ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, показникові рівняння з параметром, раціональні нерівності.

1. Розв'яжемо рівняння: \begin{gather*} \sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0,\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8}{x+3}-2=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2(x+3)}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2x-6}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{2-x}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=2,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \end{gather*} Отже, \(x=2.\)

2. Розв'яжемо в залежності від параметра \(a\)

Нерівність \(\frac{2-x}{x+3}\ge 0\) розв'яжемо методом інтервалів:
$$ \frac{-(x-2)}{x+3}\ge 0,\ \ \frac{x-2}{x+3}\le 0, $$

$$ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 5^x=a,\\ x=2, \end{array}\right. \\ x\in (-3; 2]. \end{array}\right. $$ \(x_1=2\) – розв'язок рівняння при будь-якому значенні \(a.\)

Рівняння \(5^x=-a\) має розв'язки при \(a\lt 0.\) \(x_2=\log_5(-a)\) буде коренем рівняння при \(-3\lt x_2\le 2.\)
\(-3\lt x_2\le 2.\)

\(x_1=x_2\), якщо \(5^2=-a\), \(a=-25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, доводити нерівності.

\((x-y)^2\ge 0\) при будь-яких значеннях \(x\) та \(y.\)

Виділили квадрат двочлена з виразу \((x^2+xy+y^2)\), отримали суму двох невід'ємних виразів, які одночасно не дорівнюють нулю.

Отже, вираз \(x^2+xy+y^2\gt 0\) при будь-яких значеннях \(x\) та \(y.\)

Якщо \((x-y)^2\ge 0\) та \(x^2+xy+y^2\gt 0\), то і їхній добуток \((x-y)^2(x^2+xy+y^2)\ge 0\), що й вимагалося довести.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей правильної піраміди, кута між площинами, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.

1. \(\Delta AOB\) побудуємо \(OK\perp AB.\)

За теоремою про три перпендикуляри похила \(SK\perp AB.\) Отже, \((SKO)\perp AB.\) \(\angle SKO=\mathbf{\gamma}\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((BSA)\) i \((ABC)\), \(AO\) – проекція \(SA\) на \((ABC)\), \(KO\) – прекція \(SK\) на \((ABC).\)

2. \(\Delta ABC (\angle B=90^\circ)\ AB=BC\), \(AC=24\cos\mathbf{\beta}.\)

За теоремою Піфагора

Відповідь: \(\mathrm{arctg}(\sqrt{2}\operatorname{tg}\ \mathbf{\beta}).\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей правильної піраміди, кута між прямою та площиною, вміння знаходити об’єм піраміди.

\(SABCD\) – правильна піраміда. Отже, \(ABCD\) – квадрат, основа висоти піраміди \(SO\) точка \(O\) – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

1. \(SO\perp (ABC)\), \(SA\) – похила до площини, \(AO\) – проекція \(SA\) на \((ABC).\) Отже, \(\angle (SA, (ABC))=\angle SAO=\mathbf{\beta}.\)

2. \(\Delta SOA (\angle O=90^\circ)\ \angle A=\mathbf{\beta}\), \(SA=12.\)

3. \(\Delta SOA (\angle )=90^\circ)\), \(AO=SA\cdot \cos\mathbf{\beta}=12\cos\mathbf{\beta}.\)

Відповідь: 2. \(12\sin\mathbf{\beta}.\)
                   3. \(1152\cos^2\mathbf{\beta}\sin\mathbf{\beta}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, використовуючи елементарні перетворення графіків, знаходити площу фігури, обмеженої лініями, застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

1.
\(y(0)=\sqrt{0}-2=-2\),
\(y(9)=\sqrt{9}-2=3-2=1\),
\(y(x)=0\), \(\sqrt{x}-2=0\), \(\sqrt{x}=2\), \(x=4.\)

2. Побудуємо графік функції, використовуючи елементарне перетворення графіка функції \(y=\sqrt{x}\) на \(2\) одиниці вниз вздовж осі \(Oy.\)

3. Точка перетину графіка з віссю \(Ox\ (4; 0)\), з віссю \(Oy\ (0; -2).\)

4. $$ F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x+C $$ – загальний вигляд первісних функції, де \(C\) – будь-яке число.

Наприклад, при \(C=0\) первісна має вигляд $$ F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x. $$

5.

Оскільки графік функції лежить нижче від осі \(Ox\), то площу фігури знаходимо за формулою:

6. Обчислимо площу фігури:

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість варіантів вибору в місті з \(10\) об'єктів \(4\) знаходимо за формулою сполук: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. $$ У кожному з трьох міст кількість варіантів однакова. Отже, всього у Ганни варіантів вибрати туристичні об'єкти

Відповідь: \(630.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля

У відповідь запишемо суму розв'язків: \(0\mathord{,}5+2=2\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(2\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: \(-0\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на рух.

Нехай швидкість велосипедиста \(x\) км/год, тоді мотоцикліста \((x+48)\) км/год.

На дорогу з міста \(A\) до міста \(B\) велосипедист витратив \(2\) години. Отже, відстань з \(A\) до \(B\) становить \(2x\) км.

Мотоцикліст виїхав на \(1\mathord{,}5\) год пізніше, але прибув одночасно з велосипедистом. Отже, \(0\mathord{,}5(x+48)\) км становить відстань від \(A\) до \(B.\)

Відстань між містами \(A\) та \(B\)    \(2\cdot 16=32\) км.

Відповідь: \(32.\)