У прямокутній системі координат на площині задано вектори \(\overrightarrow{a}\) і \(\overrightarrow{b}\) (див. рисунок).

1. Визначте координати вектора \(\overrightarrow{c}=\frac 12(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).\) У відповіді запишіть їхній добуток.

2. Обчисліть скалярний добуток \(\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}).\)

На діаграмі наведено інформацію про кількість смартфонів і ноутбуків, проданих однією з торговельних мереж протягом липня – жовтня \(2024\) року. Невідомою є кількість ноутбуків, проданих у вересні.

1. Обчисліть кількість ноутбуків, проданих у вересні, якщо відношення кількості смартфонів, проданих протягом липня – жовтня, до кількості ноутбуків, проданих за той же період, дорівнює \(\frac 56.\)

2. На основі даних діаграми про кількість ноутбуків, проданих протягом липня – жовтня, побудовано кругову діаграму. Визначте числове значення градусної міри сектора, що позначає кількість ноутбуків, проданих у жовтні.

У трикутнику \(ABC\) сторона \(AB\) дорівнює \(17\) см, сторона \(AC\) – \(11\) см. Пряма, що паралельна стороні \(BC\), перетинає сторони \(AB\) й \(AC\) в точках \(M\) і \(N\) відповідно, а довжина відрізка \(AM\) утричі менша за довжину \(MB.\) Довжина відрізка \(MN\) дорівнює \(3\) см.

1. Обчисліть периметр (см) трикутника \(ABC.\)

2. Обчисліть довжину (см) медіани, проведеної до сторони \(BC.\)

Господар у березні використав \(200\ \text{кВт}\cdot \text{год}\) електроенергії і заплатив за неї за тарифом \(5\ \text{грн}\ 20\ \text{к}.\) за \(1\ \text{кВт}\cdot \text{год}.\) У перший день квітня він замінив старий лічильник на новий, який рахує кількість використаної електроенергії окремо в денний (з \(7{:}00\) до \(23{:}00\)) і нічний (з \(23{:}00\) до \(7{:}00\)) час. Тариф за електроенергію, використану в нічний час, є вдвічі меншим за денний тариф і становить \(2\ \text{грн}\ 60\ \text{к}.\) за \(1\ \text{кВт}\cdot \text{год}.\) За спожиту в квітні електроенергію господар заплатив на \(15\ \%\) менше, ніж за спожиту в березні, хоча використав таку саму кількість електроенергії \((\text{кВт}\cdot \text{год}).\)

1. Яку кількість електроенергії \((\text{кВт}\cdot \text{год})\) використав господар у денний час у квітні?

2. Яку суму (грн) заплатив би господар за використані \(200\ \text{кВт}\cdot \text{год}\) у квітні, якщо би збільшив на \(40\ \%\) використання електроенергії в нічний час?

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Увідповідніть твердження (1–3) та функцію (А – Д), для якої це твердження є правильним.

Доберіть до задачі (1–3) правильний розв’язок (А – Д).

Яка система рівнянь є математичною моделлю такої задачі?

З Одеси й Черкас, відстань між якими \(420\) км, одночасно назустріч один одному виїхали пасажирський автобус й автомобіль відповідно. Через три години вони зустрілися та, не зупиняючись, продовжили рух із тими самими швидкостями. Визначте швидкість автобуса й швидкість автомобіля, якщо автобус прибув до Черкас на \(1\) год \(45\) хв пізніше, ніж автомобіль до Одеси. Уважайте, що автобус рухався зі швидкістю \(x\) км/год, а автомобіль – \(y\) км/год.

Обчисліть значення виразу \(\cos^2 \alpha-\cos^4 \alpha+\sin^4 \alpha\), якщо \(4\sin^2 \frac{\alpha}{2}=1.\)

Яке твердження є істинним?

Скільки всього розв'язків має система рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} y+x^2=3,\\ x+y^2=2? \end{array}\right. \end{gather*}

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями \(y=(x-2)^2\), \(y=x-5\), \(x=2\), \(x=5.\)

До кола із центром у точці \(O\) й радіусом \(4\) см проведено дві дотичні \(MA\) та \(MB\) (\(A\) та \(B\) – точки дотику). Визначте градусну міру кута між цими дотичними, якщо \(AB=4\sqrt{3}\) см.

Обчисліть значення похідної функції \(f(x)=x^3e^{3x}\) у точці \(x_0=1.\)