Після такого удару тіла рухаються як єдине ціле.

Опишімо рух куль до і після удару за допомогою закону збереження імпульсу у векторному вигляді та в проєкціях на вісь \(OX:\) \begin{gather*} m_1\overrightarrow{v}_1+m_2\overrightarrow{v}_2=(m_1+m_2)\overrightarrow{v},\\[7pt] m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v, \end{gather*} де \(m_1\) ‒ маса більшої кулі, що рухалася з більшою швидкістю \(\overrightarrow{v}_1,\ m_2\) ‒ маса меншої кулі, що рухалася з меншою швидкістю \(\overrightarrow{v}_2,\ \overrightarrow{v}\) – швидкість руху куль після удару.

Обчислімо швидкість руху куль після удару:

Відповідь: 4.

2. Запишімо закон збереження енергії: \begin{gather*} \frac{m_1v^2_1}{2}+\frac{m_1v^2_2}{2}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}+Q, \end{gather*} де \(Q\) ‒ утрачена кінетична енергія після удару куль.

Обчислімо її:

Відповідь: 0,6.

Відповідь: 1. 4. 2. 0,6.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки.

Завдання скеровано на перевірку розуміння різних динамічних процесів і вміння описати їх аналітично.

Ситуацію 1, коли відро з водою утримується за допомогою колодязного журавля (важеля), можна описати за допомогою правила моментів A: важіль перебуває в рівновазі, якщо сума моментів сил, які обертають важіль проти ходу годинникової стрілки, дорівнює сумі моментів сил, що обертають важіль за ходом годинникової стрілки.

Отже, умову рівноваги важеля під дією двох обертальних сил (сили тяжіння \(\overrightarrow{F}_1,\) що діє на відро з водою, і сили \(\overrightarrow{F}_2,\) прикладеної до іншого кінця колодязного журавля) можна записати як рівність моментів \(M_1\) і \(M_2\) відповідних сил: $$ M_1=M_2\ \text{або}\ F_1l_1=F_2l_2, $$ де \(l_1\) і \(l_2\) – плечі сил.

У разі деформації тіла, як то стискання пружини (2), із боку тіла починає діяти сила, яка прагне відновити той стан тіла, у якому воно перебувало до деформації. Цю силу називають силою пружності. У разі малих пружних деформацій розтягнення або стиснення сила пружності прямо пропорційна видовженню тіла (Б): $$ \overrightarrow{F}_\text{пружності}=-k\overrightarrow{x}. $$

Потужність, яку розвиває транспортний засіб, зручно визначати через силу тяги та швидкість руху. Формула справджується, і якщо в певний інтервал часу тіло рухається рівномірно, а напрямок сили тяги збігається з напрямком переміщення, і за нерівномірного руху: потужність \(P,\) яку розвиває двигун у певний момент часу, дорівнює добутку модуля сили тяги \(F\) двигуна на модуль його миттєвої швидкості \(v:\) $$ P=Fv. $$

Отже, ситуації 3 відповідає формула B.

Силу тертя ковзання можна зменшити, змастивши дотичні поверхні, як у ситуації 4, коли деталі механізмів змащують мастилом.

Рідке мастило віддаляє дотичні поверхні одну від одної − сухе тертя замінюється значно слабшим рідким тертям.

Сила тертя ковзання \(F_\text{тертя ковзання}\) не залежить від площі дотику тіл і прямо пропорційна до сили \(N\) нормальної реакції опори – формула Г: $$ F_\text{тертя ковзання}=\mathbf{\mu}N, $$ де \(\mathbf{\mu}\) – коефіцієнт тертя.

Відповідь: 1А, 2Б, 3В, 4Г.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв᾽язувати задачі, коли на тіло діє кілька сил.

Позначмо сили, які діють на тіло, занурене в олію, а потім – у воду.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона в проєкціях на вертикальну вісь, напрямлену вниз: $$ \left\{ \begin{array}{l} F_\text{т}=F_{\text{пр}_\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}\\ F_\text{т}=F_{\text{пр}_\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}}, \end{array}\right. $$ де \(F_\text{т}\) ‒ сила тяжіння, що не залежить від рідини, у яку занурено тіло, \(F_{\text{пр}_\text{олія}}\) і \(F_{\text{пр}_\text{вода}}\) ‒ сили пружності, \(F_{\text{A}_\text{олія}}\) і \(F_{\text{A}_\text{вода}}\) ‒ сили Архімеда.

Усі тіла внаслідок гравітаційного притягання стискають або прогинають опору або розтягують підвіс. Силу, яка характеризує таку дію тіл, називають вагою і позначають \(\overrightarrow{P}.\) Отже, за третім законом Ньютона \(F_\text{пр}=P.\) $$ \left\{ \begin{array}{l} F_\text{т}=P_{\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}\\ F_\text{т}=P_{\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}}, \end{array}\right. $$

Прирівняємо праві частини цих формул: \begin{gather*} P_{\text{олія}}+F_{\text{A}_\text{олія}}=P_{\text{вода}}+F_{\text{A}_\text{вода}},\\[7pt] P_{\text{олія}}-P_{\text{вода}}=F_{\text{A}_\text{вода}}-F_{\text{A}_\text{олія}},\\[7pt] \Delta P=F_{\text{A}_\text{вода}}-F_{\text{A}_\text{олія}}, \end{gather*} де \(\Delta P\) ‒ це та різниця у вазі, яку показав динамометр під час зважування у воді й олії.

Запишімо, чому дорівнює сила Архімеда у воді та олії: \begin{gather*} \Delta P=\mathbf{\rho}_\text{вода}gV_\text{т}-\mathbf{\rho}_\text{олія}gV_\text{т}, \end{gather*} де \(\mathbf{\rho}_\text{вода}\) і \(\mathbf{\rho}_\text{олія}\) ‒ густини, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(V_\text{т}\) ‒ шуканий об᾽єм тіла.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати кінематичні характеристики (швидкість руху) під час вільного падіння.

Спосіб 1. Для визначення швидкості руху м᾽яча на певній висоті скористаймося кінематичним рівнянням, яким описують вільне падіння вздовж вертикальної осі \(Oy:\) $$ \Delta h=\frac{v^2-v^2_0}{2g}, $$ де \(\Delta h\) ‒ різниця висот, яку пройшов м᾽яч \((\Delta h=30-3=27\ \text{м}),\ v\) ‒ шукана швидкість руху на висоті \(3\ \text{м},\) \(v_0\) ‒ початкова швидкість, із якою кинули м᾽яч із висоти \(30\ \text{м},\ g\) ‒ прискорення вільного падіння:

Спосіб 2. Для визначення швидкості руху м᾽яча на певній висоті можна також скористатися законом збереження механічної енергії: сума потенціальної і кінетичної енергій на висоті \(h=30\ \text{м}\) дорівнює сумі потенціальної і кінетичної енергій на висоті \(h_1=3\ \text{м}:\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Вага тіла.

Завдання скеровано на перевірку розуміння сили, яку називають вагою.

Усі тіла внаслідок гравітаційного притягання стискають або прогинають опору або розтягують підвіс. Силу, яка характеризує таку дію тіл, називають вагою і позначають \(\overrightarrow{P}.\)

Вантаж і нижній динамометр підвішені до верхнього динамометра й розтягують його пружину. Отже, верхній динамометр покаже загальну вагу вантажа та нижнього динамометра: \begin{gather*} P=P_\text{вантажа}+P_\text{динамометра},\\[7pt] P=120\ \text{Н}+10\ \text{Н}=130\ \text{Н}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Нерівномірний рух. Середня і миттєва швидкості.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичного змісту середньої швидкості.

Середня швидкість \(v_\text{сер}\) дорівнює відношенню всього шляху \(l\) до інтервалу часу \(t,\) за який цей шлях подолано:

Перша частина шляху \(l_1=900\ \text{м}\), її велосипедист подолав зі швидкістю \(v_1=15\ \text{м/с.}\) Обчислімо час $$ t_1=\frac{l_1}{v_1}=\frac{900\ \text{м}}{15\ \text{м/с}}=60\ \text{с.} $$

Друга частина шляху \(l_2=400\ \text{м}.\) Її велосипедист подолав зі швидкістю \(v_2=36\ \text{км/год}=10\ \text{м/с}.\) Обчислимо час

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Матеріальна точка.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння однієї з фізичних моделей ‒ матеріальної точки.

Матеріальна точка ‒ це фізична модель тіла, розмірами якого в умові задачі можна знехтувати. Те саме тіло в умовах однієї задачі можна вважати матеріальною точкою, а в умовах іншої ‒ ні.

Це визначення можна застосувати до ведмедя і бджоли. Наприклад, розглядаючи будову тіла бджоли, не можна знехтувати розмірами її тіла. А під час вивчення її руху – можна.

Те саме стосується і ведмедя. Коли вивчають анатомію тварини, розміри важливі. Коли ж спостерігають за міграцією ведмедя, розмірами можна знехтувати.

Отже, чи можна знехтувати розмірами тіла, чи ні, визначають умови, за яких це тіло розглядаємо.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сила тертя.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати сили тертя і рівнодійну сил, прикладених до тіл.

Щоб натягнути нитку, якою зв’язано бруски, треба зрушити з місця другий брусок, подолати максимальну силу тертя спокою, протилежно напрямлену до прикладеної горизонтальної сили \(\overrightarrow{F}.\) Обчислімо максимальну силу тертя спокою, яка діє на другий брусок:

Обчислімо силу натягу нитки \(T:\) \begin{gather*} T=F-F_{2\mathrm{max}\ \text{тер. спокою}}=8\ \text{Н}-6\ \text{Н}=2\ \text{Н}. \end{gather*}

Перевірімо, чи рухатиметься за таких умов перший брусок і, відповідно, уся система тіл. Для цього обчислімо максимальну силу тертя спокою, яка мала б діяти на перший брусок, якби він зрушив із місця:

Нитку натягнуто із силою \(2\ \text{Н},\) тож перший брусок залишиться на місці. Для того, щоб зрушити обидва зв’язані бруски, треба було б прикласти силу, що дорівнює сумі максимальних сил тертя спокою обох брусків, тобто \(11\ \text{Н}.\)

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення маси тіла й виштовхувальної сили.

1. На рисунку 1 зображено тіло в повітрі, підвішене до динамометра. Динамометр показує значення ваги тіла в повітрі \(P_\text{повітря}\) ‒ сили, із якою тіло діє на опору чи підвіс, у цій ситуації ‒ на пружину динамометра. Вага виникає внаслідок дії сили тяжіння. У повітрі вага тіла у спокої або прямолінійному рівномірному русі збігається за напрямком із силою тяжіння і дорівнює їй за значенням: $$ P_\text{повітря}=F_\text{тяж}=30\ \text{Н}. $$

З формули для визначення сили тяжіння визначмо масу \(m\) тіла: $$ F_\text{тяж}=mg, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Відповідно $$ m=\frac{F_\text{тяж}}{g}=\frac{30\ \text{Н}}{10\ \text{м/с}^2}=3\ \text{кг}. $$

Відповідь: 3.

2. На рисунку 2 динамометр показує вагу тіла в рідині: $$ P_\text{рідина}=20\ \text{Н}. $$

На тіло, занурене в рідину, діє виштовхувальна сила (сила Архімеда). У цій ситуації виштовхувальна сила дорівнюватиме різниці ваги тіла в повітрі й ваги тіла в рідині: \begin{gather*} F_\text{А}=P_\text{повітря}-P_\text{рідина}=30\ \text{Н}-20\ \text{Н}=10\ \text{Н}. \end{gather*}

Відповідь: 10.

Відповідь: 1. 3. 2. 10.

ТЕМА: Механіка. Коливання і хвилі.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичних процесів механіки і знання формул, якими описують ці процеси.

Усім тілам у Всесвіті властива гравітаційна взаємодія, виявом якої є їхнє взаємне притягання. Відповідно до закону всесвітнього тяжіння планети Венера й Марс притягуються одна до одної із силою \(F,\) яка прямо пропорційна добутку їхніх мас \(m_1\) і \(m_2\) й обернено пропорційна квадрату відстані \(r\) між ними: $$ F=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}, $$ де \(G\) ‒ гравітаційна стала (коефіцієнт пропорційності, однаковий для всіх тіл у Всесвіті).

Якщо розтягнуту гумову нитку відпустити, то, скорочуючись, вона виконає роботу. Робота сили пружності визначена лише початковим і кінцевим станами гумової нитки, тобто сила пружності ‒ консервативна або потенціальна сила. Величину $$ E=\frac{kx^2}{2} $$ називають потенціальною енергією \(E\) пружно деформованого тіла, де \(x\) ‒ видовження пружного тіла, \(k\) ‒ жорсткість.

Між дотичними поверхнями стрічки транспортера й цеглини діє сила тертя спокою, яка перешкоджає виникненню відносного руху їх. Сила тертя спокою завжди дорівнює за модулем і протилежна за напрямком рівнодійній зовнішніх сил, які намагаються зрушити тіло з місця. Після того як рівнодійна зовнішніх сил зрівняється з максимальною силою тертя спокою, тіло починає ковзання, тобто починає діяти сила тертя ковзання. Отже, максимальна сила тертя спокою дорівнює силі тертя ковзання: $$ F_{\mathrm{max}}=\mathbf{\mu}N, $$ де \(F_{\mathrm{max}}\) ‒ максимальна сила тертя спокою, \(\mathbf{\mu}\) ‒ коефіцієнт тертя, \(N\) ‒ сила нормальної реакції опори.

Маленька сталева кулька коливається на довгій нерозтяжній нитці ‒ це модель нитяного (математичного) маятника. Період коливань \(T\) нитяного маятника обчислюють за формулою $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac lg}, $$ де \(l\) ‒ довжина маятника; \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Відповідь: 1А, 2Г, 3Д, 4Б.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Умови плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов плавання тіл.

Розгляньмо два варіанти плавання бруска: у гасі й у воді. Силу тяжіння \(F_\text{тяж},\) що діє на брусок, урівноважує сила Архімеда \(F_А\) (за модулем).

Варіант перший – брусок плаває у гасі: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АГ},\\[7pt] mg=\mathbf{\rho}_\text{Г}gV_\text{Гзан}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса бруска, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\mathbf{\rho}_\text{Г}\) ‒ густина гасу, \(V_\text{Гзан}\) ‒ об’єм зануреної в гас частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: $$ m=\mathbf{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}, $$ де \(S\) ‒ площа основи (нижньої грані) бруска, \(h_\text{Г}\) ‒ глибина занурення бруска в гас.

Варіант другий – брусок плаває у воді: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АВ},\\[7pt] mg=\mathbf{\rho}_\text{В}gV_\text{Взан}, \end{gather*} де \(\mathbf{\rho}_\text{В}\) ‒ густина води, \(V_\text{Взан}\) ‒ об’єм зануреної у воду частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: \begin{gather*} m=\mathbf{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}, \end{gather*} де \(h_\text{В}\) – глибина занурення бруска у воду.

Прирівняймо вирази для визначення маси \(m\) бруска: \begin{gather*} \mathbf{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}=\mathbf{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}. \end{gather*}

Визначмо й обчислімо шукану величину \(h_\text{В}\) ‒ глибину занурення бруска у воду: \begin{gather*} h_\text{В}=\frac{\mathbf{\rho}_\text{Г}h_\text{Г}}{\mathbf{\rho}_\text{В}},\\[6pt] h_\text{В}=\frac{800\ \text{кг/м}^3\cdot 60\ \text{мм}}{1000\ \text{кг/м}^3}=48\ \text{мм}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Імпульс тіла. Кінетична енергія.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для визначення імпульсу й кінетичної енергії тіла.

Імпульс тіла \(\overrightarrow{p}\) – це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси \(m\) тіла на швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху: $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. $$

Обчислімо значення імпульсу автомобіля: $$ p=1000\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}=10^4\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Кінетична енергія \(E_k\) ‒ це фізична величина, якою характеризують механічний стан рухомого тіла. Кінетична енергія дорівнює половині добутку маси \(m\) тіла на квадрат швидкості \(v\) його руху: \begin{gather*} E_k=\frac{mv^2}{2}. \end{gather*}

Обчислімо значення кінетичної енергії автомобіля: $$ E_k=\frac{1000\ \text{кг}\cdot (10\ \text{м/с})^2}{2}=5\cdot 10^4\ \text{Дж}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закономірностей прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів.

Розгляньмо рух парашутиста і рух монети.

За умовою завдання парашутист опускався зі сталою швидкістю \(v=5\ \text{м/с,}\) оскільки дія сили тяжіння була скомпенсована дією сили опору повітря. Отже, відстань \(h=100\ \text{м}\) він подолав за \(20\ \text{с:}\) $$ t_{\text{пар}}=\frac hv=\frac{100\ \text{м}}{5\ \text{м/с}}=20\ \text{с}. $$

Монета пройшла той самий шлях \(h=100\ \text{м},\) але рухалася рівноприскорено. Власна початкова швидкість монети, що просто випала з кишені, дорівнювала нулю. Але до того монета була в кишені парашутиста, який рухався зі швидкістю \(5\ \text{м/с},\) тому початкова швидкість монети \(v_0\) становила \(5\ \text{м/с}.\) За умовою впливом опору повітря на монету нехтуємо, тож можемо визначити час її падіння з кінематичного рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2}, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння (усі векторні величини записано в проєкціях на вісь \(Oy,\) напрямлену вертикально вниз, так само, як і вектор прискорення вільного падіння).

Підставмо значення величин у рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2} \Rightarrow 100=5t+\frac{10t^2}{2}. $$

Поділімо ліву і праву частину рівняння на \(5\) і дістанемо зведене квадратне рівняння: $$ t^2+t-20=0. $$

За теоремою Вієта визначмо корені рівняння: $$ t_1=-5,\ \ t_2=4. $$

Час не може бути від’ємним, тому умову задовольняє корінь \(t_2=4\ \text{с},\) тобто монета впала за \(4\ \text{с},\) а парашутист, відповідно, приземлився на \(16\ \text{с}\) пізніше: $$ \Delta t = t_\text{пар}-t_2=20\ \text{с}-4\ \text{с}=16\ \text{с}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу за рівномірного й рівноприскореного рухів.

Завдання скеровано на перевірку вміння інтерпретувати графіки, переходити від однієї до другої залежності величин.

Розгляньмо щосекунди наведений в умові завдання графік залежності координати \(x\) тіла від часу \(t.\)

Ділянка графіка від початку відліку часу до першої секунди: це графік прямолінійного рівноприскореного руху. Адже графіком є частина параболи (вітки вниз), початкова координата \(x_0=0,\) кінцева координата \(x=-2\ \text{м}.\) На графіку точка початку відліку є вершиною параболи ‒ точкою розвороту. Тож до початку відліку часу тіло рухалося вздовж осі \(Ox.\) Із початком відліку часу тіло розвернулося (початкова швидкість \(v_0=0)\) і протягом \(1\ \text{с}\) прискорювало свій рух, рухаючись у протилежному до осі \(Ox\) напрямку. Запишімо рівняння координати й визначмо прискорення руху тіла: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}. $$

Оскільки \(x_0=0\) і \(v_0=0,\) то \(x=\frac{at^2}{2}.\) Звідси $$ a=\frac{2x}{t^2}=\frac{2\cdot(-2)\ \text{м}}{1\ \text{с}^2}=-4\ \text{м/с}^2. $$

Знаючи прискорення руху тіла, знайдімо кінцеву швидкість руху тіла наприкінці першої секунди: $$ v=v_0+at=-4\ \text{м/с}^2\cdot 1\ \text{с}=-4\ \text{м/с}. $$

Знак «мінус» указує на те, що тіло рухалося в напрямку, протилежному до напрямку осі \(Ox.\)

Значення початкової і кінцевої швидкості руху тіла за першу секунду відповідають лише варіанту відповіді A. Щоб упевнитися в правильності варіанта відповіді A, проаналізуймо рух тіла в наступні секунди.

Від 1-ї до 2-ї секунди: ділянка графіка залежності координати тіла від часу прямолінійна, отже, рух рівномірний, швидкість стала.

Від 2-ї до 3-ї секунди: це графік прямолінійного рівноприскореного руху, оскільки графіком є частина параболи (вітки вгору), тіло гальмує, швидкість руху тіла зменшується до нуля, тіло зупиняється.

Від 3-ї до 4-ї секунди: координата тіла не змінюється, отже, швидкість тіла дорівнює нулю ‒ тіло не рухається.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Вільне падіння.

Завдання скеровано на перевірку розуміння вільного падіння тіл.

Якщо б у трубці було повітря, то найважче тіло (дробинка) упало б на дно трубки найшвидше. За умовою завдання повітря з трубки відкачано, тіла падають вільно з однакової висоти.

Вільним називають падіння тіл у безповітряному просторі, тобто це падіння лише під дією сили тяжіння.

Експериментально було доведено, що швидкість будь-якого тіла, яке вільно падає, щосекунди збільшується приблизно на \(9,8\ \text{м/с}\). Тож усі тіла, що рухаються вертикально вгору або вниз, рухатимуться прямолінійно рівноприскорено із прискоренням вільного падіння \(9,8\ \text{м/с}^2.\)

Тобто в безповітряному просторі (вакуумі) усі тіла ‒ дробинка, корок і пташине перо ‒ незалежно від їхньої маси, об’єму, форми ‒ упадуть на дно трубки одночасно.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження механічної енергії.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони збереження імпульсу й енергії під час непружного удару тіл.

Якщо після зіткнення частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію та нагрівання тіл), таке зіткнення називають непружним. Після такого удару тіла рухаються як єдине ціле (див. рисунок).

Опишімо рух куль до і після удару за допомогою закону збереження імпульсу у векторному вигляді та в проєкціях на вісь \(Ox:\) \begin{gather*} m_1\overrightarrow{v}_1=(m_1+m_2)\overrightarrow{v},\\[7pt] m_1v_1=(m_1+m_2)v, \end{gather*} де \(m_1\) ‒ маса пластилінової кульки, що рухалася зі швидкістю \(\overrightarrow{v}_1,\ m_2\) ‒ маса нерухомої до удару кульки, \(\overrightarrow{v}\) ‒ швидкість руху обох кульок після удару.

Обчислімо швидкість руху куль після удару:

Запишімо закон збереження енергії для цієї умови: $$ \frac{m_1v^2_1}{2}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}+Q, $$ де \(Q\) ‒ утрачена кінетична енергія після удару кульок.

Обчислімо її:

Відповідь: 22.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння кінематичних рівнянь, що описують прямолінійний рівноприскорений рух і вміння застосовувати їх.

Обчислімо модуль переміщення \(s:\) $$ s=\frac{v^2-v^2_0}{2g}, $$ де \(v_0\) ‒ проєкція початкової швидкості в момент початку відліку часу \(t,\ v\) ‒ проєкція кінцевої швидкості через деякий інтервал часу \(t,\ g\) ‒ прискорення вільного падіння;

Можна також спочатку визначити проміжок часу, за який швидкість руху зміниться від \(v_0=6\ \text{м/с}\) до \(v=24\ \text{м/с}\) за формулою для визначення проєкції швидкості руху на вертикальну вісь \(Oy,\) напрямлену вниз (вектори початкової, кінцевої швидкостей і вектор прискорення вільного падіння будуть напрямлені вниз уздовж осі \(Oy\)):

Знаючи проміжок часу, за який відбулася зазначена в умові зміна швидкості, можна визначити модуль переміщення:

Відповідь: 27.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рух.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння застосовувати кінематичні характеристики прямолінійного рівномірного руху.

Проаналізуймо наведені в умові кінематичні рівняння руху велосипедиста і мотоцикліста. Як бачимо, це залежність координати \(x\) від часу \(t\) в першому степені. Загальний вигляд рівняння координати для прямолінійного рівномірного руху такий: $$ x=x_0+vt, $$ де \(x_0\) ‒ початкова координата; \(v\) ‒ проєкція швидкості на горизонтальну вісь \(Ox,\) уздовж якої рухається тіло.

Для велосипедиста: початкова координата \(x_{01}=150\ \text{м,}\) проєкція швидкості \(v_1=-5\ \text{м/с.}\) Знак мінус означає, що велосипедист рухається в протилежному до вибраного напрямку горизонтальної осі \(Ox\) (див. рисунок).

Для мотоцикліста: початкова координата \(x_{02}=-50\ \text{м,}\) проєкція швидкості \(v_2=20\ \text{м/с.}\) Початкова координата зі знаком мінус означає, що мотоцикліст на початку руху перебував лівіше від початку відліку, вибраного на осі \(Ox\) (див. рисунок).

1. Час, через який зустрінуться велосипедист і мотоцикліст, однаковий для них, бо час плине однаково для всіх. Велосипедист зустрінеться з мотоциклістом ‒ це означає, що вони перебуватимуть у точці з однаковою координатою. Тож прирівняймо їхні координати \(x_1=x_2:\)

Велосипедист і мотоцикліст зустрінуться через \(8\ \text{с.}\)

Відповідь: 8.

2. Оскільки до зустрічі велосипедист рухався \(8\ \text{с}\) зі швидкістю \(5\ \text{м/с,}\) шлях визначімо за формулою: \begin{gather*} s_1=v_1t,\\[6pt] s_1=5\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\cdot 8\ \text{с}=40\ \text{м}. \end{gather*}

Можна визначити координату велосипедиста через \(8\ \text{с}\) руху й обчислити його шлях до зустрічі з мотоциклістом, як різницю між початковою і кінцевою координатами велосипедиста:

Відповідь: 40.

Відповідь: 1. 8. 2. 40.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки (закон всесвітнього тяжіння.). Закони збереження в механіці (прості механізми, закон збереження імпульсу). Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння механічних процесів, уміння описати їх за допомогою формул і законів.

Взаємодію Землі і Місяця описуємо за допомогою закону всесвітнього тяжіння: будь-які два тіла притягуються одне до одного із силою \(F,\) яка прямо пропорційна добутку мас \(m_1\) і \(m_2\) цих тіл й обернено пропорційна квадрату відстані \(R\) між ними: $$ F=G\frac{m_1m_2}{R^2}. $$

Відкручування гайки за допомогою гайкового ключа є прикладом застосування простого механізму ‒ важеля ‒ на практиці. Чим довшою буде ручка гайкового ключа, тим легше ми відкрутимо або сильніше закрутимо гайку, прикладаючи меншу силу. Описати цей процес можна відповідно до правила моментів: $$ F_1l_1=F_2l_2, $$ де сила \(\overrightarrow{F}_1\) повертає важіль за ходом годинникової стрілки, сила \(\overrightarrow{F}_2\) ‒ проти ходу годинникової стрілки, а \(l_1\) і \(l_2\) ‒ плечі цих сил відповідно.

Коливання тіла масою \(m\) на пружині жорсткістю \(k\) можна описати за допомогою формули для обчислення періоду \(T\) коливань пружинного маятника: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac mk}. $$

Зіткнення більярдних куль, як приклад абсолютно пружного удару, опишімо за допомогою закону збереження імпульсу: у замкненій системі тіл векторна сума імпульсів тіл до взаємодії дорівнює векторній сумі імпульсів тіл після взаємодії. Зваживши на те, що імпульс тіла дорівнює добутку маси \(m\) і швидкості \(\overrightarrow{v}\) до взаємодії (або \(\overrightarrow{u}\) після взаємодії) руху тіла, закон збереження імпульсу для зіткнення більярдних куль матиме такий вигляд: $$ m_1\overrightarrow{v}_1+m_2\overrightarrow{v}_2=m_1\overrightarrow{u}_1+m_2\overrightarrow{u}_2. $$

Відповідь: 1Д, 2Б, 3В, 4Г.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умова плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння умови плавання тіл і закону Архімеда.

Прирівняймо сили, що діють на кубик: $$ F_\text{т}=F_\text{А}, $$ де \(F_\text{т}\) ‒ сила тяжіння, яка діє на все тіло й напрямлена вертикально вниз, \(F_\text{А}\) ‒ сила Архімеда, що діє лише на занурену частину тіла й напрямлена вертикально вгору.

Розпишімо ці сили: $$ mg=\mathbf{\rho}_\text{Hg}gV_\text{зан}, $$ де \(m\) ‒ маса тіла (кубика), \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\mathbf{\rho}_\text{Hg}\) ‒ густина рідини (ртуті), у яку занурено тіло, \(V_\text{зан}\) ‒ об’єм зануреної частини тіла.

Маса тіла дорівнює добутку густини й об’єму тіла: $$ \mathbf{\rho}_\text{т}Vg=\mathbf{\rho}_\text{Hg}gV_\text{зан}. $$

Кубик лише на \(\frac 15\) свого об’єму занурений у ртуть, тому

Відповідно до таблиці, у якій наведено густини металів, кубик виготовлено з алюмінію \(\mathrm{Al},\) отже, правильна відповідь ‒ Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Кінетична і потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння зв’язку між імпульсом тіла і його кінетичною енергією.

Кінетична енергія \(E_k\) ‒ це фізична величина, яка характеризує механічний стан рухомого тіла й дорівнює половині добутку маси \(m\) тіла на квадрат швидкості \(v\) його руху: $$ E_k=\frac{mv^2}{2}. $$

На зміну кінетичної енергії м’яча після зіткнення зі стінкою вплине зміна його швидкості, маса ж залишиться незмінною.

Визначiмо зміну швидкості через зміну імпульсу \(p\) м’яча.

Імпульс тіла \(\overrightarrow{p}\) ‒ це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси \(m\) тіла на швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху: $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. $$

За умовою м’яч до зіткнення зі стінкою мав імпульс $$ p_1=p_0=mv_0. $$

Після зіткнення зі стінкою величина імпульсу м’яча становить $$ p_2=\frac{p_0}{2}=\frac{mv_0}{2}. $$

Отже, швидкість зменшилася вдвічі. Порівняймо, як змінилася кінетична енергія:

Отже, кінетична енергія м’яча внаслідок зіткнення зі стінкою зменшилася вчетверо.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Інерціальні системи відліку.

Завдання скеровано на перевірку розуміння руху тіла за інерцією і вміння читати графіки.

Тіло, на яке не діють інші тіла й поля, називають ізольованим (вільним), а рух ізольованого тіла – рухом за інерцією. У реальності практично неможливо створити умови, коли на тіло нічого не діє, тому рухом за інерцією називають рівномірний прямолінійний рух за відсутності або скомпенсованості дії на тіло інших тіл і полів.

Єдиний графік, який відповідає прямолінійному рівномірному руху ‒ це графік залежності координати \(x\) від часу \(t\) на рисунку A (із часом координата тіла зменшується, оскільки тіло рухається вздовж осі \(Ox,\) але в протилежному напрямку).

На рисунку Б зображено графік залежності прискорення \(a\) від часу \(t.\) Прискорення із часом зростає, отже, це рух із прискоренням, яке рівномірно зростає, а не прямолінійний рівноприскорений рух.

На рисунках В і Г зображено графіки прямолінійного рівноприскореного руху: графік залежності швидкості \(v\) від часу \(t\) і графік залежності координати \(x\) від часу \(t.\) Швидкість рівномірно зростає із часом, а не є сталою, як для рівномірного руху. Графіком залежності координати від часу є вітка параболи, тобто це квадратична, а не пряма залежність величин \(x\) від \(t\) як під час рівномірного руху.

Отже, правильна відповідь ‒ графік на рисунку А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Фізичні величини. Вимірювання фізичних величин.

Завдання скеровано на перевірку розуміння побудови шкали приладів і вміння визначати за показами шкали приладів певні фізичні величини, зокрема об’єм.

Поділка ‒ це відстань між рисками (горизонтальними позначками, лініями) на вимірювальній шкалі.

Кількість поділок, на яку заповнено рідиною мірний циліндр, дорівнює \(20.\) За умовою ціна поділки мірного циліндра – \(5\ \text{мл}.\) Отже, об’єм рідини в циліндрі становитиме:

Відповідь: B.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і вміння застосовувати рівняння стану газу.

Запишімо рівняння стану газу до накачування і після: \begin{gather*} p_1V=\frac{m_1}{M}RT,\\[6pt] p_2V=\frac{m_2}{M}RT, \end{gather*} де \(p_1\) і \(p_2\) ‒ початковий тиск і тиск повітря після накачування відповідно, \(m_1\) і \(m_2\) ‒ маса повітря в м’ячі до і після накачування. Середня молярна маса повітря \(M,\) універсальна газова стала \(R,\) абсолютна температура повітря \(T\) й об’єм \(V,\) який займає повітря в м’ячі, ‒ ці величини залишаються незмінними для обох станів повітря в м’ячі.

Запишімо формули для маси повітря як добуток густини \(\mathbf{\rho}\) і відповідного об’єму повітря в м’ячі \(V_1\) або \(V_2,\) зважаючи на кількість накачувань \(N\) (\(V_0\) ‒ об’єм повітря за одне накачування): \begin{gather*} m_1=\mathbf{\rho}\cdot V_1,\\[7pt] m_2=\mathbf{\rho}\cdot V_2=\mathbf{\rho}\cdot (V_1+N\cdot V_0). \end{gather*}

Підставімо в рівняння стану газу замість мас відповідні вирази й поділімо ліві і праві частини цих рівнянь:

Обчислімо шукану величину ‒ кількість накачувань:

Відповідь: 10.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови рівноваги тіла.

Завдання скеровано на перевірку розуміння шарнірного з’єднання стержнів і скомпенсованості сил, уміння позначати сили, що діють, шукати їхні проєкції.

За умовою стержні невагомі, один на одного не діють.

У точці \(C\) підвішено тіло, на яке діє сила тяжіння. У стержні \(AC\) виникає деформація розтягу, а у стержні \(BC\) ‒ деформація стиску. Сили пружності \(\overrightarrow{F}_{AC}\ \text{i}\ \overrightarrow{F}_{BC}\) будуть направлені, як на рисунку:

Побудуймо рівнодійну цих сил пружності. Вона буде компенсувати дію сили тяжіння.

За другим законом Ньютона

Спроєктуймо вектори сил на вісь \(Ox\) і \(Oy.\)

Визначімо з прямокутного трикутника \(ABC\) тригонометричні функції:

Розв’яжімо систему рівнянь:

1) З другого рівняння системи визначімо силу пружності в стержні \(AC:\)

Відповідь: 15.

2) Підставімо в перше рівняння системи значення сили пружності \(F_{AC}\) й обчислімо силу пружності в стержні \(BC:\) \begin{gather*} F_{BC}=\frac{0,8F_{AC}}{0,6}=\frac{0,8\cdot 15\ \text{Н}}{0,6}=20\ \text{Н}. \end{gather*}

Відповідь: 20.

Відповідь: 1. 15. 2. 20.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і вміння описувати рух тіл за допомогою кінематичних рівнянь, знаходити потрібні фізичні величини.

1). Опишімо рух кота і мишеняти за допомогою кінематичних рівнянь координат (у проєкціях на вісь \(Ox\)).

Для кота ‒ прямолінійний рівноприскорений рух: \begin{gather*} X=x_\text{0к}+v_\text{0к}t+\frac{at^2}{2},\\[6pt] X=x_\text{0к}+\frac{at^2}{2}, \end{gather*} де \(X\) ‒ кінцева координата кота (точка \(X,\) у якій кіт наздожене мишеня (див. рисунок)), \(x_\text{0к}=-4,5\ \text{м}\) ‒ початкова координата кота, \(v_\text{0к}=0\) (за умовою) ‒ проєкція початкової швидкості руху кота, \(t\) ‒ час руху кота (поки наздожене мишеня), \(a=2\ \text{м/с}^2\) ‒ проєкція прискорення руху кота.

Для мишеняти ‒ прямолінійний рівномірний рух: $$ X=x_\text{0м}+v_\text{м}t, $$ де \(X\) ‒ кінцева координата мишеняти (співпадає з кінцевою координатою кота (див. рисунок)), \(x_\text{0м}=-3\ \text{м}\) ‒ початкова координата мишеняти, \(v_\text{м}=0,5\ \text{м/с}\) (за умовою) ‒ проєкція швидкості руху мишеняти, \(t\) ‒ час руху мишеняти (такий самий, як для кота).

Оскільки час руху кота і мишеняти однаковий, прирівняймо його, щоб визначити спільну кінцеву координату \(X:\)

Підставімо числові значення величин (в умові всі значення величин подано в системі SI):

Координата \(X_2=-3,5\) не задовольняє умову завдання, оскільки мишеня біжить до нірки і його кінцева координата має бути більша за \(‒3\) (див. рисунок).

Отже, координата точки, у якій кіт наздожене мишеня, дорівнює $$ X=-2,25\ \text{м}, $$ тобто кіт упіймає мишеня на відстані \(2,25\ \text{м}\) від нори.

Відповідь: 2,25.

2). Для визначення часу, за який кіт наздожене мишеня скористаймося формулами, отриманими у першій частині завдання: \begin{gather*} t^2=\frac{2(X-x_\text{0к})}{a},\\[6pt] t=\frac{X-x_\text{0м}}{v_\text{м}}. \end{gather*}

Можна підставити значення в одну із формул і обчислити час:

Перевірка за іншою формулою:

Відповідь: 1,5.

Відповідь: 1. 2,25. 2. 1,5.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин та газів. Гідростатичний тиск. Атмосферний тиск.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння атмосферного і гідростатичного тисків та їхніх властивостей.

На повітря під ртуттю тисне повітря (позначмо цей тиск як \(p_\text{атм}\)), що заходить через відкритий верхній кінець, і стовпчик ртуті, гідростатичний тиск якого позначмо \(p_\text{гідр1}.\) Тиск повітря під ртуттю позначмо \(p_\text{п1}.\) Прирівняймо ці тиски: $$ p_\text{п1}=p_\text{атм}+p_\text{гідр1}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_1, $$ де \(\mathbf{\rho}\) ‒ густина ртуті, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(h_1\) ‒ висота стовпчика ртуті.

Повітря під ртуттю за умовою має надлишковий тиск \(p_\text{надл}.\) Можемо зробити висновок, що надлишковий тиск повітря під ртуттю дорівнюватиме гідростатичному тиску стовпчика ртуті: $$ p_\text{надл}=p_\text{гідр1}. $$

Обчислімо тиск повітря під ртуттю: $$ p_\text{п1}=1\ \text{атм}+0,2\ \text{атм}=1,2\ \text{атм}. $$

Коли ж нахилити трубку, зміниться гідростатичний тиск ртуті, який залежить від висоти (див. рисунок) стовпчика рідини в посудині: $$ p_\text{гідр2}=\mathbf{\rho}gh_2=\mathbf{\rho}gh_1\cos 60^\circ. $$

Тоді тиск повітря під стовпчиком ртуті дорівнюватиме:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння застосовувати закон збереження імпульсу.

Скористаймося законом збереження імпульсу для системи тіл криголам ‒крижина: $$ \overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_2=\overrightarrow{p'}_1+\overrightarrow{p'}_2, $$ де \(\overrightarrow{p}_1\) і \(\overrightarrow{p}_2\) ‒ імпульси криголама і крижини до зіткнення, \(\overrightarrow{p'}_1\) і \(\overrightarrow{p'}_2\) ‒ імпульси криголама і крижини після зіткнення відповідно.

Спроєктуймо вектори імпульсів цього рівняння на горизонтальну вісь, що напрямлена вздовж напрямку руху криголама й, відповідно, руху криголама разом із крижиною після зіткнення: $$ p_1=p'_1+p'_2, $$ \(p_2=0,\) оскільки до зіткнення крижина була нерухома за умовою.

Візьмімо до уваги, що після зіткнення криголам масою \(m_1\) і крижина масою \(m_2\) рухатимуться разом, тобто з однаковою швидкістю \(v':\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку другого закону Ньютона.

Відповідно до другого закону Ньютона тіло масою \(m\) внаслідок дії сили набуває прискорення, модуль якого обчислімо за формулою:

Отже, під дією сили тіло буде рухатися рівноприскорено, із прискоренням \(2\ \text{м/с}^2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик рівномірного руху по колу.

За періодом \(T\) обертання та радіусом \(R\) колової траєкторії легко визначити лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу. Дійсно, за час \(t\) одного оберту \((t=T)\) тіло долає відстань, що дорівнює довжині кола \(l\): $$ l=2\mathbf{\pi}R. $$

Оскільки \(v=\frac <,\) маємо: $$ v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}. $$

Запишімо відповідні формули для визначення лінійних швидкостей стрілок годинника:

За умовою хвилинна стрілка вдвічі довша за годинну. Оскільки йдеться про рух кінців цих стрілок, то довжини стрілок – це радіуси обертання кінців стрілок – хвилинної \(R_\text{хв}\) і годинної \(R_\text{год}:\) $$ R_\text{хв}=2R_\text{год}. $$

Тоді період обертання хвилинної стрілки становитиме \(1\) годину: $$ T_\text{хв}=60\ \text{хв}=1\ \text{год}. $$

А період обертання годинної стрілки – \(12\) годин: $$ T_\text{год}=12\ \text{год}. $$

Запишімо відношення лінійних швидкостей стрілок годинника і обчислімо його:

Отже, лінійна швидкість хвилинної стрілки \(v_\text{хв}\) більша за лінійну швидкість годинної стрілки \(v_\text{год}\) у \(24\) рази.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу у рівномірному і рівноприскореному рухах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів.

Проаналізуймо всі ділянки й точки графіка залежності проєкції швидкості прямолінійного руху тіла від часу.

У точці А тіло має певну початкову швидкість, відмінну від нуля, а далі продовжує рухатися прямолінійно рівноприскорено (ділянка АБ).

Від моменту часу, що відповідає точці Б, тіло сповільнює свій рух (ділянка БB), потім зупиняється (точка B).

Після зупинки в точці В тіло набирає швидкість, рухаючись у протилежному напрямку (ділянка BГ).

Продовжуючи рух з моменту часу, що відповідає точці Г, тіло рухається зі сталою швидкістю – прямолінійний рівномірний рух.

Отже, зміна напрямку руху відбувається в момент часу, що відповідає точці В.

Відповідь: В.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння механічної роботи і потужності і вміння їх визначати за заданих умов.

1. Роботу \(A\) сили тяжіння (як і роботу сили пружності) визначають за формулою: $$ A=-(E_{p0}-E_p)=-\Delta E_p. $$

Це математичний запис теореми про потенціальну енергію: робота всіх консервативних сил (що не залежать від траєкторії руху тіла), які діють на тіло, дорівнює зміні потенціальної енергії \(\Delta E_p\) тіла, взятій із протилежним знаком.

Потенціальна енергія піднятого тіла залежить від висоти, на якій перебуває тіло, тобто залежить від вибору нульового рівня, ‒ рівня, від якого буде відлічуватися висота. Нульовий рівень вибирають з міркувань зручності. А зміна потенціальної енергії, а отже, і робота сили тяжіння від вибору нульового рівня не залежать.

Отже, за нульовий рівень візьмемо підніжжя гори, де потенціальна енергія \(E_{p0}\) дорівнюватиме $$ E_{p0}=Mgh_0, $$ де \(M=m_1N\) ‒ маса лижників кількістю \(N\) середньої маси \(m_1\) кожний, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(h_0=0\) ‒ початкова висота, яка співпадає з нульовим рівнем.

Потенціальна енергія \(E_p\) на висоті \(h=2\ \text{км}=2000\ \text{м}\) дорівнюватиме $$ E_p=Mgh. $$

Визначимо корисну роботу, яку виконує підйомник:

Відповідь: 63.

2. Потужність \(P\) (або \(N\)) ‒ це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи й дорівнює відношенню роботи \(A\) до інтервалу часу \(t,\) за який цю роботу виконано: $$ P=\frac At. $$

Обчислимо потужність двигуна підйомника:

Відповідь: 52,5.

Відповідь: 1. 63. 2. 52,5.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівноприскореного руху і вміння застосовувати кінематичні рівняння для його описання.

1. Кінематичне рівняння, що описує прямолінійний рівноприскорений рух, \(x=-8+8t-2t^2\) має загальний вигляд $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x\) ‒ кінцева координата для відповідного часу спостереження, \(x_0\) ‒ початкова координата; \(v_0\) ‒ проєкція початкової швидкості руху тіла; \(t\) ‒ час спостереження руху, \(a\) ‒ проєкція прискорення руху тіла.

Початкова координата тіла дорівнювала $$ x_0=-8\ \text{м}. $$

Визначмо, через скільки секунд тіло опиниться в початку координат ‒ \(x=0:\)

За теоремою Вієта для зведеного рівняння (коефіцієнт біля \(t^2\) дорівнює \(1\)) визначмо корені рівняння: $$ \left\{ \begin{array}{l} t_1\cdot t_2=4,\\ t_1+t_2=4, \end{array} \right. $$ звідси $$ t_1=t_2=2. $$

Отже, через \(2\ \text{с}\) від початку відліку часу тіло опиниться в початку координат.

Відповідь: 2.

2. Рівняння проєкції швидкості для прямолінійного рівноприскореного руху має вигляд \begin{gather*} v=v_0+at. \end{gather*}

З рівняння $$ x=-8+8t-2t^2, $$ що дане в умові, можемо визначити потрібні для обчислення швидкості руху значення:
‒ початкової швидкості $$ v_0=8\ \text{м/с}, $$ ‒ прискорення $$ a=-4\ \text{м/с}^2 $$ (знак мінус означає, що тіло сповільнює свій рух, гальмує).

Час, через який тіло опиниться в початку координат, ми визначили, відповідаючи на перше питання: $$ t=2\ \text{с}. $$

Обчислімо значення швидкості руху тіла під час проходження точки з координатою \(x=0\) ‒ початку координат:

Отже, в початку координат тіло зупиниться.

Відповідь: 0.

Відповідь: 1. 2. 2. 0.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичних величин, що описують рух тіла по колу, і вміння їх визначати.

1. Модуль переміщення \(s\) дорівнюватиме довжині відрізка, що з’єднує початкову точку \(C\) з кінцевою точкою \(D.\) З рисунка бачимо, що відрізок \(CD\) дорівнює довжині двох радіусів \(R\) кола: $$ s=CD=2R\ -\ \text{вираз}\ \textbf{Г}. $$

2. Шлях \(l\) – це довжина траєкторії руху тіла, у цьому разі – довжина півкола: $$ l=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2}=\mathbf{\pi}R\ -\ \text{вираз}\ \textbf{B}. $$

3. Швидкість руху \(v\) тіла по колу обчислімо за формулою $$ v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{T}, $$ де \(T\) – період обертання. Оскільки тіло пройшло лише половину шляху (півкола), то за умовою завдання час руху тіла дорівнює \begin{gather*} t=\frac T2,\\[6pt] T=2t,\\[6pt] v=\frac{2\mathbf{\pi}R}{2t}=\frac{\mathbf{\pi}R}{t}\ -\ \text{вираз}\ \textbf{Б}. \end{gather*}

4. Кутову швидкість визначмо з формули, яка зв’язує кутову швидкість і швидкість: \begin{gather*} v=\mathbf{\omega}R,\\[6pt] \mathbf{\omega}=\frac vR=\frac{\mathbf{\pi}R}{t\cdot R}=\frac{\mathbf{\pi}}{t}\ -\ \text{вираз}\ \textbf{A}. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2В, 3Б, 4А.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин та газів. Закон Паскаля для рідин та газів. Атмосферний тиск. Тиск нерухомої рідини на дно і стінки посудини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння атмосферного і гідростатичного тисків, а також вміння визначати тиск у будь-якій точці сполучених посудин.

У точці \(A,\) яка позначена у відкритому коліні \(U\text{-подібної трубки,}\) діє атмосферний тиск: $$ p_\text{А}=p_\text{атм}. $$

Точка \(B\) позначена в правому запаяному коліні трубки. У верхній частині цього коліна міститься повітря, тиск \(p_\text{п}\) якого напевно відрізняється від атмосферного і є однаковим у будь-якій точці цієї частини трубки. Тож у точці (позначимо точку буквою \(K\)) біля поверхні води тиск повітря теж становить \(p_\text{п}.\) За законом Паскаля тиск, створюваний на нерухому рідину, передається рідиною однаково в усіх напрямках. А ще в сполучених посудинах на одному горизонтальному рівні тиск стовпчиків рідин є однаковим. Отже, у точці \(L\) (на тому самому рівні, що і точка \(K\)) тиск теж буде \(p_\text{п}.\) Визначмо його: $$ p_\text{В}=p_\text{п}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_\text{В}, $$ де \(\mathbf{\rho}gh_\text{В}\) ‒ гідростатичний тиск стовпчика рідини висотою \(h_\text{В}.\)

У точці \(C\) тиск складатиметься з атмосферного й гідростатичного тиску стовпчика рідини висотою \(h_\text{С}:\) $$ p_\text{С}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_\text{С}. $$

У точці \(D\) відповідно до закону Паскаля і тієї властивості, що на одному рівні тиск стовпчиків рідин є однаковим, тиск складатиметься з атмосферного і гідростатичного тиску стовпчика рідини висотою \(h_\text{D}\) (див. рисунок): $$ p_\text{D}=p_\text{атм}+\mathbf{\rho}gh_\text{D}. $$

Найменшим буде тиск у точці \(A.\) Він збільшуватиметься зі збільшенням висоти стовпчика води:

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів збереження в механіці й уміння їх застосовувати.

Кульку, що нерухомо висить на нитці, позначмо \(1,\) а кульку, яку відхилили на \(90^\circ ,\ ‒\ 2.\) Спочатку розгляньмо перетворення механічної енергії кульки \(2.\) За нульовий рівень виберемо положення кульки \(1.\) Тоді відхилена на \(90^\circ\) кулька \(2\) перебуватиме на висоті \(L,\) що дорівнює довжині нитки. А отже, володітиме потенціальною енергією: $$ E_{p2}=mgL, $$ де \(m\) ‒ маса кульки (і першої, і другої), \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Після того як кульку \(2\) відпустили, вона, рухаючись по дузі кола, набрала швидкість і перед зіткненням з кулькою \(1\) мала найбільшу швидкість \(v_{max}\) ‒ уся потенціальна енергія перейшла в кінетичну. Опишімо цей рух кульки \(2\) законом збереження енергії:

Відповідно до умови зіткнення кульок \(2\) і \(1\) ‒ непружне. Це означає, що після такої взаємодії частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію і нагрівання тіл). А після зіткнення кульки рухатимуться як одне ціле й піднімуться на певну висоту \(h.\)

Опишімо взаємодію двох кульок законом збереження імпульсу: $$ \overrightarrow{p}_{01}+\overrightarrow{p}_{02}=\overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_2, $$ де \(\overrightarrow{p}_{01}\) і \(\overrightarrow{p}_{02}\) ‒ імпульси кульок до взаємодії, \(\overrightarrow{p}_1\) і \(\overrightarrow{p}_2\) ‒ імпульси кульок після взаємодії. Оскільки після взаємодії кульки разом продовжать рухатися в той самий бік, що й кулька \(2,\) то всі проєкції імпульсів будуть зі знаком плюс:

Знову запишімо закон збереження енергії для кульок, які рухаються разом:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Додавання сил. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку вміння описати систему зв’язаних тіл за допомогою другого закону Ньютона.

Зробимо схематичний рисунок, який ілюструватиме умову цього завдання. І на рисунку позначимо всі сили, що діють на обидва тіла.

І на перше, і на друге тіло діятимуть сила тяжіння \((m_1\overrightarrow{g}\ \text{і}\ m_2\overrightarrow{g})\) i сила нормальної реакції опори \((\overrightarrow{N}_1\ \text{і}\ \overrightarrow{N}_2)\) відповідно. Тіла з’єднані ниткою, у якій виникатиме сила натягу \(\overrightarrow{T},\) яка однаково діятиме і на перше, і на друге тіло. Визначити треба силу \(\overrightarrow{F},\) завдяки дії якої система тіл може рухатися з прискоренням \(\overrightarrow{a},\) оскільки іншого в умові не зазначено.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона для кожного з тіл у проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox.\) Маємо систему рівнянь:

Обчислімо горизонтальну силу \(F:\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови рівноваги.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння умов рівноваги тіла, а також вміння застосовувати правило моментів.

За умовою важіль \(1\) може обертатися (має нерухому вісь обертання \(2\)). Відповідно до правила моментів важіль перебуватиме в рівновазі, якщо алгебрична сума моментів \(M_1\) і \(M_2\) сил (їх два, тому що є дві точки прикладання сил до важеля ‒ там, де підвішені важки, і там, де підвішений вантаж \(3\)), що діють на тіло, дорівнює нулю: $$ M_1+M_2=0. $$

Момент сили \(M_1=F_1d_1\) є додатним (сила \(\overrightarrow{F}_1\) повертає важіль проти годинникової стрілки). Момент сили \(M_2=-F_2d_2\) є від’ємним (сила \(\overrightarrow{F}_2\) повертає важіль за годинниковою стрілкою) \begin{gather*} F_1d_1-F_2d_2=0,\\[7pt] F_1d_1=F_2d_2. \end{gather*}

У цьому разі на важки і на вантаж діють сили тяжіння \(F_1\) і \(F_2:\) $$ F_1=2mg, $$ де \(m=100\ \text{г}=0,1\ \text{кг}\) ‒ маса одного важка, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння); $$ F_2=Mg, $$ де \(M\) ‒ маса вантажу \(3\) ‒ шукана величина.

Плече \(d\) сили \(F\) ‒ це найменша відстань від осі обертання \(2\) тіла до лінії, вздовж якої діє сила \(\overrightarrow{F}.\) Отже, плече \(d_1=4d,\) а плече \(d_2=d\) (де \(d\) ‒ одиничний відрізок).

Визначимо масу вантажу \(3:\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу під час рівномірного і рівноприскореного руху.

Завдання скеровано на перевірку вміння читати графіки залежності кінематичних величин від часу під час рівномірного і рівноприскореного рухів.

Залежність проєкції швидкості \(v\) тіла від часу \(t\) для прямолінійного рівноприскореного руху $$ v=v_0+at $$ є лінійною, тому графік проєкції швидкості ‒ це відрізок прямої, нахиленої під певним кутом до осі часу (\(v_0\) ‒ проєкція початкової швидкості руху тіла, \(a\) ‒ проєкція прискорення).

Що більше прискорення руху тіла, то більший кут нахилу графіка проєкції швидкості до осі часу.

Розгляньмо рисунок. Найменший кут нахилу графіка ‒ на ділянці від \(10\) до \(20\ \text{с.}\)

Перевірити правильність відповіді можна за допомогою розрахунків, скориставшись формулою для прискорення $$ a=\frac{v-v_0}{t}. $$

Інтервал часу від \(0\) до \(10\ \textbf{с:}\) $$ a_{0-10}=\frac{15-0}{10}\ \text{м/с}^2=1,5\ \text{м/с}^2. $$

Інтервал часу від від \(10\) до \(20\ \textbf{с:}\) $$ a_{10-20}=\frac{20-15}{10}\ \text{м/с}^2=0,5\ \text{м/с}^2. $$

Інтервал часу від від \(20\) до \(30\ \textbf{с:}\) $$ a_{20-30}=\frac{0-20}{10}\ \text{м/с}^2=-2\ \text{м/с}^2. $$ (знак мінус указує на гальмування тіла, але модуль прискорення дорівнює \(2\ \text{м/с}^2\)).

Інтервал часу від від \(30\) до \(40\ \textbf{с:}\) $$ a_{30-40}=\frac{10-0}{10}\ \text{м/с}^2=1\ \text{м/с}^2. $$

Як бачимо, мінімальне прискорення відповідає інтервалу часу від \(10\) до \(20\ \text{с.}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на рух тіла під дією кількох сил.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат

де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(\overrightarrow{a}\) – прискорення, з яким зісковзує тіло з похилої площини, \(\overrightarrow{F}_\text{Т}\) – сила тяжіння, \(\overrightarrow{N}\) – сила нормальної реакції опори, \(\overrightarrow{F}_\text{тер}\) – сила тертя ковзання, \(\mathbf{\mu}\) – коефіцієнт тертя ковзання.

Виразімо силу нормальної реакції опори з рівняння (2) і підставимо в рівняння (1):

Обидві частини отриманого рівняння скоротімо на масу \(m\) тіла: $$ a=g\sin\mathbf{\alpha}-\mathbf{\mu}g\cos\mathbf{\alpha}. $$

Виразімо й обчислімо коефіцієнт тертя ковзання: $$ \mathbf{\mu}=\frac{g\sin\mathbf{\alpha}-a}{g\cos\mathbf{\alpha}}. $$

За умовою $$ \mathbf{\alpha}=\arcsin\mathbf{\alpha}. $$

Відповідно

Відповідь: 0,5.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закономірностей прямолінійного рівномірного й рівноприскореного рухів.

Розгляньмо рух парашутиста й монети.

Парашутист за умовою опускається зі сталою швидкістю \(v=5\ \text{м/с},\) оскільки дія сили тяжіння скомпенсована дією сили опору повітря. Отже, відстань \(h=10\ \text{м}\) він пройде за \(2\ \text{с}:\) $$ t_\text{пар}=\frac hv=\frac{10}{5}=2\ \text{с}. $$

Монета пройде той самий шлях \(h=10\ \text{м},\) але рухатиметься рівноприскорено. Власна початкова швидкість монети дорівнює нулю, оскільки вона просто випала з кишені. Але ж вона випала з кишені парашутиста, який рухався зі швидкістю \(v=5\ \text{м/с},\) тому початкова швидкість монети $$ v_0=5\ \text{м/с}. $$

Вплив опору повітря на монету за умовою до уваги не беремо, тож знайдемо час її падіння з кінематичного рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2}, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння; усі векторні величини записано в проєкціях на вісь \(Oy,\) що, як і вектор прискорення вільного падіння, напрямлена вертикально вниз.

Підставімо значення величин у рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2}\Rightarrow 10=5t+\frac{10t^2}{2}. $$

Поділімо ліву і праву частину рівняння на \(5\) й дістанемо зведене квадратне рівняння: $$ t^2+t-2=0. $$

За теоремою Вієтта знайдімо корені рівняння: $$ t_1=-2,\ \ t_2=1. $$

Час не може бути від’ємним, тому умову задовольняє корінь \(t_2=1\ \text{с},\) тобто монета впала за \(1\ \text{с},\) а парашутист приземлився на \(1\ \text{с}\) пізніше: $$ \Delta t=t_\text{пар}-t_2=2\ \text{с}-1\ \text{с}=1\ \text{с}. $$

Відповідь: 1.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння фізичних характеристик рівномірного руху по колу – доцентрового прискорення, лінійної швидкості, кутової швидкості.

1. Запишімо формулу для визначення доцентрового прискорення \(a_\text{дц}:\) $$ a_\text{дц}=\mathbf{\omega}^2r, $$ де \(\mathbf{\omega}\) – кутова швидкість, \(r\) – радіус кола.

За умовою кутова швидкість для всіх точок стала й однакова, а модуль доцентрового прискорення прямо пропорційний радіусу кола. Отже, модуль доцентрового прискорення \(a_1\) буде найменшим для точок диска, що перебувають на найменшій відстані від центра диска – це точки на внутрішньому отворі диска діаметром \(d_1=1,5\ \text{см}.\) Тоді найбільшим буде модуль доцентрового прискорення \(a_3\) для точок на зовнішньому краю диска – це коло діаметром \(d_3=12\ \text{см}:\) \begin{gather*} a_1=\mathbf{\omega}^2r_1=\mathbf{\omega}^2\cdot \frac{d_1}{2},\\[6pt] a_3=\mathbf{\omega}^2r_3=\mathbf{\omega}^2\cdot \frac{d_3}{2}. \end{gather*}

Визначімо відношення максимального і мінімального модулів доцентрових прискорень: \begin{gather*} \frac{a_3}{a_1}=\frac{\mathbf{\omega}^2\cdot d_3\cdot 2}{2\mathbf{\omega}^2\cdot d_1}=\frac{d_3}{d_1},\\[6pt] \frac{a_3}{a_1}=\frac{12\ \text{см}}{1,5\ \text{см}}=8. \end{gather*}

Відповідь: 8.

2. Формула для визначення лінійної швидкості ϑ рівномірного руху тіла по колу: \begin{gather*} v=\mathbf{\omega}R. \end{gather*}

За умовою кутова швидкість для всіх точок стала й однакова, а лінійна швидкість прямо пропорційна радіусу кола. Отже, найбільшою буде лінійна швидкість \(v_3\) зовнішнього краю диска \(R_3=6\ \text{см},\) а найменшою \(v_2\) – внутрішнього краю області диска, на якому вже можна записувати / зчитувати інформацію – \(R_2=2\ \text{см:}\) \begin{gather*} v_3=\mathbf{\omega}R_3,\\[7pt] v_2=\mathbf{\omega}R_2. \end{gather*}

Визначімо, у скільки разів максимальна швидкість записування / зчитування інформації більша за мінімальну: \begin{gather*} \frac{v_3}{v_2}=\frac{\mathbf{\omega}R_3}{\mathbf{\omega}R_2}=\frac{R_3}{R_2},\\[6pt] \frac{v_3}{v_2}=\frac{6\ \text{см}}{2\ \text{см}}=3. \end{gather*}

Відповідь: 3.

Відповідь: 1. 8. 2. 3.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння кінематичних характеристик прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів, що є складниками рівняння руху.

1. Рівнянням координати \(x\) $$ x=5+2t $$ описують прямолінійний рівномірний рух: $$ x=x_0+vt, $$ де \(x_0\) – початкова координата, \(v\) – проєкція швидкості руху, \(t\) – час спостереження.

Відповідно до цього рівняння початкова координата \(x_0=5\ \text{м},\) швидкість руху тіла \(v=2\ \text{м/с},\) а прискорення \(a=0\ \text{м/с}^2,\) оскільки рух рівномірний – варіант відповіді Г.

2. Рівнянням координати \(x\) $$ x=5t+2t^2 $$ описують прямолінійний рівноприскорений рух: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x_0\) – початкова координата, \(v_0\) – проєкція початкової швидкості руху, \(t\) – час спостереження, \(a\) – проєкція прискорення.

Відповідно до цього рівняння початкова координата \(x_0=0\ \text{м},\) початкова швидкість руху тіла \(v_0=5\ \text{м/с},\) а прискорення \(a=4\ \text{м/с}^2\) – варіант відповіді А.

3. Рівнянням координати \(x\) $$ x=2t+5t^2 $$ описують прямолінійний рівноприскорений рух: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x_0\) – початкова координата, \(v_0\) – проєкція початкової швидкості руху, \(t\) – час спостереження, \(a\) – проєкція прискорення.

Відповідно до цього рівняння початкова координата \(x_0=0\ \text{м},\) початкова швидкість руху тіла \(v_0=2\ \text{м/с},\) а прискорення \(a=10\ \text{м/с}^2\) – варіант відповіді Б.

4. Рівнянням координати \(x\) $$ x=5+t^2 $$ описують прямолінійний рівноприскорений рух: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x_0\) – початкова координата, \(v_0\) – проєкція початкової швидкості руху, \(t\) – час спостереження, \(a\) – проєкція прискорення.

Відповідно до цього рівняння початкова координата \(x_0=5\ \text{м},\) початкова швидкість руху тіла \(v_0=0\ \text{м/с},\) а прискорення \(a=2\ \text{м/с}^2\) – варіант відповіді Д.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б, 4Д.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Перетворення енергії у гармонічних коливаннях.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження механічної енергії на прикладі математичного маятника.

Повна механічна енергія кульки, яка складається з кінетичної і потенціальної енергій, зберігатиметься: уважаємо, що опір повітря нехтовно малий, а сили, що діють у системі, є консервативними. Якщо значення одного виду енергії зменшується, то відповідно, значення іншого виду енергії збільшується.

За умовою завдання маятник рухається в бік положення рівноваги (вертикального положення). Це означає, що висота підняття кульки під час здійснення коливання зменшуватиметься, а швидкість руху кульки у напрямку положення рівноваги збільшуватиметься (див. рисунок).

Потенціальна енергія \(W_p\) кульки прямо пропорційна висоті \(h\) підняття кульки відносно нульового рівня (коли кулька перебуває в положенні рівноваги): $$ W_p=mgh, $$ де \(m\) ‒ маса кульки, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Отже, якщо висота зменшується, то потенціальна енергія теж зменшується.

Кінетична енергія \(W_k\) прямо пропорційна квадрату швидкості руху \(v\) кульки: $$ W_k=\frac{mv^2}{2}. $$

Отже, у разі збільшення швидкості руху кінетична енергія кульки теж збільшуватиметься.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону збереження повної механічної енергії, а також залежності в цьому законі величин, які описують тіло або систему тіл, від часу.

Тіло, кинуте під кутом до горизонту, рухається по параболі, тож кінетична енергія тіла переходить у потенціальну, а потім, під час падіння, навпаки – потенціальна в кінетичну.

У замкненій системі тіл, які взаємодіють тільки консервативними силами, повна механічна енергія залишається незмінною (зберігається).

Закон збереження повної механічної енергії виконується тільки в тому разі, якщо в системі немає тертя.

За умовою на опір повітря не зважаємо, тому закон збереження повної механічної енергії справедливий.

Якщо повна механічна енергія \(E\) із часом залишається сталою, то графіком її залежності від часу \(t\) буде пряма, паралельна до осі часу ‒ варіант В:

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Сполучені посудини.

Завдання скеровано на перевірку знання, розуміння і вміння застосовувати властивості сполучених посудин.

Відповідно до основної властивості сполучених посудин у відкритих сполучених посудинах вільні поверхні однорідної нерухомої рідини (за умовою – води) встановлюються на одному рівні. Тож поки в посудинах була лише вода, її рівень в обох посудинах однаковий.

Після того, як обережно (не змішуючи) в одну з посудин (праворуч) долили важчу за воду рідину (густина \(\mathbf{\rho}_\text{рідини}\) за умовою більша за густину \(\mathbf{\rho}_\text{води}),\) рівень води в другій посудині (ліворуч) підвищився, а в посудині, що праворуч, знизився (див. рисунок). Різниця рівнів води в правій і лівій посудинах становить \(\Delta h.\)

В однорідній рідині (тут – у воді) тиск на одному горизонтальному рівні є однаковим. На рівні \(AB\) в обох колінах міститься вода, тому на цьому рівні тиски, створені атмосферою \(p_\text{атм}\) і рідинами, однакові. Для визначення гідростатичних тисків води \(p_\text{води}\) і рідини \(p_\text{рідини}\) треба знати їхні густини \(\mathbf{\rho}_\text{води}\) і \(\mathbf{\rho}_\text{рідини}.\)

Визначімо висоту стовпчика води \(h_\text{води}.\) Для цього дізнаємося тиск у точках \(A\) і \(B:\)

Оскільки \(p_A=p_B,\) маємо:

або $$ \mathbf{\rho}_\text{води}gh_\text{води}=\mathbf{\rho}_\text{рідини}gh_\text{рідини}. $$

Звідси дізнаймося висоту стовпчика води:

Якщо нульовим рівнем уважати рівень води в посудині праворуч, різниця рівнів води дорівнюватиме висоті стовпчика води в посудині ліворуч:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння дії простого механізму ‒ нерухомого блоку, і вміння аналітично описувати рух зв’язаних тіл за допомогою другого закону динаміки Ньютона.

Схематично зобразімо на рисунку сили тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{т1}\) і \(\overrightarrow{F}_\text{т2}\) й сили натягу нитки \(\overrightarrow{T},\) що діють на кожний зі шматків жерсті масами \(m_1\) і \(m_2,\) а також напрямки прискорень \(\overrightarrow{a}_1\) і \(\overrightarrow{a}_2\) й вибраний напрямок осі координат \(Oy.\)

Запишімо для обох предметів другий закон динаміки Ньютона у векторному вигляді:

Запишімо систему рівнянь у проєкціях на вісь \(Oy:\) $$ \left\{ \begin{array}{l} m_1a_1=-F_\text{т1}+T\\ -m_2a_2=-F_\text{т2}+T \end{array} \right. $$

Пояснімо, чому за модулем $$ a_1=a_2=a $$ й сила натягу нитки за модулем однакова.

Відповідно до умови кінематичного зв’язку, що випливає з нерозтяжності нитки, за будь-який інтервал часу ліва ділянка нитки подовжується саме на стільки, на скільки скорочується права. Таким чином, переміщення обох шматків жерсті весь час однакові за модулем. Звідси випливає, що в шматків однакові й модулі швидкостей, і модулі прискорень, тому $$ a_1=a_2=a. $$

Якщо масами нитки та блока, а також тертям в осі блока можна знехтувати (а це можна зробити, тому що в умові завдання даних про це немає), то сила натягу нитки \(\overrightarrow{T}\) в усіх її перерізах однакова. Отже, нитка діє на обидва тягарці з однаковою силою \(\overrightarrow{T},\) напрямленою вгору (див. рисунок).

Узявши до уваги попередні пояснення

і віднявши від першого рівняння системи друге, дістанемо: \begin{gather*} m_1a_1+m_2a_2=-m_1g+m_2g,\\[6pt] a=\frac{g(m_2-m_1)}{m_2+m_1}. \end{gather*}

В умові є інформація про матеріал і розміри шматків жерсті, тож виразімо їхні маси через густину \(\mathbf{\rho}\) й об’єм \(V:\)

Шматки жерсті виготовлено з однакового матеріалу, тому $$ \mathbf{\rho}_1=\mathbf{\rho}_2=\mathbf{\rho}. $$

Товщина \(h\) шматків однакова, а сторона \(a\) квадратного шматка жерсті вдвічі більша за сторону іншого:

Отже,

Підставимо отримані вирази для мас у формулу для прискорення:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили пружності. Закон Гука.

Завдання скеровано на перевірку розуміння дії тіла на підвіс і застосування знань про з’єднання пружин.

На нижній динамометр діє сила тяжіння, а він підвішений до двох верхніх динамометрів за допомогою гачка, з’єднаного з його пружиною. Отже, у підвісі (тобто в пружині) сила пружності виникає завдяки силі, яку називають вагою. Нижній динамометр покаже значення сили тяжіння, яка за модулем дорівнює силі пружності і протилежно до неї напрямлена, а оскільки динамометр перебуває в стані спокою, то вага дорівнюватиме за модулем силі тяжіння.

Вагу нижнього динамометра розподілено порівну між верхніми динамометрами, оскільки динамометри за умовою однакові. Унаслідок дії нижнього динамометра пружини верхніх динамометрів однаково розтягуються. Отже, верхні динамометри показують значення сил пружності: $$ F_\text{пруж1}=F_\text{пруж2}=4\ \text{Н}. $$

Оскільки пружини верхніх динамометрів з’єднані паралельно стержнем, до якого підвішений нижній динамометр, то жорсткості цих пружин додають: $$ k=k_1+k_2. $$

Отже, та сила пружності, що виникає в нижньому динамометрі, дорівнюватиме сумі сил пружності, що виникають у верхніх динамометрах: $$ F_\text{пруж}=F_\text{пруж1}+F_\text{пруж2}=8\ \text{Н}. $$

А нижній динамометр покаже значення сили тяжіння, яка за модулем дорівнює силі пружності: $$ F_\text{тяж}=F_\text{пруж}=8\ \text{Н}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон додавання швидкостей.

Закон додавання швидкостей полягає в тому, що швидкість \(\overrightarrow{v}_\text{м(З)}\) руху м’ячика в нерухомій системі відліку (відносно Землі) дорівнює геометричній сумі швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) руху м’ячика в рухомій системі відліку (відносно автомобіля) та швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{a(З)}\) руху рухомої системи відліку (автомобіля) відносно нерухомої (Землі): $$ \overrightarrow{v}_\text{м(З)}=\overrightarrow{v}_\text{м(a)}+\overrightarrow{v}_\text{a(З)}. $$

Визначімо знаки проєкцій цих векторів у відповідних системах відліку (див. рисунок).

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(З)}\) руху м’ячика в нерухомій системі відліку (відносно Землі) збігається з напрямком побудованої осі \(Ox.\)

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{a(З)}\) руху автомобіля відносно нерухомої системи відліку (Земля) є протилежним до напрямку осі \(Ox,\) отже, проєкція цієї швидкості від’ємна:

Напрямок вектора швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) руху м’ячика в рухомій системі відліку (відносно автомобіля) протилежний до напрямку руху автомобіля, отже, напрямок вектора \(\overrightarrow{v}_\text{м(a)}\) співпадає з напрямком осі \(Ox,\) відповідно проєкція швидкості руху м᾽ячика дорівнюватиме: $$ v_\text{м(a)}=5\ \text{м/с}. $$

Визначімо за законом додавання швидкостей модуль швидкості м’ячика відносно Землі:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону додавання швидкостей у класичній механіці.

Для визначення часу, який знадобиться автомобілю, щоб проїхати від останнього до першого вагона, необхідно знати швидкість руху автомобіля відносно поїзда. Відстань, яку треба проїхати автомобілю, ‒ це довжина \(l\) поїзда. Виберемо поїзд як систему відліку. Тоді

де \(v_{\text{А(П)}}\) – швидкість руху автомобіля відносно поїзда

Тепер можна обчислити час \(t,\) за який автомобіль випередить поїзд:

Відповідь: 20.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону збереження механічної енергії, уміння описати аналітично рух тіла під дією кількох сил.

Перед початком руху тіло масою \(m\) було на висоті \(h,\) тобто мало певний запас пасивної механічної енергії ‒ потенціальної \(E_p:\) $$ E_p=mgh, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Отже,

Ковзаючи по похилій площині довжиною \(s,\) тіло втрачає частину енергії на виконання роботи \(A\) сили тертя ковзання \(F_\text{тер}.\) Частина потенціальної енергії переходить у внутрішню енергію тіла і похилої площини: $$ A=F_\text{тер}s\cos\mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут між вектором сили й вектором переміщення.

Сила тертя ковзання напрямлена проти руху тіла, а переміщається воно вздовж похилої площини, то ж зазначений кут становитиме \(180^\circ.\) Оскільки $$ \cos180^\circ=-1, $$ робота сили тертя ковзання від’ємна. Визначімо її модуль.

Схематично зобразимо на похилій площині й позначимо всі сили, що діють на тіло. Сила тяжіння \(m\overrightarrow{g}\) з боку Землі завжди напрямлена вертикально вниз, сила нормальної реакції \(\overrightarrow{N}\) перпендикулярна до похилої площини, сила тертя ковзання \(\overrightarrow{F}_\text{тер}\) діє проти руху тіла вздовж похилої площини.

Запишімо другий закон Ньютона у векторній формі: $$ m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F}_\text{тер}. $$

Сила тертя ковзання \(F_\text{тер}\) дорівнює добутку коефіцієнта тертя ковзання \(\mathbf{\mu}\) і сили \(N\) нормальної реакції опори: $$ F_\text{тер}=\mathbf{\mu}N. $$

Для того, щоб визначити \(N,\) запишімо другий закон Ньютона в проєкціях на вісь \(Oy:\) \begin{gather*} 0=-mg\cos\mathbf{\alpha}+N,\\[7pt] N=mg\cos\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Отже, $$ F_\text{тер}=\mathbf{\mu}N=\mathbf{\mu}mg\cos\mathbf{\alpha}. $$

Виразимо модуль переміщення тіла (довжину похилої площини) через дані в умові завдання: $$ s=\frac{h}{\sin\mathbf{\alpha}}. $$

Отже, остаточна формула для визначення роботи сили тертя ковзання набуває такого вигляду:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівноприскорений рух.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати кінематичні рівняння для прямолінійного рівноприскореного руху.

1. Векторну фізичну величину, яка характеризує швидкість зміни швидкості руху тіла й дорівнює відношенню зміни швидкості руху тіла до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася, називають прискоренням руху тіла.

Користуючись тим, що в умові дана відстань \(l,\) яку долає кулька, і час \(t\) руху кульки, можна визначити прискорення \(a\) з формули $$ l=v_0t+\frac{at^2}{2}. $$

За умовою початкова швидкість руху кульки дорівнює нулю \((v_0=0)\) ‒ кулька вільно скочується. Тому формулу можна спростити: $$ l=\frac{at^2}{2}. $$

Учень п’ять разів виміряв час, тому необхідно визначити середнє значення часу як середнє арифметичне значення:

Виразімо й обчислимо прискорення:

Відповідь: 2.

2. Формула для визначення модуля прискорення така: \begin{gather*} a=\frac{v-v_0}{t_\text{сер}}. \end{gather*}