Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, логарифмічні рівняння, нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності, розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами.

Знаходимо ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x^2+(a-4)x+4-2a\ne 0, \end{array}\right. $$ крім того, для параметра a є також обмеження: a > 0 та a ≠ 1 (a є основою логарифма).

Розв'яжемо квадратне рівняння

За умови \(a\gt 0\), \(D\gt 0\) при будь-якому значенні \(a.\)

Отримали ОДЗ:

$$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x\ne 2,\\ x\ne 2-a. \end{array}\right. $$

Знайдемо нулі функції, яка знаходиться в лівій частині нерівності.

\begin{gather*} \log_ax=0,\\[7pt] x=a^0=1. \end{gather*}

Розглянемо для кожного проміжку з області допустимих значень розв'язок нерівності.

I.

\begin{gather*} 2-a\gt 0,\\[7pt] -a\gt 0,\\[7pt] a\lt 0. \end{gather*}

При \(a\lt 0\) нерівність не має змісту, тому розв'язків немає.

II. \begin{gather*} 2-a=2,\\[7pt] a=0 \end{gather*} не має розв'язків.

III.

\begin{gather*} 1\lt 2-a\lt 2,\\[7pt] -1\lt -a\lt 0,\\[7pt] 0\lt a\lt 1. \end{gather*}

IV.

\begin{gather*} 2-a=1,\\[7pt] -a=-1,\\[7pt] a=1. \end{gather*}

V.

\begin{gather*} 0\lt 2-a\lt 1,\\[7pt] 1\lt a\lt 2. \end{gather*}

VI.

\begin{gather*} 2-a=0,\\[7pt] a=2. \end{gather*}

VII.

\begin{gather*} 2-a\lt 0,\\[7pt] a\gt 2. \end{gather*}

Відповідь: при \(a\in (0; 1)\ x\in [1; 2-a)\cup (2; +\infty)\);
                   при \(a\in (1; 2)\ x\in (0; 2-a)\cup [1; 2)\);
                   при \(a\in [2; +\infty)\ x\in [1; 2).\)

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники. Піраміда. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, властивостей паралельних площин, кута між прямою та площиною, уміння будувати перерізи многогранників, властивостей правильної піраміди.

1. \(SABCD\) – правильна піраміда, тому в основі лежить квадрат \(ABCD\) і основа висоти є центром квадрата, тобто точкою перетину діагоналей.

Бічне ребро \(SA\) утворює з площиною основи кут \(\mathbf{\alpha}.\) \(SO\ \perp\ (ABC)\), \(SA\) – похила, \(OA\) – проекція \(SA\) на площину основи, тому

\(\angle (SA, (ABC))=\angle SAO=\mathbf{\alpha}.\)

Побудуємо переріз піраміди площиною \(\mathbf{\beta}\ || (SAD).\) За властивістю паралельних площин паралельні площини \(\mathbf{\beta}\) та \(SAD\) перетинаються третьою, площиною \(ABC\) по паралельних прямих, тому будуємо \(EF\ ||\ AD\) через точку \(O.\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ (ASD)\) та перетинаються площиною \((ASB)\) по паралельним прямим, тому будуємо \(KE\ || SA\) (слід січної площини на \((ASB).\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ (ASD)\) перетинаються \((SCD)\) по \(MF\ || SD.\) З'єднаємо точку \(K\) та точку \(M\), що належать \((BSC).\) \(KMFE\) – шуканий переріз.

2. Точка \(E\) – середина \(AB\), \(KE\ || SA\) за побудовою, тому \(KE\) – середня лінія \(\Delta SBA\rightarrow BK=KS.\)

Точка \(F\) середина \(DC\), \(MF\ || SD\) за побудовою, тому \(MF\) – середня лінія \(\Delta SDC\rightarrow CM=MS.\)

У \(\Delta BCS\ KM\) середня лінія, тому \(KM\ ||\ BC\), \(EF\ ||\ BC\) (за побудовою), \(KM\ ||\ BC\) – тому \(KM\ ||\ EF\) за ознакою паралельних прямих. Отже, \(KMFE\) – трапеція.

\(SABCD\) правильна піраміда, тому \(\Delta SBA=\Delta SCD\), \(KE=MT\) як відповідні середні лінії. Отже, \(KMFE\) – рівнобічна трапеція.

3. \(AB=c\), то діагональ квадрата \(ABCD\ AC=c\sqrt{2}\), \(AO=\frac 12AC=\frac{c\sqrt{2}}{2}.\)

У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ).\)

\begin{gather*} \angle A =\mathbf{\alpha}\\[6pt] SA=\frac{OA}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac{c\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\\[6pt] KE=\frac 12SA=\frac{c\sqrt{2}}{4\cos \mathbf{\alpha}}=MF.\\[6pt] EF=AD=c,\\[6pt] KM=\frac 12BC=\frac 12c. \end{gather*}

Знаходимо периметр трапеції:

Відповідь: 3. \(\frac{3\cos \mathbf{\alpha}+\sqrt{2}}{2\cos \mathbf{\alpha}}\cdot c.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Функції. Степенева та лінійна функції, їхні основні властивості. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей та графіків функцій, уміння будувати графіки елементарних функцій, застосовувати формулу Ньютона-Лейбниця для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

1. Побудуємо графік функції \(f(x)=x^3.\)

2. Побудуємо графік функції \(g(x)=4|x|.\)
при \(x\ge 0\) будуємо \(g(x)=4x.\)

при \(x\lt 0\) будуємо \(g(x)=-4x.\)

3. Абсциси точок перетину графіків \(f\) i \(g\) знаходимо графічно \(x=0\) та \(x=2\), або як розв'язки рівняння \(x^3=4|x|.\) При \(x\ge 0\)

\begin{gather*} x^3=4x,\\[7pt] x^3-4x=0,\\[7pt] x(x^2-4)=0,\\[7pt] x(x-2)(x+2)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x=2\ \text{або}\ x=-2. \end{gather*}

Проміжку \(x\in [0; +\infty)\) належать корені \(x=0\) та \(x=2.\)

При \(x\lt 0\)

Отже, абсциси точок перетину графіків \(f\) i \(g\) \(x_1=0\), \(x_2=2.\)

4. Площу фігури, обмеженої графіками функцій f i g знаходимо за допомогою визначеного інтеграла:

Відповідь: 3. \(x_1=0\), \(x_2=2.\)
                   4. \(4\) кв. од.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття колінеарних векторів, координат вектора, уміння застосовувати вектори до розв'язування планіметричних задач.

За умовою задачі, \(\overrightarrow{AB}\ ||\ \overrightarrow{a}.\)

Нехай абсциса точки \(B\) буде \(x\), тоді точка \(B(x; 3).\) Ордината дорівнює \(3\) тому, що точка \(B\) лежить на прямій \(y=3.\)

\begin{gather*} \overrightarrow{AB}(x+4; 2),\\[7pt] \overrightarrow{a}(3; -5). \end{gather*}

У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні, тому

\begin{gather*} \frac{x+4}{3}=\frac{2}{-5},\\[6pt] -5(x+4)=2\cdot 3,\\[7pt] -5x-20=6,\\[7pt] -5x=26,\\[7pt] x=-5\mathord{,}2. \end{gather*}

Відповідь: \(-5\mathord{,}2.\)

Пояснення

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Комбінації. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінацій, комбінаторні правила суми й добутку, уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість усіх можливих комбінацій з \(n\) елементів по \(k\) елементів знаходимо за формулою $$ C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}. $$

Кількість способів вибрати \(3\) фотографії з \(8\) зі своїм зображенням знаходимо за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{(8-3)!3!}=\frac{8!}{5!3!}. $$

Кількість способів вибрати \(2\) фотографії з \(6\) для сайту $$ C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}. $$

Кількість способів вибрати означені в умові фотографії знаходимо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(840.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

Нехай щодня планували виробляти \(\frac{240}{n}\) стільців. Оскільки завдання виконали на \(2\) дні раніше запланованого терміну, то щодня виробляли \(\frac{240}{n-2}\) стільців. Денна норма збільшилась на \(4\) стільця, тому складемо рівняння

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: \(n=-10\) або \(n=12.\)

Оскільки \(n\) – кількість днів, то визначається натуральним числом, то правильна відповідь: \(12\) днів.

Відповідь: \(12.\)

Пояснення

ТЕМА: Функції. Числові послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули суми n перших членів геометричної прогресії, уміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію..

За умовою \begin{gather*} q=\frac 23,\\[6pt] S_4=65. \end{gather*}

Знаходимо перший член цієї прогресії за формулою

Відповідь: \(27.\)

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

\(BM\) – медіана, точка \(K\) – середина медіани.

1. Відстань від точки \(K\) до \(AC\) – це \(KF=5\) см, \(KF\ \perp\ AC.\)

Відповідно, \(KE\ \perp\ BC,\) \(KE=6\) см.

\(KE\ \perp \ BC\), \(AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.\)

За теоремою Фалеса, точка \(E\) – середина \(BC\), тому \(KE\) – середня лінія \(\Delta MBC.\)

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки \(BM\) – медіана, то \(AC=2MC=24\) см.

Отже, довжина катета \(AC=24\) см.

2. Аналогічно, \(KF\) – середня лінія \(\Delta CMB\), тому \(BC=2KF=10\) см.

За теоремою Піфагора, у \(\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)\)

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. \(24\) см.
                   2. \(13\) см.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання правил виконання відсоткових розрахунків, уміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Для визначення ширини автомагістралі використовують формулу

$$ h_\text{маг}=8b+r+2\Delta. $$

Якщо \(h_\text{маг}=40\mathord{,}2\) м, \(r=10\) м, \(\Delta =1\mathord{,}5\) м, то

\begin{gather*} 40\mathord{,}2=8b+10+1\mathord{,}5\cdot 2,\\[7pt] 8b=40\mathord{,}2-13,\\[7pt] 8b=27\mathord{,}2,\\[7pt] b=27\mathord{,}2:8=3\mathord{,}4. \end{gather*}

2. Заплановано збільшити ширину кожної смуги руху транспорту на \(10\text{%}\) за рахунок лише зменшення ширини \(r\) розділювальної смуги. Кількість смуг руху – \(8\), тому потрібно зменшити ширину \(r\) на $$ 3\mathord{,}4\cdot 8\cdot 0\mathord{,}1=2\mathord{,}72\ \textit{м}. $$

Відповідь: 1. \(3\mathord{,}4.\)
                   2. \(2\mathord{,}72.\)