Визначте найбільше ціле значення параметра \(a\), за якого всі корені рівняння \(9^x-(3a-1)3^x=2-3a\) належать проміжку \((-2;\ 3).\)

Обчисліть суму нескінченної геометричної прогресії \((b_n)\), якщо сума її другого й четвертого членів дорівнює \(1040\), а знаменник \(q\) дорівнює різниці арифметичної прогресії \((a_n)\), заданої формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=\frac{2n+3}{10}.\)

У паралелограмі \(ABCD\) бісектриса кута \(B\) ділить сторону \(AD\) на відрізки \(AM\) і \(MD.\) Визначте відношення площі чотирикутника \(MBCD\) до площі трикутника \(ABM\), якщо периметр паралелограма дорівнює \(56\) см, а відрізок \(MD\) на \(4\) см менший за \(AD.\)

Обчисліть значення виразу

якщо \(x=1024.\)

Пані Марія купила в магазині три шматки сиру різних видів. Інформацію про ціну сиру (за \(1\) кг) і масу кожного шматка відображено в таблиці.

Визначте масу (г) шматка сиру «Пікантний», який придбала пані Марія, якщо середня ціна придбаного сиру дорівнює \(300\) грн за \(1\) кг.

У прямокутній системі координат на площині задано вектори \(\overrightarrow{a}\) і \(\overrightarrow{b}\) (див. рисунок).

1. Визначте координати вектора \(\overrightarrow{c}=\frac 12(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).\) У відповіді запишіть їхній добуток.

2. Обчисліть скалярний добуток \(\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}).\)

На діаграмі наведено інформацію про кількість смартфонів і ноутбуків, проданих однією з торговельних мереж протягом липня – жовтня \(2024\) року. Невідомою є кількість ноутбуків, проданих у вересні.

1. Обчисліть кількість ноутбуків, проданих у вересні, якщо відношення кількості смартфонів, проданих протягом липня – жовтня, до кількості ноутбуків, проданих за той же період, дорівнює \(\frac 56.\)

2. На основі даних діаграми про кількість ноутбуків, проданих протягом липня – жовтня, побудовано кругову діаграму. Визначте числове значення градусної міри сектора, що позначає кількість ноутбуків, проданих у жовтні.

У трикутнику \(ABC\) сторона \(AB\) дорівнює \(17\) см, сторона \(AC\) – \(11\) см. Пряма, що паралельна стороні \(BC\), перетинає сторони \(AB\) й \(AC\) в точках \(M\) і \(N\) відповідно, а довжина відрізка \(AM\) утричі менша за довжину \(MB.\) Довжина відрізка \(MN\) дорівнює \(3\) см.

1. Обчисліть периметр (см) трикутника \(ABC.\)

2. Обчисліть довжину (см) медіани, проведеної до сторони \(BC.\)

Господар у березні використав \(200\ \text{кВт}\cdot \text{год}\) електроенергії і заплатив за неї за тарифом \(5\ \text{грн}\ 20\ \text{к}.\) за \(1\ \text{кВт}\cdot \text{год}.\) У перший день квітня він замінив старий лічильник на новий, який рахує кількість використаної електроенергії окремо в денний (з \(7{:}00\) до \(23{:}00\)) і нічний (з \(23{:}00\) до \(7{:}00\)) час. Тариф за електроенергію, використану в нічний час, є вдвічі меншим за денний тариф і становить \(2\ \text{грн}\ 60\ \text{к}.\) за \(1\ \text{кВт}\cdot \text{год}.\) За спожиту в квітні електроенергію господар заплатив на \(15\ \%\) менше, ніж за спожиту в березні, хоча використав таку саму кількість електроенергії \((\text{кВт}\cdot \text{год}).\)

1. Яку кількість електроенергії \((\text{кВт}\cdot \text{год})\) використав господар у денний час у квітні?

2. Яку суму (грн) заплатив би господар за використані \(200\ \text{кВт}\cdot \text{год}\) у квітні, якщо би збільшив на \(40\ \%\) використання електроенергії в нічний час?

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Увідповідніть твердження (1–3) та функцію (А – Д), для якої це твердження є правильним.

Доберіть до задачі (1–3) правильний розв’язок (А – Д).

Яка система рівнянь є математичною моделлю такої задачі?

З Одеси й Черкас, відстань між якими \(420\) км, одночасно назустріч один одному виїхали пасажирський автобус й автомобіль відповідно. Через три години вони зустрілися та, не зупиняючись, продовжили рух із тими самими швидкостями. Визначте швидкість автобуса й швидкість автомобіля, якщо автобус прибув до Черкас на \(1\) год \(45\) хв пізніше, ніж автомобіль до Одеси. Уважайте, що автобус рухався зі швидкістю \(x\) км/год, а автомобіль – \(y\) км/год.

Обчисліть значення виразу \(\cos^2 \alpha-\cos^4 \alpha+\sin^4 \alpha\), якщо \(4\sin^2 \frac{\alpha}{2}=1.\)