ЗНО онлайн 2015 року з математики – додаткова сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння: щоб вказати проміжок, якому належить корінь заданого лінійного рівняння, потрібно спочатку його знайти.

Розділимо обидві частини рівняння на \(0{,}5\mathord{:}\) \begin{gather*} 0{,}5(x - 4) = 1{,}5,\\[6pt] x - 4 = \frac{1{,}5}{0{,}5},\\[6pt] x - 4 = 3. \end{gather*}

Перенесемо \(-4\) в праву частину рівняння, змінивши знак на протилежний: $$ x = 3 + 4, $$ \(x = 7\) – корінь рівняння, він належить проміжку \((4; 8]\).

Зазначимо, що розділити вираз на \(0{,}5\) – це рівносильно множенню його на \(2\), тому обидві частини заданого рівняння можна спочатку не розділити на \(0{,}5\), а помножити на \(2\mathord{:}\) $$ 2 \cdot 0{,}5(x - 4) = 2 \cdot 1{,}5, $$ звідки \begin{gather*} x - 4 = 3, \\[7pt] x = 7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші текстові задачі арифметичним способом.

Розв’язання завдання зводиться до знаходження чисел за відомим відношенням між ними. Оскільки перший фахівець отримав четверту частину всіх грошей, то він отримав $$ 3000 \cdot \frac{1}{4} = 750\ \text{грн}. $$ Тоді другий фахівець, що отримав решту, отримав $$ 3000 - 750 = 2250\ \text{грн}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом та теорем стереометрії, означення перпендикулярних прямих у просторі.

Через пряму \(a\) та точку \(M\), що не належить цій прямій, можна провести єдину площину (позначимо її через \(\alpha\)), а в площині \(\alpha\) через точку \(M\) можна провести єдину пряму, перпендикулярну до прямої \(a.\)

Отже, через точку \(M\), що не належить прямій \(a\), можна провести лише одну пряму, яка перетинає пряму \(a\) і перпендикулярна до неї.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Запишемо число \(\frac{1}{36}\) як степінь з основою \(6\mathord{:}\) $$ \frac{1}{36} = \frac{1}{6^{2}} = 6^{-2}. $$ Отримуємо нерівність: \(6^{x} \lt 6^{-2}\).

Оскільки основа \(6 \gt 1\), то задана нерівність рівносильна нерівності \(x \lt -2\). Запишемо множину розв’язків нерівності у вигляді інтервалу: \(x \in (-\infty; -2).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, а саме різниці квадратів: $$ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b). $$

Скориставшись цією формулою, отримуємо:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул зведення та властивостей функції \(y = \sin x\).

Спочатку спростимо заданий вираз. Оскільки $$ 415^\circ = 360^\circ + 55^\circ, $$ а \(360^\circ\) є періодом функції \(y = \sin x\), то $$ \sin 415^\circ = \sin(360^\circ + 55^\circ) = \sin 55^\circ. $$

Оцінимо значення виразу \(\sin 55^\circ.\) Оскільки функція \(y = \sin x\) зростає на проміжку \((-90^\circ; 90^\circ)\), то $$ \sin 45^\circ \lt \sin 55^\circ \lt \sin 60^\circ, $$ тобто $$ \frac{\sqrt{2}}{2} \lt \sin 55^\circ \lt \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Отже, значення виразу \(\sin 415^\circ\) належить проміжку \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Монотонність функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити проміжки монотонності – зростання або спадання елементарних функцій.

Зображений на рисунку ескіз графіка є параболою – графіком квадратичної функції. Вона спадає на проміжку \((-\infty; x_{в}]\), де \(x_{в}\) – абсциса вершини параболи \begin{gather*} y = ax^{2} + bx + c, \\[6pt] x_{в} = -\frac{b}{2a}. \end{gather*} У нашому випадку \begin{gather*} a = 1,\\[7pt] b = 2,\\[6pt] x_{в} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1. \end{gather*}

Отже, задана функція спадає на проміжку \((-\infty; -1].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Всього у кубика \(6\) граней. Нехай \(x\) граней кубика пофарбували в синій колір. Тоді ймовірність того, що при підкиданні кубика випаде синя грань, за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості синіх граней \(x\) до загальної кількості граней \(6.\) Отже, $$ \frac{x}{6} = \frac{1}{3}. $$ Розв’язавши це рівняння, отримаємо $$ x = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 $$ кількість синіх граней.

Кількість граней, пофарбованих у жовтий колір, дорівнює $$ 6 - 2 = 4. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Середня лінія трикутника. Вектори. Множення вектора на число.

Це завдання перевіряє знання означення і властивостей середньої лінії трикутника, а також уміння множити вектор на число.

Якщо точки \(K\) і \(M\) є серединами сторін \(AB\) і \(BC\) відповідно, то \(KM\) – середня лінія трикутника \(ABC\), яка паралельна стороні \(AC\), причому \(KM\ ||\ AC\), \(KM = \frac{1}{2}AC\), тоді \(AC = 2KM.\)

Вектори \(\overrightarrow{MK}\) і \(\overrightarrow{AC}\) лежать на паралельних прямих, отже, є колінеарними. Їх напрямки протилежні, а довжина вектора \(\overrightarrow{AC}\) вдвічі більша за довжину вектора \(\overrightarrow{MK}\), тому \(\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{MK}.\)

Оскільки \(\overrightarrow{MK} = a\), то \(\overrightarrow{AC} = -2a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік лінійної функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції, зокрема прямій.

Графік функції проходить через точку, якщо її координати задовольняють рівняння, яким задано функцію, тобто при підстановці в це рівняння обертають його на тотожність. Підставимо координати точки \(O(0; 0)\) в кожне з наведених рівнянь:

А: \(0 = -2 \cdot 0 = 0\) – рівність виконується, отже пряма \(y = -2x\) проходить через точку \(O(0; 0)\);

Б: \(0 \neq 0 + 2 = 2\) – рівність не виконується;

В: \(0 \neq 0 - 2 = -2\) – рівність не виконується;

Г: \(0 \neq 2 - 0 = 2\) – рівність не виконується;

Д: \(0 \neq -2\) – рівність не виконується.

Це завдання можна розв’язати, безпосередньо скориставшись властивістю лінійної функції. Оскільки точка \(O(0; 0)\) є початком координат, а пряма, яка проходить через початок координат, задається рівнянням \(y = kx\), \(k\) – дійсне число, то серед наведених рівнянь цю умову задовольняє лише рівняння прямої \(y = -2x.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Об’єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння знаходити об’єм конуса.

$$ V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h, $$ де \(R\) – радіус основи конуса, \(h\) – висота конуса.

За умовою, діаметр основи конуса дорівнює \(6\) см, відповідно радіус кола дорівнює половині його діаметра, тобто $$ R = \frac{d}{2} = 3\ \text{см}. $$

Підставимо отримані дані у формулу: $$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12\pi\ \text{см}^3. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків елементарних функцій.

З рисунка видно, що шукана функція на проміжку \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right)\) зростає, пряма \(x = \frac{\pi}{2}\) є вертикальною асимптотою (на рисунку позначена пунктирною лінією), графік функції не перетинає цю пряму. Крім того, графік функції проходить через початок координат. Розглянемо наведені функції:

А: \(y = \mathrm{ctg}\ x\) – графік цієї функції не проходить через початок координат, на проміжку \(\left(0;\, \frac{\pi}{2}\right)\) функція спадає, в точці \(x = 0\) не існує.

Б: \(y = 2^{x}\) – графік цієї функції не проходить через початок координат, оскільки \(0\ne 2^0=1\), крім того перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

В: \(y = x^{2}\) – графік цієї функції (парабола) перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

Г: \(y =\frac{\pi}{2}x\) – графік цієї функції (пряма) перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

Отже, варіанти А – Г не задовольняють умову завдання.

Д: \(y=\mathrm{tg}\ x\) – графік цієї функції проходить через початок координат, не перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}\), оскільки в цій точці не існує значення функції \(y = \mathrm{tg}\ x.\) Функція зростає на заданому проміжку. Отже, на рисунку зображено фрагмент графіка функції \(y = \mathrm{tg}\ x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Помітимо, що ця система є лінійною відносно \(2^{x}\) і \(y.\) Застосуємо метод додавання. Від першого рівняння системи віднімемо почленне друге рівняння:

Звівши подібні доданки, отримаємо: \(4y = -28,\) звідси \(y = -7.\)

Підставимо отримане значення \(y = -7\) в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, у перше: $$ 3 \cdot (-7) + 2^{x} = -13, $$ звідси \begin{gather*} 2^{x} = -13 + 21,\\[7pt] 2^{x} = 8,\\[7pt] x = 3. \end{gather*}

Отже, \((3; -7)\) – розв’язок системи. Тоді $$ x_{0} + y_{0} = 3 + (-7) = -4. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Довжина кола.

Це завдання перевіряє знання формули довжини кола.

Довжина кола \(l\) радіуса \(r\) обчислюється за формулою $$ l = 2\pi r. $$ Оскільки довжина меншого кола дорівнює \(10\pi\) см, то $$ 10\pi= 2\pi r, $$ звідси знаходимо \(r = 5\) см – радіус меншого кола.

Оскільки за умовою задачі радіус більшого кола \(R\) втричі перевищує радіус меншого кола, то $$ R = 3 \cdot 5 = 15\ \text{см}. $$

Точка зовнішнього дотику двох кіл належить відрізку \(O_{1}O_{2}\), тому

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул перетворень логарифмічних виразів: \begin{gather*} \log_{a} b^{k} = k \cdot \log_{a} b,\\[6pt] \log_{a^{k}} b = \frac{1}{k} \cdot \log_{a} b \end{gather*} та вміння їх використовувати для перетворення логарифмічного виразу.

Застосуємо ці формули:

Оскільки \(\log_{5} 5 = 1\), остаточно отримуємо: $$ \log_{5^{-2}} 5^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\cdot 1 = -0{,}25. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні рівняння зі змінною під знаком модуля.

Задане рівняння рівносильне рівнянню \(|x|= \frac{4}{3}.\)

Геометрично модуль числа – це відстань на координатній прямій від точки, що зображує це число, до початку відліку. На відстані \(\frac{4}{3}\) від початку відліку знаходяться два числа: \(x_{1} = \frac{4}{3}\) і \(x_{2} = -\frac{4}{3}.\) Обидва ці числа і є коренями заданого рівняння.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього перенесемо всі вирази у ліву частину нерівності: $$ (x + 4)(x - 8) - 3(x - 8) \gt 0 $$ і винесемо за дужки спільний множник \((x - 8).\) Отримаємо: \begin{gather*} (x - 8)((x + 4) - 3) \gt 0,\\[7pt] (x - 8)(x + 1) \gt 0. \end{gather*}

Визначимо нулі функції $$ y = (x - 8)(x + 1), $$ тобто корені рівняння $$ (x - 8)(x + 1) = 0. $$ Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю: \begin{gather*} x - 8 = 0,\\[7pt] x_1 = 8, \\[7pt] x + 1 = 0,\\[7pt] x_2 = -1. \end{gather*}

Позначимо на числовій осі \(x\) нулі \(x_{1} = 8\) та \(x_{2} = -1\) та визначимо знаки виразу \((x - 8)(x + 1)\) на кожному з отриманих проміжків.

Отже, \((-\infty; -1) \cup (8; +\infty)\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні. Похідна від складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну від складеної функції.

За означенням, якщо \(f(g(x))\) – складена функція і існують похідні функції \(g(x)\) у точці \(x\), а функції \(f(u)\) – у відповідній точці \(u = g(x)\), то існує похідна складеної функції \(f(g(x))\), причому $$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x). $$

Тоді

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра. Площа сфери.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє вміння знаходити площу поверхні, утвореної обертанням відрізка та чверті кола навколо заданої осі, використовуючи формули площі бічної поверхні циліндра та площі сфери.

Площа активної поверхні світлодіодної лампи, зображеної на рисунку, є сумою площі бічної поверхні циліндра та площі півсфери. Площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням відрізка \(AB\) навколо осі \(l\), обчислюємо за формулою $$ S = 2\pi Rh. $$ У нашому випадку діаметр \(2R = 3\) см, отже \(R = 1{,}5\) см, висота циліндра \(h = 5 - 1{,}5 = 3{,}5\) см. Підставивши ці значення у формулу, маємо $$ S = 3 \cdot 3{,}5\pi = 10{,}5\pi\ \text{см}^2. $$

Площу півсфери, утвореної обертанням чверті кола \(BC\) навколо осі \(l\), обчислюємо за формулою

Тоді площа активної поверхні лампи дорівнює

Отже, найближчою до точної є відповідь \(48\) см\(^2.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Прямокутник та його властивості. Площа прямокутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити площу та периметр прямокутника, застосовувати теорему Піфагора, знання співвідношень у прямокутному трикутнику.

Розглянемо кожне твердження:

1. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін. Цей добуток дорівнює \(48\) для прямокутника зі сторонами \(6\) та \(8\), зображеного на рисунку B. Отже, твердженню 1 відповідає прямокутник B.

2. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін. Ця сума дорівнює \(14\) для прямокутника зі сторонами \(2\) та \(5\), зображеного на рисунку A: $$ 2 \cdot (2 + 5) = 14. $$ Отже, 2 – A.

3. Серед варіантів Б, Г та Д, що залишилися, варіант Д не може відповідати твердженню 3, адже кут між діагоналями квадрата не може дорівнювати \(60^\circ\) (він становить \(90^\circ\)). Залишилося проаналізувати варіанти Б та Г.

Розглянемо прямокутник \(ABCD\), діагоналі якого перетинаються в точці \(O\) (див. рисунок).

\(\angle AOB\) – гострий кут між діагоналями прямокутника. Оскільки діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл, то \(AO = OB\), отже, трикутник \(AOB\) є рівнобедреним. Кут \(AOB\) між діагоналями прямокутника є в трикутнику \(AOB\) кутом при вершині рівнобедреного трикутника. Якщо \(\angle AOB = 60^\circ\), то кути при основі цього трикутника дорівнюють $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ, $$ отже, цей трикутник є рівностороннім.

У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, тому серед прямокутників, зображених на рисунках Б та Г, визначаємо той, у якого половина діагоналі дорівнює стороні \(AB.\) Це твердження виконується для прямокутника, зображеного на рисунку Б. Справді, з прямокутного трикутника \(ABC\) за теоремою Піфагора

Прямокутник \(ABCD\), у якого діагоналі перетинаються під кутом \(60^\circ\), можна встановити також за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику \(ABC.\)

Оскільки \(\angle BAC = 60^\circ\), то $$ \frac{BC}{AB} = \mathrm{tg}\ \angle BAC = \sqrt{3}. $$ Ця умова виконується лише для прямокутника зі сторонами \(4\) та \(4\sqrt{3}\) на рисунку Б: $$ \frac{BC}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} = \mathrm{tg}\ 60^\circ. $$ Отже, 3 – Б.

4. Діагональ квадрата зі стороною \(7\) дорівнює \(7\sqrt{2} \ne 14.\) Переконаємося, що твердженню 4 відповідає прямокутник на рисунку Г:

звідси отримуємо \(AC = 14\). Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння знаходити дільники чисел, знання означень простого числа і числа, кратного іншому числу.

1. Серед наведених чисел квадратом натурального числа є число \(16 =4^{2}\), отже, 1 – Б.

2. Натуральне число, більше за одиницю, називається простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю та саме число. Іншими словами, просте число ділиться націло лише на \(1\) та на себе. Усі парні натуральні числа більше \(2\) не є простими, оскільки, крім \(1\) та самого числа, вони обов’язково мають дільник \(2.\) Отже, парні числа \(8\), \(16\) та \(56\) не є простими. Число \(27\) також не є простим, воно ділиться націло на \(1\), \(3\), \(9\) і \(27.\) Залишається число \(17.\) Воно має лише два дільники: \(1\) та \(17\), тобто є простим. Отже, 2   В.

3. Число \(a\) називається дільником числа \(c\), якщо \(c\) ділиться на \(a\) націло. Серед наведених чисел на \(8\) націло ділиться тільки число \(8.\) Зауважимо також, що дільник числа не може бути більшим за саме число. Отже, 3 – А.

4. Число \(c\) називають кратним числу \(a\), якщо \(c\) ділиться націло на \(a.\) Серед наведених чисел на \(7\) націло ділиться тільки число \(56\), отже 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – A, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Основні властивості функцій: парність, періодичність, монотонність. Екстремум функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій (степеневої, квадратичної та логарифмічної), заданих формулою, знаходити область визначення, значення функції в точці, використовувати перетворення графіків функцій, знання означення точки екстремуму функції.

1. Функція \(y = x^{3}\) визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, екстремуму не має. Знайдемо значення функції в точці \(x = 8\mathord{:}\) $$ y(8) = 8^{3} \gt 0. $$ Знайдемо значення функції в точці \(x = -3\mathord{:}\) $$ y(-3) = (-3)^{3} = -27 \lt 0. $$ Отже, для початку речення 1 жоден із варіантів A—Г не може бути його закінченням. Функція \(y = x^{3}\) для будь-якого дійсного значення \(x\) задовольнює умову \begin{gather*} y(-x) = -y(x){,}\\[7pt] (-x)^{3} = -x^{3}, \end{gather*} тобто є непарною.

Отже, 1 – Д.

2. Функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) визначена на всій дійсній осі, графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору, абсциса вершини параболи є точкою мінімуму цієї функції, тобто в точці \(x = x_{в}\) функція має екстремум. Залишилося визначити значення \(x_{в}.\) Оскільки графік функції \(y = (x + 2)^{2} - 3\) можна отримати з графіка функції \(y = x^{2}\) за допомогою його перенесення вздовж осі \(x\) ліворуч на \(2\) одиниці й вздовж осі \(y\) вниз на \(3\) одиниці, то абсциса вершини заданої параболи \(x_{в} = -2\), тобто функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) в точці \(x = -2\) має екстремум.

Отже, 2 – В.

3. Функція \(y = \log_{0{,}5} x\) визначена на проміжку \((0; +\infty)\), тому визначена в точці \(x = 1\) і не визначена в точці \(x = -3\). Оскільки основа логарифма \(0{,}5 \lt 1\), то функція є спадною на всій області визначення, отже, не має екстремумів. Окрім зазначеного, функція \(y = \log_{0{,}5} x\) перетинає вісь \(x\) у точці \((1; 0)\), на проміжку \((0; 1)\) набуває додатних значень, а на проміжку \((1; +\infty)\)   від’ємних значень. Таким чином, $$ y(8) = \log_{0{,}5} 8 = -3 \lt 0. $$

Отже, 3 – А.

4. Функція \(y = \sqrt{x - 4}\) визначена для всіх \(x\), що задовольняють умову \(x - 4 \ge 0\), тобто \(x \ge 4.\) Отже, вона не визначена в точках \(x = 1\) і \(x = -3.\) З двох варіантів, що залишилися, для 4 обираємо варіант Б (в точці \(x = -3\) ця функція не може набувати не лише додатного значення, але й жодного іншого).

Отже 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – А, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, формули координат середини відрізка, вміння встановлювати належність точки координатній осі чи площині.

Розглянемо початки речень (1–4) та знайдемо твердження, які є правильними для наведених точок.

1. Точка \((4; 0; 0)\), у якої координати \(y\) та \(z\) дорівнюють \(0\), лежить на осі \(x.\) Отже, початку речення 1 відповідає закінчення речення Д. Зазначимо, що якщо точка у просторі лежить на одній з осей координат, то обов’язково дві її координати дорівнюють нулю. Наприклад, точка \((0; -2; 0)\) лежить на осі \(y\), а точка \((0; 0; 3)\) – на осі \(z.\) Якщо й третя координата дорівнює нулю, то точка \((0; 0; 0)\) є початком координат і належить одночасно координатним осям \(x\), \(y\) і \(z.\) Зауважимо також, що якщо точка лежить, наприклад, на осі \(x\), то вона також лежить у координатних площинах \(xy\) та \(xz\), оскільки вісь \(x\) є перетином цих площин.

2. Якщо лише одна з трьох координат точки, заданої у просторі, дорівнює нулю, то така точка лежить у певній координатній площині i водночас не належить жодній з осей координат, що лежать у цій площині. Зокрема, якщо координати \(y\) та \(z\) відмінні від нуля, то точка \((0; y; z)\) лежить у площині \(yz.\) Отже, точка \((0; -3; 5)\) лежить у площині \(yz.\) Таким чином, початку речення 2 відповідає закінчення речення Б.

3. Щоб знайти координати точки, що є серединною відрізка, потрібно обчислити півсуму відповідних координат точок, які є кінцями цього відрізка. Так, серединою відрізка \(OC\), де \(O(0; 0; 0)\), \(C(-2; 6; 0)\), є точка \(M(x_{m}, y_{m}, z_{m})\), у якої \begin{gather*} x_{m} = \frac{0 + (-2)}{2}=-1,\\[6pt] y_{m} = \frac{0 + 6}{2}=3,\\[6pt] z_{m} = \frac{0 + 0}{2}=0. \end{gather*} Отже, точка \((-1; 3; 0)\) є серединою відрізка \(OC\), тож початку речення 3 відповідає закінчення речення В.

4. Залишилося підібрати варіант відповіді для початку речення 4. Помічаємо, що координати точки \((2; -6; 0)\) протилежні відповідним координатам точки \(C(-2; 6; 0).\) Це означає, що ці точки симетричні відносно початку координат, тобто точки \(O(0; 0; 0).\) Отже, початку речення 4 відповідає закінчення речення Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки, зокрема знаходити відсоток від числа.

1. Позначимо щомісячний платіж за телефон за \(x\) гривень. За умовою задачі це становить \(10\ \%\) від загальної вартості телефону. Складаємо пропорцію: \begin{gather*} 2260 \text{ грн}\ —\ 100\ \%,\\[7pt] x \text{ грн}\ —\ 10\ \%. \end{gather*} Тоді $$ \frac{2260}{x} = \frac{100}{10}, $$ звідси $$ x = \frac{2260 \cdot 10}{100} = 226 \text{ грн}. $$

2. Сума \(12\) щомісячних платежів становить $$ 226 \cdot 12 = 2712 \text{ грн}. $$ Знайдемо, на скільки гривень ця сума перевищує вартість телефону: $$ 2712 - 2260 = 452 \text{ грн}. $$

Відповідь: 1. \(226.\)
                   2. \(452.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості. Середня лінія трапеції та її властивості. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції: середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Bміння визначати висоту трапеції як відповідний катет прямокутного трикутника.

1. Згідно з умовою \(MN\) – середня лінія, \(AD\) і \(BC\) – основи трапеції \(ABCD.\) Отже, $$ MN = \frac{AD + BC}{2}, $$ звідки одержимо

2. Опустимо з точки \(C\) на основу \(AD\) перпендикуляр \(CK\) і розглянемо прямокутний трикутник \(CKD\) (див. рисунок).

У цьому трикутнику \(\angle K = 90^\circ\), \(\angle D = 45^\circ\). Тоді $$ \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. $$ Отже, трикутник \(CKD\) є прямокутним і рівнобедреним, у якому \(KC = KD.\) Оскільки

Зазначимо, що якщо провести відрізок \(BP\) паралельно стороні \(CD\) (точка \(P\) належить основі \(AD\)), то утвориться прямокутний рівнобедрений трикутник \(BAP\), у якому $$ AB = AP = AD-BC = 8 \text{ см}. $$

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії та вміння її застосовувати до розв’язання завдання із практичним змістом.

Оскільки кількість настою кожного наступного дня на одне й те саме число менша за кількість настою, що приймав пацієнт попереднього дня, то щоденні кількості настою утворюють арифметичну прогресію, перший член якої \(a_1 = 370\) мл, а останній двадцятий член \(a_{20} = 85\) мл.

Сумарну кількість настою, що вип’є пацієнт за ці \(20\) днів, визначаємо як суму перших \(20\) членів арифметичної прогресії:

Відповідь: \(4550.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічне рівняння.

Виконавши перетворення: $$ \log_{4}\frac{1}{16} = \log_{4} 4^{-2} = -2, $$ запишемо задане рівняння у вигляді $$ \log_{4} x(\log_{4} x - 2) = 3,\ \text{або } $$ $$ (\log_{4} x)^{2} - 2\log_{4} x - 3 = 0. $$ Отримане рівняння є квадратним відносно змінної \(\ \log_{4} x = t{:}\) $$ t^{2} - 2t - 3 = 0, $$ коренями якого є значення \(t_{1} = -1\) та \(t_{2} = 3\).

Отже, задане рівняння рівносильне сукупності $$ \left[\begin{array}{l} \log_{4} x = -1,\\ \log_{4} x = 3. \end{array}\right. $$ Її розв’язки: $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 4^{-1} = 0{,}25,\\ x_{2} = 4^{3} = 64 \end{array}\right. $$ є коренями заданого рівняння, їх сума дорівнює $$ 0{,}25 + 64 = 64{,}25. $$

Відповідь: \(64{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення дробово-раціонального виразу, використовуючи формули скороченого множення, правила виконання дій з раціональними дробами, та знаходити числове значення виразу при заданих значеннях змінних.

Спочатку спростимо заданий вираз:

Тепер підставимо в отриманий вираз значення \(a = 0{,}1\), \(b = 3{,}7{:}\)

Відповідь: \(-22.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної чотирикутної піраміди за відомими радіусом вписаної кулі та кутом нахилу бічної грані до площини основи піраміди.

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду \(SABCD\), основою якої є квадрат \(ABCD.\) Центр \(O\) вписаної у піраміду кулі належить висоті піраміди – відрізку \(SO_1\) (точка \(O_{1}\) є центром квадрата \(ABCD\), тобто точкою перетину його діагоналей). Позначимо точку, в якій вписана куля дотикається бічної грані \(DSC\), буквою \(K.\) Ця точка лежить на апофемі \(SM.\) Згідно з умовою \(\angle SMO_{1} = 60^\circ\), а \(O_{1}O = OK=3\text{ см}\).

Щоб обчислити об’єм піраміди \(SABCD\), потрібно знати площу \(S_{осн}\) її основи та висоту \(SO_{1}{:}\) $$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1}. $$

З рівності прямокутних трикутників \(OO_{1}M\) та \(OKM\) (за гіпотенузою та катетом: \(OO_{1} = OK\), \(OM\) – спільна гіпотенуза) випливає, що

У прямокутному трикутнику \(OO_{1}M\) відомо: катет \(OO_{1} = 3\text{ см}\), \(\angle OMO_{1} = 30^\circ.\) Визначаємо другий катет цього трикутника: $$ O_1M = OO_{1}\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\ \text{см}. $$

Висоту \(SO_{1}\) визначаємо з прямокутного трикутника \(SO_1M{:}\)

Ураховуючи співвідношення \(AD = 2O_{1}M\), визначаємо площу основи піраміди (квадрата \(ABCD\)):

Отже, шуканий об’єм піраміди \(SABCD{:}\)

Відповідь: \(324.\)