ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степенева функція.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Ця функція зростає на всій області визначення, не є парною, періодичною, не має точок екстремуму.

Функція набуває лише невід'ємних значень.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять змінну під знаком модуля.

Використовуючи геометричну інтерпритацію модуля отримаємо розв'зок нерівності \(|x|\lt 3:\)

\(x\in (-\infty; -3)\cup (3; +\infty).\)

Отже, з наведених чисел \(x=-8\) є розв'язком нерівності.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій заданих графіком.

Нулі функції – точки перетину графіка функції з віссю \(Ox.\)

На рисунку бачимо лише одну точку перетину графіка функції з віссю \(Ox\) - точка \(A.\) Отже, функція має лише один нуль на заданому проміжку \([1; 8].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса.

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

$$V=\frac 13Sh=\frac{Sh}{3}.$$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} p=5d+8,\\[7pt] 5d=p-8,\\[6pt] d=\frac 15(p-8). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з однією змінною, використовувати методи розв'язування раціональних рівнянь.

Якщо рівняння має вигляд добутку множників, що дорівнює нулю, то принаймні один з множників повинен дорівнювати нулю.

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x+1=0,\\ 2x-3=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ 2x=3, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ x=1\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання кола та його елементів.

\begin{gather*} OA=12\ \textit{см},\\[7pt] O_1A=8\ \textit{см},\\[7pt] OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вмінняя виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання означення степеня з цілим показником та її властивостей.

$$ 0\mathord{,}8b^9:(8b^3)=0\mathord{,}1b^{9-3}=0\mathord{,}1b^6. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей, що містять логарифмічні та тригонометричні вирази, розв'язувати нерівності та системи з параметрами.

1. \(\mathbf{\pi}^2-x^2\ge 0\),

\(x^2-\mathbf{\pi}^2\le 0\),

\(x\in [-\mathbf{\pi}; \mathbf{\pi}].\)

2. \(\log_3a(2\sin^2x-(2a-1)\sin x-a)\ge 0\),

\(\log_3a(\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0.\)

Розглянемо випадки:

I. \(a=1\), тоді \(\log_3a=0\) і нерівність набуває вигляду \(0\cdot (\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0\), тобто \(0\ge 0.\) Її розв'язками є множина \(x\in (-\infty; +\infty).\)

II. \(a\in (0; 1)\), тоді \(\log_3a\lt 0.\) Одержуємо:

\((\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\le 0\),

\(-0\mathord{,}5\le \sin x\le a\),

\(x\in\left[-\frac{\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k; \mathrm{arcsin}\ a+2\mathbf{\pi}k\right]\cup \left[\mathbf{\pi}-\mathrm{arcsin}\ a+2\mathbf{\pi}k; \frac{7\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k\right].\)

III. \(a\in (1; +\infty)\), тоді \(\log_3a\gt 0.\)

Розв'язуємо нерівність \((\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0.\)

Перша система розв'язків не має, друга система еквівалентна нерівності \(\sin x\le -0\mathord{,}5\), звідки
\(x\in \left[-\frac{5\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k;\ -\frac{\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k\right].\)

3. Множиною розв'язків заданої системи для кожного значення \(a\) є всі ті значення \(x\), які одночасно належать множинам розв'язків і першої, і другої нерівностей системи для цього значення \(a.\)

Відповідь:  \(a=1\), тоді \(x\in [-\mathbf{\pi}; \mathbf{\pi}].\)
                   \(a\in (0; 1)\), тоді \(x\in \left[-\mathbf{\pi}; -\frac{5\mathbf{\pi}}{6}\right]\cup \left[-\frac{\mathbf{\pi}}{6}; \arcsin\ a\right]\cup [\mathbf{\pi}-\arcsin\ a; \mathbf{\pi}].\)
                   \(a\in (1; +\infty)\), тоді \(x\in \left[-\frac{5\mathbf{\pi}}{6}; -\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right].\)